Teknik sipil sebagai ilmu rekayasa membutuhkan pemahaman mengenai apa itu kalkulus. Untuk mempelajari kalkulus kita harus mengerti mengenai sistem bilangan dan fungsi matematika sebagai dasar dari kalkulus. Dalam modul ini mahasiswa akan mempelajari tentang dasar dari kalkulus yaitu sistem bilangan rill dan fungsi matematika, diantaranya operasi pada fungsi, fungsi komposisi, dan fungsi invers serta berbagai macam fungsi dan grafiknya.

1. Modul ke:
Fakultas
Program Studi
01Teknik
Teknik Sipil
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
MATEMATIKA IMATEMATIKA I
Sistem Bilangan Riil
Konsep Fungsi
Operasi Pada Fungsi
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Fungsi Trigonometri
Macam-macam Fungsi dan Grafiknya

2. Sistem Bilangan RiilSistem Bilangan Riil
• Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil
dan sifat-sifatnya.
• Sekumpulan bilangan (rasional dan tak-
rasional) yang dapat mengukur panjang,
bersama-sama dengan negatifnya dan nol
dinamakan dengan Bilangan Bilangan Riil.

3. Sistem Bilangan RiilSistem Bilangan Riil
Bilangan Asli
Bilangan Bulat
Bilangan Rasional
Bilangan Riil

4. FungsiFungsi
• Definisi : Sebuah fungsi f adalah suatu aturan
padanan yang menghubungkan tiap obyek x
dalam satu himpunan, yang disebut daerah
asal, dengan sebuah nilai unik f(x) dari
himpunan kedua. Himpunan nilai yang
diperoleh secara demikian disebut daerah nilai
fungsi tersebut.

5. FungsiFungsi
X Y
1
2
3
4
5
6
7
f
f : X → Y adalah sebuah fungsi.
Setiap elemen dalam X berhubungan dengan
tepat satu buah elemen dalam Y

6. FungsiFungsi
X Y
1
2
3
4
5
6
8
g
g : X → Y adalah BUKAN sebuah fungsi.
Elemen 1 dalam X berhubungan dengan dua
buah elemen dalam Y yaitu 5 dan 6.
7

7. FungsiFungsi
• Daerah asal adalah himpunan elemen-elemen
pada mana fungsi itu mendapat nilai
• Daerah Nilai adalah himpunan nilai-nilai yang
diperoleh secara demikian
f
f(x)x
Daerah Asal Daerah Nilai

8. ContohContoh
Misalnya, jika F adalah fungsi dengan aturan F(x)
= x2
+ 1 dan jika daerah asal di rinci sebagai {-1,
0, 1, 2, 3} , maka daerah nilai nya adalah {1, 2,
5, 10}
3
2
1
0
-1
5
10
1
2
F(x) = x2
+ 1
Daerah Asal Daerah Nilai

9. Operasi pada FungsiOperasi pada Fungsi
Misalkan f(x) dan g(x) fungsi-fungsi riil dengan
daerah asal Df dan Dg
• (f + g)(x) = f(x) + g(x), Df+g = Df D∩ g
• (f − g)(x) = f(x) − g(x), Df−g = Df D∩ g
• (f.g)(x) = f(x).g(x), Dfg = Df D∩ g
• (f/g)(x) = f(x)/g(x), Df/g = Df D∩ g {x|g(x) ≠ 0}∩
• fn
(x) = f(x) f(x) ··· f(x) , Df
n
= Df
n suku

10. ContohContoh
Andaikan F(x) = ξ � + 1
4
dan G(x) =
ξ 9 − �2 , dengan masing-masing
daerah asal alamiah [-1, ∞] dan [-3,
3]. Cari rumus untuk F + G, F – G, F.G,
F/G, dan F5
dan berikan daerah asal
alamiahnya.

11. Lanjut...Lanjut...
Rumus Daerah Asal
(F + G)(x) = F(x) + G(x) = ξ � + 1
4
+ ξ 9 − �2 [-1, 3]
(F - G)(x) = F(x) - G(x) = ξ � + 1
4
- ξ 9 − �2 [-1, 3]
(F.G)(x) = F(x).G(x) = ξ � + 1
4
.ξ 9 − �2 [-1, 3]
�
�
ሺ�ሺ=
�(�)
�(�)
=
ξ � + 1
4
ξ 9 − �2
[-1, 3]
�5ሺ�ሺ= ሺ�ሺ�ሺሺ5
= ξ � + 1
4 5
= ሺ� + 1ሺ
5
4
[-1, ∞]

12. Fungsi KomposisiFungsi Komposisi
x
g(f(x))
f(x)
Jika f bekerja pada x untuk
menghasilkan f(x) dan kemudian g
bekerja pada f(x) untuk menghasilkan
g(f(x)), dikatakan bahwa kita telah
menyusun g dengan f. Fungsi yang
dihasilkan, disebut komposit g dengan
f, dinyatakan g ◦ f.
(g ◦ f)(x) = g(f(x))

13. Lanjut...Lanjut...
x
f(g(x))
g(x)
Jika g bekerja pada x untuk
menghasilkan g(x) dan kemudian f
bekerja pada g(x) untuk menghasilkan
f(g(x)), dikatakan bahwa kita telah
menyusun f dengan g. Fungsi yang
dihasilkan, disebut komposit f dengan
g, dinyatakan f ◦ g.
(f ◦ g)(x) = f(g(x))

14. ContohContoh
�ሺ�ሺ=
(�−3)
2
�ሺ�ሺ= ξ �
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = gሺ
�−3
2
ሺ=
�−3
2
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = � ξ � =
ξ �−3
2
Segera kita perhatikan satu hal : Susunan
(komposisi) fungsi tidak komutatif;
g ◦ f dan f ◦ g umumnya berlainan

15. Fungsi InversFungsi Invers
Jika fungsi f memetakan setiap x∈Df
ke y∈Rf maka balikan dari fungsi f
mengembalikan unsur y tersebut ke
unsur x semula
� = �ሺ�ሺ
maka
�−1
𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ �ሺ�ሺ= �

16. ContohContoh
𝑇𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟� 𝑑𝑎𝑟� �ሺ�ሺ=
�−1
�+2
Jawab :
�ሺ�ሺ=
�−1
�+2
, � =
�−1
�+2
, � =
−2�−1
�−1
�−1
(�) =
−2� − 1
� − 1

17. Fungsi TrigonometriFungsi Trigonometri
Miring (mrg)
hadapan(hdp)
dekatan (dkt)
θ
𝐬𝐢� � =
𝒉𝒅�
𝒎𝒓�
𝐜𝐨𝐬 � =
𝒅𝒌�
𝒎𝒓�
𝐭𝐚� � =
𝒉𝒅�
𝒅𝒌�

18. Lanjut...Lanjut...
𝐭𝐚� � =
𝐬𝐢� �
𝐜𝐨𝐬 � 𝐜𝐨𝐭 � =
𝐜𝐨𝐬 �
𝐬𝐢� �
𝐬𝐞𝐜 � =
�
𝐜𝐨𝐬 �
𝐜𝐬𝐜 � =
�
𝐬𝐢� �

19. Lanjut...Lanjut...
Grafik Sinus Grafik Cosinus

20. Macam-Macam Fungsi dan GrafiknyaMacam-Macam Fungsi dan Grafiknya
Fungsi Genap
 Fungsi f disebut fungsi genap bila memenuhi f(−a)
= f(a).
 Grafik dari fungsi genap simetri terhadap sumbu-y
Fungsi Ganjil
 Fungsi f disebut fungsi ganjil bila memenuhi f(−a) =
−f(a).
 Grafiknya simetri terhadap titik asal (titik pusat
koordinat).

21. Lanjut...Lanjut...
• Grafik Fungsi Genap

22. Lanjut...Lanjut...
• Grafik Fungsi Ganjil

23. Lanjut...Lanjut...
• Fungsi Konstan
y= f(x) = 2
2
x
y

24. Lanjut...Lanjut...
• Fungsi Identitas
x
y
y= f(x) = x
1
2
1 2

25. Lanjut...Lanjut...
• Fungsi Linear
x
y
y= f(x) = 2x + 1
1
3
1 2
5

26. LanjutLanjut
• Fungsi Kuadrat
x
y
y= f(x) =
1
-2 -1 1 2
x2
4

27. ReferensiReferensi
1. ________. e-paper. Bab 6 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers.
https://sultansevgilim.files.wordpress.com/2008/11
2. Djohan, Warsoma, Drs, Msi dan Budhi, Wono Setya, Dr. 2007. e-paper.
Diktat Kalkulus I. Departemen Matematika, Fakultas MIPA, ITB, Bandung.
http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/my-courses/files/2009/08
3. Markaban, Drs, Msi. 2004. e-paper. Fungsi, Persamaan, Pertidaksamaan.
PPPG Matematika. Yogyakarta. http://p4tkmatematika.org/downloads/sma
4. Nicholas, Jacky. et al. 1997. e-paper. Function and Their Graphs.
Mathematics Learning Centre. University of Sydney.
http://sydney.edu.au/stuserv/documents/maths_learning_centre
5. Purcell, Edwin J dan Varberg, Dale. 1990. KALKULUS dan Geometri Analitis.
Jilid 1. Jakarta. Penerbit Erlangga.

28. Terima KasihTerima Kasih
Reza Ferial Ashadi, ST, MT