Άλγεβρα Α΄ Λυκείου [2020 - 21]

Άλγεβρα Α’ Λυκείου
Επιμέλεια: Αλεξάνδρα Στυλιανίδου 1
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Ε1. Το λεξιλόγιο της Λογικής
• ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΗ
«Αν τότε » ή αλλιώς
Όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Q
Σημαντική παρατήρηση: Όλα τα γνωστά μας θεωρήματα και προτάσεις είναι συνεπαγωγές!
π.χ.
• ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ (ΔΙΠΛΗ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΗ)
« αν και μόνο » ή αλλιώς
Όταν αληθεύει ο P να αληθεύει ο Q και όταν
αληθεύει ο Q να αληθεύει ο P.
Σημαντική Παρατήρηση:
-Όλοι οι ορισμοί είναι ισοδυναμίες.
-Το σύμβολο της ισοδυναμίας το χρησιμοποιούμε λύνοντας εξισώσεις/ανισώσεις
κάνοντας ισοδύναμα βήματα έτσι ώστε να μη χάνουμε καμιά λύση
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΗ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ 'Η ΚΑΙ
P
ΥΠΟΘΕΣΗ
! Q
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
! P ⇒ Q
P
ΥΠΟΘΕΣΗ
! Q
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
! P ⇔ Q
i) Αν P: «Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο» η συνεπαγωγή P , ενώ η
συνεπαγωγή P είναι ψευδής
ii) η οποία είναι μια αληθής συνεπαγωγή
⇒ ˆA = 60o
⇒ ˆA = 50o
α = β
P
! ⇒α2
= β2
Q
"#$ %$
30.08.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.com Page 1 of 31

π.χ.
i) ,η οποία ισοδυναμία είναι αληθής
ii) , η οποία ισοδυναμία είναι ψευδής.Στην περίπτωση αυτή
ισχύει η συνεπαγωγή μόνο και όχι η διπλή συνεπαγωγή (ισοδυναμία).
• ΄Η (Διάζευξη)
« ή »
Ένας τουλάχιστον ισχυρισμός να αληθεύει
π.χ.
i) «Ο αριθμός 2 είναι άρτιος» ή ο «4 είναι περιττός» , η οποία διάζευξη είναι αληθής
ii) «Ο 2 είναι περιττός» ή «ο 3 είναι άρτιος», η οποία διάζευξη είναι ψευδής
• ΚΑΙ (Σύζευξη)
« και »
Και οι δύο ισχυρισμοί να αληθεύουν
π.χ.
i)«Ο 2 είναι άρτιος» και «ο 3 είναι περιττός»,η οποία είναι αληθής σύζευξη
ii)«Ο 2 είναι άρτιος» και «ο 3 είναι άρτιος», η οποία είναι ψευδής σύζευξη
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Δίνονται οι προτάσεις: P:Το βράδυ πάω θέατρο
Q:Χρειάζομαι 25€
Να διατυπώσετε τη συνεπαγωγή και τη συνεπαγωγή .Είναι η συνεπαγωγή αληθής
σαν πρόταση;
2. Δίνονται οι προτάσεις: P:
Q:
Να διατυπώσετε τη συνεπαγωγή και τη συνεπαγωγή .Είναι η συνεπαγωγή αληθής
σαν πρόταση;Ισχύει η διπλή συνεπαγωγή(ισοδυναμία);
3. Η έκφραση σημαίνει ότι :
i) ή
ii) και
x = 3
P
! ⇔ 2x +1= 6 +1
Q
" #$$ %$$
α = β ⇔ α 2
= β2
P Q
P Q
P ⇒ Q Q ⇒ P Q ⇒ P
x = 3
x2
= 9
P ⇒ Q Q ⇒ P Q ⇒ P
x ≥ 2
x > 2 x = 2
x > 2 x = 2

Ε2. Σύνολα
-Τι είναι Σύνολο;
Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη
διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.
Τα αντικείμενα αυτά, που αποτελούν το σύνολο, ονομάζονται στοιχεία ή μέλη του
συνόλου.
-Ποια γνωστά Σύνολα αριθμών γνωρίζουμε;
• με ℕ συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών,
• με ℤ το σύνολο των ακεραίων αριθμών,
• με ℚ το σύνολο των ρητών αριθμών και
• με ℝ το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
• Ισα Σύνολα
«Δύο σύνολα είναι ίσα όταν έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία»
π.χ. Τα σύνολα Α={1,2,3} , Β={3,1,2} και Γ={1,1,2,3} είναι ίσα και το συμβολίζουμε: Α=Β=Γ.
• και
Το σύμβολο το χρησιμοποιούμε όταν ένα στοιχείο ανήκει σε ένα σύνολο π.χ. , ,
Το σύμβολο το χρησιμοποιούμε όταν ένα στοιχείο δεν ανήκει σε ένα σύνολο π.χ. ,
,
• Το κενό σύνολο
«Είναι το σύνολο το οποίο δεν έχει κανένα στοιχείο»
Συμβολισμός: ή { }
π.χ. ,
Προσοχή!! Δεν είναι το σύνολο που περιέχει το στοιχείο 0.
∈ ∉
∈ 1∈! 4 ∈!
2 ∈R
∉ 2 ∉!
3 ∉! −5 ∉!
∅
Α = {x / x2
= −5} B = {x / x > 4 και x < 3}
Τρόποι αναπαράστασης συνόλου
Με αναγραφή
στοιχείων του Με περιγραφή
Διάγραμμα
Venn

• Η έννοια του υποσυνόλου
«Όταν όλα τα στοιχεία ενός συνόλου Α ανήκουν στο σύνολο Β, τότε το Α καλείται υποσύνολο του Β
και συμβολίζεται »
-Το κενό σύνολο θεωρείται υποσύνολο κάθε συνόλου Α δηλ.:
-Κάθε σύνολο θεωρείται υποσύνολο του εαυτού του δηλ.:
-Για τα σύνολα των αριθμών ισχύει:
• Πράξεις με σύνολα
Τομή
Συμβολισμός:
Ορισμός: Περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν ταυτόχρονα και στο σύνολο Α και στο σύνολο Β.
Διάγραμμα Venn:
Ένωση
Συμβολισμός:
Ορισμός: Περιέχει τα κοινά και μη κοινά στοιχεία των συνόλων Α,Β.
Α ⊆ Β
∅ ⊆ Α
Α ⊆ Α
! ⊆ " ⊆ # ⊆ $
Α∩Β
Α∩Β = {x ∈Ω / x ∈Aκαι x ∈B}
Α∪Β
Α∪Β = {x ∈Ω / x ∈A η x ∈B}

Συμπλήρωμα
Συμβολισμός: Α’
Ορισμός:Περιέχει τα στοιχεία που δεν ανήκουν στο Α
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1.
i) Η τομή των συνόλων Κ={α,β,γ} και Λ={β,γ,δ} είναι:
α.{α,β,γ,δ} β.{α} γ.{δ} δ.{β,γ} ε.{β,γ,δ}
ii) Αν Κ={0,3,5} ,Λ={0}, Μ={3,5}, Ν={5,3} τότε είναι:
α. β. γ. δ. ε.
iii) Αν Α και Β δύο σύνολα τότε το συμβολίζει:
α.την τομή β.την ένωση γ. το συμπλήρωμα του Α
2. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α μ’ένα στοιχείο της στήλης Β:
1 2 3 4 5
3. Να συμπληρώσετε τα κενά αν Ω: βασικό σύνολο, Α,Β υποσύνολα του Ω με και το κενό
σύνολο:
i) .... ii) .... iii) .... iv) ....
v) .... vi) .... vii) .... viii) ....
ix) .... x) .... xi) .... xii)
....
4. Σημειώστε το μικρότερο σύνολο αριθμών που ανήκουν οι παρακάτω αριθμοί:
i) .... ii) .... iii) ..... iv) ....
v) ....
vi) .... vii)
....
viii)
....
Κ ⊆ Λ Λ ⊆ Μ Μ ⊆ Λ Ν ⊆ Κ Ν ⊆ Λ
Α∪Β
Α ⊆ Β ∅
Α∪ Ω = Α∪∅ = Α∪ Α' = Α∪Β =
Α∩ Ω = Α∩∅ = Α∩Α' = Α∩Β =
Ω' = ∅' = (Α')' = Ω ∪ Ω' =
−23,5 ∈ 110 ∈ 1,43∈ π ∈
225 ∈ 4
9
∈ −
165
3
∈
2, 3 ∈
ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β
1. Α.Το σύνολο των ακεραιών αριθμών
2. Β.Το σύνολο των πραγματικών αριθμών
3. Γ.Το σύνολο των φυσικών αριθμών
4. Δ.Το σύνολο των άρρητων αριθμών
5. Ε.Το σύνολο των ρητών αριθμών
!
!
!
!
! − "

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2o : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους
Ιδιότητες πράξεων
Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός
Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα
Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ
Ουδέτερο Στοιχείο α + 0 = α α ·1 = α
Αντίθετος/Αντίστροφος Αριθμού α + (-α) = 0 α ·
!
"
= 1, α ≠ 0
Επιμεριστική α( β + γ) = αβ + αγ
o Ο αριθμός 0 λέγεται και ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, διότι προστιθέμενος σε οποιονδήποτε
αριθμό δεν τον μεταβάλλει.
o Ο αριθμός 1 λέγεται και ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, διότι οποιοσδήποτε αριθμός
πολλαπλασιαζόμενος με αυτόν δεν μεταβάλλεται.
Βασικές Ισοδυναμίες
𝛂 ∙ 𝛃 = 𝟎 ⇔ 𝛂 = 𝟎 ή 𝛃 = 𝟎
𝛂 ∙ 𝛃 ≠ 𝟎 ⇔ 𝛂 ≠ 𝟎 𝛋𝛂𝛊 𝛃 ≠ 𝟎
Ιδιότητες Δυνάμεων
𝟏. 𝛼!
∙ 𝛼"
= 𝛼!#"
𝟐.
𝛼!
𝛼"
= 𝛼!$"
𝟑. 𝛼!
∙ 𝛽!
= ( 𝛼 ∙ 𝛽)!
𝟒.
𝛼!
𝛽!
= -
𝛼
𝛽
.
!
𝟓. ( 𝛼!)"
= 𝛼!∙"
Αν επιπλέον είναι 𝛼 ≠ 0, τότε ορίσαμε ότι:
o 𝑎!
= 1
o 𝑎"#
=
$
%!

Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών αυτών
λέγεται ταυτότητα.
Αξιοσημείωτες ταυτότητες
o ( 𝑎 + 𝛽)&
= 𝛼&
+ 2𝛼𝛽 + 𝛽&
o ( 𝑎 + 𝛽)&
= 𝛼&
+ 2𝛼𝛽 + 𝛽&
o 𝛼&
− 𝛽&
= ( 𝛼 + 𝛽)( 𝛼 − 𝛽)
o ( 𝑎 + 𝛽)'
= 𝛼'
+ 3𝛼&
𝛽 + 3𝛼𝛽&
+ 𝛽'
o ( 𝑎 − 𝛽)'
= 𝛼'
− 3𝛼&
𝛽 + 3𝛼𝛽&
− 𝛽'
o 𝛼'
+ 𝛽'
= ( 𝛼 + 𝛽)( 𝛼&
− 𝛼𝛽 + 𝛽&)
o 𝛼'
− 𝛽'
= ( 𝛼 − 𝛽)( 𝛼&
+ 𝛼𝛽 + 𝛽&)
o ( 𝑎 + 𝛽 + 𝛾)&
= 𝛼&
+ 𝛽&
+ 𝛾&
+ 2𝛼𝛽 + 2𝛽𝛾 + 2𝛾𝛼
Ερωτήσεις Κατανόησης
1. Να εξετάσετε αν είναι σωστοί ή λάθος οι παρακάτω ισχυρισμοί:
Σωστό Λάθος
1) (−𝛼)#
= 𝛼#
2) (−𝛼 + 𝛽)#
= 𝛼#
− 2𝛼𝛽 + 𝛽#
3) (−𝛼 − 𝛽)#
= 𝛼#
− 2𝛼𝛽 + 𝛽#
4) (−𝛼 − 𝛽)$
= (𝛼 + 𝛽)$
5) (𝛼 − 𝛽)%
= (𝛽 − 𝛼)%
6) Η παράσταση (𝛼 − 2)&
ορίζεται για 𝛼 ≠ 2
7)
Αν οι αριθμοί α, β είναι αντίστροφοι,
τότε 𝛼#&#&
∙ 𝛽#&#&
= 1
8)
Αν ο αριθμοί α, β είναι αντίθετοι ,
τότε (𝛼 + 𝛽)#&#&
= 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Αν 𝑥 =
!
"#"#
και 𝑦 = 2020, να υπολογίσετε την παράσταση:
𝛢 = −6(𝑥 − 𝑦)𝑥 − 3[ 𝑥 − (𝑥 + 𝑦)𝑥 − 𝑥(𝑥 + 𝑦)] + 3𝑥
[Α=12]
2. Έστω ότι οι αριθμοί 𝛼 = 3𝑥 – 5𝑦 + 1 και 𝛽 = – 𝑥 + 3𝑦 + 3 είναι αντίθετοι .
α) Να δείξετε ότι 𝑥 – 𝑦 = – 2 .
β) Αν επιπλέον ισχύει 3𝑥 ( 𝑦 – 2 ) – 2𝑦 ( 2𝑥 – 3 ) = 11 , να δείξετε ότι οι αριθμοί 𝑥 , 𝑦
είναι αντίστροφοι .
3. α) Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς 𝑥, 𝑦 ισχύει:
(𝑥 − 1)#
+ (𝑦 + 3)#
= 𝑥#
+ 𝑦#
− 2𝑥 + 6𝑦 + 10
β) Αν ισχύει: 𝛼#
𝛽 − 𝛽 = 𝛼 − 𝛼𝛽#
(𝛼, 𝛽 ≠ 0) να δείξετε ότι οι αριθμοί α, β είναι αντίθετοι ή
αντίστροφοι.
4. α) Να αποδείξετε ότι :
(2𝑥 + 𝑦)#
+ (𝑥 – 2𝑦)#
+ 5(𝑥 + 𝑦)(𝑦 − 𝑥) = 10𝑥#
β) Να αποδείξετε την ταυτότητα :
4(𝛼 + 𝛽)#
+ (4𝛼 − 𝛽)#
= 5[(2𝛼 + 𝛽)#
– 4𝛼𝛽]
5. Δίνεται η παράσταση:
𝐴 = [(𝑥%
∙ 𝑦)(%
∙ (𝑦 ∙ 𝑥%
)#
] ∶ G
𝑦(#
𝑥%
H
#
Να απλοποιήσετε την παράσταση και να βρείτε την τιμή της στην περίπτωση που οι αριθμοί
𝑥, 𝑦 είναι αντίστροφοι.
[𝐴 = 1]
6. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:
α) 𝛢 = 𝑥#(𝑥#
𝑦%)#(𝑥(!)(%
, όταν 𝑥%
𝑦#
= −2
β) 𝐵 = [ 𝑥#(𝑥𝑦#)%]%
: [( 𝑥(#
𝑦(%)(#]%
, όταν 𝑥 = −3
[ α) −8 β) −27 ]

7. Να αποδείξετε ότι:
𝑖)
𝛼%
+ 𝛽%
(𝛼 − 𝛽)# + 𝛼𝛽
= 𝛼 + 𝛽
𝑖𝑖) L𝑎 +
4
𝑎
N
#
− L𝑎 −
4
𝑎
N
#
= 16
8. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις:
𝑖)
𝛼%
+ 𝛽%
(𝛼 − 𝛽)# + 𝛼𝛽
𝑖𝑖)
𝛼%
− 𝛽%
(𝛼 + 𝛽)# − 𝛼𝛽
𝑖𝑣)
𝑥#
+ 𝑥 + 1
𝑥 + 1
∙
𝑥#
− 1
𝑥% − 1
𝑣)
𝑥%
− 2𝑥#
+ 𝑥
𝑥# − 𝑥
[𝑖) 𝛼 + 𝛽 𝑖𝑖) 𝑎 − 𝛽 𝑖𝑖𝑖) 1 𝑖𝑣) 𝑥 − 1 ]
9. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις:
𝑖)
𝑥%
− 8
𝑥# − 4
:
𝑥#
+ 2𝑥 + 4
𝑥% + 8
𝑖𝑖)
1
𝑥# −
1
𝑦#
1
𝑥
+
1
𝑦
∶
𝑥𝑦
𝑥 − 𝑦
𝑖𝑖𝑖)
𝑥%
− 8𝑥#
+ 16𝑥
𝑥# − 4𝑥
𝑖𝑣)
𝑥%
− 𝑥#
− 𝑥 + 1
𝑥# − 2𝑥 + 1
𝑣) G𝑥 +
𝑦#
𝑥 − 𝑦
H ∙
𝑥#
− 2𝑥𝑦 + 𝑦#
𝑥% + 𝑦%
[𝑖) 𝑥"
− 2𝑥 + 4 𝑖𝑖) −
#!$"#%&%!
#!%! 𝑖𝑖𝑖) 𝑥 − 4 𝑖𝑣) 𝑥 + 1 𝑣)
#$%
#&%
]
10.Να δειχθεί ότι η παράσταση :
𝐴 =
(𝑥#
− 10𝑥 + 25)%(𝑥 + 5)%
(5 − 𝑥)%(25 − 𝑥#)%
είναι ανεξάρτητη της μεταβλητής 𝑥 (𝑥 ≠ ±5).
[Α=1]

11.Να αποδείξετε ότι:
𝛼) RS
!
)
− 1T S1 +
!
)
+
!
)!
TU : S
!
)"
− 1T = 1
𝛽) V
1
𝛽
1 −
𝛽
𝛼
−
1
𝛼
𝛼
𝛽
− 1
W : L
1
𝛽
+
1
𝛼
N = 1
12.α) Να απλοποιηθεί η παράσταση (𝛼 + 𝛽)#
− (𝛼 − 𝛽)#
.
β) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης !
!"!"
!"!#
+
!"!#
!"!"
#
!
− !
!"!"
!"!#
−
!"!#
!"!"
#
!
.
[β) 4]
13. Αν 𝛼 – 𝛽 = − 2 και 𝛼𝛽 = 8 , τότε να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων :
i) 𝑎#
+ 𝛽#
ii) 𝛼%
– 𝛽%
14.Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με πλευρές 𝛼 = 𝑥#
+ 𝑦#
, 𝛽 = 𝑥#
− 𝑦#
και 𝛾 = 2𝑥𝑦 είναι
ορθογώνιο.
15.Αν 𝑥𝑦(2𝑦 − 𝑥) ≠ 0 να δείξετε ότι είναι ανεξάρτητη των 𝑥, 𝑦 η παράσταση:
1
1 −
𝑥
2𝑦
+
1
1 −
2𝑦
𝑥
[1]

2.2 Διάταξη πραγματικών αριθμών
Ορισμός
Ένας αριθμός α είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό β, αν και μόνο η διαφορά 𝛼 − 𝛽 είναι
θετικός αριθμός. Δηλαδή: 𝛼 > 𝛽 ⇔ 𝛼 − 𝛽 > 0 .
Άμεσες συνέπειες του ορισμού
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Ιδιότητες
1.
2.
3. Αν , τότε:
4. Αν , τότε:
5. Αν , τότε:
6. Αν , τότε:
7.
8. Αν ισχύει:
9. Δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε κατά μέλη ανισώσεις
10. Δεν μπορούμε να διαιρέσουμε κατά μέλη ανισώσεις
11. Αν και 𝜈 ∈ ℕ∗
ισχύει:
12. Αν και 𝜈 ∈ ℕ∗
ισχύει:
( )α 0 και β 0 α β 0> > Þ + >
( )α 0 και β 0 α β 0< < Þ + <
α, β οµόσηµοι α β 0Û × >
α
α, β οµόσηµοι 0
β
Û >
α, β ετερόσηµοι α β 0Û × <
α
α, β ετερόσηµοι 0
β
Û <
2
α 0³
2 2
α β 0 α 0 και β 0+ = Û = =
2 2
α β 0 α 0 ή β 0+ > Û ¹ ¹
( )α β και β γ α γ> > Þ >
α β α γ β γ> Û ± > ±
γ 0> α β α γ β γ< Û × < ×
γ 0>
α β
α β
γ γ
< Û <
γ 0< α β α γ β γ< Û × > ×
γ 0>
α β
α β
γ γ
< Û >
( )α β και γ δ α γ β δ< < Þ + < +
( )α, β, γ, δ 0,Î +¥ ( )α β και γ δ α γ β δ< < Þ × < ×
( )α,β 0,Î +¥
ν ν
α β α β< Û <
( )α,β 0,Î +¥
ν ν
α β α β= Û =

Διαστήματα
ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ
1) Αν 𝒙 < 𝟎 και 𝒚 < 𝟎 τότε 𝒙 + 𝒚 < 𝟎
2) Αν 𝒙 < 𝟎 και 𝒚 < 𝟎 τότε 𝒙𝒚 > 𝟎
3) Αν 𝟎 < 𝒙 < 𝒚 τότε
𝟏
𝒙
<
𝟏
𝒚
4) Αν 𝜶 < 𝜷 και 𝜸 < 𝜹 τότε 𝜶 + 𝜸 < 𝜷 + 𝜹
5) Αν 𝜶 < 𝜷 και 𝜸 < 𝜹 τότε 𝜶 − 𝜸 < 𝜷 − 𝜹
6) Αν 𝜶 < 𝜷 και 𝜸 < 𝟎 τότε 𝜶 ∙ 𝜸 > 𝜷 ∙ 𝜸
7) Αν α, β ομόσημοι τότε 𝜶 < 𝜷 ⇔
𝟏
𝜶
>
𝟏
𝜷
8) Αν 𝜶 ∈ (−∞, 𝟎) τότε 𝜶 < 𝟎
9) Αν 𝜶 < 𝟎 τότε −𝜶 > 𝟎
10) Αν 𝜶 < 𝜷 τότε 𝜶 𝝂
< 𝜷 𝝂
11) Αν 𝒙 ∈ ℝ∗
τότε 𝐱 ≠ 𝟎
1) Ισχύει ότι 𝒙 𝟐
> 𝟎 , για κάθε 𝒙 ∈ ℝ
+ 𝟐 > 𝟎 , για κάθε 𝒙 ∈ ℝ
3) Αν 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
= 𝟎 , τότε 𝒙 = 𝟎 ή 𝒚 = 𝟎
4) Αν 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
= 𝟎 , τότε 𝒙 = 𝟎 και 𝒚 = 𝟎
5) Αν 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
≠ 𝟎 , τότε 𝒙 ≠ 𝟎 και 𝒚 ≠ 𝟎
6) Αν 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
> 𝟎 , τότε 𝒙 ≠ 𝟎 ή 𝒚 ≠ 𝟎
7) Αν 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
≤ 𝟎 , τότε 𝒙 = 𝟎 και 𝒚 = 𝟎
+ 𝒚 𝟐
< 𝟎 , για κάθε 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ
α χ β£ £ [ ]α,β
α χ β£ < [ )α,β
α χ β< £ ( ]α,β
α χ β< < ( )α,β
x α³ [ )α,+¥
χ α> ( )α,+¥
x α£ ( ],α-¥
χ α< ( ),α-¥

ΑΣΚΗΣΕΙΣ
α) 𝛼#
+ 2𝛼 ≥ −1 β) 4𝑥#
+ 1 ≥ 4𝑥 γ) 𝛼#
+ 9 ≥ 6𝛼
δ) 𝛼#
+ 16 ≥ 8𝛼 ε) 2(𝛼#
+ 𝛽#) ≥ (𝛼 − 𝛽)#
ζ) (𝛼 − 𝛽)#
+ 8𝛽#
≥ 4𝛼𝛽
α) 𝛼#
+ 𝛼𝛽 + 𝛽#
≥ 0 β) 𝛼#
− 4𝛼 + 5 ≥ 0 γ) 2𝛼#
− 4𝛼 + 𝛼 ≥ 0
α) 𝛼#
+ 𝛽#
− 4𝛼 + 2𝛽 + 5 ≥ 0
β) 𝑥#
+ 𝑦#
− 2𝑥 + 1 ≥ 0
γ) 2𝑥#
+ 𝑦#
− 2𝑥𝑦 + 2𝑥 + 1 ≥ 0
Πότε ισχύουν οι ισότητες;
4. Να λύσετε τις εξισώσεις:
α) (2𝑥 − 4)#
+ (𝑦 + 1)#
= 0
β) (2𝑥 − 𝑦)#
+ (𝑦 − 2)#
= 0
γ) (𝑥 − 4)#
+ 𝑦#
= 0
5. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς 𝑥, 𝑦 σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις:
α) 𝑥#
+ 𝑦#
− 6𝑥 + 4𝑦 + 13 = 0
β) 𝑥#
+ 2𝑦#
− 2𝑥 + 4𝑦 + 3 = 0
γ) 𝛼#
+ 𝛽#
− 4𝛼 + 2𝛽 + 5 = 0
6. Να βρείτε τις τιμές των 𝑥, 𝑦 για τις οποίες ισχύει : 5𝑥#
+ 4𝑥 + 𝑦#
− 2𝑥𝑦 + 1 = 0.
[𝑥 = 𝑦 = −
!
#
]
7. *Να βρείτε τις τιμές των 𝑥, 𝑦 για τις οποίες ισχύει:
α) (𝑥 − 2)#
+ (𝑦 − 1)#
> 0
β) (−𝑥 − 1)#
+ (1 − 𝑦)#
≤ 0
γ) 2𝑥#
+ 𝑦#
+ 4 − 2𝑥𝑦 − 4𝑥 ≤ 0
δ) 𝑥#
+ 𝑦#
+ 20 ≤ 4(2𝑦 − 𝑥)
ε) 2𝑥#
+ 𝑦#
+ 9 ≤ 2𝑥(3 − 𝑦)

8. Αν 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 και 2 ≤ 𝑦 ≤ 5 ,να βρείτε τα όρια µεταξύ των οποίων περιέχεται η τιµή καθεµιάς
από τις παρακάτω παραστάσεις:
𝛼) 2𝑥 + 𝑦 𝛽) 𝑥 − 3𝑦 𝛾) 𝑥𝑦 𝛿)
𝑥
𝑦
𝜀) 𝑥#
+ 𝑦#
𝜎𝜏) 𝑥#
− 𝑦#

9. Αν 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 και. 3 ≤ 𝑦 < 5 , να βρείτε μεταξύ ποιών τιμών βρίσκονται οι παραστάσεις:
α) 2𝑥 + 𝑦 β) 3𝑥 − 2𝑦
γ)
"$
%
δ) 2𝑥#
+ 𝑦#
[a) 5 ≤ 2𝑥 + 𝑦 < 9 β)−7 < 3𝑥 − 2𝑦 ≤ 0 γ)
"
'
<
"#
%
≤
(
)
δ)11 ≤ 2𝑥"
+ 𝑦"
< 33
10.*Αν είναι 2 < 𝑥 < 8 ,να βρείτε μεταξύ ποιών τιμών βρίσκονται ο παραστάσεις:
α) 2𝑥 β) −2𝑥 γ)
!
$
+2 δ) 1 −
!
!&$
ε)
"$&'
$
ζ) 𝑥#
η) 1 − 𝑥%
[a) 4 < 2𝑥 < 16 β)−16 < −2𝑥 < −4 γ)
*+
,
<
*
#
+2 <
'
"
δ)
,
+
< 1 −
*
*$#
< 2 ε)
*
,
<
"#$)
#
<
*)
"
ζ) 4 < 𝑥"
< 64
η)−511 < 1 − 𝑥)
< −7 ]
11.Για τους πραγματικούς αριθμούς α , β ισχύουν: 2 ≤ 𝛼 ≤ 4 και −4 ≤ 𝛽 ≤ −3 .
Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις:
α) 𝛼 − 2𝛽
β) 𝛼#
− 2𝛼𝛽
12.Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει μήκος x εκατοστά και πλάτος y εκατοστά, αντίστοιχα. Αν για τα
μήκη x και y ισχύει: 4 ≤ 𝑥 ≤ 7 και 2 ≤ 𝑦 ≤ 3 τότε:
α)Να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της περιμέτρου του ορθογωνίου
παραλληλογράμμου
β) Αν το 𝑥 μειωθεί κατά 1 και το 𝑦 τριπλασιαστεί, να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται
η τιμή της περιμέτρου του νέου ορθογωνίου παραλληλογράμμου.
13.Δίνονται οι παραστάσεις:
𝐾 = 2𝛼#
+ 𝛽#
+ 9 και 𝛬 = 2𝛼(3 − 𝛽) , όπου 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ
α) Να δείξετε ότι:
𝛫 − 𝛬 = (𝛼#
+ 2𝛼𝛽 + 𝛽#) + (𝛼#
− 6𝛼 + 9)
β) Να δείξετε ότι : 𝛫 ≤ 𝛬 , για κάθε τιμή των 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ
Για ποιες τιμές των α, β ισχύει η ισότητα 𝛫 = 𝛬; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

14.Αν 𝛼𝛽 > 0, τότε να δειχθεί ότι:
(
)
+
)
(
> 2.
15.Αν 𝛼, 𝛽 ετερόσημοι τότε να δείξετε ότι:
(
)
−
)
(
≤ −2.
16.Αν 𝛼 > 1 , τότε: 𝛼%
> 𝛼#
− 𝛼 + 1.
17.Αν 𝛼 > 0 και 𝛽 > 0 , να αποδείξετε ότι: (𝛼 − 𝛽) S
!
2
−
!
3
T ≥ 4.
18.Αν α, β > 0 και α + β =1 , να αποδείξετε ότι :
α) α < 1 β) β < 1 γ) αβ ≤
!
$
δ) α2 + β2 ≥
!
#

19.Να γράψετε σε μορφή διαστήματος τα σύνολα των αριθμών που ικανοποιούν τις σχέσεις:
α) 2 ≤ 𝑥 ≤ 6 β) 2 < 𝑥 ≤ 6 γ) 2 < 𝑥 < 6
δ) −4 < 𝑥 ≤ 3 ε) 𝑥 > 1 ζ) 𝑥 ≤ −3
η) 𝑥 > 4 θ) 𝑥 < 0 ι) 𝑥 ≥ −1

2.3 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού
Ορισμός
Ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α και συμβολίζουμε τον ίδιο τον
αριθμό αν αυτός δεν είναι αρνητικός τον αντίθετο του αν είναι αρνητικός. Δηλαδή:
Γεωμετρική Ερμηνεία του ορισμού
Απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α είναι η απόσταση του σημείου στο οποίο
παριστάνεται ο αριθμός στον άξονα των πραγματικών αριθμών, από την αρχή του άξονα.
Συνέπειες του ορισμού
1.
2.
3.
4.
5.
Ιδιότητες
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
α
α, α 0
α
α, α 0
³ì
= í
- <î
α α 0= - ³
α α³
α α³ -
α α α- £ £
2 2
α α=
θ 0
x θ x θ ή x θ
³
= Þ = - =
θ 0
x θ αδύνατη
<
= Þ
x θ x θή x θ= Þ = - =
θ 0
x θ θ x θ
³
£ Þ- £ £
θ 0
x θ αδύνατη
<
£ Þ
θ 0
x θ x θ ή x θ
³
³ Þ £ - ³
θ 0
x θ αόριστη
<
³ Þ

Ιδιότητες (με απόδειξη)
1.
Απόδειξη
, που ισχύει.
2.
3.
Απόδειξη
, που ισχύει.
•
•
•
•
•
1) Για κάθε πραγματικό αριθμό 𝜶 ισχύει |𝜶| > 𝟎
2) Αν |𝜶| = −𝜶, 𝝉ό𝝉𝜺 𝜶 < 𝟎
3) Ισχύει ότι: |𝜶 − 𝜷| = |𝜷 − 𝜶|
4) Ισχύει ότι: |𝜶| − 𝜶 ≥ 𝟎
5) Ισχύει ότι: |𝜶| 𝟐
− 𝜶 𝟐
= 𝟎
6) Ισχύει ότι: |𝜶| 𝟑
= 𝜶 𝟑
7) Ισχύει ότι |𝜶 + 𝜷| = |𝜶| + |𝜷|
8) Ισχύει ότι |𝜶 + 𝜷| ≤ |𝜶| + |𝜷|
9) |𝜶| + |𝜷| = 𝟎 ⇔ 𝜶 = 𝟎 𝜿𝜶𝜾 𝜷 = 𝟎
10) |𝜶| + |𝜷| > 𝟎 ⇔ 𝜶 ≠ 𝟎 𝜿𝜶𝜾 𝜷 ≠ 𝟎
α β α β× =
α β α β× = Û ( )
22
α β α β× = Û ( )
2 22
α β α β× = × Û 2 2 2 2
α β α β× = ×
αα
β β
=
α β α β+ £ +
α β α β+ £ + Û ( )
22
α β α β+ £ + Û ( )
2 22
α β α 2 α β β+ £ + + Û
Û 2 2 2 2
α 2αβ β α 2 αβ β+ + £ + + Û 2αβ 2 αβ£ Û αβ αβ£
2 2
α β 0 α 0 καιβ 0+ = Þ = =
2 2
α β 0 α 0 ήβ 0+ ¹ Þ ¹ ¹
α β 0 α 0 καιβ 0+ = Þ = =
α β 0 α 0 ήβ 0+ ¹ Þ ¹ ¹
α β β α- = -

ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς απόλυτες τιμές:
α) |𝜋 − 5|
β) |𝜋 − 4| + |𝜋 − 3| + |5 − 𝜋|
γ) |2%
− 2$| − |2$
− 2%|
2. Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων:
α) •√6 + 3• + •√5 − 3• − •1 − √6• + •2 − √5•
β) |5 − 𝜋| + •√8 + 𝜋• − •−√8 − 3•
3. Να γράψετε χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής τις παρακάτω παραστάσεις:
𝛼) |−𝑥#| β) |𝑥#
− 2𝑥 + 1| γ) |𝑥#
+ 5| δ) |−𝑥#
− 1|
4. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:
𝛢 = |𝛼#
+ 3| + |−𝛼#
− 7|
𝛣 = |−𝛼#
+ 6𝛼 − 9| − |𝛼#
− 4𝛼 + 4|
5. Να απλοποιηθεί η παράσταση: 𝛢 = •1 − √2• − •5 + √2• + |−𝑥#
− 2| − |𝑥#
+ 4| , 𝑥 ∈ ℝ .
6. Αν 𝛼 < 2 < 𝛽, να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:
α) 𝛢 = |𝛼 − 2| − |2 − 𝛽|
β) 𝛣 = |𝛼 − 2| + |𝛽 − 2|
γ) 𝛤 = |𝛽 − 𝛼| − 2|𝛼 − 𝛽|
7. Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση:
|𝑥 − 5| − |7 − 𝑥| , όταν:
α) 𝑥 < 5
β) 𝑥 > 7
8. Να αποδείξετε ότι αν 0 < 𝑥 < 2 , τότε οι επόμενες παραστάσεις:
𝛢 = |𝑥 + 1| + |𝑥 + 2| + 2|𝑥 − 2| και 𝛣 = |𝑥 − 2| + |2𝑥 − 5| + |3𝑥|
είναι ανεξάρτητες του 𝑥 .

9. Αν είναι −1 < 𝑥 < 2 να γράψετε την παρακάτω παράσταση χωρίς απόλυτα:
𝐾 = 2|𝑥 + 1| + 3|𝑥 + 2| + 6|𝑥 − 2|
10.Αν 𝛼 < 3 < 𝛽 , να αποδειχθεί ότι: |3 − 𝛼| + |𝛼 − 𝛽| − |3 − 𝛽| + 2𝛼 = 6 .
11.Αν 𝛼 < 𝛽 < 𝛾 , να γράψετε χωρίς την απόλυτη τιμή την παράσταση:
𝛢 = 3|𝑎 − 𝛽| − 2|𝛾 − 𝛼| + 3|𝛽 − 𝛾|
12.Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση: 𝛢 = | 𝑥 + 2| + |𝑥 − 2| όταν:
α) 𝑥 < −2 β) −2 ≤ 𝑥 ≤ 2 γ) 𝑥 > 2
13. Αν 𝑎 < 2 < 𝛽 , να απλοποιηθεί η παράσταση: 𝛢 = |𝛼 − 𝛽| − |𝛽 − 2| + |𝛼 − 2| − 2|𝛼 − 3|
14. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής.
(α) 𝐴 = |𝑥 − 6| (β) 𝐵 = |𝑥 + 1| + 2 (γ) 𝐵 = |𝑥 + 2| + 𝑥 (δ) 𝛥 = 𝑥 − |𝑥|
15. Να απλοποιήσετε τα παρακάτω κλάσματα:
𝛼) 𝛢 =
4𝑥#
− 4|𝑥| + 1
4𝑥# − 1
, 𝑥 ≠ ±
1
2
𝛽) 𝛣 =
|𝑥|5
− 𝑥6
|𝑥|% − 𝑥$
, 𝑥 ≠ 0, 𝑥 ≠ ±1
𝛾) 𝛣 =
|2𝛼 − 4| + |4 − 𝛼#|
|𝛼 − 2|
, 𝛼 > 5
α) (𝑥 − |𝑥|)(𝑥 + |𝑥|) = 0
β) 2•|𝑥| − 𝑥• − 3•𝑥 + |𝑥|• + |𝑥| + 5𝑥 = 0
17. Αν 𝑥 ≠ 0 , να δειχθεί ότι : (|𝑥| − 𝑥) ∙ S
)
|)|
+ 1T = 0 .

α) |𝛼 + 𝛽|#
+ |𝛼 − 𝛽|#
= 2|𝛼|#
+ 2|𝛽|#
β) |𝛼 + 𝛽|#
− |𝛼 − 𝛽|#
= 4𝛼𝛽
γ) |𝛼 + 1|#
− 4𝛼 = |𝛼 − 1|#
δ) |𝛼 − 2𝛽|#
+ |2𝛼 + 𝛽|#
= 5(|𝛼|#
+ |𝛽|#)
”
𝛼
𝛽
” + ”
𝛽
𝛼
” ≥ 2 , 𝛼, 𝛽 ≠ 0
𝛼) 𝛢 =
𝑥#
|𝑥|#
𝛽) 𝛣 =
𝑥#
− 1
|𝑥| + 1
𝛾) 𝛤 =
9 − 𝑥#
15 + 5|𝑥|
𝛿) 𝛥 =
|𝑥|(|𝑥| + 1)(𝑥#
+ |𝑥|)
𝑥$ + 2|𝑥|𝑥# + 𝑥#
𝜀) 𝛦 =
4𝑥#
+ |𝑥| + 1
4𝑥# − 1
𝜁) 𝛧 =
|𝑥|5
+ 𝑥6
|𝑥|% − 𝑥$
𝜂) 𝛨 =
)!8#|)|
)!($
+ 2 ∙
#(|)|
)!($|)|8$ 𝜃) 𝛩 =
|𝛼 + 1|
|−1 − 𝛼|
+
|𝛼#
− 2|
|2 − 𝛼#|
21.Να βρείτε τους αριθμούς 𝑥, 𝑦 αν ισχύει:
α) |𝑥 − 1| + |𝑦 + 2| = 0
β) |𝑥#
− 4| + |𝑥 − 2| = 0
γ) |𝑥#
− 9| + |𝑥#
+ 3𝑥| = 0
γ) |𝑦#
− 4𝑦 + 3| + |𝑦#
− 1| = 0
δ) |𝑥 − 2| + |𝑥 + 𝑦 − 5| = 0
ε) |𝑥 − 𝑦| + |𝑦 + 3| = 0
22.Να βρεθούν οι αριθμοί 𝑥 για τους οποίους ισχύει ότι:
α) |𝑥| < 3 β) |𝑥 − 2| < 5 γ) |𝑥 + 3| < 4 δ) |2 − 𝑥| > 3
23.Αν |𝛼| < 1 και |𝛽| ≤ 2 , να αποδείξετε ότι :
α) |𝛼 + 𝛽| < 3 β) |2𝛼 − 𝛽 | < 4 γ) |3𝛼 + 𝛽| < 5 δ) | 5𝛼 – 2𝛽| < 9

24.Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα όπως δείχνει η πρώτη γραμμή του
Απόλυτη τιμή Απόσταση
Διάστημα ή ένωση
διαστημάτων
|𝑥 + 1| ≤ 3 𝑑(𝑥, −1) ≤ 2 [−2,4]
|𝑥 + 2| ≥ 3
|𝑥 − 1| < 5
|𝑥 − 2| > 2
𝑑(𝑥, 3) ≤ 2
𝑑(𝑥, −2) > 3
𝑑(𝑥, 4) ≥ 2
𝑑(𝑥, −2) ≤ 1
(−3,3)
[−4,8]
(−∞, −4] ∪ [4, +∞)
(−∞, −3) ∪ (5, +∞)

2.4 Ρίζες πραγματικών αριθμών
Ορισμός
H τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με √ 𝛼 και είναι ο μη
αρνητικός αριθμός, που όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α.
Ερμηνεία
Αν 𝑎 > 0, √ 𝑎 η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης 𝑥#
= 𝑎.
Ιδιότητες τετραγωνικών ριζών
1)
2)
3)
4)
Ορισμός
Η νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α συμβολίζεται με √ 𝛼
#
και είναι ο μη αρνητικός
αριθμός που, όταν υψωθεί στην 𝜈, δίνει τον α.
Εξ’ ορισμού √ 𝑎
$
= 𝑎 και √ 𝑎
!
= √ 𝑎
Ερμηνεία
Αν 𝛼 ≥ 0, τότε η √ 𝛼
#
παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης 𝑥9
= 𝛼.
Ιδιότητες ριζών
1) ,
2) ,
3) ,
4) ,
5) ,
6) ,
7) , ,
8) ,
9)
10) ,
2
α α=
( )
2
α α, µε α 0= ³
α β αβ, µε α 0 και β 0= ³ ³
α α
, µε α 0 και β 0
ββ
= ³ >
( )
ν
ν
α α= α 0³
νν
α α= α 0³
νν
α α= α 0£ ν άρτιος
ν ν να β α β× = × α 0,β 0³ ³
ν
ν
ν
α α
ββ
= α 0,β 0³ >
µ µ νν
α α
×
= α 0³
ν ρ µ ρ µν
α α
× ×
= α 0³ ν να β α β< Û < α 0,β 0³ ³
ν να β α β< Û < α 0,β 0³ ³
µ
µνν
α α= α 0, µ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος>
ν να β α β< Û < α 0,β 0³ ³

Ρητοποίηση παρανομαστή (Τροποποίηση κλάσματος σε ισοδύναμο κλάσμα με ρητό
παρονομαστή)
Αν η παράσταση έχει τη μορφή τότε πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον
παρανομαστή με την παράσταση .
π.χ.
5
√5 − √2
=
5 ∙ ž√5 + √2Ÿ
ž√5 − √2Ÿž√5 + √2Ÿ
=
5 ∙ ž√5 + √2Ÿ
ž√5Ÿ
#
− ž√2Ÿ
# =
5 ∙ ž√5 + √2Ÿ
5 − 2
=
5 ∙ ž√5 + √2Ÿ
3
Ομοίως αν ο παρανομαστής είναι :
i) πολλαπλασιάζουμε με
ii) πολλαπλασιάζουμε με
iii) πολλαπλασιάζουμε με
1) Ισχύει ότι: √𝒂 𝟐 = 𝒂
2) Ισχύει ότι: √𝒂 𝟐 = ž√ 𝜶Ÿ
𝟐
, 𝜶 ≥ 𝟎
3) Αν 𝜶, 𝜷 ≥ 𝟎 , τότε ¡𝜶 ∙ 𝜷 = √ 𝜶 ∙ ¡𝜷
4) ¢ž𝟐 − √𝟑Ÿ
𝟐
= 𝟐 − √𝟑
5) ¢ž𝟏 − √𝟐Ÿ
𝟐
= 𝟏 − √𝟐
6) ¡ 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟏 − 𝒙 , 𝒙 ≥ 𝟏
7) Ισχύει ότι : √𝜶 𝟒 = 𝜶 𝟐
8) Ο αντίστροφος του 𝟏 − √𝟑 είναι ο 𝟏 + √𝟑
A
α β+
α β-
α β- α β+
3 3α β+
2 2
3 3 3 3α α β β- × +
3 3α β-
2 2
3 3 3 3α α β β+ × +

ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να υπολογίσετε τις παρακάτω ρίζες:
α) √8
"
β) √64
%
γ) √125
"
δ)¢
;
#5
ε) √0,16 στ) √0,0049
2. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς τα ριζικά:
α) ¡(−30)# β) ¡(𝑥# + 1)# γ) ¢ž√2 − √3Ÿ
#
δ)¡(𝜋 − 1)# ε) √𝑥# − 2𝑥 + 1 στ) √𝑥6
𝛼) 4√10 + 3√10 − 7√10
𝛽) √2 ∙ √3 ∙ √6 ∙ ¡(−4)#
𝛾) ¥
5
13
¥
52
5
+
√14 ∙ √21
√6
𝛼) √50 + √32 − √18
𝛽) 4√63 + 5√7 − 8√28
𝛾) 3√8 − 7√18 + 9√72 − 12√50
𝛿) 11√8 − 7√32 + √128 − 9√18
𝜀) √45 + 4√5 − √125
[𝛼) 6√2 𝛽) √7 𝛾) − 21√2 𝛿) − 25√2 𝜀) 2√5]
5. Να αποδείξετε ότι: ž√24 + √54Ÿž√6 + √150 − √96Ÿ = 60 .
6. Να αποδείξετε ότι: ¢ž6 − √41Ÿ
#
+ ¢ž7 − √41Ÿ
#
= 1
7. Να απλοποιήσετε την παράσταση:
𝛢 =
3√8 − 2√12 + √20
3√18 − 2√27 + √45
[Α=2/3]

8. Να μετατραπούν τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή:
𝑖)
2
√2
𝑖𝑖)
4
√3
𝑖𝑖𝑖)
2
√6
𝑖𝑖𝑖)
1
√3 − √2
𝑖𝑣)
2√7
√2 + √3
𝑣)
1
2√3 − 5
9. Να γράψετε τους παρακάτω αριθμούς χωρίς ριζικά στον παρονομαστή:
𝑖)
2
1 − √3
𝑖𝑖)
5√7
√2
𝑖𝑖𝑖)
1 − 5√2
√2 − 1
𝑖𝑣)
3
√9
" 𝑣)
2√3 + 3√2
2√3 − 3√2
𝑣𝑖)
𝑥#
1 − √1 − 𝑥#
10.Να αποδείξετε ότι:
𝛼)
2
√5 − 2
+
√5
√5 + 2
= 9
𝛽)
√3
√3 + √2
+
√2
√3 − √2
= 5
𝛾)
√7
√7 + √5
+
√7
√7 − √5
= 6
𝛿)
√3 + √2
√3 − √2
+
√3 − √2
√3 + √2
= 10
11.Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:
𝑎) 𝛢 = ž√12 − √27Ÿž√75 + √48 − √108Ÿ .
𝛽) 𝛣 = ž√18 + √8 − √20Ÿž√50 − √45 + √125Ÿ .
𝛾) 𝛤 =
1
1 + √2
+
1
√2 + √3
+
1
√3 + √4
[α) -9 β) 30 γ) 1 ]
12.Δίνεται η παράσταση 𝛢 = ž√𝑥 − 4 + √ 𝑥 + 1Ÿž√𝑥 − 4 − √ 𝑥 + 1Ÿ.
α) Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α;
β) Να αποδείξετε ότι η παράσταση Α είναι σταθερή , δηλαδή ανεξάρτητη του x.
13. Αν |𝑥| < 1 , να απλοποιηθεί η παράσταση:
𝛱 =
√𝑥# − 2𝑥 + 1
𝑥 − 1
+
√𝑥# + 2𝑥 + 1
𝑥 + 1
.
[Π=2]

14.Αν 1 < 𝑥 < 2 να απλοποιήσετε την παράσταση:
𝛭 =
¡(𝑥 − 1)#
1 − 𝑥
−
√𝑥# − 4𝑥 + 4
𝑥 − 2
.
15.Δίνεται η παράσταση :
𝛫 =
√𝑥# + 4𝑥 + 4
𝑥 + 2
+
√𝑥# − 6𝑥 + 9
𝑥 − 3
α) Να βρείτε τις τιμές που πρέπει να πάρει το 𝑥 , ώστε η παράσταση 𝛫 να έχει νόημα
πραγματικού αριθμού .
β) Αν – 2 < 𝑥 < 3 , τότε να δείξετε ότι η παράσταση 𝛫 είναι σταθερή , δηλαδή ανεξάρτητη του
𝑥 .
16.Να απλοποιήσετε τα παρακάτω ριζικά
α) ¡√5 β) ¡√3
&"
γ) ¡√7
'
δ) ¡√2
'"
17.Να γραφτούν οι παρακάτω παραστάσεις με την μορφή ενός ριζικού:
α) ¢2¡2√2
"'
β) ¢2¡2√2
"
&
γ) ¡2√25"' δ) ¢¡2#√2
&
[𝛼) √8
"
𝛽) √2
#
𝛾) √4
#
𝛿) √2
$
]
18.Να υπολογίσετε τα παρακάτω γινόμενα:
α) √2
"
∙ √2
%
β) √2% ∙ √2$"
∙ √2
%
γ) √5#"
∙ √5
'
∙ √5
$!
δ) √7#"
∙ √7%'
∙ √7<$!
[𝑎) √2 𝛽) 8 𝛾) 5 𝛿) 49]
19.Να υπολογιστούν τα παρακάτω πηλίκα:
𝑖)
√2!!$!
√2%'
𝑖𝑖)
√2
√2
'
[𝑖) √2
%
𝑖𝑖) √2
$
]
20.Να υπολογιστεί η παράσταση:
𝐴 =
3
√8 − √5
+ √18 − √125 + √2
"
∙ √4
"
[𝛢 = 5√2 − 4√5 + 2]

και 𝛽 = ¡3√3
"
είναι ίσοι.21.Να δειχθεί ότι οι αριθμοί
22.Να υπολογιστούν οι αριθμοί:
𝛢 =
1
√2
+
1
√2 + 1
+
1
√2 − 1
𝜅𝛼𝜄 𝛣 = ¥2¢2√2
"
&
[𝛢 =
'√"
"
, 𝛣 = √2
#
]
23.Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις:
𝛢 = √3 ∙ ¡3 − √6 ∙ ¡3 + √6 και 𝛣 = ¢2¡2√2
"'
.
[𝛢 = 3 , 𝛣 = √8
"
]
24.Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:
α) ¢3√3 ∙ ¡√7 − 2 ∙ ¡√7 + 2 β) √2
'
∙ ¡6 − √4
'
∙ ¡6 + √4
'
[α) 3 β) 2√2]
25.α) Να υπολογίσετε της παραστάσεις: ž3 + √5Ÿ
#
, ž3 − √5Ÿ
#
.
β) Να απλοποιήσετε την παράσταση:
𝛢 = ¢14 − 6√5 + ¢14 + 6√5
26.Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 1 + 2√3 είναι τετραγωνική ρίζα του 13 + 4√3 .
27.* Αν 𝛼, 𝛽 ≥ 0 , να δείξετε ότι: 𝛼 + 𝛽 ≥ 2¡𝛼𝛽 .
28.Αν είναι α = √7 + √3 και β = √7 − √3 , να υπολογίσετε της παραστάσεις:
𝑖) 𝛼𝛽 𝑖𝑖) 𝑎#
− 𝛽#
𝑖𝑖𝑖) 𝑎#
+ 𝛽#
𝑖𝑣) 𝑎#
+ 3𝛼𝛽 + 𝛽#
𝑣)
1
𝛼
+
1
𝛽
𝑣𝑖) 𝑎%
+ 𝛽%
29.Να βρείτε την τιμή της παράστασης που ακολουθεί:
𝛱 =
√2022 − √2020
√2
−
√2
√2022 + √2020
[𝛱 = 0]
𝛼 =
1
√3 − 1
+
1
√3 + 1

30.Να βρείτε τις τιμές των 𝑥, 𝑦, 𝑧 αν ισχύει ότι:
√𝑥 − 3 + |5𝑥 − 3𝑦| + (2𝑦 + 𝑧 − 4𝑥)#
= 0
(Υπόδειξη: Το άθροισμα μη αρνητικών αριθμών είναι μηδέν όταν οι αριθμοί είναι μηδέν. )

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ-ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΟΛΟ ΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΘΕΜΑ 1o
Δίνεται η παράσταση: 𝛢 = |3𝑥 − 6| + 2, όπου ο 𝑥 είναι πραγματικός αριθμός.
α) Να αποδείξετε ότι:
i) για κάθε 𝑥 ≥ 2 είναι: 𝛢 = 3𝑥 − 4
ii) για κάθε 𝑥 < 2 είναι: 𝛢 = 8 − 3𝑥
β) Αν για τον 𝑥 ισχύει 𝑥 ≥ 2, να αποδείξετε ότι:
9𝑥#
− 16
|3𝑥 − 6| + 2
= 3𝑥 + 4
ΘΕΜΑ 2o
α) Αν 1 ≤ 𝑥 ≤ 4 να απλοποιηθεί η παράσταση:
𝐴 = ¡ 𝑥# − 2𝑥 + 1 − ¡16 − 8𝑥 + 𝑥#
β) Αν 1 < 𝑥 < 2 να απλοποιηθεί η παράσταση:
𝐾 =
¡(𝑥 − 1)#
1 − 𝑥
−
√𝑥# − 4𝑥 + 4
𝑥 − 2
ΘΕΜΑ 3o
Δίνεται η παράσταση:
𝛢 = |𝑥#
+ 4| + •|𝑥| + 5• − |𝑥#
+ 6𝑥 + 9| − |−𝑥#|
i) Να απλοποιήσετε την παράσταση 𝛢.
ii) Να λύσετε την εξίσωση 𝛢 = 0.
iii) Να λύσετε την ανίσωση 𝛢 ≤ 35 − 𝑥#
.
ΘΕΜΑ 4ο
α) Aν 𝛼 < 1 < 𝛽 να υπολογιστεί η παράσταση: 2|𝛽 − 𝛼| + 5|1 − 𝛽| − |𝛼 − 1 − 𝛽|
β) Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης:
𝛭 =
|𝑥#
− 2𝑥 + 1| − |𝑥#
+ 1|
𝑥

ΘΕΜΑ 5ο
Δίνονται οι αριθμοί 𝛼 και 𝛽 για τους οποίους ισχύει:
|𝑎 − 2| + |2𝑎 + 𝛽 − 3| = 0
i) Να βρείτε τους αριθμούς 𝛼 και 𝛽.
ii) Να λύσετε την ανίσωση:
|𝑥 − 𝑎| ≥ |𝑥 − 𝑎 − 𝛽|
iii) Να λύσετε την εξίσωση:
•|𝑥 − 𝑎| + 𝛽• = 𝛼 + 𝛽
iv) Να λύσετε την ανίσωση:
|𝑥 − 𝑎 + 𝛽| > 𝛼 + 2𝛽
ΘΕΜΑ 6ο
α) Να λυθούν οι εξισώσεις:
i) |3𝑥 − 2| = |2𝑥 − 8| ii) |2𝑥 − 3| = −𝑥#
− 1
β) Δίνονται οι παραστάσεις :
𝛢 =
2√4𝑥# + 4𝑥 + 1 + 4
√𝑥# + 6𝑥 + 9 + 𝑥 − 4
𝜅𝛼𝜄 𝛣 = ¢√65 − 1
"
∙ ¢√65 + 1
"
i) Να απλοποιήσετε την παράσταση 𝛢 αν −3 < 𝑥 < −
!
#
ii) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 𝛣.
iii) Αν 𝛢 = −2 και 𝛣 = 4 να λύσετε την ανίσωση:
|3𝑥 − 6| − 2
6
−
|𝑥 + 𝐴| − 2
𝐵
<
5
3
ΘΕΜΑ 7ο
Αν για τους πραγματικούς αριθμούς 𝛼 και 𝛽 ισχύει: 𝛼#
− 6𝛼 + 9 + |𝛽 − 4| ≤ 0
i) Να αποδείξετε ότι 𝛼 = 3 και 𝛽 = 4.
ii) Αν 𝑥 ∈ (𝛼, 𝛽) να γράψετε την παρακάτω παράσταση χωρίς τις απόλυτες τιμές:
𝑀 = 2|𝑥 − 3| + |9 − 3𝑥| − 5|𝑥 − 4| + |−𝑥#
− 1|
iii) Να λυθούν:
α) |𝛽𝑥 − 2| ≥ 8
β) |𝑥 − 𝛽| = 𝛼

ΘΕΜΑ 8ο
α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: ž1 − 3√2Ÿ
#
και ž1 + 3√2Ÿ
#
β) Να απλοποιήσετε την παράσταση: 𝛢 = ¡19 − 6√2 − ¡19 + 6√2
γ) Να λυθεί η εξίσωση: |2𝑥 − 1| = −𝐴
ΘΕΜΑ 9o
Δίνονται οι αριθμοί 𝛼, 𝛽 για τους οποίους ισχύει : 𝛼#
+ 𝛽#
+ 13 ≤ 4𝛼 + 6𝛽 .
i) Να βρεθούν οι αριθμοί 𝛼 και 𝛽.
ii) Αν 𝛼 = 2 και 𝛽 = 3 τότε:
α) Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης :
𝛢 = ¥ 𝛼 + ¢ 𝛼 + ¡𝛽 ∙ ¢ 𝛼 + ¡𝛽¥ 𝛼 − ¢ 𝛼 + ¡𝛽
β) Να μετατραπεί το κλάσμα σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή.
γ) Δίνεται η παράσταση . Nα βρεθεί για ποιες τιμές του x ορίζεται και στη
συνέχεια να απλοποιηθεί.
𝛣 =
𝛽D𝛽 − 𝛼√ 𝛼
D𝛽 − √ 𝛼
𝛤 =
𝑥" − 𝛼 − 2
|𝑥| − 2

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου [2020 - 21]

More Related Content

What's hot

Similar to Άλγεβρα Α΄ Λυκείου [2020 - 21]

More from Μάκης Χατζόπουλος

Recently uploaded

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου [2020 - 21]