1. BAB IV
TURUNAN FUNGSI
Setelah kita membahas limit pada bab sebelumnya, kita akan membahas
tentang turunan yang konsepnya dikembangkan dari konsep limit. Pembahasan
turunan dibagi menjadi dua bagian, bagian pertama membahas pengertian, sifat
dan penghitungan turunan suatu fungsi, bagian kedua membahas penggunaan
turunan. Bagian pertama akan kita bahas pada bab ini, sedangkan bagian kedua
akan dibahas pada bab selanjutnya.
TIK : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan mampu
menentukan turunan fungsi yang diberikan.
4.1 Pengertian dan Sifat Turunan
Perhatikan gambar berikut.
L
L1
x x+ h
f(x+h)
f(x)
y = f(x)
Gambar 4.1.
55
2. Pada gambar di atas, garis L menyinggung kurva y = f(x) di titik (x,f(x)),
sedangkan garis L1 melalui titik (x,f(x)) dan titik (x+h,f(x+h)). Jika h mendekati
nol, maka garis L1 akan mendekati garis L, sehingga gradien garis L1 akan
mendekati gradien garis L. Hal ini dapat dinyatakan dalam bentuk limit sebagai
berikut:
h
xfhxf
mm
h
L
h
L
)()(
limlim
00 1
−+
==
→→
.
Bentuk
h
xfhxf
h
)()(
lim
0
−+
→
dikenal sebagi turunan fungsi y = f(x), yang
dinotasikan dengan
dx
dy
, y’ ,
dx
df
, atau f’(x).
Dengan demikian secara geometri, turunan fungsi merupakan gradien dari garis
singgung kurva fungsi tersebut.
Karena turunan dedifinisikan dengan menggunakan limit sedangkan limit
fungsi bisa tidak ada, maka fungsi mungkin tidak mempunyai turunan di beberapa
titik tertentu.
Sebagai contoh, perhatikan fungsi nilai mutlak xxf =)( , yang grafiknya
diberikan dalam gambar di bawah ini.
56
Gambar 4.2.
3. Jika kita memperhatikan gambar dengan cermat, maka kita akan dapatkan
bahwa grafik fungsi nilai mutlak di atas berupa garis lurus, yang sebelah kanan
sumbu y adalah berupa garis y = x sedangkan yang sebelah kiri sumbu y berupa
garis y = -x. Garis di kanan dan kiri sumbu y mempunyai gradien yang berbeda,
sehingga patut dicurigai bahwa fungsi xxf =)( tidak mempunyai turunan di
perpotongan kurva dengan sumbu y, yaitu titik (0,0). Pembuktian bahwa fungsi
xxf =)( tidak mempunyai turunan di titik (0,0) diberikan di bawah ini.
Karena
11limlim
|0|||
lim
)0()0(
lim
0000
===
−
=
−+
++++
→→→→ hhhh h
h
h
h
h
fhf
dan
1)1(limlim
|0|||
lim
)0()0(
lim
0000
−=−=
−
=
−
=
−+
+++−
→→→→ hhhh h
h
h
h
h
fhf
,
maka
h
fhf
h
fhf
hh
)0()0(
lim
)0()0(
lim
00
−+
≠
−+
−+
→→
,
sehingga
h
fhf
f
h
)0()0(
lim)0('
0
−+
=
→
tidak ada.
Contoh:
a. Tentukan garis singgung kurva 2
xy = di titik (2,4)
b. Tentukan apakah di x = 0 fungsi 2
xy = mempunyai turunan ?
Penyelesaian:
a. Gradien garis singgung kurva 2
xy = di titik (2,4) adalah
m = 4)4(lim
2)2(
lim
)2()2(
lim)2('
0
22
00
=+=
−+
=
−+
=
→→→
h
h
h
h
fhf
f
hhh
.
57
4. Oleh karena itu persamaan garis singgungnya adalah
44)2(44)( 00 −=⇔−=−⇔−=− xyxyxxmyy
b. Karena 0lim
0
lim
)0()0(
lim)0('
0
22
00
==
−
=
−+
=
→→→
h
h
h
h
fhf
f
hhh
, maka 2
xy =
mempunyai turunan di x = 0.
Jika kita menentukan turunan secara langsung dengan menggunakan
definisi turunan, maka kita akan mendapatkan banyak kesulitan dan memakan
waktu lama. Untuk itu, diperlukan cara lain di samping dengan menggunakan
definisi secara langsung, yaitu dengan menggunakan sifat dan rumus turunan.
Berikut diberikan beberapa sifat penting dalam pencarian turunan suatu
fungsi.
1. Aturan perkalian dengan konstanta.
Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat diturunkan, maka
[ ] )()( xf
dx
d
cxcf
dx
d
=
2. Aturan jumlah.
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
[ ] )()()()( xg
dx
d
xf
dx
d
xgxf
dx
d
+=+
3. Aturan selisih.
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
[ ] )()()()( xg
dx
d
xf
dx
d
xgxf
dx
d
−=−
4. Aturan hasil kali.
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
58
5. [ ] )()()()()()( xf
dx
d
xgxg
dx
d
xfxgxf
dx
d
+=
5. Aturan hasil bagi.
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
[ ]2
)(
)()()()(
)(
)(
xg
xg
dx
d
xfxf
dx
d
xg
xg
xf
dx
d
−
=
Bukti:
1. Aturan perkalian dengan konstanta.
Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat diturunkan, maka
[ ]
[ ])(
)()(
lim
))()((
lim
)()(
lim)(
0
00
xf
dx
d
c
h
xfhxf
c
h
xfhxfc
h
xcfhxcf
xcf
dx
d
h
hh
=
−+
=
−+
=
−+
=
→
→→
2. Aturan jumlah.
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
[ ] [ ]
[ ]
)()(
)]()([
lim
)]()([
lim
)()()]()([
lim
)()()]()([
lim)()(
00
0
0
xg
dx
d
xf
dx
d
h
xghxg
h
xfhxf
h
xghxgxfhxf
h
xgxfhxghxf
xgxf
dx
d
hh
h
h
+=
−+
+
−+
=
−++−+
=
+−+++
=+
→→
→
→
3. Aturan selisih.
Untuk latihan
4. Aturan hasil kali.
Jika f dan g keduanya dapat diturunkan, maka
59
8. 23
223
2
32pembagianaturan
3
2
)6(
3).2()6)(12(''
'
6,2,'
6
2
+
−+−++
=
−
=
+=−+== →
+
−+
=
x
xxxxx
v
uvvu
y
xvxxu
v
u
y
x
xx
y
( )23
234
6
61262
'
+
+++−−
=
x
xxxx
y
4.2.
Aturan Rantai.
Di bawah ini diberikan aturan rantai yang banyak digunakan untuk
menentukan turunan fungsi.
Jika f dan g keduanya mempunyai turunan, dan h = f o g adalah fungsi
komposisi yang didefinisikan oleh h(x) = f(g(x)), maka h mempunyai turunan,
yaitu h’ yang dinyatakan oleh
h ’(x) = f ’(g(x)). g ’(x)
Dalam notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x) keduanya fungsi yang
mempunyai turunan, maka
dx
du
du
dy
dx
dy
= .
Bukti:
)('))(('
)()(
lim.
))(())((
lim
)()(
lim.
)()(
))(())((
lim
)()(
.
)()(
))(())((
lim
))(())((
lim
)()(
lim)('
00
00
0
00
xgxgf
t
xgtxg
p
xgfpxgf
t
xgtxg
xgtxg
xgftxgf
t
xgtxg
xgtxg
xgftxgf
t
xgftxgf
t
thtxh
xh
tp
tt
t
tt
=
−+−+
=
−+
−+
−+
=
−+
−+
−+
=
−+
=
−+
=
→→
→→
→
→→
62
9. Dengan menggunakan aturan rantai dan dengan menggunakan rumus
sebelumnya kita akan dapatkan rumus-rumus di bawah ini.
Nomor Fungsi Turunan fungsi
1 y = ex
y’ = ex
2 y = ax
, a ≠ 1 y’ = ax
ln a
3 y = a
log x, a >0, a ≠ 1 y’ = alnx
1
Bukti:
1.
xx
eyyy
y
yxey ==⇒= →=⇒= ''.
1
1ln rantaiaturan
2. Untuk latihan
3. Untuk latihan
4.3. Turunan Fungsi Implisit dan Fungsi Parametrik
Dalam pembahasan sebelumnya, kita telah membahas turunan fungsi
eksplisit. kali ini kita akanm membahas turunan fungsi implisit dan fungsi
parametrik. Metode yang digunakan serupa dengan turunan fungsi eksplisit.
Contoh :
a. Jika x2
+ y2
= 25, carilah
dx
dy
b. Jika x = 2t +1
y = t2
+ t
tentukan
dx
dy
.
Penyelesaian:
63
10. a. Jika kita turunkan kedua ruas persamaan x2
+ y2
= 25 terhadap x, maka akan
kita peroleh:
( ) ( )2522
dx
d
yx
dx
d
=+
( ) ( ) 022
=+ y
dx
d
x
dx
d
Mengingat y adalah fungsi dari x dan dengan menggunakan aturan rantai,
diperoleh
( ) ( ) dx
dy
y
dx
dy
y
dy
d
y
dx
d
222
==
Oleh karena itu 2x + 2y
dx
dy
= 0, sehingga y
x
dx
dy
−=
b. Jika variabel x dan y kita turunkan terhadap parameter t, maka akan kita
peroleh
2=
dt
dx
sedangkan 12 += t
dt
dy
.
Karena yang akan kita cari adalah
dx
dy
maka
dt
dx
dt
dy
dx
dt
dt
dy
dx
dy
== . =
2
12 +t
.
4.4. Turunan Fungsi Trigonometri dan Siklometri
Rumus dasar dari turunan trigonometri adalah turunan fungsi sinus dan
cosinus, sedangkan turunan fungsi trigonometri yang lainnya dan turunan fungsi
siklometri dapat ditentukan dengan rumus turunan sinus dan cosinus, sifat
turunan, dan aturan rantai.
Turunan rumus sinus dan cosinus diberikan di bawah ini.
64
11. Nomor Fungsi Turunan fungsi
1 y = sin x y’ = cos x
2 y = cos x y’ = - sin x
Bukti:
1.
h
xhx
h
xfhxf
yxy
hh
sin)sin(
lim
)()(
lim'sin
00
−+
=
−+
=⇒=
→→
x
x
h
h
hx
h
hhx
hh
h
cos
2
1
.1.cos2
2
1
.
2
2
sin
lim
2
2
coslim2
2
sin
2
2
cos2
lim
00
0
=
=
+
=
+
=
→→
→
2.
h
xhx
h
xfhxf
yxy
hh
cos)cos(
lim
)()(
lim'cos
00
−+
=
−+
=⇒=
→→
x
x
h
h
hx
h
hhx
hh
h
sin
2
1
.1.sin2
2
1
.
2
2
sin
lim
2
2
sinlim2
2
sin
2
2
sin2
lim
00
0
−=
−=
+
−=
+
−
=
→→
→
Contoh:
1. Carilah turunan fungsi:
a. xy tan=
b. xy cot=
c. xy sec=
d. xy csc=
e. xy arcsin=
65
12. f. xy arctan=
g. xarcy sec=
2. Carilah turunan fungsi:
a. )ln(sin4
xey x
+=
b. )1(sin 22
+= xey x
Penyelesaian:
1.
a.
x
x
xxxx
y
x
x
xy 2
2
pembagianaturan
sec
cos
)sin.(sincoscos
'
cos
sin
tan =
−−
= →==
b.
x
x
xxxx
y
x
x
xy 2
2
pembagianaturan
csc
sin
).(coscos)(sinsin
'
sin
cos
cot −=
−−
= →==
c.
xx
x
xx
y
x
xy tansec
cos
)sin.(1).(cos0
'
cos
1
sec
2
pembagianaturan
=
−−
= →==
d.
xx
x
xx
y
x
xy cotcsc
sin
).(cos1).(sin0
'
sin
1
csc
2
pembagianaturan
−=
−
= →==
e. 2
rantaiaturan
1
1
cos
1
'cos'1sinarcsin
xy
yyyyxxy
−
==⇒= →=⇒=
66
y
x1
2
1 x−
13. f. 2
22rantaiaturan
1
1
cos'sec'1tanarctan
x
yyyyyxxy
+
==⇒= →=⇒=
g. yyyyxxarcy tansec'1secsec
rantaiaturan
= →=⇒=
1
1
cotcos'
2
−
==
xx
yyy
2.
a.
xevvuxeuuyxey xxx
ln,sin),lnsin(,)ln(sin 4rantaiaturan4
+==+== →+=
)ln(sin)lncos()
1
(4)lncos()
1
(4.'
)lncos()
1
(cos')(sin,
1
33
4
xexe
x
exe
x
eu
dx
du
du
du
y
xe
x
evv
dx
dv
v
dv
d
dx
du
x
e
dx
dv
xxxxx
xxx
+++=++==
++===+=
b.
)1(2sin2)1(sin
)1cos()1sin(2.2)1(sin
2).1cos().1sin(2.)1(sin
)1(sin
)1(sin'
)1(sin
222
2222
2222
22
22
perkaliandanrantaiaturan22
+++=
++++=
++++=
+
++=
→+=
xxexe
xxxexe
xxxexe
dx
xd
ex
dx
de
y
xey
xx
xx
xx
x
x
x
4.5. Turunan Tingkat Tinggi
Jika f fungsi yang dapat diturunkan, maka turunannya (f ’) juga berupa
fungsi. Jika f ‘ mempunyai turunan, maka turunan f’ kita notasikan dengan f ’’.
Notasi lain untuk turunan kedua dari y = f(x) adalah
67
y
x
1
2
1 x+
y
x
1
12
−x
14. )(2
2
2
xfD
dx
yd
dx
dy
dx
d
==
.
Umumnya turunan ke-n dari y = f(x) dinyatakan dengan
( ) )()(
xfD
dx
yd
y n
n
n
n
== .
Contoh:
1. Carilah 2
2
dx
yd
dari :
a. x2
+ y2
= 25
b. y = ln t, x = et
c. y = t2t
e + , x = ln (et
+1)
2. Carilah turunan ke n dari fungsi di bawah ini:
a. kx
ey =
b. xy ln=
Penyelesaian :
1. Dari contoh sub bab sebelumnya telah diperoleh
dx
dy
dari x2
+ y2
= 25, yaitu
y
x
dx
dy
−= .
Karena
−=
=
y
x
dx
d
dx
dy
dx
d
dx
yd
2
2
Dan mengingat y adalah fungsi dari x, dengan aturan pembagian dan aturan
rantai, diperoleh
3
22
22
.
.1...
y
xy
y
y
xxy
y
dx
dyx
dx
dxy
y
x
dx
d +
−=
−−
−=
−
−=
−
68
15. Jadi 3
22
2
2
.
y
xy
dx
yd +
−=
2.a. y = ln t, x = et
dt
dx
dt
dy
dx
dt
dt
dy
dx
dy
== . =
t
e
t
1
= t
te
1
dt
dx
dt
dx
dyd
dx
dt
dt
dx
dyd
dx
dy
dx
d
dx
yd
=
=
= .
2
2
=
Oleh karena tt
tt
t
et
t
et
tee
tedt
d
dx
dy
dt
d
222
11 +
−=
+
−=
=
dan
t
e
dt
dx
= maka
tt
t
et
t
e
et
t
dx
yd
22
2
2
2
1
1
+
−=
+
−
= .
b. y = tt
e +2
, x = ln (et
+1)
dt
dx
dt
dy
dx
dy
= =
)1e(
e
e)1t2(
t
t
t2t
+
+ +
= 2tt
e)1e)(1t2( ++
dt
dx
dt
dx
dyd
dx
dx
dyd
dx
yd
2
2
=
=
=
)1te(
t
2ttt2t2tt
e
e)1e)(1t2(t2e)1t2(e)1e(2
+
+
++++++
69
16. = t2t2t2ttt2t2t
e)1e)(1t2(t2e)1e)(1t2(e)1e(2 −−
+++++++
3. a. kxnnkxkxkxkx
ekyekyekykeyey =⇒⇒=⇒=⇒=⇒= )(32
...''''''
b.
n
n
n
xn
y
xx
y
x
y
x
yxy
)!1(
)1(
...
!2
)1(
2.1
)1(
'''
1
)1(''
1
'ln
1
)(
3
2
3
2
2
−
−
=⇒⇒
−
=
−
=⇒−=⇒=⇒=
−
Latihan 4.
1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut pada titik yang
diberikan.
a. 2
321 xxy −−= di titik (- 2, - 7)
b. 2
1
x
y = , di titik (1,1)
2. Tentukan apakah fungsi di bawah ini mempunyai turunan pada titik yang
diberikan.
a. 1−= xy di x = 1
b. 42
−=xy di x = 2
c.
≤−
>+
=
1,3
1,1
)(
2
2
xx
xx
xf di x = 1
d.
≤−−
>−
=
2,98
2,1
)(
2
2
xxx
xx
xf di x = 2
70
17. 3. Masing-masing bentuk limit di bawah ini menyatakan turunan suatu fungsi
)(xfy = di titik ax = . Tentukan bentuk fungsi, turunan fungsi, dan nilai a
pada setiap kasus.
a.
h
h
h
11
lim
0
−+
→
b.
1
1
lim
9
1 −
−
→ x
x
x
4. Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut:
b. G(s) = (s2
+ s + 1) (s2
+ 2)
c. G(y) = (y2
+ 1) (2y – 7)
d.
dcx
bax
xh
+
+
=)(
e. 2x
c
x
b
ay ++=
5. Carilah persamaan garis singgung pada kurva di titik yang diberikan.
a.
1
2
+
=
x
x
y , di titik (1, 1)
b. xxy += , di titik (1, 2)
c.
1+
=
x
x
y , di titik (4 ; 0,4)
d. xxy = , di titik (1, 1)
6. Carilah titik pada kurva y = x3
– x2
– x + 1 yang garis singgungnya
mendatar.
7. a) Gunakan aturah hasil kali sebanyak dua kali untuk membuktikan bahwa
jika f, g, dan h fungsi-fungsi yang mempunyai turunan, maka berlaku
(fgh)’ = f ‘gh + fg’h + fgh ‘
71
18. b) Gunakan bagian (a) untuk menentukan turunan fungsi
y = ( )( )3214 −++ xxxx
8. Tentukan nilai
1
1
lim
1000
1 −
−
→ x
x
x
9. Tulislah fungsi komposisi dalam bentuk f(g(x)).
Tentukan fungsi sebelah dalam u = g(x) dan fungsi sebelah luar y = f(u).
Kemudian carilah
dx
dy
a. ( )22 64 ++= xxy
b. 3 31 xy +=
c. xxy 72 −=
10. Carilah turunan fungsi-fungsi berikut
a. ( ) ( )12210 1523 +−−= xxxy
b. ( ) 11 342 ++= ssy
11. Carilah turunan pertama dari fungsi di bawah ini :
a. xy + ln y = 1
b. ln x + xy + ey
= 3
c. cos (x + y) – eyx
= x
d. sin xy + ln (x + y) = ex
e. eyx
+ x ln y = sin 2x
12. Carilah nilai turunan pertama dari fungsi di bawah ini pada titik yang
diberikan
a. xy – ln y = x; (0,1)
72
19. b. x + xy + 2y – 1 = 0; (1,0)
c. x3
y + y3
x = 30; (1,3)
d. x2
y2
+ 4xy = 12y; (2,1)
13. Carilah turunan pertama fungsi yang diberikan
a. y = ln t, x = et
b. y = t2t
e + , x = ln (et
+1)
c. y = et
+ 2, x = e-t
+ 5
d. y = et
+ ln t, x = et
+ 1
e. y = te2t
+ t, x = et
+ t
f. y = t3
+ 2t, x = 3t2
+ 5
14. Carilah turunan kedua untuk fungsi-fungsi di bawah ini
a.3x3
+ 3x2
y – 8xy2
+ 2y3
= 0
b. xy + y3
= 2
c. x3
– 4y2
= 3
d. x
xy 33
=
e. )1ln( 23
+= xxy
15. Carilah nilai y’’ dari fungsi di bawah ini pada titik yang diberikan
a.x3
+ y3
= 3xy; (0,0)
b. 2x2
y – 4y3
= 4; (2,1)
c.x2
+ y2
= 25; (3,4)
16. Carilah turunan ke n dari fungsi di bawah ini:
a. xy sin=
b. xy cos=
73
20. c. )sin( baxy +=
d. )cos( qpxy +=
17. Carilah turunan dari fungsi di bawah ini:
e. )5arctan( 2
+
= x
ey
f. )5arccos( xey x
+=
g. )arcsin( 2
baxey x
+=
h. )sec( sin xqpx
eaarcy −= +
@@@
74
