เอกสารแนะแนวทางเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

1. เอกสารแนะแนวทางที่ 1 เรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
เรื่องย่อย แบบรูปและความสัมพันธ์
แบบรูป (pattern) แบบรูปเป็นหนึ่งในกลยุทธ์สาคัญที่เป็นพื้นฐานในการช่วยคิด
แก้ปัญหาต่าง ๆ ในชีวิตประจาวัน โดยที่เราได้เคยพบเห็นและได้ผ่านการใช้กระบวนการคิดวิเคราะห์
ด้วยเหตุผลกับแบบรูปในลักษณะต่าง ๆ กันมานานแล้ว เพียงแต่ยังไม่เห็นความสาคัญที่จะหยิบยกมา
กล่าวถึงกันอย่างจริงจัง ซึ่งแบบรูปที่จะกล่าวถึงนี้เป็นการนาเสนอแบบรูปในลักษณะต่าง ๆ เพื่อให้
นักเรียนได้เห็นรูปแบบของการจัดลาดับและการกระทาซ้าอย่างต่อเนื่อง และเพื่อเป็นการกระตุ้นให้
นักเรียนได้ใช้การสังเกต การวิเคราะห์ และการให้เหตุผลในการบอกความสัมพันธ์ของสิ่งต่าง ๆ
ที่สังเกตได้ และสามารถอธิบายความสัมพันธ์ต่างๆที่พบเห็นได้อย่างถูกต้องจนถึงขั้นสรุปเป็นกฎเกณฑ์
และสามารถนาความรู้เรื่องแบบรูปไปใช้ในการแก้ปัญหาต่าง ๆ ตลอดจนสามารถสร้างแบบรูปขึ้นเอง
ได้โดยใช้ความคิดสร้างสรรค์ การคิดหาหรือสรุปแบบรูปของความสัมพันธ์นั้นสามารถคิดได้หลากหลาย
ไม่มีข้อจากัดว่าถูกหรือผิดตายตัว ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับการคิด การให้เหตุผล และประสบการณ์ของผู้มอง
แบบรูปอาจปรากฏให้เห็นในลักษณะต่าง ๆ กัน เช่น รูปภาพ จุด เส้น ประโยค ตัวเลข
สัญลักษณ์ต่าง ๆ เป็นต้น
ความสัมพันธ์ (relation) ในชีวิตประจาวันเราจะพูดถึงความสัมพันธ์ระหว่างคน สัตว์
สิ่งของ ฯลฯ มากมายหลายความสัมพันธ์ ซึ่งแต่ละความสัมพันธ์จะแตกต่างกันออกไปขึ้นกับว่าเรา
เป็นผู้กาหนดว่าจะใช้เงื่อนไขใดเป็นตัวกาหนดให้เกิดความสัมพันธ์กันในรูปแบบใด
ตัวอย่างที่ 1.
1.1) พิจารณาแบบรูปต่อไปนี้
7 9 11 13 15 17 ..... ..... 23 25
จานวนที่เว้นว่างไว้คือจานวนอะไร
วิธีทา
พิจารณาจาก 7 = 7
9 = 7 + 2
11 = 7 + 2 + 2
13 = 7 + 2 + 2 + 2
15 = 7 + 2 + 2 + 2 + 2
17 = 7 + 2 + 2 + 2 + 2 +2
19 = 7 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
21 = 7 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
23 = 7 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
25 = 7 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +2
จะเห็นว่า จานวนที่กาหนดให้มีการเพิ่มขึ้นครั้งละ 2 เท่าๆกัน
ดังนั้น จานวนที่เว้นว่างไว้ คือ 21 และ 23
ตอบ 21 และ 23

2. 2
1.2) พิจารณาแบบรูปต่อไปนี้
11 14 17 20 23 ..... ..... 32 35
จานวนที่เว้นว่างไว้คือจานวนอะไร
วิธีทา
พิจารณาจาก 11 = 11
14 = 11 + 3
17 = 11 + 3 + 3
20 = 11 + 3 + 3 + 3
23 = 11 + 3 + 3 + 3 + 3
26 = 11 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
29 = 11 + 3 +3 + 3 + 3 + 3 + 3
32 = 11 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
35 = 11 + 3 + 3 + 3+ 3 + 3+ 3 + 3 + 3
จะเห็นว่า จานวนที่กาหนดให้มีการเพิ่มขึ้นครั้งละ 3 เท่า ๆ กัน
ดังนั้น จานวนที่เว้นว่างไว้ คือ 26 และ 29
ตอบ 26 และ 29
จากตัวอย่างที่ 1 ข้อ 1.1) และ 1.2) สรุปได้ว่า ทั้ง 2 ข้อนี้มีความเหมือนกันในลักษณะ เพิ่มขึ้นครั้ง
ละเท่า ๆ กัน
จากตัวอย่างที่ 1 ข้อ 1.1) และ 1.2) สรุปได้ว่า ทั้ง 2 ข้อนี้มีความเหมือนกันในลักษณะ
เพิ่มขึ้นครั้งละเท่าๆกัน
ตัวอย่างที่ 2
2.1) พิจารณาแบบรูปต่อไปนี้
35 31 27 23 19 ..... 11 ..… 3
จานวนที่เว้นว่างไว้คือจานวนอะไร
วิธีทา
พิจารณาจาก 35 = 35
31 = 35 – 4
27 = 35 – 4 – 4
23 = 35 – 4 – 4 – 4
19 = 35 – 4 – 4 – 4 – 4
15 = 35 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4
11 = 35 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4
7 = 35 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4
3 = 35 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4

3. 3
จะเห็นว่า จานวนที่กาหนดให้มีการลดลงครั้งละ 4 เท่า ๆ กัน
ดังนั้น จานวนที่เว้นว่างไว้ คือ 15 และ 7
ตอบ 15 และ 7
2.2) พิจารณาแบบรูปต่อไปนี้
56 50 44 38 32 ..... 20
จานวนที่เว้นว่างไว้คือจานวนอะไร
วิธีทา
พิจารณาจาก 56 = 56
50 = 56 – 6
44 = 56 – 6 – 6
38 = 56 – 6 – 6 – 6
32 = 56 – 6 – 6 – 6 – 6
26 = 56 – 6 – 6 – 6 – 6 – 6
20 = 56 – 6 – 6 – 6 – 6 – 6 – 6
จะเห็นว่า จานวนที่กาหนดให้มีการลดลงครั้งละ 6 เท่า ๆ กัน
ดังนั้น จานวนที่เว้นว่างไว้ คือ 26
ตอบ 16
จากตัวอย่างที่ 2 ข้อ 2.1) และ 2.2) สรุปได้ว่า ทั้ง 2 ข้อนี้มีความเหมือนกันในลักษณะ
ลดลงครั้งละเท่า ๆ กัน
ตัวอย่างที่ 3
3.1) พิจารณาแบบรูปต่อไปนี้
27 15 32 12 37 9 42 6 ..... 3
จานวนที่เว้นว่างไว้คือจานวนอะไร
วิธีทา
พิจารณาจาก 27 = 27
32 = 27 + 5
37 = 27 + 5 + 5
42 = 27 + 5 + 5 + 5
47 = 27 + 5 + 5 + 5 + 5
และพิจารณาอีก 1 ชุด คือ 15 = 15
12 = 15 – 3
9 = 15 – 3 – 3
6 = ……………………………………….
3 = ……………………………………….

4. 4
1 2 3 4 ..... ...... ….. ......
จะเห็นว่า ……………………………………….…………………………………………………………………….……….
……………………………………….……………………………………….…………………………………….
ดังนั้น จานวนที่เว้นว่างไว้ คือ ……………………………………….
ตอบ ……………………………………….
3.2) พิจารณาแบบรูปต่อไปนี้
10 32 20 28 30 24 40 20 ..... 16
จานวนที่เว้นว่างไว้คือจานวนอะไร
วิธีทา
พิจารณาจาก 10 = 10
20 = 10 + 10
30 = ……………………………………….
40 = ……………………………………….
50 = ……………………………………….
พิจารณาอีก 1 ชุดคือ 32 = 32
28 = 32 – 4
24 = ……………………………………….
20 = ……………………………………….
จะเห็นว่า ……………………………………….…………………………………………………………………….……….
……………………………………….……………………………………….…………………………………….
ดังนั้น จานวนที่เว้นว่างไว้ คือ ……………………………………….
ตอบ ……………………………………….
ตัวอย่างที่ 4 พิจารณาแบบรูปต่อไปนี้
10 11 13 16 20 25 ..… ..... 46
จานวนที่เว้นว่างไว้คือจานวนอะไร
วิธีทา
พิจารณาจาก
10 11 13 16 20 25 … ... 46
จะเห็นว่าจานวนที่กาหนดให้มีการลดลงครั้งละ ………………………………………..
ดังนั้น จานวนที่เว้นว่างไว้ คือ …………….. และ …………….

5. 5
ตัวอย่างที่ 5 พิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างลาดับที่กับจานวนซึ่งกาหนดให้ดังแบบรูปต่อไปนี้
ลาดับที่ 1 2 3 4 5 6
จานวน 5 10 15 20
จงหาจานวนในลาดับที่ 5 และ 6
วิธีทา
จากตารางจะเห็นว่า จานวนที่อยู่ในแถวลำดับที่เป็นจานวนนับ 1, 2, 3, 4, ... และจานวน
ที่อยู่ในแถวของจำนวน เป็น 5 เท่าของจานวนที่เป็นลาดับที่ ซึ่งอยู่ในหลักเดียวกัน เช่น
ลาดับที่ 2 จะสัมพันธ์กับ 10 ซึ่งเท่ากับ 5 x 2 และลาดับที่ 3 จะสัมพันธ์กับ 15
ซึ่งเท่ากับ 5 x 3
ดังนั้น ลาดับที่ 5 จะสัมพันธ์กับ 25 ซึ่งเท่ากับ 5 x 5 และลาดับที่ 6 สัมพันธ์กับ 30
ซึ่งเท่ากับ 5 x 6
ดังนั้น สามารถเติมคาตอบลงในตารางได้ดังนี้
ลาดับที่ 1 2 3 4 5 6
จานวน 5
(5 x 1)
10
(5 x 2)
15
(5 x 3)
20
(5 x 4)
25
(5 x 5)
30
(5 x 6)
นอกจากนี้ยังสามารถหาจานวนในลาดับต่อไปได้อีกเรื่อย ๆ ดังนั้นถ้าเรามีลาดับที่ซึ่งยังไม่ได้
ระบุจานวนที่แน่นอน จะใช้อักษรภาษาอังกฤษเช่น n แทนลาดับที่นั้น เรียก n ว่า ตัวแปร
จากตัวอย่างที่ 5 สามารถเขียนความสัมพันธ์ระหว่างลาดับที่กับจานวน จะได้ว่าให้ n แทน
ลาดับที่จานวนที่สัมพันธ์กับลาดับที่ n จะเป็น 5 เท่าของ n เขียนเป็น 5 x n หรือ 5n
ตัวอย่างที่ 6 จานวนนับ
พิจารณาแบบรูปของจานวนนับต่อไปนี้
1 , 3 , 7 , 15 , 31 , …
จากแบบรูปของจานวนนับที่กาหนดให้จงหาจานวนในลาดับต่อไปอีก 3 ลาดับ
วิธีทา
……………………………………………………………………………………………………………………..………..……………
……………………………………………………………………………………………………………………..………..……………
……………………………………………………………………………………………………………………..………..……………
……………………………………………………………………………………………………………………..………..……………
……………………………………………………………………………………………………………………..………..……………

6. 6
ตัวอย่างที่ 7 สถานการณ์ปูกระเบื้อง
รูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3
จากวิธีปูกระเบื้องในรูปพบว่า
ถ้าเรียงกระเบื้องลายทาง 1 แผ่น จะต้องใช้กระเบื้องลายจุด 8 แผ่นล้อมรอบกระเบื้องลายทาง
ถ้าเรียงกระเบื้องลายทาง 2 แผ่น จะต้องใช้กระเบื้องลายจุด 10 แผ่นล้อมรอบกระเบื้องลายทาง
คาถาม
1. จะต้องใช้กระเบื้องลายจุดกี่แผ่นถ้าจานวนกระเบื้องลายทางเท่ากับ 4 แผ่น
2. จะต้องใช้กระเบื้องลายจุดกี่แผ่นถ้าจานวนกระเบื้องลายทางเท่ากับ 7 แผ่น
3. ถ้ามีกระเบื้องลายจุด 100 แผ่น กระเบื้องลายทางด้านในจะมีกี่แผ่น
4. ถ้าใช้กระเบื้องลายทาง n แผ่น จะต้องใช้กระเบื้องลายจุดกี่แผ่น
วิธีทา จากความสัมพันธ์ระหว่างกระเบื้องลายทางและกระเบื้องลายจุดสามารถนามาเขียน
ความสัมพันธ์ได้ดังนี้
……………………………………………………………………………………………………………………..………..……………
……………………………………………………………………………………………………………………..………..……………
……………………………………………………………………………………………………………………..………..……………
……………………………………………………………………………………………………………………..………..……………
……………………………………………………………………………………………………………………..………..……………
……………………………………………………………………………………………………………………..………..……………
ดังนั้น ถ้าเราเขียนเป็นความสัมพันธ์โดยใช้ตัวแปร จะได้ความสัมพันธ์ ดังนี้
……………………………………………………………………………………………………………………..………..……………
……………………………………………………………………………………………………………………..………..……………
1. ถ้าจานวนกระเบื้องลายทางเท่ากับ 4 แผ่น ต้องใช้กระเบื้องลายจุด ……………………... แผ่น
2. ถ้าจานวนกระเบื้องลายทางเท่ากับ 7 แผ่น ต้องใช้กระเบื้องลายจุด ……………………... แผ่น
3. ถ้ามีกระเบื้องลายจุด 100 แผ่น สามารถหาจานวนกระเบื้องลายทางได้ ดังนี้
……………………………………………………………………………………………………………………..………..……………
……………………………………………………………………………………………………………………..………..……………
……………………………………………………………………………………………………………..…………………..………..
4. ถ้าใช้กระเบื้องลายทาง n แผ่น จะต้องใช้กระเบื้องลายจุด …………………………..……... แผ่น

7. 7
ตัวอย่างที่ 8 ไม้ขีดไฟ
รูปข้างบนเกิดจากการนาก้านไม้ขีดไฟมาเรียงต่อกัน ให้เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน 1 ด้าน
ร่วมกัน
1. ถ้าวางเรียงไม้ขีดเพิ่มให้มีรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด 6 รูป 7 รูป 8 รูป 9 รูป
และ 10 รูป จะต้องใช้ไม้ขีดทั้งหมดกี่ก้าน
2. ถ้าวางเรียงไม้ขีดเพิ่มให้มีรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด 100 รูป จะต้องใช้ไม้ขีดทั้งหมดกี่ก้าน
วิธีทา
……………………………………………………………………………………………………………………..………..……………
……………………………………………………………………………………………………………………..………..……………
……………………………………………………………………………………………………………………..………..……………
……………………………………………………………………………………………………………………..………..……………
……………………………………………………………………………………………………………………..………..……………
……………………………………………………………………………………………………………………..………..……………
ดังนั้น ถ้าเราเขียนเป็นความสัมพันธ์โดยใช้ตัวแปร จะได้ความสัมพันธ์ดังนี้
……………………………………………………………………………………………………………………..………..……………
……………………………………………………………………………………………………………………..………..……………
คาตอบ
1. ถ้าวางเรียงไม้ขีดเพิ่มให้มีรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด 6 รูป
จะต้องใช้ไม้ขีดทั้งหมด …………………………………………………….. ก้าน
ถ้าวางเรียงไม้ขีดเพิ่มให้มีรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด 7 รูป
จะต้องใช้ไม้ขีดทั้งหมด …………………………………………………….. ก้าน
ถ้าวางเรียงไม้ขีดเพิ่มให้มีรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด 8 รูป
จะต้องใช้ไม้ขีดทั้งหมด …………………………………………………….. ก้าน
ถ้าวางเรียงไม้ขีดเพิ่มให้มีรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด 9 รูป
จะต้องใช้ไม้ขีดทั้งหมด …………………………………………………….. ก้าน
และถ้าวางเรียงไม้ขีดเพิ่มให้มีรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด 10 รูป
จะต้องใช้ไม้ขีดทั้งหมด …………………………………………………….. ก้าน
2. ถ้าวางเรียงไม้ขีดเพิ่มให้มีรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด 100 รูป
จะต้องใช้ไม้ขีดทั้งหมด …………………………………………………….. ก้าน

8. 8
สรุป
ความสัมพันธ์ (relation) เกิดจาก....................................................................................
..............................................................................................................................................................
แบบรูป (pattern) คือ ...........................................................................................
............................................................................................................................. .....................
............................................................................................................................. .....................
บันทึกเพิ่มเติม

9. 9
เอกสารแนะแนวทางที่ 2 เรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
เรื่องย่อย แบบรูปและความสัมพันธ์
สถานการณ์เก่งซื้อข้าวสาร
พิจารณาปัญหาต่อไปนี้
เก่งสั่งซื้อข้าวสารจากร้านค้า ราคาถุงละ 80 บาท และให้ทางร้านนามาส่งที่บ้าน
ซึ่งต้องเสียค่าส่งเที่ยวละ 50 บาท ถ้าเขาจ่ายเงินซื้อข้าวสารครั้งนี้ไปทั้งหมด 690 บาท
อยากทราบว่าเก่งซื้อข้าวสารกี่ถุง
วิธีหาคาตอบอาจหาจานวนข้าวสารโดยวิธีลองหาจานวนเงินที่จ่าย เมื่อเพิ่มจานวนข้าวสาร
ทีละถุงจนกว่าจะจ่ายเงิน 690 บาท วิธีนี้จะต้องหาจานวนเงินถึง 8 ครั้ง จึงจะจ่ายเงิน 690 บาท
ดังตาราง ซึ่งทาให้เสียเวลามาก
จานวนข้าวสาร
(ถุง)
ค่าข้าวสาร
(บาท)
ค่าส่ง
(บาท)
จานวนเงินที่จ่าย
(บาท)
1 1×80 50 ( ) 130=50+1×80
2 2×80 50 ( ) 210=50+2×80
3 3×80 50 ( ) 290=50+3×80
4 4×80 50 ( ) 370=50+4×80
5 5×80 50 ( ) 450=50+5×80
6 6×80 50 ( ) 530=50+6×80
7 7×80 50 ( ) 610=50+7×80
8 8×80 50 ( ) 690=50+8×80
   
n n×80 50 ( ) 50+n×80

10. 10
ในทางคณิตศาสตร์เราจะหาแบบรูปของความสัมพันธ์ระหว่างจานวนข้าวสารกับจานวนเงินที่จ่าย เมื่อ
n แทนจานวนข้าวสารเป็นถุง จานวนเงินที่จ่ายเป็นค่าข้าวสาร n ถุง จะเท่ากับ ( ) 50+n×80
ถ้าจานวนเงินที่จ่ายเป็น 690 บาท เราสามารถเขียนแสดงความสัมพันธ์เพื่อหาจานวน
ข้าวสารได้ ดังนี้
( ) 690=50+n×80
เรียกประโยคนี้ว่า สมการ
จาก สมการ ( ) 690=50+n×80 เมื่อแทน n ด้วย 8 จะได้
( ) 50+640=50+8×80
690
ดังนั้น เก่งซื้อข้าวสารมา 8 ถุง
ในการหาคาตอบของเก่งดังตารางข้างต้นนี้เป็นการลองแทนค่า n ด้วย 1, 2, 3, 4, ..., 8
ในสมการ ( ) 690=50+n×80 จนเมื่อแทน n ด้วย 8
จึงทาให้สมการ ( ) 690=50+n×80 เป็นจริง
สมการอาจมีตัวแปรหรือไม่มีตัวแปรก็ได้ เช่น ( ) 690=50+n×80 เป็นสมการที่มี n
เป็นตัวแปร และ 3 – 5 = -2 เป็นสมการที่ไม่มีตัวแปร
สมการ เป็นประโยคที่แสดงการเท่ากันของจานวนโดยมีสัญลักษณ์ = บอกการเท่ากัน

11. 11
เอกสารแนะแนวทางที่ 3 เรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
เรื่องย่อย คาตอบของสมการ
คาสั่ง จงพิจารณาว่าสมการเป็นจริงหรือไม่ เมื่อแทนตัวแปร x ด้วยค่าต่างๆที่กาหนดให้ในตาราง
ต่อไปนี้
สมการ ค่าของตัวแปร แทนค่าตัวแปร
สมการ
เป็นจริง ไม่เป็นจริง
x - 9 = -3
-2 (-3 ) - 9  -3 - 
0 0 - 9  -3
3 3 - 9  -3
6
y + 5 = 1
-6
-4
2
6
จากตารางข้างต้น จานวนที่นาไปแทนตัวแปร x และ y ในสมการแล้วทาให้สมการ
เป็นจริงคือคาตอบของสมการนั่นเอง
จากตาราง สามารถสรุปความหมายของ “คาตอบของสมการ” ได้ดังนี้
ตัวอย่างที่ 1 จงหาคาตอบของสมการ 2=7+a โดยวิธีลองแทนค่าตัวแปร
วิธีทา เนื่องจาก 2=7+(-9)
เมื่อแทน a ด้วย -9 ใน 2=7+a แล้วจะได้สมการเป็นจริง
ดังนั้น คาตอบของสมการ 2=7+a คือ -9
ตอบ -9
คาตอบของสมการ คือ ................................................................................................

12. 12
ตัวอย่างที่ 2 จงหาคาตอบของสมการ 12=4-b 2
โดยวิธีลองแทนค่าตัวแปร
วิธีทา เนื่องจาก 12=4-)(4 2
เมื่อแทน b ด้วย 4 ใน 12=4-b 2
แล้วจะได้สมการเป็นจริง
เนื่องจาก 124)4( 2

เมื่อแทน b ด้วย -4 ใน 12=4-b 2
แล้วจะได้สมการเป็นจริง
ดังนั้น คาตอบของสมการ 12=4-b 2
คือ 4 และ -4
ตอบ 4 และ -4
ตัวอย่างที่ 3 จงหาคาตอบของสมการ c+5=5+c โดยวิธีลองแทนค่าตัวแปร
วิธีทา เนื่องจาก เมื่อแทน c ด้วยจานวนใดๆ ใน
c+5=5+c แล้วจะได้สมการเป็นจริงเสมอ
ดังนั้น คาตอบของสมการ c+5=5+c คือ จานวนทุกจานวน
ตอบ จานวนทุกจานวน
ตัวอย่างที่ 4 จงหาคาตอบของสมการ d=d+2 โดยวิธีลองแทนค่าตัวแปร
วิธีทา เนื่องจาก ไม่มีจานวนใดแทน d ใน d=d+2 แล้วทาให้สมการเป็นจริง
ดังนั้น ไม่มีจานวนใดเป็นคาตอบของสมการ d=d+2
ตอบ ไม่มีจานวนใดเลย
จากตัวอย่างที่ 1, 2, 3 และ 4 สามารถจาแนกสมการได้ ...... แบบ ตามลักษณะคาตอบ
ของสมการ ดังนี้
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................

13. 13
เอกสารแนะแนวทางที่ 4 การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
เรื่องย่อย การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ในการแก้สมการ นอกจากจะใช้วิธีการแทนค่าตัวแปรเพื่อหาคาตอบของสมการแล้ว
เพื่อความรวดเร็วเราสามารถใช้สมบัติของการเท่ากันมาช่วยในการหาคาตอบ ได้แก่
1.สมบัติสมมาตร
การเขียนประโยคแสดงการเท่ากันของจานวน 2 จานวน สามารถเขียนได้ 2 แบบ
ตัวอย่างเช่น
1. x = 3 หรือ 3 = x
2. -3 + x = 1 หรือ 1 = -3 + x
3. 2 p = -11 หรือ -11 = 2 p
4. s = t + 1 หรือ t + 1 = s
5. a + b = c หรือ c = a + b
การเขียนแสดงการเท่ากันดังกล่าวเป็นไปตามสมบัติสมมาตร ซึ่งกล่าวว่า
2.สมบัติถ่ายทอด
การเขียนประโยคแสดงการเท่ากันของจานวนตั้งแต่ 2 จานวนขึ้นไป โดยใช้สมบัติของการ
เท่ากันทาให้ได้ข้อสรุป ดังตัวอย่างเช่น
1. ถ้า 2 = x และ x = y แล้วจะสรุปได้ว่า 2 = y หรือ y = 2
2. ถ้า พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส = ความยาวด้าน2
และ ความยาวด้าน2
= 64
แล้วจะสรุปได้ว่า พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส = 64
3. ถ้า c=b+a และ 6=c แล้วจะสรุปได้ว่า 6=b+a
4. ถ้า r=q×p และ 1+s2=r แล้วจะสรุปได้ว่า 1+s2=q×p
5. ถ้า y=x และ z=y แล้วจะสรุปได้ว่า z=x
การแก้สมการ คือ …………....................................……………………
ถ้า แล้ว เมื่อ และ แทนจานวนใด ๆ
ถ้า และ แล้ว เมื่อ a , b และ แทนจานวนใดๆ

14. 14
จงเติมข้อความลงในช่องว่างให้สมบูรณ์
1) ให้ x2
2
1
 ดังนั้น x2 ...............
2) ให้ qp  และ 4q  ดังนั้น 4.............. 
3) ให้ b1a2  ดังนั้น ............b 
4) ให้ t4s  และ 7t  ดังนั้น 4s ................
5) ให้
y
8
x  เมื่อ 0y  ดังนั้น 
y
8
..............
6) ให้ 1ab2  ดังนั้น ............... ab2 
7) ให้ 11xy  และ 11z  ดังนั้น xy ...............
8) ให้ q5p  ดังนั้น q ..............
9) ให้ n3m
5
2
 ดังนั้น .................. m
5
2

10) ให้ y
x2
1
 และ 12y  ดังนั้น 
x2
1
................
3.สมบัติการบวก
ถ้ามีจานวน 2 จานวนที่เท่ากัน เมื่อนาจานวนหนึ่งมาบวกกับแต่ละจานวนที่เท่ากันนั้น
ผลลัพธ์จะได้เท่ากัน เช่น
1. ถ้า x = -5 แล้ว x - 3 = -5 - 3
2. ถ้า 4=2×2 แล้ว ( ) 3+4=3+2×2
3. ถ้า 5y + 4 = 7 แล้ว (5y + 4) + (-4) = -7 + (-4)
4. ถ้า q=p แล้ว p + (-r) = q + (-r)
การเขียนแสดงการเท่ากันดังกล่าวเป็นไปตามสมบัติการบวก ซึ่งกล่าวว่า
หมำยเหตุ
จานวนที่นามาบวกกับแต่ละจานวนที่เท่ากันนั้น อาจเป็นจานวนบวกหรือจานวนลบก็ได้
การบวกแต่ละจานวนที่เท่ากันด้วยจานวนลบ ก็คือการนาจานวนบวกมาลบออก
จากทั้งสองจานวนที่เท่ากันนั้นเอง ดังนี้
ถ้า แล้ว เมื่อ และ แทนจานวนใด ๆ
ถ้า แล้ว เมื่อ และ แทนจานวน
ใดๆ

15. 15
4. สมบัติการคูณ
ถ้ามีจานวน 2 จานวนที่เท่ากัน เมื่อนาจานวนหนึ่งมาคูณกับแต่ละจานวนที่เท่ากันนั้น
ผลลัพธ์จะได้เท่ากัน เช่น
1. ถ้า
4
1
x3  แล้ว 4
4
1
43x)( 
2. ถ้า 422  แล้ว ( ) 3×4=3×2×2
3. ถ้า yx  แล้ว y2x2 
4. ถ้า nm  แล้ว n
4
1
m
4
1












 นั่นคือ n
4
1
m
4
1

5. ถ้า z
y
x
 และ 0y  แล้ว yzx 
การเขียนแสดงการเท่ากันดังกล่าวเป็นไปตามสมบัติการคูณ ซึ่งกล่าวว่า
หมำยเหตุ
จานวนที่นามาคูณกับแต่ละจานวนที่เท่ากันนั้น อาจเป็นจานวนเต็มหรือเศษส่วนก็ได้
การคูณแต่ละจานวนที่เท่ากันด้วยเศษส่วน เช่น
k
1
เมื่อ k เป็นจานวนเต็มใดๆ ที่ 0k 
ก็คือการนาจานวนเต็ม k มาหารทั้งสองจานวนที่เท่ากันนั้นเอง ทาให้สรุปได้ว่า
ตัวอย่างที่ 1 จงแก้สมการ 125x 
วิธีทา 125x 
นา 5 มาบวกทั้งสองข้างของสมการ
จะได้ 51255x 
17x 
ตรวจคาตอบ แทน x ด้วย 17 ในสมการ 125x 
จะได้ 12517  เป็นสมการที่เป็นจริง
ดังนั้น 17 เป็นคาตอบของสมการ 125x 
ตอบ 17
ถ้า แล้ว เมื่อ และ แทนจานวนใดๆ
ถ้า แล้ว เมื่อ a ,b และ แทนจานวนใดๆ ที่

16. 16
ตัวอย่างที่ 2 จงแก้สมการ
5
7
5
1
y 
วิธีทา
5
7
5
1
y 
นา
5
1
 มาบวกทั้งสองข้างของสมการ
จะได้
5
1
5
7
5
1
5
1
y 
5
6
y
5
17
y



ตรวจคาตอบ แทน y ด้วย
5
6
ในสมการ
5
7
5
1
y 
จะได้
5
7
5
1
5
6

5
7
5
7
 เป็นสมการที่เป็นจริง
ดังนั้น
5
6
เป็นคาตอบของสมการ
5
7
5
1
y 
ตอบ
5
6
ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ 7x
3
1

วิธีทา 7x
3
1

นา 3 มาคูณทั้งสองข้างของสมการ
จะได้ 73x
3
1
3 
21x 
ตรวจคาตอบ แทน x ด้วย 21 ในสมการ 7x
3
1


17. 17
จะได้ 721
3
1

77  เป็นสมการที่เป็นจริง
ดังนั้น 21 เป็นคาตอบของสมการ 7x
3
1

ตอบ 21
ตัวอย่างที่ 4 จงแก้สมการ 12y4 
วิธีทา 12y4 
นา
4
1
มาคูณทั้งสองข้างของสมการ
จะได้
4
12
4
y4

3y 
ตรวจคาตอบ แทน y ด้วย 3 ในสมการ 12y4 
จะได้ 1234 
1212  เป็นสมการที่เป็นจริง
ดังนั้น 3 เป็นคาตอบของสมการ 12y4 
ตอบ 3
ตัวอย่างที่ 5 จงแก้สมการ 53
2
x

วิธีทา 53
2
x

นา 3 มาบวกทั้งสองข้างของสมการ
จะได้ 3533
2
x

8
2
x

นา 2 มาคูณทั้งสองข้างของสมการ
จะได้ 82
2
x
2 
16x 

18. 18
ตรวจคาตอบ แทน x ด้วย 16 ในสมการ 53
2
x

จะได้ 53
2
16

538 
55  เป็นสมการที่เป็นจริง
ดังนั้น 16 เป็นคาตอบของสมการ 53
2
x

ตอบ 16
ตัวอย่างที่ 6 จงแก้สมการ 287x3 
วิธีทา 287x3 
นา 7 มาลบทั้งสองข้างของสมการ
จะได้ 72877x3 
21x3 
นา 3 มาหารทั้งสองข้างของสมการ
จะได้
3
21
3
x3

7x 
ตรวจคาตอบ แทน x ด้วย 7 ในสมการ 287x3 
จะได้ ( ) 28=7+7×3
28721 
2828  เป็นสมการที่เป็นจริง
ดังนั้น 7 เป็นคาตอบของสมการ 287x3 
ตอบ 7
ตัวอย่างที่ 7 จงแก้สมการ
4
3
2
1
x3 
วิธีทา
4
3
2
1
x3 
นา
2
1
มาลบทั้งสองข้างของสมการ
จะได้
2
1
4
3
2
1
2
1
x3 

19. 19
4
1
x3
4
23
x3



นา 3 มาหารทั้งสองข้างของสมการ
จะได้
3
4
1
3
x3

12
1
x
3
1
4
1
x


ตรวจคาตอบ แทน x ด้วย
12
1
ในสมการ
4
3
2
1
x3 
จะได้
4
3
2
1
12
1
3 






4
3
2
1
4
1

4
3
4
21


4
3
4
3
 เป็นสมการที่เป็นจริง
ดังนั้น
12
1
เป็นคาตอบของสมการ
4
3
2
1
x3 
ตอบ
12
1
การแก้สมการที่มีเศษส่วนอย่างเช่นตัวอย่างที่ 7 อาจทาได้อีกวิธีหนึ่ง คือ กาจัดส่วน
ทั้งหมดในสมการให้หมดไป โดยการนาส่วนทั้งหมดมาหา ค.ร.น. แล้วนา ค.ร.น. ที่ได้มาคูณตลอด
สมการ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

20. 20
ตัวอย่างที่ 8 จากโจทย์ในตัวอย่างที่ 7 จงแก้สมการ
4
3
2
1
x3  โดยวิธีกาจัดส่วน
วิธีทา
4
3
2
1
x3 
หา ค.ร.น. ของส่วนคือ 2 และ 4 ได้ 4
นา ค.ร.น. คูณตลอดสมการ
จะได้
4
3
4
2
1
x34 






32x12
3
2
1
4)x3(4








นา 2 มาลบทั้งสองข้างของสมการ
จะได้ 2322x12 
1x12 
นา 12 มาหารทั้งสองข้างชองสมการ
จะได้
12
1
12
x12

12
1
x 
ตอบ
12
1
จากตัวอย่างที่ 7 และ 8 จะเห็นว่า การแก้สมการที่มีเศษส่วนโดยวิธีปกติ
และโดยวิธีกาจัดส่วนต่างทาให้ได้ผลลัพธ์เท่ากัน

21. 21
เอกสารแนะแนวทางที่ 5 เรื่องการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
เรื่องย่อย การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ตัวอย่างที่ 9 จงแก้สมการ x + 3 = 7
วิธีทา x + 3 = 7
นา -3 มาบวกทั้งสองข้างของสมการ
จะได้ x + 3 + (– 3) = 7 + (– 3)
หรือ x + 3 – 3 = 7 - 3
x = 4
ตรวจสอบ แทน x ด้วย 4 ในสมการ x + 3 = 7
จะได้ 4 + 3 = 7
7 = 7 เป็นสมการที่เป็นจริง
ดังนั้น 4 เป็นคาตอบของสมการ x + 3 = 7
ตอบ 4
ตัวอย่างที่ 10 จงแก้สมการ x + 29 = 51
วิธีทา x + 29 = 51
นา 29 มาลบทั้งสองข้างของสมการ
จะได้ x + 29- 29 = 51 - 29
x = 22
ตรวจสอบ แทน x ด้วย 22 ในสมการ x + 29 = 51
จะได้ 22 + 29 = 51
51 = 51 เป็นสมการที่เป็นจริง
ดังนั้น 22 เป็นคาตอบของสมการ x + 29 = 51
ตอบ 22
ตัวอย่างที่ 11 จงแก้สมการ b – 11.5 = 3.52
วิธีทา b – 11.5 = 3.52
นา 11.5 มาบวกทั้งสองข้างของสมการ
จะได้ b – 11.5 + 11.5 = 3.52 + 11.5
b = 15.02
ตรวจสอบ แทน b ด้วย 15.02 ในสมการ b – 11.5 = 3.52
จะได้ 15.02 – 11.5 = 3.52
3.52 = 3.52 เป็นสมการที่เป็นจริง
ดังนั้น 15.02 เป็นคาตอบของสมการ b – 11.5 = 3.52
ตอบ 15.02

22. 22
ตัวอย่างที่ 12 จงแก้สมการ
9
4
7
3
c 
วิธีทา
9
4
7
3
c 
นา
7
3
มาบวกทั้งสองข้างของสมการ
จะได้
7
3
9
4
7
3
7
3
c 
63
2728
c


63
55
c 
ตรวจสอบ แทน c ด้วย
63
55
ในสมการ
9
4
7
3
c 
จะได้
9
4
7
3
63
55

9
4
63
2755


9
4
63
28

9
4
9
4
 เป็นสมการที่เป็นจริง
ดังนั้น
63
55
เป็นคาตอบของสมการ
9
4
7
3
c 
ตอบ
63
55

23. 23
ตัวอย่างที่ 13 จงแก้สมการ 5
7
a

วิธีทา 5
7
a

นา 7 มาคูณทั้ง 2 ข้างของสมการ
จะได้ 757
7
a

35a
ตรวจสอบ แทน a ด้วย 35 ในสมการ 5
7
a

จะได้ 5
7
35
 เป็นสมการที่เป็นจริง
ดังนั้น 35 เป็นคาตอบของสมการ 5
7
a

ตอบ 35
ตัวอย่างที่ 14 จงแก้สมการ 36m4 
วิธีทา 36m4 
นา 4 มาหารทั้ง 2 ข้างของสมการ
จะได้
4
36
4
m4

9m
ตรวจสอบ แทน 9m ในสมการ 36m4 
จะได้ 9
4
36
 เป็นสมการที่เป็นจริง
ดังนั้น 9 เป็นคาตอบของสมการ 36m4 
ตอบ 9

24. 24
ตัวอย่างที่ 15 จงแก้สมการ 84-a
5
2

วิธีทา 84-a
5
2

นา 4 บวกทั้งสองข้างของสมการ
จะได้ 4844-a
5
2

12a
5
2

นา
2
5
คูณทั้งสองข้างของสมการ
จะได้
2
5
12
2
5
a
5
2

30a
ตรวจสอบ แทน a ด้วย 30 ในสมการ 84-a
5
2

จะได้ 84-30
5
2
 เป็นสมการที่เป็นจริง
ดังนั้น 30 เป็นคาตอบของสมการ 84-a
5
2

ตอบ 30
ตัวอย่างที่ 16 จงแก้สมการ
7
3
( 5-
2
x
) 6
วิธีทา
7
3
( 5-
2
x
) 6
นา
3
7
คูณทั้งสองข้างของสมการ
จะได้
7
3
( 5-
2
x
)
3
7
 6
3
7

145-
2
x

นา 5 บวกทั้งสองข้างของสมการ

25. 25
จะได้ 51455-
2
x

19
2
x

นา 2 คูณทั้งสองข้างของสมการจะได้ 2192
2
x

38x 
ตรวจสอบ แทน x ด้วย 38 ในสมการ
7
3
( 5-
2
x
) 6
จะได้
7
3
( 5-
2
38
) 6 เป็นสมการที่เป็นจริง
ดังนั้น 38 เป็นคาตอบของสมการ
7
3
( 5-
2
x
) 6
ตอบ 38

26. 26
เอกสารแนะแนวทางที่ 6 การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
เรื่องย่อย การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ตัวอย่างที่ 17 จงแก้สมการ
3
2
4
3
2
1
3
x2

วิธีทา วิธีที่ 1
3
2
4
3
2
1
3
x2

นา
2
1
มาบวกทั้งสองข้างของสมการ
จะได้
2
1
3
2
4
3
2
1
2
1
3
x2

12
7
3
x2
12
689
3
x2
2
1
3
2
4
3
3
x2




นา
2
3
มาคูณทั้งสองข้างของสมการ
จะได้
2
3
12
7
2
3
3
x2






8
7
x 
ตรวจคาตอบ แทน x ด้วย
8
7
ในสมการ
3
2
4
3
2
1
3
x2

จะได้
3
2
4
3
2
1
8
7
3
2







4
89
2
1
12
7 

12
1
12
67


12
1
12
1
 เป็นสมการที่เป็นจริง

27. 27
ดังนั้น
8
7
เป็นคาตอบของสมการ
3
2
4
3
2
1
3
x2

ตอบ
8
7
วิธีที่ 2 กาจัดส่วนของเศษส่วนในสมการ
3
2
4
3
2
1
3
x2

หา ค.ร.น. ของส่วนคือ 2, 3 และ 4 ได้ 12
นา ค.ร.น. คูณตลอดสมการ
จะได้ 












3
2
4
3
12
2
1
3
x2
12
16x8
896x8
3
2
12
4
3
12
2
1
12
3
x2
12



























นา …… มา ……… ทั้งสองข้างของสมการ
จะได้
นา ...... มา ........ ทั้งสองข้างของสมการ
จะได้ .................................................................
..................................................................
ตอบ .....................................................................

28. 28
ตัวอย่างที่ 18 จงแก้สมการ 10)3a(3 
วิธีทา วิธีที่ 1 10)3a(3 
นา
3
1
มาคูณทั้งสองข้างของสมการ
จะได้
3
10
3
)3a(3


3
10
3a 
นา 3 มาบวกทั้งสองข้างของสมการ
จะได้ ..............................................................................................
................................................................................................
................................................................................................
ตรวจคาตอบ ................................................................................................
................................................................................................
ดังนั้น ....... เป็นคาตอบของสมการ 10)3a(3 
ตอบ ................................................
วิธีที่ 2 10)3a(3 
นา 3 มาคูณในวงเล็บ ( สมบัติการแจกแจง )
จะได้ 109a3 
นา 9 มาบวกทั้งสองข้างของสมการ
จะได้ 91099a3 
1a3 
นา
3
1
มาคูณทั้งสองข้างของสมการ
จะได้
3
1
3
a3

3
1
a 
ตอบ
3
1

จากตัวอย่างที่ 18 จะเห็นได้ว่า การแก้สมการที่มีวงเล็บ สามารถทาได้โดยอาศัยสมบัติ
การแจกแจง ซึ่งผลลัพธ์ที่ได้จะเท่ากับวิธีปกติ

29. 29
ตัวอย่างที่ 19 จงแก้สมการ   62b
3
1
 โดยอาศัยสมบัติการแจกแจง
วิธีทา   62b
3
1

นา ........ มา ........ ในวงเล็บ
จะได้ .....................................................
นา ....... มา .......... ทั้งสองข้างของสมการ
จะได้ ............................................................................
.............................................................................
............................................................................
............................................................................
ตรวจคาตอบ ...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
ดังนั้น ......... เป็นคาตอบของสมการ   62b
3
1

ตอบ ……………………………………….
ตัวอย่างที่ 20 จงแก้สมการ 10x215x3 
วิธีทา 10x215x3 
นา x2 มาบวกทั้งสองข้างของสมการ
จะได้ 10x2)x2(15x3)x2( 
    10x2)2(15x3)2( 
15x 
นา -15 มาบวกทั้งสองข้างของสมการ
จะได้ ................................................
.…………………………….………….
ตรวจคาตอบ แทน x ด้วย -25 ในสมการ 10x215x3 
จะได้     1025215253 
10501575 
................................................... เป็นสมการที่เป็นจริง
ดังนั้น ….. เป็นคาตอบของสมการ 10x215x3 
ตอบ ……………………………………….

30. 30
ตัวอย่างที่ 21 จงแก้สมการ    3c21c3  โดยอาศัยสมบัติการแจกแจง
วิธีทา    3c21c3 
นา 3 และ 2 คูณแจกแจงเข้าไปในวงเล็บ
จะได้ 6c23c3 
นา 3 มาบวกทั้งสองข้างของสมการ
จะได้ 36c233c3 
..................................
นา c2 มาบวกทั้งสองข้างของสมการ
จะได้ 3c2)c2(c3)c2( 
……………………….................................................
……………………….................................................
ตรวจคาตอบ แทน c ด้วย ....... ในสมการ    3c21c3 
จะได้ ..........................................................................
..........................................................................
.......................................................................... เป็นสมการที่เป็นจริง
ดังนั้น ........ เป็นคาตอบของสมการ    3c21c3 
ตอบ ……………………………………….

31. 31
เอกสารแนะแนวทางที่ 7 เรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
เรื่องย่อย โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ตัวอย่างที่ 1 ปัจจุบันบี้มีอายุ x ปี จงเขียนประโยคสัญลักษณ์แสดงอายุปัจจุบันของคนซึ่งเกี่ยวข้อง
กับบี้ ดังนี้
1. แดนแก่กว่าบี้ 7 ปี
2. อั้มอ่อนกว่าบี้ 5 ปี
3. หลินปิงอายุเป็น 3 เท่าของบี้
4. น้าชาอายุมากกว่า 3 เท่าของบี้อยู่ 4 ปี
5. หญิงอายุน้อยกว่า 3 เท่าของบี้อยู่ 3 ปี
6. เมื่อ 5 ปีที่แล้วแก้วมีอายุเท่ากับอายุปัจจุบันของบี้
วิธีทา
1. ปัจจุบันบี้มีอายุ x ปี
และแดนอายุแก่กว่าบี้ 7 ปี
ดังนั้น ปัจจุบันแดนมีอายุ x + 7 ปี
2. ปัจจุบันบี้มีอายุ x ปี
และอั้มมีอายุอ่อนกว่าบี้ 5 ปี
ดังนั้น ปัจจุบันอั้มมีอายุ x - 5 ปี
3. ปัจจุบันบี้มีอายุ x ปี
และ หลินปิงมีอายุเป็น 3 เท่าของบี้
ดังนั้น ปัจจุบันหลินปิงมีอายุ 3x ปี
4. ปัจจุบันบี้มีอายุ x ปี
และ น้าชามีอายุมากกว่า 3 เท่าของบี้อยู่ 4 ปี
ดังนั้น ปัจจุบันน้าชามีอายุ 3x + 4 ปี
5. ปัจจุบันบี้มีอายุ x ปี
และ หญิงมีอายุน้อยกว่า 3 เท่าของบี้อยู่ 3 ปี
ดังนั้น ปัจจุบันหญิงมีอายุ 3x - 3 ปี
6. ปัจจุบันบี้มีอายุ x ปี
เมื่อ 5 ปีที่แล้วแก้วมีอายุเท่ากับอายุปัจจุบันของบี้
นั่นคือ เมื่อ 5 ปีที่แล้ว แก้วมีอายุ x ปี
ดังนั้น ปัจจุบันแก้วมีอายุ x + 5 ปี

32. 32
ตัวอย่างที่ 2 5 เท่าของเลขจานวนหนึ่งมากกว่า 3 อยู่ 7
วิธีทา ให้ x แทนเลขจานวนหนึ่ง
จะได้สมการคือ 5x – 3 = 7
นา 3 บวกทั้งสองข้างของสมการ
5x – 3 + 3 = 7 + 3
5x = 10
นา
5
1
คูณทั้งสองข้างของสมการ
5
1
 5x =
5
1
10
x = 2
ตรวจคาตอบ แทนค่า x = 2 ในสมการ 5x – 3 = 7
5(2) – 3 = 7
7 = 7 สมการเป็นจริง
ดังนั้น เลขจานวนนั้นคือ 2
ตอบ 2

33. 33
เอกสารแนะแนวทางที่ 8 เรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
เรื่องย่อย โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ตัวอย่างที่ 1 จากการคาดการณ์ว่าการส่งออกของไทยไปอาเซียนจะสามารถขยายตัวได้ไม่ต่ากว่า
20% ต่อปี หากปี พ.ศ. 2556 ประเทศไทยมีการส่งออก 80,000 ล้านบาท
ในปี พ.ศ. 2557 มูลค่าการส่งออกของไทยไปอาเซียนควรจะมีการขยายตัวไม่ต่ากว่า
เท่าไร
วิธีทา สมมติให้การส่งออกของไทยไปอาเซียนจะสามารถขยายตัว x บาท
จะได้ x คิดเป็น 20 % ของ 80,000 ล้านบาท
จะได้สมการ ........................................................
........................................................
ตรวจคาตอบ แทนค่า ............. ในสมการ ........................................................
จะได้ ........................................................
ตอบ ........................................................ ล้านบาท
ตัวอย่างที่ 2 จากตัวอย่างที่ 1 ถ้าการส่งออกของไทยไปอาเซียนในปี พ.ศ. 2557 สามารถขยายตัว
ได้จริง 18,000 ล้านบาท คิดเป็นการขยายตัวกี่เปอร์เซนต์
วิธีทา สมมติให้การส่งออกของไทยไปอาเซียนจะสามารถขยายตัว ............... %
จะได้ ...........................................................................
จะได้สมการ คือ ...........................................................................
...........................................................................
นา ............................................. ทั้งสองข้างของสมการ
...........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
...........................................................................

34. 34
ตรวจคาตอบ แทนค่า ...................... ในสมการ ........................................
...........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
ตอบ การส่งออกของไทยไปอาเซียนในปี พ.ศ. 2557 สามารถขยายตัวได้ ……………………………
ตัวอย่างที่ 3 ข้อมูลในปี พ.ศ. 2557 พบว่า 5 เท่าของปริมาณในการส่งออกยางพาราของไทยไป
สิงคโปร์ มากกว่า 3 แสนล้านบาท อยู่ 7 แสนล้านบาท
วิธีทา ให้ ................ แทนปริมาณในการส่งออกยางพาราของไทยไปสิงคโปร์
จะได้สมการคือ ............................................................................
นา ................................ ทั้งสองข้างของสมการ
...........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
ตรวจคาตอบ แทนค่า x = 2 ในสมการ 5x – 3 = 7
5(2) – 3 = 7
7 = 7 สมการเป็นจริง
ตอบ ปริมาณในการส่งออกยางพาราของไทยไปสิงคโปร์ คือ ………………………….. %

35. 35
ตัวอย่างที่ 4 มาเลเซียซื้อแร่โลหะมาขายจานวนหนึ่ง ในปี พ.ศ. 2557 ขายให้บรูไนได้ครึ่งหนึ่งของ
ที่ซื้อมา ปี พ.ศ. 2558 ขายให้กัมพูชาได้อีก
5
3
ของจานวนแร่โลหะที่เหลือจากปี
พ.ศ. 2557 ถ้าปี พ.ศ. 2557 ขายแร่โลหะได้ 111 ล้านเหรียญสหรัฐ ให้หาว่า
มาเลเซียซื้อแร่โลหะมาขายทั้งหมดกี่ล้านเหรียญสหรัฐ
วิธีทา สมมติมาเลเซียซื้อแร่โลหะมาทั้งหมด .......... ล้านเหรียญสหรัฐ
พ.ศ. 2557 ขายได้ .......... ล้านเหรียญสหรัฐ
พ.ศ. 2558 ขายได้
5
3
ของที่เหลือ .............................. ล้านเหรียญสหรัฐ
เนื่องจากพ.ศ. 2558 ได้ 111 ล้านเหรียญสหรัฐ
จะได้ ...........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
ตรวจคาตอบ แทนค่า ....................... ในสมการ ...........................................................
...........................................................................
...........................................................................
ตอบ มาเลเซียซื้อแร่โลหะมาขาย ........................................... ล้านเหรียญสหรัฐ

36. 36
เอกสารแนะแนวทางที่ 9 เรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
เรื่องย่อย โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ตัวอย่างที่ 5 ขณะนี้ตุ๊กกี้อายุ 17 ปี อีก 4 ปีข้างหน้าเธอจะอายุเป็น 3 เท่า ของอายุปุ๊กกี้
ปัจจุบันปุ๊กกี้อายุเท่าไร
วิธีคิด
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ตรวจคาตอบ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………..………
สรุปคาตอบ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

37. 37
วิธีคิดแบบอื่นเพิ่มเติมที่น่าสนใจ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..…
ตรวจคาตอบ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….…..
สรุปคาตอบ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………….………

38. 38
ตัวอย่างที่ 6 เมื่อ 8 ปีที่แล้วบุตรมีอายุเป็นหนึ่งในเจ็ดของอายุมารดา ถ้าปัจจุบันบุตร
มีอายุ 14 ปี จงหาอายุปัจจุบันของมารดา
วิธีคิด
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ตรวจคาตอบ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………..………
สรุปคาตอบ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

39. 39
วิธีคิดแบบอื่นเพิ่มเติมที่น่าสนใจ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ตรวจคาตอบ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….…..
สรุปคาตอบ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………….………

40. 40
แนวทางที่ 10 เรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
เรื่องย่อย โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
แนวคิดปรัชญาเศรษฐกิจพอเพียงในพระราชดาริ เป็นหลักการเพื่อการพัฒนาคนให้มีหลักคิด
และหลักปฏิบัติในการดาเนินชีวิตอย่างพอเพียง เพื่อพัฒนาตนเอง ครอบครัว ชุมชน สังคม
ประเทศชาติให้ก้าวหน้าไปพร้อมกับความสมดุล ตลอดจนพร้อมรับต่อการเปลี่ยนแปลงในด้านต่าง ๆ
โดยใช้คุณธรรมกากับความรู้ เป็นการฝึกให้คิด พูด ทา อย่างพอดี พอเหมาะ พอควร บนหลัก
เหตุผล ไม่ประมาท โดยใช้สติและปัญญาในทางที่ถูกต้องเพื่อเพิ่มทางเลือกและพัฒนาศักยภาพของแต่
ละคน ให้สามารถอุ้มชูตัวเองและครอบครัวได้ โดยไม่เบียดเบียนตัวเองและผู้อื่นและอยู่ร่วมกับผู้อื่นใน
สังคมได้อย่างสงบสุข รู้รักสามัคคี อยู่ร่วมกับธรรมชาติได้อย่างสมดุลและยั่งยืน และมีค่านิยมที่ดีงาม
ร่วมรักษาคุณค่าของความเป็นไทย
หัวใจของเศรษฐกิจพอเพียง คือ สติและปัญญา ผู้รู้จักตัวเอง ฝึกฝนตนจนเกิดปัญญา
สามารถตระหนักถึงคุณธรรม เช่น หิริโอตตัปปะ ความละอายและเกรงกลัวต่อบาป ความเมตตา
กรุณา การไม่เบียดเบียนใคร และไม่เบียดเบียนโลก รวมทั้งการมีปัญญารู้ว่า อะไรคือสิ่งที่ควรทา
เพื่อให้เกิดผลดีทั้งต่อตนและผู้อื่น ความพอเพียงจึงเป็นพื้นฐานของการอยู่ร่วมกัน ที่ทุกคน
ต่างคานึงถึง การตัดสินใจเลือกกระทาสิ่งที่ดี และหน้าที่ในการสร้างพฤติกรรมนั้นๆอยู่เสมอ
จนกลายเป็นอุปนิสัยที่ดีและทาโดยอัตโนมัติ ไม่ลังเลสงสัยว่าทาไมผู้อื่นไม่ทา
การอยู่ร่วมกันอย่างมีความสุขโดยยึดหลักปรัชญาเศรษฐกิจพอเพียง
ซึ่งมีหลัก 3 ห่วง ได้แก่ ห่วงความพอประมาณ
ห่วงความมีเหตุผล ห่วงการมีภูมิคุ้มกันที่ดี และ 2 เงื่อนไข ได้แก่ เงื่อนไข
ความรู้ เงื่อนไขคุณธรรม
ห่วงที่ 1 คือ พอประมาณ หมายถึง ………………………………………………………………….……
………………………………………………………………………………………………………………………………..……………
ห่วงที่ 2 คือ มีเหตุผล หมายถึง ……………………………………………………………………………..
…………………………………….………………………………………………………………………………………………………..
ห่วงที่ 3 คือ มีภูมิคุ้มกันที่ดีในตัวเอง หมายถึง …………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………..………….

41. 41
และ 2 เงื่อนไข ตามแนวเศรษฐกิจพอเพียง ได้แก่
เงื่อนไขที่ 1 เงื่อนไขความรู้ คือ ..........................................................................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………..………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………..………….
เงื่อนไขที่ 2 เงื่อนไขคุณธรรม คือ ……………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………..………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………..………….
ทั้งนี้แนวคิดปรัชญาเศรษฐกิจพอเพียงได้มุ่งเน้นผลที่เกิดขึ้นอย่างสมดุลและยั่งยืนใน 4 มิติ
ได้แก่ ....................................................................................................................................................
การนาแนวคิดปรัชญาเศรษฐกิจพอเพียงไปใช้ต้องเริ่มต้นจากตนเอง คนใกล้ตัว
ซึ่งก็คือสถาบันครอบครัวที่เข้มแข็งและมั่นคง จึงจาเป็นต้องเริ่มต้นด้วยครอบครัวพอเพียงโดยนา
หลักปรัชญาเศรษฐกิจพอเพียงไปประยุกต์ในการดารงชีวิต พัฒนาคุณภาพชีวิต มีความรับผิดชอบ
รู้จักสร้างสัมพันธภาพที่ดี ช่วยเหลือเกื้อกูลกัน มีความรู้ความเข้าใจ ประหยัดพลังงาน นา
ผลิตภัณฑ์กลับมาใช้ใหม่ การบันทึกบัญชีรายรับ–รายจ่าย วางแผนการใช้เงินของตัวเอง
ตัวอย่างที่ 7 แม่เป็นตัวอย่างในการออมเงินและปลูกฝังให้ลูกออมเงินโดยในแต่ละวันแม่จะแบ่งเงิน
เพื่อเก็บออมและให้เงินลูกเพื่อเป็นค่าขนมไปโรงเรียนดังนี้ แม่แบ่งเงิน 150 บาท ไว้
เป็นเงินออมและลูกในอัตราส่วน 2 : 3 จงหาว่าแม่แบ่งเงินเพื่อเก็บออมวันละเท่าไร
วิธีทา จากโจทย์ หาความสัมพันธ์ ได้ดังนี้
ขั้นที่ 1 แม่แบ่งเงินเก็บออม 2 ส่วน จากทั้งหมด 5 ส่วนซึ่งเงินทั้งหมด 5 ส่วน
คิดเป็นเงิน 150
เก็บออม
2 ส่วน
ลูก
3 ส่วน
5 ส่วน
รวม เท่ากับ
150 บาท

42. 42
ขั้นที่ 2 เงิน 5 ส่วน คิดเป็น 150 บาท ถ้าจะหาเงิน 1 ส่วน จะต้องแบ่ง
150 บาท ออกเป็น 5 ส่วนด้วย
5 ส่วน เท่ากับ 150 บาท
1 1 1 1 1
ตอบ แม่เก็บออมวันละ 60 บาท
150
5
150
5
150
5
150
5
150
5

43. 43
ตัวอย่างที่ 8 ร้อยละ 60 ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 ซึ่งมีทั้งหมด 420 คน
ปลูกผักไฮโดรโฟนิกร่วมกับโครงการของโรงเรียนเพื่อลดรายจ่ายในครัวเรือน
จงหาว่ามีนักเรียนปลูกผักไฮโดรโฟนิกร่วมกับโครงการของโรงเรียนกี่คน
วิธีทา จากโจทย์ หาความสัมพันธ์ ได้ดังนี้
ตอบ มีนักเรียนปลูกผักไฮโดรโฟนิกร่วมกับโครงการของโรงเรียน ......... คน
นักเรียนทั้งหมด
420 คน
ร้อยละ 60
หมายถึง
ถ้านักเรียน 100 คน
มีนักเรียนปลูกผัก 60 คน

44. 44
ตัวอย่างที่ 9 นาย ก ให้นาย ข ยืมเงิน 7 บาท แต่นาย ก ขอยืมเงินจากนาย ค และ
นาย ง 15 บาท และ 32 บาท ตามลาดับ ก่อนหน้านั้น นาย ง เป็นหนี้
นาย ค และนาย ข 3 บาท และ 7 บาทตามลาดับ ถ้ามีการชาระหนี้ทั้งหมดขึ้น
ใครจะมีเงิน 18 บาท
วิธีทา ข้อมูลที่โจทย์กาหนดให้ นามาหาความสัมพันธ์ได้ ดังนี้
ขั้นที่ 1 ใช้จุด . แทน นาย ก , ข , ค , ง
ขั้นที่ 2 นาย ก ให้นาย ข ยืมเงิน 7 บาท
นาย ก ขอยืมเงินจากนาย ค และนาย ง 15 บาท และ 32 บาท
ขั้นที่ 3 นาย ง เป็นหนี้ นาย ค และนาย ข มาก่อน 3 บาท และ 7 บาท
.ง
.ก
.ข.ค 15 732
นาย ง
3 32 7
15 7
นาย ค นาย ก นาย ข
แทนการให้ยืม
.ง
.ก
.ข.ค

45. 45
เมื่อมีการชาระหนี้ทั้งหมด จะเกิดความสัมพันธ์ ดังนี้
ตรวจคาตอบ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
สรุปคาตอบ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
วิธีคิดแบบอื่นเพิ่มเติมที่น่าสนใจ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………..…………

46. 46
ตัวอย่างที่ 10 ถ้าสามวันก่อนวันพรุ่งนี้ เป็นวันพฤหัสบดีแล้ว สี่วันหลังจากเมื่อวานเป็นวันอะไร
วิธีทา จากโจทย์ หาความสัมพันธ์ได้ ดังนี้
ขั้นที่ 1 กาหนดวันพรุ่งนี้ แล้วหา 3 วันก่อนจากวันพรุ่งนี้
ขั้นที่ 2 หาวันนี้ และเมื่อวานนี้
ขั้นที่ 3 หาสี่วันต่อจากวันเมื่อวานนี้
ขั้นที่ 4 กาหนดวันทั้งหมด
พฤ
3 วันก่อนพรุ่งนี้
พรุ่งนี้
พฤ
3 วันก่อนพรุ่งนี้
พรุ่งนี้เมื่อวานนี้ วันนี้
พฤ
3 วันก่อนพรุ่งนี้
พรุ่งนี้เมื่อวานนี้ วันนี้

47. 47
ตรวจคาตอบ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
สรุปคาตอบ
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
วิธีคิดแบบอื่นเพิ่มเติมที่น่าสนใจ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………….……………………………
ตอบ สี่วันหลังจากเมื่อวานเป็นวัน ……………………………………