Pat1

โดย สหัทยา ขาสุวัฒน์
สนับสนุนโดย มูลนิธิศักดิ์พรทรัพย์
ประเภทข้อสอบ : ข้อสอบ PAT1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 วันที่สอบ : 3 มีนาคม 2555
รหัสวิชา : 71 ชื่อวิชา : ความถนัดทางคณิตศาสตร์ จานวนข้อสอบ ปรนัย : 25
อัตนัย : 25
ส่วนที่ 1 : จานวน 25 ข้อ ข้อละ 5 คะแนน รวม 125 คะแนน
คาสั่ง : แบบปรนัย 4 ตัวเลือก แต่ละข้อมีคาตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงคาตอบเดียว
1. สาหรับเซต S ใดๆ ให้ S
แทนคอมพลีเมนต์ของเซต S กาหนดให้ A, B และ C เป็นเซตใน
เอกภพสัมพัทธ์ U โดยที่ A B B  , C A และB C   ถ้าเซต U มีสมาชิก 12 ตัว เซต
A B  มีสมาชิก 10 ตัว และเซต A B มีสมาชิก 4 ตัว แล้วจะมีเซต C ทั้งหมดกี่เซต
1. 60 เซต 2. 48 เซต
3. 16 เซต 4. 8 เซต
เฉลย ตอบตัวเลือก 2
กาหนด A B B  , C A และ B C  
n(U) 12 , n(A B ) 10   , n(A B ) 4 
เขียนแผนภาพได้ดังนี้
A
B
C
1
2
3
4
5
U

จาก n(A B )  = n(A B) (บริเวณ  +  + )
10 = n(A B) (บริเวณ  +  + )
10 = n(B) (บริเวณ  +  + )
จะได้ n(B) = 12 10 (บริเวณ  + )
= 2
และ n(A B ) = n(A B) (บริเวณ  + )
4 = n(A B) (บริเวณ  + )
บริเวณ  +  +  +  = n(A) 6
จานวนเซต C = สับเซตทั้งหมดของเซต A – สับเซตของ A ที่อินเตอร์เชกชันกับเซต B
แล้วเป็นเซตว่าง
= 6 4
2 2
= 64 16
= 48 เซต
2. กาหนดให้ p, q, r และ s เป็นประพจน์ใดๆ ประพจน์   [(p q) p] [(r s) (r s)]     
สมมูลกับประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้
1. p r 2. q r
3. (p r) (q r)   4. (q r) (q s)  
[(p q) p] [(r s) (r s)]          [(p p) ( q p)] [r (s s)]         
 [T ( q p)] [r F]     
 ( q p) r   
 ( q p) r    
 (q p) r 
 (q r) (p r)  
 (p r) (q r)  

3. ถ้า A แทนเซตของจานวนเต็มทั้งหมด ที่สอดคล้องกับอสมการ 3 x 1 2x 2 3x 1    และ B
แทนเซตคาตอบของอสมการ 2
x(x 2)(x 1) 0   แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. เซต A B มีสมาชิก 5 ตัว 2. A B A 
3. เซต A B มีสมาชิก 1 ตัว 4. (A B) (B A) B   
หา A 3 x 1 2x   2 3x 1
กรณี 1 ; 1
x
3
 
3(x 1) 2x    2(3x 1) 
3x 3 2x    6x 2 
x  5
1
5,
3
 
  
 
กรณี 2 ; 1
x 1
3
  
3(x 1) 2x    2(3x 1) 
3x 3 2x    6x 2
11x  1
x 
1
11
1 1
,
3 11
 
  
กรณี 3 ; x 1
3(x 1) 2x   2(3x 1)
3x 3 2x   6x 2
5x  5
x  1

–5
1
–1 1

เนื่องจาก A เป็นเซตของจานวนเต็ม
จะได้ว่า A { 4, 3, 2, 1, 0}    
หา B 2
x(x 2)(x 1)   0
พิจารณา x(x 2)  0 ; x 1 
( 2, 1) ( 1, 0)   
พิจารณาข้อ 1. A B { 4, 3, 2, 1, 0}     
จะได้ n(A B) 5 
ดังนั้น ข้อ ก. ถูกต้อง
4. กาหนด R แทนเซตของจานวนจริง ให้ r {(x,y) R R x y y x 1 0}      
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. r เป็นความสัมพันธ์ที่มีโดเมน rD {x R x 1}   
ข. ความสัมพันธ์ 1
r
เป็นฟังก์ชัน
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด
3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด
พิจารณา ก. x y y x 1   = 0
y( x 1) x 1   = 0
y =
x 1
x 1


จะได้ rD R
พิจารณา ข. จาก y =
x 1
x 1


ถ้า x 0 จะได้ y =
x 1
x 1


y = 1
–2 –1 0

หา 1
r
โดยการเปลี่ยน x เป็น y และเปลี่ยน y เป็น x
จะได้ x 1 (x หนึ่งค่าทาให้เกิด y ได้หลายค่า)
ดังนั้น 1
r
ไม่เป็นฟังก์ชัน
ดังนั้น ข้อ ก. ผิด และ ข้อ ข. ผิด
5. กาหนดให้ 0 45   และให้ tan
A (sin ) 
  cot
B (sin ) 
 
sin
C (cot ) 
  cos
D (cot ) 
 
1. A B C D   2. B A C D  
3. A C D B   4. C D B A  
สมมุติให้ 37  จะได้ sin37 =
3
5
= 0.6
cos37 =
4
5
= 0.8
tan37 =
3
4
= 0.75
cot37 =
4
3
= 1.33
จะได้ sin tan cos cot      
พิจารณา tan
A (sin ) 
  และ cot
B (sin ) 
 
เนื่องจาก sin 1  จะได้ tan cot
(sin ) (sin ) 
  
A B
พิจารณา sin
C (cot ) 
  และ cos
D (cot ) 
 
เนื่องจาก cot 1  จะได้ sin cos
(cot ) (cot ) 
  
C D
พิจารณา A กับ C
เนื่องจาก A มีฐาน คือ sin ซึ่งน้อยกว่า 1 และมีเลขชี้กาลัง คือ tan ซึ่งมีค่าเป็นบวก จะได้ว่า
A 1
เนื่องจาก C มีฐาน คือ cot ซึ่งมากกว่า 1 และมีเลขชี้กาลัง คือ sin ซึ่งมีค่าเป็นบวก จะได้ว่า
C 1
ดังนั้น B A C D  
37
5 3
4

6. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยมี a, b และ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม A มุม B และ
มุม C ตามลาดับ ถ้ามุม C เท่ากับ 60 b 5 และ a c 2  แล้วความยาวของเส้นรอบรูป
สามเหลี่ยม ABC เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 25 2. 29
3. 37 4. 45
จาก a c = 2
c = a 2 …..(1)
จากกฎของโคไซน์ ; 2
c = 2 2
a b 2abcosC 
2
(a 2) = 2 2
a b 2abcos60 
2
a 4a 4  = 2 2 1
a 5 2a(5)
2
 
   
 
4a 4  = 25 5a
a = 21
จาก (1) ; c = 21 2 19 
ดังนั้น ความยาวของเส้นรอบรูปสามเหลี่ยม ABC = 21 5 19 
= 45 หน่วย
7. วงรีที่มีแกนเอกอยู่บนแกน x แกนโทอยู่บนแกน y ระยะระหว่างจุดโฟกัสทั้งสองเท่ากับ 12
หน่วย ถ้าความยาวของคอร์ดที่ผ่านจุดโฟกัสหนึ่งและตั้งฉากกับแกนเอกของวงรี เท่ากับ 10
หน่วย แล้วสมการของวงรีคือข้อใดต่อไปนี้
1. 2 2
5x 9y 405  2. 2 2
9x 5y 81 
3. 2 2
5x 9y 225  4. 2 2
9x 5y 20 
ระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสทั้งสอง = 12
2c = 12
c = 6
จาก 2
a = 2 2
b c
2 2
a b = 2
c
2 2
a b = 36 …..(1)

ลาตัสเรกตัมของวงรี = 10
2
2b
a
= 10
2
b = 5a …..(2)
แทน (2) ใน (1) ; 2
a 5a = 36
2
a 5a 36  = 0
(a 4)(a 9)  = 0
a = 4, 9 แต่ a 0
จะได้ a = 9
2
a = 81
จาก (2) จะได้ 2
b = 5(9)
2
b = 45
สมการวงรี คือ
2 2
2 2
x y
a b
 = 1
2 2
x y
81 45
 = 1
2 2
5x 9y = 405
8. พาราโบลาที่มีจุดโฟกัส F อยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงกลม 2 2
x y 6x 4y 4 0     และมีจุด
ยอด V อยู่ที่จุดตัดของวงกลมกับแกน y ถ้า A และ B เป็นจุดบนพาราโบลาซึ่งส่วนของเส้นตรง
AB ผ่านจุดโฟกัส F และตั้งฉากกับแกนของพาราโบลา แล้วพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม VAB
เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 9 ตารางหน่วย 2. 12 ตารางหน่วย
3. 18 ตารางหน่วย 4. 36 ตารางหน่วย
2 2
x y 6x 4y 4    = 0
2 2
(x 6x 9) (y 4y 4)     = 4 9 4  
2 2
(x 3) (y 2)   = 9
วงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (3, 2) และรัศมียาว 3 หน่วย

หาจุดตัดของวงกลมกับแกน y
2 2
(0 3) (y 2)   = 9
2
9 (y 2)  = 9
2
(y 2) = 0
y 2 = 0
y = 2
จุดตัดของวงกลมกับแกน y คือ (0, 2)
จะได้ว่าพาราโบลามีจุดโฟกัสอยู่ที่ (3, 2) และมีจุดยอดอยู่ที่ (0, 2)
จากรูป จะได้ c 3
ความยาวลาตัสเรกตัม = 4c
= 4(3)
= 12
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม VAB
=
1
2
ความยาวฐานความสูง
=
1
12 3
2
 
= 18 ตารางหน่วย
9. ให้ R แทนเซตของจานวนจริง ถ้า A เป็นเซตคาตอบของอสมการ
2
(5x 23x 3) (x 5)
3 5
5 3
  
   
   
   
ถ้า A เป็นสับเซตในข้อต่อไปนี้
1. {x R (5x 1)(x 3) 0}    2. {x R (4x 1)(x 4) 0}   
3. {x R (2x 1)(x 5) 0}    4. {x R x 1 2}  
2
(5x 23x 3)
3
5
 
 
 
 
>
(x 5)
5
3

 
 
 
2
(5x 23x 3)
3
5
 
 
 
 
>
(x 5)
3
5
 
 
 
 
2
5x 23x 3  < (x 5) 
2
5x 23x 3  < x 5 
2
5x 22x 8  < 0



V(0, –2) (3, –2)
A
B
O
Y
X

(5x 2)(x 4)  < 0
2
A ,4
5
 
  
 
พิจารณาข้อ 1. (5x 1)(x 3) 0  
1
,3
5
 
 
 
1
A ,3
5
 
  
 
พิจารณาข้อ 2. (4x 1)(x 4) 0  
1
,4
4
 
 
 
1
A ,4
4
 
  
 
พิจารณาข้อ 3. (2x 1)(x 5) 0  
1
,5
2
 
 
 
1
A ,5
2
 
  
 
พิจารณาข้อ 4. x 1 < 2
2 < x 1 < 2
1 < x < 3
( 1, 3)
A ( 1, 3) 
4+ +–
3+ +–
4+ +–
5+ +–
–1 3

10. กาหนดให้ x 1 , a 1 , b 1 และ c 1 พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. ถ้า 2
b ac แล้ว a b c c a b(log x)(log x log x) (log x)(log x log x)  
ข. ถ้า c b 1  และ 2 2 2
a b c  แล้ว (c b) (c b) (c b) (c b)log a log a 2(log a)(log a)    
พิจารณาข้อ ก. a b c(log x)(log x log x) =
x x x
1 1 1
log a log b log c
  
  
  
=
  
x x
x x x
log c log b1
log a log b log c
   
   
  
=
 
 
  
x
x x x
log c / b1
log a log b log c

=
 
   
x
x x x
log c / b
log a log b log c
ส่วนด้านขวา พิจารณาในทานองเดียวกันได้ว่า
c a b(log x)(log x log x) =
x x x
1 1 1
log c log a log b
  
  
  
=
  
x x
x x x
log b log a1
log c log a log b
   
   
  
=
 
  
x
x x x
log b / a1
log c log a log b

=
 
   
x
x x x
log b / a
log a log b log c
เนื่องจาก 2
ac b ดังนั้นได้ว่า c b
b a


ดังนั้นได้ว่า a b c(log x)(log x log x) =
 
   
x
x x x
log c / b
log a log b log c
=
 
   
x
x x x
log b / a
log a log b log c
= c a b(log x)(log x log x)
ดังนั้น ก. ถูก
พิจารณาข้อ ข. (c b) (c b)log a log a  =
a a
1 1
log (c b) log (c b)

 
= a a
a a
log (c b) log (c b)
(log (c b))(log (c b))
  
 
=
 a
a a
log (c b)(c b)
 
 
=
2 2
a
a a
log (c b )

 
=
2
a
a a
log a
(log (c b))(log (c b)) 
จาก 2 2 2
a c b 
=
a a
2
(log (c b))(log (c b)) 
= (c b) (c b)2(log a)(log a) 
ดังนั้น ข. ถูก

11. ให้ A เป็นเซตคาตอบของสมการ log( x 1 5) logx   และ B เป็นเซตคาตอบของสมการ
2 4 8 64log (3x) log (9x) log (27x) 3 2log (x)    ผลคูณของสมาชิกทั้งหมดในเซต A B
1.
12
9
2.
16
9
3.
32
9
4.
96
9
หา A log( x 1 5)  = log x
x 1 5  = x
x 1 = x 5
2
( x 1) = 2
(x 5)
x 1 = 2
x 10x 25 
2
x 11x 24  = 0
(x 8)(x 3)  = 0
x = 8, 3
แต่เมื่อแทน x 3 ทาให้สมการเป็นเท็จ
จะได้ A {8}
หา B 2 4 8log (3x) log (9x) log (27x)  = 643 2log (x)
2 32 2 2
log (3x) log (9x) log (27x)  = 2 6
2 2
3log 2log (x)
11
32
2 2 2log (3x) log (9x) log (27x)  = 2 22
1
3log log x
3

11
32
2 2 2log (3x) log (9x) log (27x)  =
1
3
2 2log 8 log x
11
32
2log (3x)(9x) (27x) =
1
3
2log 8x
11
32
(3x)(9x) (27x) =
1
3
8x
11
6
27x =
1
3
8x
9
6
x =
8
27
3
2
x =
3
2
3
 
 
 

x =
2
3 3
2
3
  
     
x =
2
2
3
 
 
 
x =
4
9
จะได้ 4
B
9
 
  
 
ดังนั้น ผลคูณของสมาชิกทั้งหมดในเซต A B คือ 4 32
8
9 9
 
12. กาหนดให้ จุด A( 1, 1) , B(2, 5) และ C(2, 3) เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ABC ให้ L
เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด A และจุด B ลากส่วนเส้นตรง CD ตั้งฉากกับเส้นตรง L ที่จุด D แล้ว
เวกเตอร์ AD เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1.
7
(3i 4 j)
25
  2.
7
(3i 4 j)
25

3.
7
(3i 4 j)
25
  4.
7
(3i 4 j)
25

วาดรูปได้ดังนี้
A(–1, 1)
B(2, 5)
C(2, –3)
X
Y

AB =
2 1
5 1
   
   
   
=
3
4
 
 
 
AB = 2 2
3 4 = 5
AC =
2 1
3 1
   
      
=
3
4
 
  
AC = 2 2
3 ( 4)  = 5
เนื่องจาก AD เป็นโปรเจกชันของ AC บน AB
จะได้ AD =   AB
AC cos
AB

=
AC AB AB
AB AB
  
 
 
=
3 3 3
4 4 4
5 5
       
              
  
  
  
=
3
49 16
5 5
  
  
    
   
 
 
=
37
425
 
  
 
=
7
(3i 4 j)
25
 

13. กาหนดให้ a, b, c, d, x และ y เป็นจานวนจริง และ
1 x
A
y 1
 
   
,
a b
B
c d
 
  
 
,
1 0
C
0 1
 
  
 
และ
1 0
I
0 1
 
  
 
ถ้า 2
A I และ AB 2C แล้ว ค่าของ 1
det(B )
1. 0.25 2. 0.5
3. 2 4. 4
2
A =
1 x 1 x
y 1 y 1
   
       
=
1 xy 0
0 xy 1
 
  
แต่ 2
A I จะได้ 1 xy 1 
xy 0
จาก A =
1 x
y 1
 
  
det(A) = 1 xy  = 1 0  = 1
จาก C =
1 0
0 1
 
 
 
det(C) = 1
AB = 2C
det(AB) = det(2C)
det(A)det(B) = 2
2 det(C)
det(B) = 4( 1)
det(B) = 4
แต่ 1
det(B )
=
1
det(B)
=
1
4
= 0.25

14. กาหนดให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ใดๆ ซึ่งไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก.
2 2 2
u v u v  
ข. ถ้า u ตั้งฉากกับ v แล้ว
2 2 2
u v u v  
พิจารณา ก. สมมุติให้ u 0 และ v 0 แทนใน
2
u v <
2 2
u v
2
0 <
2 2
0 0
0 < 0 (เป็นเท็จ)
พิจารณา ข. 2
u v =
2 2
u 2u v v  
=
2 2
u 2 u v cos v 
=
2 2
u 2 u v cos90 v 
=
2 2
u v
ดังนั้น ข้อ ก. ผิด แต่ข้อ ข. ถูก

15. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. สาหรับ a และ b เป็นจานวนเต็มบวก จะได้ว่า
n n 2 2
n
n 1
a b a b
(a b) ab


 



ข. ถ้า 1 2 3a , a , a , ... เป็นลาดับเลขคณิตของจานวนจริง โดยที่
2
1 2 n
2
1 2 3 m
a a ... a n
a a a ... a m
  

   
สาหรับจานวนเต็มบวก n และ m ที่แตกต่างกัน แล้ว m
n
a 2m 1
a 2n 1



พิจารณา ก.
n n
n
n 1
a b
(a b)




 =
n n
n n
n 1 n 1
a b
(a b) (a b)
 
 

 
 
=
n n
n 1 n 1
a b
a b a b
 
 
   
   
    
 
=
a b
a b a b
a b
1 1
a b a b
 
   
    
    
=
a b
a b a b
a b a a b b
a b a b
 
   
 
=
a b
b a

=
2 2
a b
ab

พิจารณา ข. 1 2 n
1 2 3 m
a a a
a a a a
  
   
=
 
 
1
1
n
2a (n 1)d
2
m
2a (m 1)d
2
 
 
2
2
n
m
=
 
 
1
1
n 2a (n 1)d
m 2a (m 1)d
 
 

n
m
= 1
1
2a (n 1)d
2a (m 1)d
 
 
12a n mnd nd  = 12a m mnd md 
12a n nd = 12a m md
1n(2a d) = 1m(2a d)
1 1n(2a d) m(2a d)   = 0
1(n m)(2a d)  = 0
แต่ n m ดังนั้น 12a d = 0
12a = d
m
n
a
a
= 1
1
a (m 1)d
a (n 1)d
 
 
= 1 1
1 1
a (m 1)(2a )
a (n 1)(2a )
 
 
= 1 1 1
1 1 1
a 2a m 2a
a 2a n 2a
 
 
= 1 1
1 1
2a m a
2a n a


= 1
1
a (2m 1)
a (2n 1)


=
2m 1
2n 1


ดังนั้น ข้อ ก. ถูก และ ข้อ ข. ถูก

16. ให้ R แทนเซตของจานวนจริง กาหนดให้ f :R R เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ทุกอันดับ โดยที่
f (x) 2x 1   และ f (2) 2  สมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y f(x) ที่
จุด (1,3) คือข้อใดต่อไปนี้
1.
1
y x 2
2
   2.
1 5
y x
2 2
 
3.
1 5
y x
2 2
   4.
1
y x 2
2
 
f (x) = 2x 1
f (x) = (2x 1)dx = 2
x x c 
f (2) = 2
2 2 c 
2 = 6 c
c = 4
จะได้ f (x) = 2
x x 4 
ที่จุด (1, 3) ; f (1) = 1 1 4  = 2
สมการเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y f(x) ที่จุด (1, 3)
จะมีความชันเท่ากับ 1
2
สมการเส้นตรง คือ 1y y = 1m(x x )
y 3 =
1
(x 1)
2

2y 6 = x 1
y =
1 5
x
2 2


17. ให้ R แทนเซตจานวนจริง ให้ f :R R , g : R R และ h:R R เป็นฟังก์ชัน โดยที่
2
ax 1
f(x)
x 1



เมื่อ a เป็นจานวนจริง 2
g(x) (x 1)f (x)  และ
f(x) x 2
h(x)
g(x) x 2

 

ถ้าฟังก์ชัน h ต่อเนื่องที่ x 2 แล้ว ค่าของ 2h( 2) h(2)  เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 0.6 2. 0.8
3. 1 4. 3
f (x) = 2
ax 1
x 1


f (x) =
2
2 2
(x 1)(a) (ax 1)(2x)
(x 1)
  

=
2 2
2 2
ax a 2ax 2x
(x 1)
  

=
2
2 2
ax 2x a
(x 1)
  

g(x) = 2
(x 1)f (x)
=
2
2
2 2
ax 2x a
(x 1)
(x 1)
   
  
 
=
2
2
ax 2x a
x 1
  

h(x) =
f(x); x 2
g(x); x 2



แต่ฟังก์ชัน h ต่อเนื่องที่ x 2 จะได้ว่า
f(2) = g(2)
2
a(2) 1
2 1


=
2
2
a(2) 2(2) a
2 1
  

2a 1 = 4a 4 a  
5a = 5
a = 1
2h( 2) h(2)  = 2g( 2) f(2) 
=
2
2 2
2[( 2) 2( 2) 1] (2) 1
( 2) 1 2 1
     

  
=
2(4 4 1) 1
5 5
 

= 3
เมื่อ
เมื่อ

18. ให้ R แทนเซตของจานวนจริง ให้ f :R R , g : R R และ h:R R เป็นฟังก์ชันที่มี
อนุพันธ์ทุกอันดับ โดยที่ 2
h(x) x 4  , g(x) h(f(x) 1)  และ f (1) g (1) 1   แล้วค่าของ
f(1) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 2 2. 1.5
3. 1 4. 0.5
h(x) = 2
x 4
g(x) = h(f(x) 1)
= 2
(f(x) 1) 4 
g (x) = 2(f(x) 1)f (x)
g (1) = 2(f(1) 1)f (1)
1 = 2(f(1) 1)(1)
f (1) =
3
2
= 1.5
19. กาหนดสมการจุดประสงค์ คือ P 3x 2y  โดยมีอสมการข้อจากัด ดังนี้ x 2y 6  ,
2x y 8  , x y 1   , x 0 และ 0 y 2  ค่าของ P มีค่ามากสุด เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 10 2. 12
3.
38
3
4. 18
สมการจุดประสงค์ P = 3x 2y
อสมการข้อจากัด x 2y  6
2x y  8
x y   1
x  0
0  y  2

เขียนกราฟได้ดังนี้
จะได้จุดมุม 10 4
A(0, 0), B(0, 1), C(1, 2), D(2, 2), E , , F(4, 0)
3 3
 
 
 
แทนค่าจุดมุมแต่ละจุดในสมการจุดประสงค์
ที่จุด A(0, 0) ; P = 3(0) 2(0) = 0
ที่จุด B(0, 1) ; P = 3(0) 2(1) = 2
ที่จุด C(1, 2) ; P = 3(1) 2(2) = 7
ที่จุด D(2, 2) ; P = 3(2) 2(2) = 10
ที่จุด 10 4
E ,
3 3
 
 
 
; P =
10 4
3 2
3 3
   
   
   
=
38
3
ที่จุด F(4, 0) ; P = 3(4) 2(0) = 12
ดังนั้น ค่าของ P มีค่ามากที่สุดเท่ากับ 38
3
Y
X
A
B
C D
E
F




 

20. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ ของนักเรียนจานวน 30 คน มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วน
เบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 25 คะแนน และ 5 คะแนน ตามลาดับ ถ้านาคะแนนของ
นายสายชลและนางสาวฟ้ าซึ่งสอบได้ 20 คะแนน และ30 คะแนน ตามลาดับ มารวมด้วย
แล้วส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 4 2. 5
3. 6 4. 7
โจทย์กาหนด n 30,X 25,s 5  
จาก X =
x
n

25 =
x
30

x = 750
2
s =
2
2x
X
n


25 =
2
2x
25
30


2
x = 19,500
นาคะแนนของนายสายชลและนางสาวนางฟ้ามารวมด้วยจะได้
x = 750 20 30  = 800
X =
800
32
= 25
2
x = 2 2
19,500 20 30  = 20,800
ดังนั้น s =
2
2x
X
n


= 220800
25
32

= 5

21. กาหนดให้ A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} สุ่มหาสับเซตของ A ที่มีสมาชิก 3 ตัว ความน่าจะเป็นที่จะ
ได้สับเซต {a, b, c} A โดยที่ a b c  และ a, b, c เป็นลาดับเลขคณิต เท่ากับข้อใด
ต่อไปนี้
1.
6
210
2.
9
210
3.
6
35
4.
9
35
A {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
กรณีที่1 d 1 จะได้ลาดับดังนี้ 123, 234, 345, 456, 567
กรณีที่2 d 2 จะได้ลาดับดังนี้ 135, 246, 357
กรณีที่3 d 3 จะได้ลาดับดังนี้ 147
n(E) = 5 3 1  = 9
n(S) =
7
3
 
 
 
=
7!
3!4!
= 35
ดังนั้น P(E) =
n(E)
n(S)
=
9
35

22. ตารางต่อไปนี้ เป็นข้อมูลเกี่ยวกับอายุของพนักงานจานวน 50 คน
อายุ (ปี) จานวน (คน)
25 9
30 17
35 24
40 37
45 43
50 50
ถ้าอายุต่าสุดของพนักงาน คือ 21 ปี แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 35 2. 37.5
3. 41 4. 43
เขียนเป็นตารางแจกแจงความถี่แบบเป็นอันตรภาคชั้นดังนี้
อายุ (ปี) f x fx
21-25 9 23 207
26-30 8 28 224
31-35 7 33 231
36-40 13 38 494
41-45 6 43 258
46-50 7 48 336
X =
fx
n

=
207 224 231 494 258 336
50
    
=
1750
50
= 35

23. นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 จานวน 20 คน แบ่งเป็น 2 กลุ่มๆ ละ 10 คน ทาแบบทดสอบวัด
ความถนัดฉบับหนึ่งมีคะแนนเต็ม 20 คะแนน ได้คะแนนของนักเรียนแต่ละคนดังนี้
กลุ่มที่ 1 7 6 5 8 3 6 9 7 6 10
กลุ่มที่ 2 6 9 15 12 1 8 7 7 5 6
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. ความสามารถของนักเรียนกลุ่มที่ 1 มีความแตกต่างกันมากกว่านักเรียนกลุ่มที่ 2
ข. สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ของกลุ่มที่ 1 และกลุ่มที่ 2 เท่ากับ 5
14
และ 3
14
ตามลาดับ
พิจารณา ก. สัมประสิทธิ์ของพิสัย = max min
max min
x x
x x


กลุ่มที่1 สัมประสิทธิ์ของพิสัย =
10 3
10 3


=
4
13
กลุ่มที่2 สัมประสิทธิ์ของพิสัย =
15 1
15 1


=
7
8
เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพิสัยของนักเรียนกลุ่มที่ 1 น้อยกว่านักเรียนกลุ่มที่ 2 จะ
ได้ว่านักเรียนกลุ่มที่ 1 มีการกระจายน้อยกว่านักเรียนกลุ่มที่ 2
ดังนั้น ข้อ ก ผิด
พิจารณา ข. เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาได้ดังนี้
กลุ่มที่ 1 3 5 6 6 6 7 7 8 9 10
กลุ่มที่ 2 1 5 6 6 7 7 8 9 12 15
กลุ่มที่1 ตาแหน่งของ 1Q =
10 1
4

= 2.75

1Q = 5.75
ตาแหน่งของ 3Q =
3(10 1)
4

= 8.25
3Q = 8.25
C.Q.D. =
8.25 5.75
8.25 5.75


=
5
28
กลุ่มที่2 ตาแหน่งของ 1Q =
10 1
4

= 2.75
1Q = 5.75
ตาแหน่งของ 3Q =
3(10 1)
4

= 8.25
3Q = 9.75
C.Q.D. =
9.75 5.75
9.75 5.75


=
8
31
ดังนั้น ข้อ ข ผิด

24. นิยาม b
a b = a สาหรับ a และ b เป็นจานวนจริงบวกใดๆ ถ้า a, b และ c เป็นจานวนจริง
บวก แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. a (b c) (a c) b     2. (a b) c a (bc)   
3. a (b c) (a b) c     4. (a b) c (a c) (b c)     
นิยาม b
a b a 
พิจารณาข้อ 1. a (b c)  = (a c) b 
c
a (b ) = c
(a ) b
c
b
a = c b
(a )
c
b
a = cb
a (เป็นเท็จ)
พิจารณาข้อ 2. (a b) c  = a (bc)
b
(a ) c = bc
a
b c
(a ) = bc
a (เป็นจริง)
พิจารณาข้อ 3. a (b c)  = (a b) c 
c
a (b ) = b
(a ) c
c
b
a = b c
(a )
c
b
a = bc
a (เป็นเท็จ)
พิจารณาข้อ 4. (a b) c  = (a c) (b c)  
c
(a b) = c c
(a ) (b ) (เป็นเท็จ)
ดังนั้น ข้อ 2. ถูกต้อง

25. กาหนดให้ a 7 4 3  , b 2 2 2 2 และ c 2 3  ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1.
1 1 1
c a b
  2.
1 1 1
c b a
 
3.
1 1 1
b a c
  4.
1 1 1
b c a
 
a = 7 4 3 = (4 3) 2 (4 3)  
= 4 3
= 2 3
b = 2 2 2 2...
2
b = 2 2 2 2...
2
b = 2b
2
b 2b = 0
b(b 2) = 0
b = 0, 2 แต่ b 0 ดังนั้น b 2
c = 2 3
จะได้ว่า 2 < 2 3 < 2 3
b < c < a
หรือ 1
b
>
1
c
>
1
a

ส่วนที่ 2 : จานวน 25 ข้อ ข้อละ 7 คะแนน รวม 175 คะแนน
คาสั่ง : แบบอัตนัย จงเติมคาตอบที่ถูกต้อง (เป็นตัวเลข)
26. ในการสารวจสโมสรแห่งหนึ่งมีสมาชิกจานวน 100 คน พบว่าชอบอ่านนวนิยายหรือ
หนังสือพิมพ์หรือนิตยสาร อย่างน้อย 1 รายการ และ
มี 75 คน ชอบอ่านนวนิยาย
มี 70 คน ชอบอ่านหนังสือพิมพ์ และ
มี 80 คน ชอบอ่านนิตยสาร
มีสมาชิกอย่างน้อยกี่คนที่ชอบอ่านทั้งสามรายการ
เฉลย ตอบ 25
จากข้อมูลนามาเขียนแผนภาพได้ดังนี้
ให้ A แทนเซตของสมาชิกที่ชอบอ่านนวนิยาย
B แทนเซตของสมาชิกที่ชอบอ่านหนังสือพิมพ์
C แทนเซตของสมาชิกที่ชอบอ่านนิตยสาร
มี 75 คน ชอบอ่านนวนิยาย (บริเวณ a, b, d, e)
มี 70 คน ชอบอ่านหนังสือพิมพ์ (บริเวณ b, c, e, f)
มี 80 คน ชอบอ่านนิตยสาร (บริเวณ d, e, f, g)
A B
C
a b c
d
e
f
g
U = 100

a 2b c 2d 3e 2f g      = 75 70 80 
a 2b c 2d 3e 2f g      = 225 …..(1)
a b c d e f g      = 100 …..(2)
(2) 2; 2a 2b 2c 2d 2e 2f 2g      = 200 …..(3)
(1) (3); a c e g    = 25
e = 25 a c g  
เนื่องจาก a 0 , c 0 และ g 0 ดังนั้น e 25
ดังนั้น จะมีสมาชิกอย่างน้อย 25 คน ที่ชอบอ่านทั้ง 3 รายการ
27. ให้ a และ b เป็นจานวนจริง ถ้า 5
ax bx 4  หารด้วย 2
(x 1) ลงตัว แล้ว a b เท่ากับเท่าใด
หารสังเคราะห์
1 a 0 0 0 b 4
a a a a a b
1 a a a a a b 4 a b
a 2a 3a 4a
a 2a 3a 4a 5a b

  

เนื่องจาก 5
ax bx 4  หารด้วย 2
(x 1) ลงตัว จะได้ว่าเศษเป็นศูนย์
นั่นคือ 4 a b  = 0 …..(1)
5a b = 0 …..(2)
(2) (1) ; 4 4a  = 0
a = 1
แทน a 1 ใน (2) จะได้ 5(1) b = 0
b = 5
ดังนั้น a b 1 ( 5) 6    

28. จงหาค่าของ 2 o o o o
2sin 60 (tan 5 +tan 85 ) 12sin 70
2
2sin 60 (tan5 tan85 ) 12sin70 
=
2
3
2 (tan5 cot5 ) 12sin70
2
 
   
 
=
3 sin5 cos5
2 12sin70
4 cos5 sin5
  
   
  
=
2 2
3 sin 5 cos 5
12sin70
2 cos5 sin5
 
 
 
=
3 1
12sin70
2 cos5 sin5
 
 
 
=
3
12sin70
sin10

=
3 12sin70 sin10
sin10

=
3 6(2sin70 sin10 )
sin10

=
3 6(cos60 cos80 )
sin10
 
=
1
3 6 cos80
2
sin10
 
  
 
=
3 3 6cos80
sin10
 
=
6cos80
cos80
= 6
co-function

29. ให้ A เป็นเซตคาตอบของสมการ 2
arccos(x) arccos(x 3) arccos( 1 x )   และให้ B เป็น
เซตคาตอบของสมการ arccos(x) arcsin(x) arcsin(1 x)   จานวนสมาชิกของเซต
P(A B) เท่ากับเท่าใด เมื่อ P(S) แทนเพาเวอร์เซตของเซต S
หาเซต A
ให้ a = arccos(x)
cosa = x
ให้ b = arccos(x 3)
cosb = x 3
ให้ c =
2
arccos( 1 x )
cosc = 2
1 x
arccos(x) =
2
arccos(x 3) arccos( 1 x ) 
arccos(x 3) =
2
arccos(x) arccos( 1 x ) 
b = a c
cosb = cos(a c)
cosb = cosa cosc sinasinc
x 3 = 2 2
x 1 x 1 x x  
กรณี 1 x 0 ; x 3 =
2 2
x 1 x 1 x (x)  
x 3 = 0 (เป็นเท็จ)
กรณี 2 x 0 ; x 3 =
2 2
x 1 x 1 x (x)  
x 3 = 2
2x 1 x
2
3x = 2 2
4x (1 x )
2
3x = 2 4
4x 4x
4 2
4x x = 0
2 2
x (4x 1) = 0
x =
1 1
0, ,
2 2
 แต่ x 0 ดังนั้น 1
A 0,
2
 
  
 
a
1
x
b
1
c
1

หาเซต B
ให้ a = arccos(x)
cosa = x
ให้ b = arcsin x
sin b = x
ให้ c = arcsin(1 x)
sinc = 1 x
arccos(x) = arcsin(x) arcsin(1 x) 
a = b c
sina = sin(b c)
sina = sin bcosc cosbsinc
2
1 x =
2 2
(x)( 2x x ) ( 1 x )(1 x)   
2 2
1 x ( 1 x )(1 x)    =
2
(x)( 2x x )
2
1 x (1 1 x)   =
2
(x)( 2x x )
2
x 1 x = 2
x 2x x
2 2
x (1 x ) = 2 2
x (2x x )
2 4
x x = 3 4
2x x
3 2
2x x = 0
2
x (2x 1) = 0
x =
1
0,
2
B 0,
2
 
  
 
จะได้ว่า A B = 
n(A B) = 0
P(A B) 2 1  
a
1
x
x
b
1
c
1
1 – x

30. กาหนดให้ A, B และ C เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน (nonsingular matrix) มิติ 3 3 และ I เป็น
เมทริกซ์เอกลักษณ์การคูณ มิติ 3 3 ถ้า
a b c
A d e f
g h i
 
   
  
เมื่อ a, b, c, d, e, f, g, h และ i เป็น
จานวนจริง และ 3
A 2I , 1
det(C ) 4
 และ t
3g 3h 3i
B C a b c
2d 2e 2f
   
     
  
แล้ว det(B)
เท่ากับเท่าใด
จาก 3
A = 2I
3
det(A ) = det(2I)
 
3
det(A) = 3
2 det(I)
 
3
det(A) = 8(1)
det(A) = 2
จาก 1
det(C )
= 4
1
det(C)
= 4
det(C) =
1
4
t
B C =
3g 3h 3i
a b c
2d 2e 2f
   
    
  
t
det(B C) = ( 3)( 1)(2)det(A) 
t
det(B C) = 6(2)
t
det(B C) = 12
12 = t
det(B C)
12 = t
det(B )det(C)
12 =
1
det(B)
4
 
 
 
; t
det(B ) det(B)
det(B) = 48

31. ให้ 5 4 3 2
f(x) x ax bx cx dx e      เมื่อ a, b, c, d, e เป็นจานวนจริง ถ้ากราฟ y f(x)
ตัดกับกราฟ y 3x 2  ที่ x 1, 0, 1, 2  แล้วค่าของ f(3) f( 2)  เท่ากับเท่าใด
เนื่องจาก กราฟ f (x) ตัดกราฟ y 3x 2  ที่จุด x 1,0,1,2  แสดงว่าจุดที่ x 1,0,1,2  อยู่
บนกราฟ f (x) = 5 4 3 2
x ax bx cx dx e    
= (x 1)(x 0)(x 1)(x 2)(x k)     ; เมื่อ c เป็นค่าคงที่
และเนื่องจากกราฟของ y = f(x) ตัดกับกราฟของ y 3x 2  จึงต้องบวกด้วย 3x 2
จะได้ f (x) = (x 1)(x 0)(x 1)(x 2)(x k) 3x 2      
f (3) = (3 1)(3 0)(3 1)(3 2)(3 k) 3(3) 2      
f (3) = 83 24k …..(1)
f ( 2) = ( 2 1)( 2 0)( 2 1)( 2 2)( 2 k) 3( 2) 2            
f ( 2) = 54 24k  …..(2)
(1) (2); f(3) f( 2)  = 83 24k 52 24k  
= 135
32. กาหนดให้ 1z และ 2z เป็นจานวนเชิงซ้อน โดยที่ 1 2z z 3  และ 1 2z z 1  (เมื่อ z
แทนค่าสัมบูรณ์ของจานวนเชิงซ้อน z) ค่าของ 2 2
1 2z z เท่ากับเท่าใด
ให้ 1z a bi  และ 2z c di 
1 2z z = a bi c di  
= (a c) (b d)i  
1 2z z = 2 2
(a c) (b d)  
3 = 2 2
(a c) (b d)  
9 = 2 2
(a c) (b d)   …..(1)
1 2z z = a bi c di  
= (a c) (b d)i  
1 2z z = 2 2
(a c) (b d)  
1 = 2 2
(a c) (b d)  
1 = 2 2
(a c) (b d)   …..(2)

(1) (2) ; 10 = 2 2 2 2
(a c) (b d) (a c) (b d)      
10 = 2 2 2 2 2 2 2 2
a 2ac c b 2bd d a 2ac c b 2bd d          
10 = 2 2 2 2
2a 2b 2c 2d  
10 = 2 2 2 2
2(a b ) 2(c d )  
10 =
2 2
1 22 z 2 z

2 2
1 2z z = 5
33. ให้ A เป็นเซตของจานวนเชิงซ้อน z ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ 2 z 3z 9i 2   และ
2 (1 i)z
B w w
2 i

 

เมื่อ



z A เมื่อ 2
i 1  ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต B
หาเซต A ให้ z a bi 
2 z 3z = 9i 2
2 2
2 a b 3(a bi)   = 9i 2
2 2
2 a b 3a 3bi   = 9i 2
2 2
2 a b = (3a 2) (9 3b)i  
จะได้ 2 2
2 a b = 3a 2
2 2
4(a b ) = 2
9a 12a 4 
2 2
4a 4b = 2
9a 12a 4 
2 2
5a 4b 12a 4   = 0
2 2
5a 4( 3) 12a 4    = 0
2
5a 12a 32  = 0
(5a 8)(a 4)  = 0
a =
8
, 4
5

9 3b = 0
3b = 9
b = 3
แต่แทนค่า 8
a
5
  ในสมการ 2 2
2 a b 3a 2   แล้วเป็นเท็จ
ดังนั้น  A z 4 3i  

หาเซต B w =
(1 i)z
2 i


w =
1 i z
2 i


=
2 2 2 2
2 2
1 1 4 ( 3)
2 1
  

=
2 25
5
2
w =
2(25)
5
= 10
ดังนั้น ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต B เท่ากับ 10
34. ลาดับเรขาคณิตชุดหนึ่ง มีอัตราส่วนร่วมเป็นจานวนจริงบวก ถ้าผลบวกของสองพจน์แรก
เท่ากับ 20 และผลบวกของสี่พจน์แรก เท่ากับ 65 แล้วผลบวกของหกพจน์แรกเท่ากับเท่าใด
เฉลย ตอบ 166.25
กาหนดลาดับเรขาคณิต 1 2 3a , a , a , ...
2a = 1a r
3a = 2
1a r
1 2a a = 1 1a a r
20 = 1 1a a r
1 2 3 4a a a a   = 2 3
1 1 1 1a a r a r a r  
65 = 2 3
1 120 a r a r 
45 = 2 3
1 1a r a r
45 = 2
1 1r (a a r)
45 = 2
r (20)
2
r =
45
20
=
9
4

ดังนั้น 1 2 3 4 5 6a a a a a a     = 4 5
1 2 3 4 1 1(a a a a ) a r a r    
= 4
1 165 r (a a r) 
=
2
9
65 (20)
4
 
 
 
= 166.25
35. จงหาค่าของ 2 2 2 2 2 2n
1 1 1 1 1 1 1
lim 1 1 ... 1
n 1 2 2 3 n (n 1)
 
           
na = 2 2
1 1
1
n (n 1)
 

=
2 2 2 2
2 2
n (n 1) (n 1) n
n (n 1)
   

=
2 2
2 2
n (n 1) 2n(n 1) 1
n (n 1)
   

=
2
2 2
(n(n 1) 1)
n (n 1)
 

=
n(n 1) 1
n(n 1)
 

=
1
1
n(n 1)


=
1 1
1
n n 1
 

2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 ... 1
1 2 2 3 n (n 1)
        

=
1 1 1 1 1 1
1 1 ... 1
1 2 2 3 n n 1
     
             
     
=
n
1 1
(1 1 1)
1 n 1
 
     
 
=
1
n 1
n 1
 
  
 
=
n(n 2)
n 1


ตัว

ดังนั้น n
1 n(n 2)
lim
n n 1
 
 
 
=
n
n 2
lim
n 1


=
n
2
1
nlim
1
1
n



= 1
36. กาหนดให้ n
nt 2 เมื่อ n 1, 2, 3, ... และ n nt t
na 5 5
  เมื่อ n 1, 2, 3, ...
ค่าของ n 1
n
1 2 n
a
lim
a a ...a


n 1
1 2 n
a
a a a

=
n 1 n 1
n n
2 2
2 2 4 4 2 2
5 5
(5 5 )(5 5 )...(5 5 )
 

  

  
=
n 1 n 1
n n
2 2 2 2
2 22 2 4 4 2 2
5 5 5 5
5 5(5 5 )(5 5 )...(5 5 )
 
 
  
  
 
    
=
n 1 n 1
n n
2 2 2 2
4 4 4 4 2 2
(5 5 )(5 5 )
(5 5 )(5 5 )...(5 5 )
 
 
  
 
  
=
n 1 n 1
n 1 n 1
2 2 2 2
2 2
(5 5 )(5 5 )
5 5
 
 
 

 

=
n 1
n 1
n 1
n 1
2 2 2
2
2
2
1
5 (5 5 )
5
1
5
5




 
  
 

n 1
n
1 2 n
a
lim
a a a


=
n 1
n 1
n 1
n 1
2 2 2
2
n 2
2
1
5 (5 5 )
5lim
1
5
5






 
  
 

= 2 2
5 5

=
1
25
25

= 24.96
0
0

37. กาหนดให้ R แทนเซตของจานวนจริง ถ้า f :R R และ g : R R เป็นฟังก์ชัน โดยที่
f(x) 2x 3  และ 3 2
(g f)(x) 8x 44x 80x 48    สาหรับทุกจานวนจริง x แล้วค่าของ
6
0
f(g(x))dx เท่ากับเท่าใด
ให้ a 2x 3 
a 3
x
2


(g f)(x) = 3 2
8x 44x 80x 48  
g(f(x)) = 3 2
8x 44x 80x 48  
g(2x 3) = 3 2
8x 44x 80x 48  
g(a) =
3 2
a 3 a 3 a 3
8 44 80 48
2 2 2
       
       
     
= 3 2 2
a 9a 27a 27 11(a 6a 9) 40(a 3) 48        
= 3 2 2
a 9a 27a 27 11a 66a 99 40a 120 48        
= 3 2
a 2a a 
 g(x) = 3 2
x 2x x 
f(g(x)) = 3 2
f(x 2x x) 
= 3 2
2(x 2x x) 3  
= 3 2
2x 4x 2x 3  
6
0
f(g(x))dx =
6
3 2
0
(2x 4x 2x 3)dx  
=
64 3 2
0
2x 4x 2x
3x
4 3 2
 
   
 
=
64 3
2
0
x 4x
x 3x
2 3
 
   
 
= (648 288 36 18) 0   
= 990

38. กาหนดให้ R แทนเซตของจานวนจริง กาหนด 2
g(x) x x 3   สาหรับทุกจานวนจริง x
ถ้า f :R R เป็นฟังก์ชัน และสอดคล้องกับ
2
(f g)(x) 2(f g)(1 x) 6x 10x 17    
2
2(f g)(x) (f g)(1 x) 6x 2x 13    
ค่าของ f(383) เท่ากับเท่าใด
(f g)(x) = f(g(x))
= 2
f(x x 3) 
ให้ 2
x x 3  = 383
2
x x 380  = 0
(x 19)(x 20)  = 0
x = 19, 20
แทน x 19 จะได้ f(383) 2(f g)( 18)  = 2
6(19) 10(19) 17 
f(383) 2(f g)( 18)  = 2,166 190 17 
f(383) 2(f g)( 18)  = 1,993 …..(1)
2f(383) (f g)( 18)  = 2
6(19) 2(19) 13 
2f(383) (f g)( 18)  = 2,166 38 13 
2f(383) (f g)( 18)  = 2,141 …..(2)
(2) 2; 4f(383) 2(f g)( 18)  = 4,282 …..(3)
(3) (1); 3f(383) = 2,289
f(383) = 763
หมายเหตุ ถ้าแทน x 20  ก็จะได้ f(383) 763

39. กาหนดให้ 3
f(x) x ax b   เมื่อ a และ b เป็นจานวนจริงที่แตกต่างกัน และให้ 1L และ 2L
เป็นเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ที่ x a และ x b ตามลาดับ ถ้า 1L ขนานกับ 2L และ
h 0
9h
lim 1
f(1 h) f(1)

 
แล้วค่าของ
2
0
f(x)dx เท่ากับเท่าใด
f (x) = 3
x ax b 
f (x) = 2
3x a ที่ x a จะได้ 2
f (a) 3a a  
ที่ x b จะได้ 2
f (b) 3b a  
แต่ 1 2L / / L จะได้ว่า f (a) = f (b)
2
3a a = 2
3b a
a = ±b
แต่โจทย์กาหนดว่า a และ b เป็นจานวนจริงที่แตกต่างกัน จะได้ a b 
จาก h 0
9h
lim
f(1 h) f(1)  
= 1
h 0
h
lim
f(1 h) f(1)  
=
1
9
h 0
f(1 h) f(1)
lim
h
 
= 9
f (1) = 9
2
3(1) a = 9
a = 6
จะได้ b = 6
f(x) x 6x 6  
2
0
f(x)dx =
2
3
0
f(x 6x 6)dx 
=
24 2
0
x 6x
6x
4 2
 
  
 
=
24
2
0
x
3x 6x
4
 
  
 
= (4 12 12) 0  
= 4

40. จงหาค่าของ

3 2
2π
x
4
(cot x 1)cosec x
lim
1+cos 2x 2sin x


3 2
2
x
4
(cot x 1)cosec x
lim
1 cos2x 2sin x


 
=
2 2
2 2
x
4
(cot x 1)(cot x cot x 1)cosec x
lim
1 (2cos x 1) 2sin x

  
  
=
2 2
2 2
x
4
cos x sin x
(cot x cot x 1)cosec x
sin x
lim
2(cos x sin x)

 
  
 

=
2 2
x
4
(cos x sin x)(cot x cot x 1)cosec x
lim
2sin x(cos x sin x)(cos x sin x)

  
 
=
2 3
x
4
(cot x cot x 1)cosec x
lim
2(cos x sin x)

 

=
2 3
cot cot 1 cosec
4 4 4
2 cos sin
4 4
    
   
  
  
 
 
=
  
3
1 1 1 2
1 1
2
2 2
 
 
 
 
=
6 2
4
2
= 3

41. ให้ S เป็นเซตของพหุนาม 3 2
f(x) ax bx cx d    โดยที่ a, b, c, d เป็นสมาชิกในเซต
{0, 1, 2, ...} ซึ่งมีสมบัติสอดคล้องกับ 2a b c d 4    จานวนสมาชิกของเซต S เท่ากับ
เท่าใด
จาก 2a b c d 4   
ถ้า a 2; 4 b c d   = 4
b c d  = 0
จะได้ชุด (0, 0, 0) จานวน 3!
1
3!
 แบบ
ถ้า a 1; 2 b c d   = 4
b c d  = 2
3
2!
 แบบ
3
2!
 แบบ
ถ้า a 0; 0 b c d   = 4
b c d  = 4
3
2!
 แบบ
จะได้ชุด (0, 1, 3) จานวน 3! 6 แบบ
3
2!
 แบบ
3
2!
 แบบ
ดังนั้น จานวนสมาชิกของ S = 1 3 3 3 6 3 3     
= 22

42. ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วยจานวน 11, 3, 6, 3, 5, 3, x ให้ S เป็นเซตของ x ที่เป็นไปได้
ทั้งหมด ซึ่งทาให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม ของข้อมูลชุดนี้ มีค่าแตกต่างกัน
ทั้งหมด และในบรรดาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม เหล่านี้นามาจัดเรียงกันใหม่
จากน้อยไปมากแล้วเป็นลาดับเลขคณิต จงหาผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต S
เรียงข้อมูลใหม่ (โดยยังไม่รวม x) จากน้อยไปมาก จะได้ 3, 3, 3, 5, 6, 11
ซึ่งทาให้ได้ว่า Mode 3
และ x ต้องมากกว่า 3 เพราะว่า ถ้า x 3 แล้ว Med 3 ด้วย
พิจารณาตาแหน่งของ Med
3 3 3 5 6 11
 ถ้าตาแหน่งของ Med 4 จะได้ Med x; x (3, 5] 
 ถ้าตาแหน่งของ Med 5 หรือ 6 หรือ 7 จะได้ Med 5
กรณี Med = x จะได้ X =
3 3 3 x 5 6 11
7
     
=
31 x
7

(ซึ่ง x 3 )
ซึ่ง x 3 จะได้ X >
31 3
7

X > 4.86
ลาดับ Mode X Med
ไม่เป็นลาดับเลขคณิต
3 มากกว่า 4.86

ลาดับ Mode Med X
เป็นลาดับเลขคณิตได้โดย
d = x 3 =
31 x
x
7


2x 3 =
31 x
7

14x 21 = 31 x
13x = 52
x = 4
กรณี Med = 5 จะได้ลาดับเลขคณิต Mode Med X มี d 2
ทาให้ได้ว่า X 7
X =
3 3 3 5 6 11 x
7
     
7 =
31 x
7

x = 18
ดังนั้น ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดใน S 4 18 22  
43. มีหนังสือที่แตกต่างกัน 5 เล่ม คือ หนังสือ ก หนังสือ ข หนังสือ ค หนังสือ ง และ หนังสือ จ สุ่ม
เลือกหนังสือเหล่านี้มาครั้งละ 3 เล่ม ความน่าจะเป็นที่จะได้หนังสือ ก หรือ หนังสือ ข เท่ากับ
เท่าใด
5 5!
n(S) 10
3 2!3!
 
   
 
วิธี
ให้ E แทนเหตุการณ์ที่สุ่มหยิบแล้วได้หนังสือ ค หนังสือ ง และหนังสือ จ
n(E) 1 วิธี
n(E) 1
P(E) 0.1
n(S) 10
  
ความน่าจะเป็นที่จะสุ่มหยิบหนังสือแล้วได้หนังสือ ก หรือหนังสือ ข = 1 0.1
= 0.9
3 มากกว่า 4.86

ข้อมูลต่อไปนี้ สำหรับตอบคำถำมข้อ 44-45
ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่ง มีนักเรียนจานวน 30 คน ปรากฏว่ามีนักเรียน 17
คน สอบได้คะแนนในช่วง 10-39 คะแนน มีนักเรียน 10 คน สอบได้คะแนนในช่วง 40-49 คะแนน และมี
นักเรียน 3 คน สอบได้คะแนนในช่วง 50-59 คะแนน
44. ถ้าแบ่งคะแนนเป็นเกรด 3 ระดับ คือ เกรด A เกรด B และเกรด C โดยที่ 10% ของนักเรียนได้
เกรด A และ 20% ของนักเรียนได้เกรด B แล้ว คะแนนสูงสุดของเกรด C เท่ากับกี่คะแนน
ช่วงคะแนน จานวนนักเรียน (คน) ความถี่สะสม
10-39 17 17
40-49 10 27
50-59 3 30
30
คะแนนสูงสุดของเกรด C อยู่ตาแหน่ง 70P
ตาแหน่ง 70
70(30)
P 21
100
  (อยู่ในอันตรภาคชั้น 40-49)
 70P =
21 17
39.5 (10)
10
 
 
 
= 39.5 4
= 43.5
ดังนั้น คะแนนสูงสุดของเกรด C เท่ากับ 43.5 คะแนน

45. จากข้อมูลข้างต้น สมมุติว่าคะแนนมีการแจกแจงปกติ มีสัมประสิทธิ์การแปรผันเป็น 1
3
ถ้า
คะแนนสูงสุดของเกรด B มีคะแนนมาตรฐานเป็น 1.5 แล้ว คะแนนเฉลี่ยของนักเรียนห้องนี้
เท่ากับกี่คะแนน
คะแนนสูงสุดของเกรด B อยู่ตาแหน่ง 90P
ตาแหน่ง 90
90(30)
P 27
100
 
จากตารางในข้อ 44 จะได้ว่า 90P อยู่ในอันตรภาคชั้น 40-49
ซึ่งตาแหน่งของ 90P เท่ากับความถี่สะสมของอันตรภาคชั้น 40-49 พอดี
จะได้ว่า 90P = ขอบบนของอันตรภาคชั้น 40-49
 90P = 49.5
จาก z =
x X
s

1.5 =
49.5 X
s

…..(1)
1.5 =
49.5 X
s s

1.5 =
49.5
3
s

s = 11
แทน s 11 ใน (1) จะได้ 1.5 =
49.5 X
11

16.5 = 49.5 X
X = 33
ดังนั้น คะแนนเฉลี่ยของนักเรียนห้องนี้เท่ากับ 33 คะแนน
จะได้

46. จงหาจานวนวิธีทั้งหมดในการจัด ชาย 3 คน และหญิง 3 คน ซึ่งมี นาย ก. และ นางสาว ข.
รวมอยู่ด้วย ให้ยืนเป็นแถวตรง 2 แถวๆ ละ 3 คน โดยที่ นาย ก. และ นางสาว ข. ไม่ได้ยืน
ติดกันในแถวเดียวกัน
จัดชาย 3 คน หญิง 3 คน ยืนเป็นแถวตรง 2 แถว แถวละ 3 คน
จัดได้ 6! 720 วิธี
ถ้าให้ นาย ก กับนางสาว ข ยืนติดกัน คิดเป็น 5 คน
กรณี 1;
จัดได้
2
(2!)(4!)
1
 
 
 
= 96 วิธี
กรณี 2;
จัดได้
2
(2!)(4!)
1
 
 
 
= 96 วิธี
ดังนั้น จานวนวิธีที่ นาย ก และ นางสาว ข ไม่ได้ยืนติดกันในแถวเดียวกัน = 720 96 96 
= 528 วิธี
ก, ข อยู่แถวบน
ก, ข อยู่แถวล่าง

47. ถ้า d เป็นจานวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 และจานวน 1059, 1417 และ 2312 หารด้วย d แล้วมี
เศษเหลือเท่ากัน คือ r แล้วค่าของ d r เท่ากับเท่าใด
หา d d = ห.ร.ม. ของ (1,417 1,059) กับ (2,312 1,417)
= ห.ร.ม. ของ 358 กับ 895
2 358 895 2
358 716
0 179
จะได้ d 179
หาr 1,417 179 จะได้ 164
1,059 179 จะได้ 164
2,312 179 จะได้ 164
จะได้ r 164
ดังนั้น d r 179 164 343   
48. กาหนดให้ a, b, c และ d เป็นจานวนจริง ถ้ากราฟ y x 1 a b    
และกราฟ y x c d   ตัดกันที่จุด (2, 5) และ (8, 3) แล้วค่าของ a b c d   เท่ากับ
เท่าใด
กราฟ y x 1 a b     ตัดกับกราฟ y x c d   ที่จุด (2, 5) และ (8, 3) จะได้ว่า แทนค่า
ทั้งสองจุดลงในทั้ง 2 สมการ ต้องเป็นจริง
พิจารณาสมการ y = x 1 a b   
ที่จุด (2, 5) ; 5 = 2 1 a b   
5 = 1 a b   …..(1)
ที่จุด (8, 3) ; 3 = 8 1 a b   
3 = 7 a b   …..(2)
(1) (2); 2 = 1 a 7 a   

กรณี 1 ; a 1
2 = (1 a) (7 a)   
2 = 1 a 7 a   
2 = 6 (เป็นเท็จ)
กรณี 2 ; 1 a 7 
2 = (1 a) (7 a)  
2 = 1 a 7 a  
a = 3
กรณี 3 ; a 7
2 = (1 a) (7 a)  
2 = 1 a 7 a  
2 = 6 (เป็นเท็จ)
แทน a 3 ใน (1); 5 = 1 3 b  
5 = 2 b 
b = 7
พิจารณาสมการ y = x c d 
ที่จุด (2, 5) ; 5 = 2 c d  …..(3)
ที่จุด (8, 3) ; 3 = 8 c d  …..(4)
(3) (4); 2 = 2 c 8 c  
กรณี 1 ; c 2
2 = (2 c) (8 c)  
2 = 2 c 8 c  
2 = 6 (เป็นเท็จ)
กรณี 2 ; 2 c 8 
2 = (2 c) (8 c)   
2 = 2 c 8 c   
c = 6
กรณี 3 ; a 8
2 = (2 c) (8 c)   
2 = 2 c 8 c   
2 = 6 (เป็นเท็จ)

แทน c 6 ใน (3); 5 = 2 6 d 
5 = 4 d
d = 1
ดังนั้น a b c d 3 7 6 1 15       
49. กาหนดให้ ab เป็นจานวนสองหลัก โดยที่ a, b {1, 2, ..., 9} และ a เท่ากับสองเท่าของ b
ถ้า (310 ab) (465 ba) 2790    แล้ว a b เท่ากับเท่าใด
เนื่องจาก ab เป็นจานวนสองหลัก จะได้ว่า ab 10a b  …..(1)
และ ba 10b a  …..(2)
แต่ a 2b
แทนใน (1) ; ab 10(2b) b 21b  
แทนใน (2) ; ba 10b 2b 12b  
จาก (310 ab) (465 ba)   = 2,790
(310 21b) (465 12b)   = 2,790
6,510b 5,580b = 2,790
930b = 2,790
b = 3
จะได้ a 2(3) 6 
ดังนั้น a b 6 3 9   

50. กาหนด S เป็นเซตของ (a, b, c, d, e, f) โดยที่ a, b, c, d, e, f {0, 1, 2, ..., 9} ซึ่งมีสมบัติ
สอดคล้องกับ 3 2
a c 4  , b 2
2 d 7  และ 3 2
e f 1   จานวนสมาชิกของเซต S เท่ากับ
เท่าใด
S {a, b, c, d, e, f} โดยที่ a, b, c, d, e, f {0, 1, 2, ..., 9}
ใช้วิธีการแทนค่า
จาก 3 2
a c 4  แทนค่า a 2, c 2  จะได้ 3 2
2 2 4  เป็นจริง
จาก b 2
2 d 7  แทนค่า b 3, d 1  จะได้ 3 2
แทนค่า b 4, d 3  จะได้ 4 2
แทนค่า b 5, d 5  จะได้ 5 2
จาก 3 2
e f 1   แทนค่า e 0, f 1  จะได้ 3 2
0 1 1   เป็นจริง
แทนค่า e 2, f 3  จะได้ 3 2
2 3 1   เป็นจริง
จะได้ a 2 , b 3, 4, 5 , c 2 , d 1, 3, 5 , e 0, 2 , f 1, 3
ดังนั้น S {0, 1, 2, 3, 4, 5} ซึ่ง n(S) 6

Pat1

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (19)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Pat1

Similar to Pat1 (20)

More from Soraya Khamfu

More from Soraya Khamfu (11)

Pat1