Χρήστος Μαρούγκας, 3 ΓΕΛ Κηφισιάς

1. 3o ΓΕΛ ΚΗΦΙΣΙΑΣ
Διαγώνισμα στους Μιγαδικούς
10 / 10 / 2014
Διάρκεια 3 ώρες
ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: Χρήστος Μαρούγκας
Θέμα Α
Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος;
(α) Ισχύει
4 8 1 i i,       για κάθε  , .
(β) Για οποιοδήποτε μιγαδικό αριθμό z και ν θετικό ακέραιο με z R   , ισχύει
ότι zR .
(γ) Αν για τους μιγαδικούς 1 2 z , z  0 ισχύει: 1 2 z z I , τότε θα ισχύει
1
2
z
I
z
 .
(δ) Για τους μιγαδικούς z και w με
2014 2014 z  w  0z  w  0
(ε) Δίνεται η εξίσωση
2  z  z   0, με , , C και   0. Αν η
εξίσωση έχει δύο ρίζες τότε αυτές είναι συζυγείς μεταξύ τους.
Μονάδες 25
Θέμα Β
Δίνεται η εξίσωση
1
z 1
z
   όπου zC με z  0 .
B1. Να βρείτε τις ρίζες 1 z και 2 z της εξίσωσης. Μονάδες 7
B2. Να αποδείξετε ότι
2015 2015
1 2 z  z  1 Μονάδες 6
B3. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει
1 2 w86i  3 z  z τότε να βρείτε το γεωμετρικό τόπο που κινούνται οι
εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο. Μονάδες 7
B4. Για τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος Β3, να αποδείξετε ότι
7  w 13 . Μονάδες 5

2. ΘΕΜΑ Γ
Δίνονται οι μιγαδικοί z,w με w  2 και z  w  z  w  8 w
Γ1. Να δειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού w κινείται πάνω σε κύκλο του οποίου
ζητείται το κέντρο του και η ακτίνα του Μονάδες 8
Γ2. Να δειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού z κινείται πάνω σε έλλειψη με μεγάλο
άξονα 2 8 μικρό άξονα 4 και εστιακή απόσταση 4 Μονάδες 8
Γ3. Να δειχθεί ότι z w  2 8 Μονάδες 5
Γ4. Να βρείτε τους μιγαδικούς w και z ώστε z w  2 8 Μονάδες 4
Θέμα Δ
Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z και w για τους οποίους ισχύει η εξίσωση
΅ 2 3 3 2 3 2
x w i x z 0, x
4 2 2
     
έχει μια διπλή ρίζα, την x = 2
Δ1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z στο μιγαδικό επίπεδο
είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ1= 3, καθώς επίσης ότι ο
γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος με
κέντρο Κ(
3 2
2
,
3 2
2
) και ακτίνα ρ2= 3.
Μονάδες 8
Δ2. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο μιγαδικοί αριθμοί, οι εικόνες των οποίων
ανήκουν και στους δύο παραπάνω γεωμετρικούς τόπους.
Μονάδες 5
Δ3. Για τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z1, z2 που ανήκουν στον γεωμετρικό
τόπο του μιγαδικού z να αποδείξετε ότι:
Αν 1 2 z z  3 2 τότε και 1 2 z +z  3 2
Μονάδες 6
Δ4. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z του ερωτήματος Δ1 να βρείτε
εκείνον, για τον οποίο ισχύει: 2 z  zi  zz  21 Μονάδες 6
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ