p

1. รูปคล้าย คือ รูปที่มีลักษณะแบบเดียวกันแต่ไม่จาเป็นต้องมีขนาดของรูปเท่ากัน
ให้นักเรียนพิจารณารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีลักษณะเหมือนกัน ต่างขนาดกัน แล้วตั้ง
คาถามกระตุ้นความคิดของนักเรียน ดังนี้
พิจารณารูปสามเหลี่ยมสองรูปต่อไปนี้
ให้นักเรียนลองพิจารณามุมของ ABC และ PQR ที่กาหนดให้
ABC PQR
CAB = 30˚ RPQ = __________
ABC = 50˚ PQR = __________
ACB = __________ PRQ = 100˚
1) ABC มุม CAB มีขนาดเท่ากับมุมใดของ PQR และมีขนาดเท่าใด
(เท่ากับมุม △RPQ มีขนาด 30˚)
2) ABC มุม ABC มีขนาดเท่ากับมุมใดของ PQR และมีขนาดเท่าใด
(เท่ากับมุม PQR มีขนาด 50˚)
3) ABC มุม ACB มีขนาดเท่ากับมุมใดของ PQR และมีขนาดเท่าใด
(เท่ากับมุม PRQ มีขนาด 100˚)
4) นักเรียนรู้ได้อย่างไรว่า ACB = PRQ (มุมภายในรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180˚)
5) ABCและ PQR มีการเท่ากันของมุมในรูปสามเหลี่ยมอย่างไร(มุมเท่ากันมุมต่อมุมทั้งสามมุม)
6) รูปสามเหลี่ยมที่มีขนาดมุมเท่ากันทั้งสามคู่นี้ เรียกความสัมพันธ์นี้ว่าอย่างไร
(รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน หรือรูปสามเหลี่ยมคล้าย)
7) รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันนักเรียนเขียนสัญลักษณ์แทนความสัมพันธ์นี้อย่างไร
(“ ~ ” เช่น △ ABC ~ △ PQR)
สรุปว่า ลักษณะของรูปสามเหลี่ยมที่มีขนาดของมุมเท่ากันทั้งสามคู่ เรียกว่า รูปสามเหลี่ยมคล้าย
เขียนสัญลักษณ์แทนความคล้ายได้ “~” เช่น ABC ~ PQR
^
^
^
^
^
^
^ ^

2. ลักษณะของรูปสามเหลี่ยมที่มีขนาดของมุมเท่ากันทั้งสามคู่ เรียกว่า รูปสามเหลี่ยมคล้าย
เขียนสัญลักษณ์แทนความคล้าย “ ~ ”
ให้นักเรียนดูรูปสามเหลี่ยมคล้าย 2 รูป แล้วพิจารณาความสัมพันธ์ของมุมของรูป
สามเหลี่ยมคล้าย จากนั้นครูตั้งคาถามเพื่อกระตุ้นความคิดของนักเรียนเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมคล้าย
ดังนี้
พิจารณารูปสามเหลี่ยมคล้ายต่อไปนี้ กาหนดให้ ABC ~ DEF
1) จากรูป ABC มีมุมใดบ้างที่เท่ากับมุมใน DEF (มุมที่เท่ากันคือ CAB = FDE,
ABC = DEF และ BCA = EFD)
2) จากรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน มุมที่เท่ากันของรูปสามเหลี่ยมมีลักษณะเป็นอย่างไร
(มุมทั้งสามมุมเท่ากันเป็นคู่ ๆ)
3) เรียกมุมที่เท่ากันเป็นคู่ ๆ ของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันว่าอย่างไร (มุมที่สมนัยกัน)
4) จากรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันมีมุมใดบ้างที่เป็นมุมที่สมนัยกัน (CAB สมนัยกับ FDE,
ABC สมนัยกับ DEF และ BCA สมนัยกับ EFD)
5) รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน มุมของรูปสามเหลี่ยมจะต้องสมนัยกันเสมอหรือไม่
(มุมของรูปสามเหลี่ยมจะสมนัยกันเสมอ)
6) ตาแหน่งในการเขียนสัญลักษณ์ความคล้ายของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน โดยมุมที่
สมนัยกันนั้นมีลักษณะอย่างไร (จะต้องเรียงลาดับมุมที่เท่ากันไว้ในตาแหน่งเดียวกัน)
3. ให้นักเรียนร่วมกันอภิปรายและสรุปเกี่ยวกับมุมที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมคล้าย
โดยเชื่อมโยงจากกิจกรรมและการหาคาตอบจากคาถามข้างต้น ดังนี้
มุมที่เท่ากันของรูปสามเหลี่ยมสองรูปเรียกว่า มุมที่สมนัยกัน รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน
จะมีมุมที่สมนัยกันสามคู่ และการเขียนสัญลักษณ์ของรูปสามเหลี่ยมคล้ายจะเรียงลาดับมุมที่สมนัย
กันหรือเท่ากันไว้ในตาแหน่งเดียวกันเสมอ
^ ^
^ ^ ^ ^
^ ^
^^^^

3. พิจารณารูปสามเหลี่ยมคล้ายต่อไปนี้
กาหนด ABC ~ DEF
1) นักเรียนคิดว่ารูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันนอกจากมีมุมที่สมนัยกันแล้ว ยังมีส่วนใดอีก
สมนัยกัน (ด้านประกอบของรูปสามเหลี่ยมนั้น ๆ)
2) จากรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน BC และ EF มีความสัมพันธ์กันอย่างไร (เป็นด้านที่อยู่
ตรงข้ามมุมที่เท่ากันหรือมุมที่สมนัยกัน)
3) ด้านของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันและเป็นด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมที่เท่ากัน ด้านนั้น
เป็นด้านที่สมนัยกันหรือไม่ (เป็นด้านที่สมนัยกัน)
4) จากรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันข้างต้นมีด้านใดบ้างที่สมนัยกัน (BC สมนัยกับ EF,
AC สมนัยกับ DF และ AB สมนัยกับ DE)
5. ให้นักเรียนร่วมกันอภิปรายและสรุปเกี่ยวกับด้านที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่
คล้ายกัน โดยเชื่อมโยงจากตัวอย่างและคาถามข้างต้น ดังนี้
รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่คล้ายกับมุมที่สมนัยกันเรียกว่า ด้านที่สมนัยกัน
ตัวอย่างที่ 1 จากรูป กาหนดให้ MNO = PQR และ NMO = QPR จงแสดงว่า
MNO คล้ายกับ PQR พร้อมบอกด้านที่สมนัยกัน
1) จากตัวอย่างมีมุมใดบ้างที่เท่ากันตามที่โจทย์กาหนด (MNO = PQR และ
NMO = QPR)
^ ^ ^ ^
^ ^
^ ^

4. 2) เมื่อมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันสองมุม มุมที่เหลือจะเท่ากัน
หรือไม่ เพราะเหตุใด (มุมที่เหลือย่อมเท่ากัน เพราะมุมภายในของ △ รวมกันได้ 180˚)
3) รูปสามเหลี่ยมสองรูปนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมคล้ายหรือไม่ เพราะเหตุใด (เป็นรูป
สามเหลี่ยมคล้าย เพราะมีมุมที่สมนัยกันทั้งสามมุม)
4) นักเรียนมีวิธีการหรือลาดับขั้นตอนการอธิบายเกี่ยวกับความสัมพันธ์จาก
ตัวอย่างข้างต้นอย่างไรบ้าง
(วิธีคิด เนื่องจาก
1) MNO = PQR (กาหนดให้)
2) NMO = QPR (กาหนดให้)
3) MNO + NOM + NMO = 180˚ (มุมภายใน △ รวมกันได้ 180˚)
4) PQR + QRP + QPR = 180˚ (มุมภายในรูป △ รวมกันได้ 180˚)
5) MNO + NOM + NMO = PQR + QRP + QPR (จากข้อ 3), 4)
โดยสมบัติการถ่ายทอด)
6) NOM = QRP (จากข้อ 1), 2) และ 5) โดยสมบัติการเท่ากัน)
7) ดังนั้น △ MNO ~ △ PQR (จากข้อ 1), 2), 6))
8) ด้าน MN สมนัยกับด้าน PQ (ด้านตรงข้ามมุมที่เท่ากันของ
รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน NOM = QRP)
9) ด้าน MO สมนัยกับด้าน PR (ด้านตรงข้ามมุมที่เท่ากันของ
รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน MNO = PQR)
10) ด้าน ON สมนัยกับด้าน RQ (ด้านตรงข้ามมุมที่เท่ากันของ
รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน NMO = QPR))
ตัวอย่างที่ 2 จากรูป กาหนดให้ XY // OP จงแสดงว่า XYZ กับ POZ เป็น
รูปสามเหลี่ยมคล้าย ถ้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันจงบอกด้านที่สมนัยกัน
^ ^
^ ^
^ ^ ^
^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^
^ ^
^ ^
^^
Y
Z P
O
X

5. วิธีคิด ขั้นที่ 1 ให้พิจารณาความสัมพันธ์ของรูปและ
สิ่งที่โจทย์กาหนดให้จะได้
1) XYZ = POZ (เป็นมุมแย้ง)
2) YXZ = OPZ (เป็นมุมแย้ง)
3) XZY = PZO (เป็นมุมตรงข้าม)
ขั้นที่ 2 แสดงความสัมพันธ์ของสิ่งที่โจทย์กาหนดและเชื่อมโยงจาก
เนื้อหาเรื่องรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันและมุมที่สมนัยกัน
จะได้ 4) ดังนั้น XYZ ~ POZ
(จาก ข้อ 1)-3) มีมุมที่สมนัยกันสามคู่)
ขั้นที่ 3 สรุปความสัมพันธ์สิ่งที่โจทย์ต้องการโดยใช้ความสัมพันธ์จากขั้นที่ 2
จะได้ XYZ คล้ายกับ POZ และมี XZ สมนัยกับ PZ, YZ สมนัย
กับ OZ, XY สมนัยกับ PO
สรุปเกี่ยวกับมุมที่สมนัยกันและด้านที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมคล้าย ดังนี้
1. มุมที่เท่ากันของรูปสามเหลี่ยมสองรูป เรียกว่า มุมที่สมนัยกัน รูปสามเหลี่ยมที่
คล้ายกันจะมีมุมที่สมนัยกันสามคู่ และการเขียนสัญลักษณ์ของรูปสามเหลี่ยมคล้าย จะเรียงลาดับมุม
ที่สมนัยกัน หรือเท่ากันไว้ในตาแหน่งเดียวกันเสมอ
2. รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่คล้ายกัน ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมที่เท่ากันเรียกว่า ด้านที่สมนัยกัน
ตัวอย่างที่ 1 จงพิจารณาว่า รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่กาหนดให้
ถ้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ให้หามุมและด้านที่สมนัยกัน
วิธีทา ABC มีมุมภายในรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้180 องศา
จะได้ ACB = 180˚ – 60˚ – 20˚
= 100˚
XYZ มีมุมภายในรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้180 องศา
จะได้ XYZ = 180˚ – 100˚ – 60 ˚
^ ^
^ ^
^ ^
^
^

6. = 20˚
จะเห็นว่า ABC และ XYZ มีมุมเท่ากันสามคู่ คือ
CAB = ZXY มีขนาดของมุม 60˚ เท่ากัน เป็นมุมที่สมนัยกัน
ABC = ZYZ มีขนาดของมุม 20˚ เท่ากัน เป็นมุมที่สมนัยกัน
ACB = XZY มีขนาดของมุม 100˚ เท่ากัน เป็นมุมที่สมนัยกัน
ดังนั้น ABC ~ XYZ มี BC สมนัยกับ YZ
AC สมนัยกับ XZ และ AB สมนัยกับ XY
ตัวอย่างที่ 2 จงพิจารณาว่า รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่กาหนดให้
ถ้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ให้หามุมและด้านที่สมนัยกัน
วิธีทา POR มีมุมภายในรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้180 องศา
จะได้ QPR = 180˚ – 110˚ – 28˚
= 42˚
XYZ มีมุมภายในรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้180 องศา
จะได้ YZX = 180˚ – 42˚ – 28˚
= 110˚
จะเห็นว่า PQR และ XYZ มีมุมเท่ากันสามคู่คือ
QPR = YXZ มีขนาดของมุม 42˚ เท่ากัน เป็นมุมที่สมนัยกัน
PQR = XYZ มีขนาดของมุม 28˚ เท่ากัน เป็นมุมที่สมนัยกัน
QRP = YZX มีขนาดของมุม 110˚ เท่ากัน เป็นมุมที่สมนัยกัน
ดังนั้น PQR ~ XYZ
RQ สมนัยกับ ZY เพราะอยู่ตรงข้ามกับ QPR และ YXZ
PR สมนัยกับ XZ เพราะอยู่ตรงข้ามกับ PQR และ XYZ
PQ สมนัยกับ XY เพราะอยู่ตรงข้ามกับ QRP และ YZX
^ ^
^ ^
^ ^
^
^ ^
^ ^
^ ^
^ ^
^ ^
^ ^
^

7. ตัวอย่างที่ 3 จากรูปที่กาหนดให้ AB//CD จงพิจารณาว่า ABO กับ CDOคล้ายกันหรือไม่
ถ้าคล้ายกัน มีด้านใดที่สมนัยกัน
วิธีทา ใน ABO และ CDO
ABO = CDO เป็นมุมแย้งที่เท่ากันระหว่าง AB // CD
OAB = OCD เป็นมุมแย้งที่เท่ากันระหว่าง AB // CD
BOA = DOC มุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน
ABO ~ CDO มีมุมภายในที่มีขนาดเท่ากันสามคู่
ดังนั้น BO สมนัยกับ DO
AO สมนัยกับ CO
AB สมนัยกับ CD
^ ^
^ ^
^ ^
เพราะเป็นด้านตรงข้ามกับมุมที่
เท่ากันของรูปสามเหลี่ยมคล้าย