Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

ความน่าจะเป็น

99,788 views

Published on

  • Be the first to comment

ความน่าจะเป็น

  1. 1. 1 ความน่าจะเป็น
  2. 2. ชีวิตความเป็นอยู่ทุกวันนี้โดยทั่วไปเรามักจะพบกับ เหตุการณ์ต่าง ๆ ที่มีโอกาสจะเกิดขึ้น เช่น ถ้าเราซื้อ สลากกินแบ่งรัฐบาล เราก็มีโอกาสจะถูกรางวัล หรือไม่ ถูกรางวัลก็ได้หรือการโยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้ง มี โอกาสขึ้นหัวหรือก้อยได้เท่า ๆ กัน หรือจากการหยิบไพ่ 1 ใบจากสำารับที่มี 52 ใบ มีโอกาสที่จะได้ควีน โพดำาหรือไม่ได้ควีนโพดำาก็ได้ หรือถ้ามีลูกแก้วสีดำา สี แดง สีขาว อย่างละ 1 ลูก อยู่ในกล่อง ต้องการหยิบ 1 ครั้ง ให้ได้ลูกแก้วสีแดง ก็มีโอกาสที่จะหยิบได้หรือ อาจจะไม่ได้ก็ได้ เหล่านี้เป็นต้น โอกาสหรือความน่า จะเป็น จึงเป็นคำาตอบที่เป็นไปได้ของเหตุการณ์ที่สนใจ ที่เกิดขึ้นจากการกระทำาที่เป็นการทดลองสุ่ม ดังนั้นก่อน ที่จะหาค่าความน่าจะเป็นได้จึงจำาเป็นต้องรู้จักคำาที่ เกี่ยวข้องอย่างน้อย 3 คำา คือ การทดลองสุ่ม แซมเปิล สเปซ และเหตุการณ์ 1
  3. 3. นิยาม การทดลองสุ่ม (random experiment) หมายถึง การทดลองใด ๆ ที่ทราบผลของการทดลอง ว่า จะเกิดอะไรขึ้นได้บ้างจากการทดลองนั้น ๆ แต่ไม่สามารถ บอกหรือกำาหนดได้แน่นอนว่า การทดลองครั้งนั้นได้ผล เป็นอะไรแน่ ตัวอย่างการทดลองสุ่ม 1. การโยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้ง 2. การโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง 3. การโยนเหรียญ 3 อัน 1 ครั้ง การทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง การหยิบไพ่จากสำารับ 1 ใบ 1 ครั้ง การจับสลาก 1 ใบ จากสลากที่ทำาไว้ 10 ใบ 1 ครั้ง การหยิบครั้งที่ 1 ให้ได้ ลูกแก้วสีแดงจากกล่องที่มีลูก แก้ว ดำา แดง ขาว อย่างละ 1 ลูก 2 การทดลองสุ่ม
  4. 4. นิยาม แซมเปิลสเปซ (sample space) หมายถึงเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกหรือผลลัพธ์ที่ เป็นไปได้ทั้งหมดจากการทดลองสุ่ม นิยมเขียน แทนด้วยสัญลักษณ์ S 3 แซมเปิลสเปซ
  5. 5. { }T,H { }TTHT,HT,HH, { }TTTTTH,THT,THH,HTT,HTH,HHT,HHH, { }65,4,3,2,1, { }000,001,010,011,100,101,110,111 S1 = S2 = S3 = S4 = S7 = การทดลองสุ่ม แซมเปิลสเปซ จำานวน ผลลัพธ์ ทั้งหมด 1) การโยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้ง n(S1 ) = 2 2)การโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง n(S2 ) = 4 3)การโยนเหรียญ 3 อัน 1 ครั้ง n(S3 ) = 8 4) การทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง n(S4 ) = 6 5) การทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง S5 = { (1 ,1) , (1 , 2) , (1 ,3) , (1 ,4) , (1 ,5) , (1 ,6) (2 ,1) , (2 , 2) , (2 ,3) , (2 ,4) , (2 ,5) , (2 ,6) (3 ,1) , (3 , 2) , (3 ,3) , (3 ,4) , (3 ,5) , (3 ,6) (4 ,1) , (4 , 2) , (4 ,3) , (4 ,4) , (4 ,5) , (4 ,6) (5 ,1) , (5 , 2) , (5 ,3) , (5 ,4) , (5 ,5) , (5 ,6) (6 ,1) , (6 , 2) , (6 ,3) , (6 ,4) , (6 ,5) n(S5 ) = 36 งการทดลองสุ่มและแซมเปิลสเปซ 4
  6. 6. ตัวอย่าง (sample point) ดังตัวอย่างข้างต้นแล้ว ในการ ทดลองครั้งหนึ่ง ๆ อาจมีแซมเปิลสเปซได้มากกว่า 1 แซมเปิลสเปซได้ เช่น จากการโยนเหรียญ 3 อัน 1 ครั้ง ได้ผลลัพธ์เป็น S1 = n(S1) = 8 เมื่อต้องการรู้ผลลัพธ์ทั้งหมดที่ เกิดขึ้น หรือ S2 = n(S2) = 4 เมื่อต้องการรู้จำานวนหัวที่เกิดขึ้น จากการโยนเหรียญ 3 อัน { }TTTTTH,THT,THH,HTT,HTH,HHT,HHH, { }32,1,,0 5
  7. 7. การหาผลลัพธ์จากการทดลองบางอย่าง เช่น จากการโยน เหรียญ 3 อัน อาจเขียนเป็นแผนภาพต้นไม้ (tree diagram) เพื่อทำาให้สามารถหาสมาชิกหรือผลลัพธ์ได้ง่ายขึ้น ดังนี้ ผลจากการ โยนเหรียญ อันที่ 1 ผลจากการ โยนเหรียญ อันที่ 2 ผลจากการ โยนเหรียญ อันที่ 3 ผลจากการ โยนเหรียญทั้ง 3 อัน T T HHH H HTH HTT TTT TTH THT THH T H T H H T T H H H T HHT 6
  8. 8. 1. การโยนเหรียญ 1 เหรียญ n ครั้ง หรือโยน เหรียญ n เหรียญ 1 ครั้งจะได้จำานวนสมาชิกของ แซมเปิลสเปซเท่ากับ 2n ดังนั้นการหาจำานวนสมาชิก ของแซมเปิลสเปซใด ๆ ที่ได้ผลลัพธ์จากการทดลอง แต่ละครั้งที่เป็นไปได้ 2 อย่างจะได้ผลลัพธ์ของ n(s) = 2n 2. การทดลองทอดลูกเต๋า n ลูก 1 ครั้ง ถ้าสนใจ ผลลัพธ์ที่เป็นจำานวนแต้มที่หงายของลูกเต๋าแต่ละลูก จะได้จำานวนสมาชิกทั้งหมดของแซมเปิลสเปซเท่ากับ 6n 7
  9. 9. { }TTT,TTH,THT,THH,HTT,HTH,HHT,HHH { }THH,HTH,HHT,HHH { }TTH,THT,THH,HTT,HTH,HHT,HHH { }TTT,TTH,THT,HTT { }THT,HTH,HHT นิยาม เหตุการณ์ (event) คือ เซตย่อยหรือสับเซตของ แซมเปิลสเปซ ถ้าเหตุการณ์นั้นมีสมาชิก 1 ตัว เรียกว่าเหตุการณ์ เชิงเดี่ยว (simple event) แต่ถ้าเหตุการณ์นั้นมีสมาชิกมากกว่า 1 ตัว เรียกว่า เหตุการณ์เชิงประกอบ (compound event) การหาเซตของเหตุการณ์ใด ๆ จำาเป็นต้องรู้ว่าเกิดจากการทดลอง สุ่มอะไรและรู้ว่า แซมเปิลสเปซประกอบด้วยอะไรบ้าง จึงจะหาเหตุ การณ์ที่สนใจได้ดังนี้ จากการทดลองสุ่มโยนเหรียญ 3 อัน 1 ครั้ง สนใจหน้าที่เกิด จาก S = ; n(S) = 8 A = เหตุการณ์ที่เกิดหัวอย่างน้อย 2 อัน A = ; n(A) = 4 B = เหตุการณ์ที่เกิดก้อยอย่างมาก 2 อัน B = ; n(B) = 7 C = เหตุการณ์ที่เกิดก้อยมากกว่า 1 อัน C = ; n(C) = 48
  10. 10. การหาค่าความน่าจะเป็น การหาค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ (probability) คือ การหาค่าที่แสดงถึงโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์นั้น ๆ ว่ามีได้มาก น้อยเพียงใด ซึ่งในที่นี้จะกล่าวถึงการหาค่าความน่าจะเป็น 2 วิธี คือ การหาค่าความน่าจะเป็นวิธีตัวแบบคณิตศาสตร์หรือวิธีอมตะ และการหาค่าความน่าจะเป็นโดยการใช้ความถี่สัมพัทธ์ 1. การหาค่าความน่าจะเป็นด้วยวิธีอมตะ (classical method) นิยาม ถ้าการทดลองสุ่มมีผลลัพธ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้น n(S)อย่าง ผลลัพธ์แต่ละอย่างมีโอกาสเกิดได้เท่า ๆ กัน และจะเกิดได้อย่างใด อย่างหนึ่งเท่านั้น ถ้า n(A) คือจำานวนเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A คือ P (A) นั่นคือ P(A) = เมื่อ P(A) แทนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A n(A) แทนจำานวนสมาชิกในเหตุการณ์ A n(S) แทนจำานวนสมาชิกทั้งหมดในแซมเปิลสเปซ ข้อสังเกต การหาความน่าจะเป็นด้วยวิธีอมตะนี้ จำานวนสมาชิก ของแซมเปิลสเปซและเหตุการณ์ จะต้องนับได้และมีจำานวนจำากัด ( ) ( )Sn An 9
  11. 11. ตัวอย่างที่ 1 ถ้าสุ่มครอบครัวที่มีบุตร 3 คน มาครอบครัวหนึ่ง จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ของบุตรทั้ง 3 ต่อไปนี้ 1) มีบุตรชายอย่างน้อย 2 คน 2) มีบุตรหญิงอย่างมาก 2 คน 3) มีบุตรหญิง 2 คน 4) มีบุตรคนแรกเป็นหญิง 5) มีบุตรคนแรกเป็นชาย คนที่สองเป็นหญิง 6) มีบุตรหญิงมากกว่า 1 คน 7) ไม่มีบุตรหญิงเลย 8) มีบุตรชาย 2 คน บุตรหญิง 2 คน 10
  12. 12. นแผนภาพต้นไม้เพื่อหาสมาชิกของแซมเปิลสเปซโดยให้ ช แทนชายและ ญ บุตรคนแรก บุตรคนที่ สอง บุตรคนที่ สาม ผลที่ได้ ญ ญ ชช ช ช ชญ ญ ญญ ญ ญญช ญชญ ญชช ญ ช ญ ช ช ญ ญ ช ช ช ญ ชช ญชญ ช รูปแสดงแซมเปิลสเปซของครอบครัวที่มีบุตร 3 คน11
  13. 13. ญชญ , ญญช , ญญญ } ; n(S) = 8 1) ให้ E1 แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรชายอย่างน้อย 2 คน E1 = { ชชช , ชชญ , ชญช, ญชช } n(E1) = 4 P(E1) = = 4/8 = 1/2 ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรชาย อย่างน้อย 2 คน เท่ากับ 1/2 ( ) ( )Sn En 1 12
  14. 14. 14 2) ให้ E2 แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรหญิงอย่างมาก 2 คน E2 = { ชชช , ชชญ , ชญช, ชญญ , ญชช , ญชญ , ญญช } n(E2) = 7 P(E2) = = ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรหญิง อย่างมาก 2 คน เท่ากับ 7/8 ( ) ( )Sn En 2 8 7
  15. 15. 4) ให้ E4 แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรคนแรกเป็นหญิง E4 = { ญชช , ญชญ , ญญช , ญญญ } n(E4) = 4 P(E4) = = = ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มี บุตรคนแรกเป็นหญิง เท่ากับ 3) ให้ E3 แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรหญิง 2 คน E3 = { ชญญ , ญชญ , ญญช } n(E3) = 3 P(E3) = = ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรหญิง 2 คน เท่ากับ ( ) ( )Sn En 3 8 3 8 3 ( ) ( )Sn En 4 8 4 2 1 13 2 1
  16. 16. 5) ให้ E5 แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรคนแรกเป็นชาย คนที่ สองเป็นหญิง E5 = { ชญช, ชญญ } n(E5) = 2 P(E5) = = = ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรคนแรกเป็น ชาย คนที่สองเป็นหญิงเท่ากับ E6 = { ชญญ , ญชญ , ญญช , ญญญ } n(E6 ) = 4 P(E6 ) = = = ( ) ( )Sn En 5 8 2 4 1 4 1 ( ) ( )Sn En 6 8 4 2 1 2 1 6) ให้ E6 แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรหญิงมากกว่า 1 คน ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรหญิงมากกว่า 1 คน เท่ากับ 14
  17. 17. = = 0 ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรชาย 2 คน บุตรหญิง 2 คน เท่ากับ 0 E7 = { ชชช } n(E7 ) = 1 P(E7 ) = = ( ) ( )Sn En 7 8 1 8 1 7) ให้ E7 แทนเหตุการณ์ที่ไม่มีบุตร หญิงเลย นั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่มีบุตรหญิงเลย เท่ากับ ( ) ( )Sn En 8 8 0 8) ให้ E8 แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรชาย 2 คน บุตรหญิง 2 คน E8 = = ∅ n(E8 ) = 0 P(E8 ) = 15
  18. 18. ตัวอย่างที่ 2 ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง จงหา 1) แซมเปิลสเปซ 2) เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มที่ขึ้นเท่ากับ 8 3) เหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มที่ขึ้นหารด้วย 4 ลงตัว 4) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้มเหมือนกัน 5) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าลูกแรกขึ้นแต้มเป็น 4 6) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าลูกแรกขึ้นแต้ม 2 และหารลูกท ได้ลงตัว 7) ความน่าจะเป็นของข้อ 2 และข้อ 3 วิธีทำา 1) S = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) ,16
  19. 19. 2) ให้ A แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเท่ากับ 8 A = (2,6) , (6,2) , (3,5) , (5,3) , (4,4) n(A) = 5 3) ให้ B แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มที่ขึ้นหารด้วย 4 ลงตัว B = (1,3) , (3,1) , (2,2) , (2,6) , (6,2) , (3,5) , (5,3) , (4,4) , (6,6) n(B) = 9 ( )CP ( ) ( )Sn Cn 36 6 6 1 4 ) ให้ C แทนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้มเหมือน กันC = {(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) , (5,5) , (6,6) } ; n(C) 6 = = = 17
  20. 20. D = { (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) } ; n(D) = 6 ( )DP ( ) ( )Sn Dn 36 6 6 1 5) ให้ D แทนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋า ลูกแรกขึ้นแต้ม 4 = = = 6) ให้ E เป็นเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าลูกแรกขึ้นแต้ม 2 และหารลูกที่สองได ลงตัว E = (2,2) , (2,4) , (2,6) ; n(E) = 3 ( )EP ( ) ( )Sn En 36 3 12 1= = = ( )AP ( ) ( )Sn An 36 5 ( )BP ( ) ( )Sn Bn 36 9 4 1 7 ) = = = = = 18
  21. 21. n f การหาค่าความน่าจะเป็นด้วยวิธีการใช้ความถี่ สัมพัทธ์ (relative frequency method) นิยาม ถ้ามีการทดลองซำ้า ๆ กัน n ครั้ง เกิดเหตุการณ์ A ขึ้น f ครั้ง ความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์ A คือ หรือความน่า จะเป็นโดยใช้ความถี่สัมพัทธ์เกิดจากอัตราส่วนระหว่างความถี่ของ เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นหรือที่สนใจกับความถี่ของเหตุการณ์ทั้งหมด นั่นคือ P(A) = n f โยนเหรียญบาท 1 อัน 700 ครั้ง ปรากฏว่าขึ้นหัว 250 ครั้ง จงหาควา การโยนเหรียญบาทนี้ ให้ A เป็นเหตุการณ์ของการโยนที่เกิดหัว P(A) = 700 250 = 0.3571 ดังนั้น ความน่าจะเป็นของการโยนเหรียญนี้ที่จะเกิดหัว เท่ากับ 0.3571 19
  22. 22. ตัวอย่างที่ 4 บริษัทรับทำาประกันอัคคีภัยแห่งหนึ่ง กำาลังเปิด ทำาประกันอัคคีภัยที่อำาเภอหนึ่ง และเพื่อเป็นการหาข้อมูล สำาหรับการกำาหนดอัตราการประกัน จึงได้ทำาการสำารวจคนใน อำาเภอนี้มา 10,000 คน พบว่ามีจำานวนผู้สนใจทำาประกัน อัคคีภัยอยู่ 1,750 คน จงหาความน่าจะเป็นที่คนในอำาเภอนี้ จะทำาประกันอัคคีภัย วิธีทำา ความน่าจะเป็นที่คนในอำาเภอนี้จะทำาประกันอัคคีภัย = n f 10,000 1,750 = = 0.175 20
  23. 23. สุ่มนักศึกษา 1 คน จากตารางนี้ จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไป เป็นนักศึกษาอายุ 20 – 23 ปี เป็นนักศึกษาชายคณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี เป็นนักศึกษาหญิงที่อายุไม่เกิน 23 ปี เป็นนักศึกษาชาย เป็นนักศึกษาชายที่อายุตั้งแต่ 20 ปีขึ้นไป เป็นนักศึกษาหญิงอายุน้อยกว่า 20 ปี เป็นนักศึกษาคณะวิทยาการจัดการ 5 ในภาคเรียนที่แล้วมีนักศึกษาลงทะเบียนเรียนวิชาการคิดและการตัดสินใจ ณะเป็นดังนี้ อายุ คณะวิทยา ศาสตร์ฯ คณะวิทยาการ จัดการ ชาย หญิง ชาย หญิง น้อยกว่า 20 ปี 11 19 15 29 20 – 23 ปี 24 38 31 53 มากกว่า 23 ปี 10 18 12 10 21
  24. 24. วิธีทำา จากตารางหาผลรวมในแนวตั้ง และแนวนอนได้ดังนี้อายุ คณะวิทยา ศาสตร์ฯ คณะ วิทยาการ จัดการ รว ม ชาย หญิง ชาย หญิง น้อยกว่า 20 ปี 11 19 15 29 74 20 – 23 ปี 24 38 31 53 14 6 มากกว่า 23 ปี 10 18 12 10 50 รวม 45 75 58 92 27 0 จำานวนนักศึกษาทั้งหมด = 45 + 75 + 58 + 92 = 270 คน ให้ A แทนนักศึกษาอายุ 20 – 23 ปี จำานวน 24 + 38 + 31 + 53 = P(A) = 270 146 2) ให้ B แทนนักศึกษาชายคณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีจำานวน 45 P(B) = 270 45 22
  25. 25. ให้ C แทนนักศึกษาหญิงที่อายุไม่เกิน 23 ปี จำานวน 19+38+29+53 = (C) = 270 139 4) ให้ D แทนนักศึกษาชาย จำานวน 45 + 58 = 103 คน P(D) = 270 103 ให้ F แทนนักศึกษาหญิงอายุน้อยกว่า 20 ปี จำานวน 19 + 29 = 48 P(F) = 270 48 E แทนนักศึกษาชายที่มีอายุตั้งแต่ 20 ปีขึ้นไป จำานวน 24 + 10 + 31 + E) = 270 77 ) ให้ G แทนนักศึกษาคณะวิทยาการจัดการ จำานวน 58 + 92 = 150 คน P(G) = 270 150 23
  26. 26. คุณสมบัติความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ใด ๆ มีค่าได้ตั้งแต่ 0 ถึง 1 เท่าน นั่นคือ 0 ≤ P(A) ≤ 1 หรือ 0% ≤ P(A) ≤ 100 % กล่าวได้ว่า ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นเซตว่าง จะมีค่าเท่ากับ 0 ค P(∅) = 0 เป็นเหตุการณ์ที่ไม่มีโอกาสเกิดขึ้นเลย ความน่าจะเป็นของแซมเปิลสเปซมีค่าเท่ากับ 1 คือ P(s) = 1 เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแน่นอน P(A) = 0.5 หมายถึง เหตุการณ์ A มีโอกาสเกิดหรือไม่เกิดไ 24

×