ความน่าจะเป็น

32,483 views

Published on

0 Comments
4 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
32,483
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
498
Actions
Shares
0
Downloads
105
Comments
0
Likes
4
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

ความน่าจะเป็น

  1. 1. 1 ความน่าจะเป็น
  2. 2. ชีวิตความเป็นอยู่ทุกวันนี้โดยทั่วไปเรามักจะพบกับ เหตุการณ์ต่าง ๆ ที่มีโอกาสจะเกิดขึ้น เช่น ถ้าเราซื้อ สลากกินแบ่งรัฐบาล เราก็มีโอกาสจะถูกรางวัล หรือไม่ ถูกรางวัลก็ได้หรือการโยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้ง มี โอกาสขึ้นหัวหรือก้อยได้เท่า ๆ กัน หรือจากการหยิบไพ่ 1 ใบจากสำารับที่มี 52 ใบ มีโอกาสที่จะได้ควีน โพดำาหรือไม่ได้ควีนโพดำาก็ได้ หรือถ้ามีลูกแก้วสีดำา สี แดง สีขาว อย่างละ 1 ลูก อยู่ในกล่อง ต้องการหยิบ 1 ครั้ง ให้ได้ลูกแก้วสีแดง ก็มีโอกาสที่จะหยิบได้หรือ อาจจะไม่ได้ก็ได้ เหล่านี้เป็นต้น โอกาสหรือความน่า จะเป็น จึงเป็นคำาตอบที่เป็นไปได้ของเหตุการณ์ที่สนใจ ที่เกิดขึ้นจากการกระทำาที่เป็นการทดลองสุ่ม ดังนั้นก่อน ที่จะหาค่าความน่าจะเป็นได้จึงจำาเป็นต้องรู้จักคำาที่ เกี่ยวข้องอย่างน้อย 3 คำา คือ การทดลองสุ่ม แซมเปิล สเปซ และเหตุการณ์ 1
  3. 3. นิยาม การทดลองสุ่ม (random experiment) หมายถึง การทดลองใด ๆ ที่ทราบผลของการทดลอง ว่า จะเกิดอะไรขึ้นได้บ้างจากการทดลองนั้น ๆ แต่ไม่สามารถ บอกหรือกำาหนดได้แน่นอนว่า การทดลองครั้งนั้นได้ผล เป็นอะไรแน่ ตัวอย่างการทดลองสุ่ม 1. การโยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้ง 2. การโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง 3. การโยนเหรียญ 3 อัน 1 ครั้ง การทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง การหยิบไพ่จากสำารับ 1 ใบ 1 ครั้ง การจับสลาก 1 ใบ จากสลากที่ทำาไว้ 10 ใบ 1 ครั้ง การหยิบครั้งที่ 1 ให้ได้ ลูกแก้วสีแดงจากกล่องที่มีลูก แก้ว ดำา แดง ขาว อย่างละ 1 ลูก 2 การทดลองสุ่ม
  4. 4. นิยาม แซมเปิลสเปซ (sample space) หมายถึงเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกหรือผลลัพธ์ที่ เป็นไปได้ทั้งหมดจากการทดลองสุ่ม นิยมเขียน แทนด้วยสัญลักษณ์ S 3 แซมเปิลสเปซ
  5. 5. { }T,H { }TTHT,HT,HH, { }TTTTTH,THT,THH,HTT,HTH,HHT,HHH, { }65,4,3,2,1, { }000,001,010,011,100,101,110,111 S1 = S2 = S3 = S4 = S7 = การทดลองสุ่ม แซมเปิลสเปซ จำานวน ผลลัพธ์ ทั้งหมด 1) การโยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้ง n(S1 ) = 2 2)การโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง n(S2 ) = 4 3)การโยนเหรียญ 3 อัน 1 ครั้ง n(S3 ) = 8 4) การทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง n(S4 ) = 6 5) การทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง S5 = { (1 ,1) , (1 , 2) , (1 ,3) , (1 ,4) , (1 ,5) , (1 ,6) (2 ,1) , (2 , 2) , (2 ,3) , (2 ,4) , (2 ,5) , (2 ,6) (3 ,1) , (3 , 2) , (3 ,3) , (3 ,4) , (3 ,5) , (3 ,6) (4 ,1) , (4 , 2) , (4 ,3) , (4 ,4) , (4 ,5) , (4 ,6) (5 ,1) , (5 , 2) , (5 ,3) , (5 ,4) , (5 ,5) , (5 ,6) (6 ,1) , (6 , 2) , (6 ,3) , (6 ,4) , (6 ,5) n(S5 ) = 36 งการทดลองสุ่มและแซมเปิลสเปซ 4
  6. 6. ตัวอย่าง (sample point) ดังตัวอย่างข้างต้นแล้ว ในการ ทดลองครั้งหนึ่ง ๆ อาจมีแซมเปิลสเปซได้มากกว่า 1 แซมเปิลสเปซได้ เช่น จากการโยนเหรียญ 3 อัน 1 ครั้ง ได้ผลลัพธ์เป็น S1 = n(S1) = 8 เมื่อต้องการรู้ผลลัพธ์ทั้งหมดที่ เกิดขึ้น หรือ S2 = n(S2) = 4 เมื่อต้องการรู้จำานวนหัวที่เกิดขึ้น จากการโยนเหรียญ 3 อัน { }TTTTTH,THT,THH,HTT,HTH,HHT,HHH, { }32,1,,0 5
  7. 7. การหาผลลัพธ์จากการทดลองบางอย่าง เช่น จากการโยน เหรียญ 3 อัน อาจเขียนเป็นแผนภาพต้นไม้ (tree diagram) เพื่อทำาให้สามารถหาสมาชิกหรือผลลัพธ์ได้ง่ายขึ้น ดังนี้ ผลจากการ โยนเหรียญ อันที่ 1 ผลจากการ โยนเหรียญ อันที่ 2 ผลจากการ โยนเหรียญ อันที่ 3 ผลจากการ โยนเหรียญทั้ง 3 อัน T T HHH H HTH HTT TTT TTH THT THH T H T H H T T H H H T HHT 6
  8. 8. 1. การโยนเหรียญ 1 เหรียญ n ครั้ง หรือโยน เหรียญ n เหรียญ 1 ครั้งจะได้จำานวนสมาชิกของ แซมเปิลสเปซเท่ากับ 2n ดังนั้นการหาจำานวนสมาชิก ของแซมเปิลสเปซใด ๆ ที่ได้ผลลัพธ์จากการทดลอง แต่ละครั้งที่เป็นไปได้ 2 อย่างจะได้ผลลัพธ์ของ n(s) = 2n 2. การทดลองทอดลูกเต๋า n ลูก 1 ครั้ง ถ้าสนใจ ผลลัพธ์ที่เป็นจำานวนแต้มที่หงายของลูกเต๋าแต่ละลูก จะได้จำานวนสมาชิกทั้งหมดของแซมเปิลสเปซเท่ากับ 6n 7
  9. 9. { }TTT,TTH,THT,THH,HTT,HTH,HHT,HHH { }THH,HTH,HHT,HHH { }TTH,THT,THH,HTT,HTH,HHT,HHH { }TTT,TTH,THT,HTT { }THT,HTH,HHT นิยาม เหตุการณ์ (event) คือ เซตย่อยหรือสับเซตของ แซมเปิลสเปซ ถ้าเหตุการณ์นั้นมีสมาชิก 1 ตัว เรียกว่าเหตุการณ์ เชิงเดี่ยว (simple event) แต่ถ้าเหตุการณ์นั้นมีสมาชิกมากกว่า 1 ตัว เรียกว่า เหตุการณ์เชิงประกอบ (compound event) การหาเซตของเหตุการณ์ใด ๆ จำาเป็นต้องรู้ว่าเกิดจากการทดลอง สุ่มอะไรและรู้ว่า แซมเปิลสเปซประกอบด้วยอะไรบ้าง จึงจะหาเหตุ การณ์ที่สนใจได้ดังนี้ จากการทดลองสุ่มโยนเหรียญ 3 อัน 1 ครั้ง สนใจหน้าที่เกิด จาก S = ; n(S) = 8 A = เหตุการณ์ที่เกิดหัวอย่างน้อย 2 อัน A = ; n(A) = 4 B = เหตุการณ์ที่เกิดก้อยอย่างมาก 2 อัน B = ; n(B) = 7 C = เหตุการณ์ที่เกิดก้อยมากกว่า 1 อัน C = ; n(C) = 48
  10. 10. การหาค่าความน่าจะเป็น การหาค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ (probability) คือ การหาค่าที่แสดงถึงโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์นั้น ๆ ว่ามีได้มาก น้อยเพียงใด ซึ่งในที่นี้จะกล่าวถึงการหาค่าความน่าจะเป็น 2 วิธี คือ การหาค่าความน่าจะเป็นวิธีตัวแบบคณิตศาสตร์หรือวิธีอมตะ และการหาค่าความน่าจะเป็นโดยการใช้ความถี่สัมพัทธ์ 1. การหาค่าความน่าจะเป็นด้วยวิธีอมตะ (classical method) นิยาม ถ้าการทดลองสุ่มมีผลลัพธ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้น n(S)อย่าง ผลลัพธ์แต่ละอย่างมีโอกาสเกิดได้เท่า ๆ กัน และจะเกิดได้อย่างใด อย่างหนึ่งเท่านั้น ถ้า n(A) คือจำานวนเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A คือ P (A) นั่นคือ P(A) = เมื่อ P(A) แทนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A n(A) แทนจำานวนสมาชิกในเหตุการณ์ A n(S) แทนจำานวนสมาชิกทั้งหมดในแซมเปิลสเปซ ข้อสังเกต การหาความน่าจะเป็นด้วยวิธีอมตะนี้ จำานวนสมาชิก ของแซมเปิลสเปซและเหตุการณ์ จะต้องนับได้และมีจำานวนจำากัด ( ) ( )Sn An 9
  11. 11. ตัวอย่างที่ 1 ถ้าสุ่มครอบครัวที่มีบุตร 3 คน มาครอบครัวหนึ่ง จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ของบุตรทั้ง 3 ต่อไปนี้ 1) มีบุตรชายอย่างน้อย 2 คน 2) มีบุตรหญิงอย่างมาก 2 คน 3) มีบุตรหญิง 2 คน 4) มีบุตรคนแรกเป็นหญิง 5) มีบุตรคนแรกเป็นชาย คนที่สองเป็นหญิง 6) มีบุตรหญิงมากกว่า 1 คน 7) ไม่มีบุตรหญิงเลย 8) มีบุตรชาย 2 คน บุตรหญิง 2 คน 10
  12. 12. นแผนภาพต้นไม้เพื่อหาสมาชิกของแซมเปิลสเปซโดยให้ ช แทนชายและ ญ บุตรคนแรก บุตรคนที่ สอง บุตรคนที่ สาม ผลที่ได้ ญ ญ ชช ช ช ชญ ญ ญญ ญ ญญช ญชญ ญชช ญ ช ญ ช ช ญ ญ ช ช ช ญ ชช ญชญ ช รูปแสดงแซมเปิลสเปซของครอบครัวที่มีบุตร 3 คน11
  13. 13. ญชญ , ญญช , ญญญ } ; n(S) = 8 1) ให้ E1 แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรชายอย่างน้อย 2 คน E1 = { ชชช , ชชญ , ชญช, ญชช } n(E1) = 4 P(E1) = = 4/8 = 1/2 ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรชาย อย่างน้อย 2 คน เท่ากับ 1/2 ( ) ( )Sn En 1 12
  14. 14. 14 2) ให้ E2 แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรหญิงอย่างมาก 2 คน E2 = { ชชช , ชชญ , ชญช, ชญญ , ญชช , ญชญ , ญญช } n(E2) = 7 P(E2) = = ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรหญิง อย่างมาก 2 คน เท่ากับ 7/8 ( ) ( )Sn En 2 8 7
  15. 15. 4) ให้ E4 แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรคนแรกเป็นหญิง E4 = { ญชช , ญชญ , ญญช , ญญญ } n(E4) = 4 P(E4) = = = ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มี บุตรคนแรกเป็นหญิง เท่ากับ 3) ให้ E3 แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรหญิง 2 คน E3 = { ชญญ , ญชญ , ญญช } n(E3) = 3 P(E3) = = ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรหญิง 2 คน เท่ากับ ( ) ( )Sn En 3 8 3 8 3 ( ) ( )Sn En 4 8 4 2 1 13 2 1
  16. 16. 5) ให้ E5 แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรคนแรกเป็นชาย คนที่ สองเป็นหญิง E5 = { ชญช, ชญญ } n(E5) = 2 P(E5) = = = ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรคนแรกเป็น ชาย คนที่สองเป็นหญิงเท่ากับ E6 = { ชญญ , ญชญ , ญญช , ญญญ } n(E6 ) = 4 P(E6 ) = = = ( ) ( )Sn En 5 8 2 4 1 4 1 ( ) ( )Sn En 6 8 4 2 1 2 1 6) ให้ E6 แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรหญิงมากกว่า 1 คน ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรหญิงมากกว่า 1 คน เท่ากับ 14
  17. 17. = = 0 ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีบุตรชาย 2 คน บุตรหญิง 2 คน เท่ากับ 0 E7 = { ชชช } n(E7 ) = 1 P(E7 ) = = ( ) ( )Sn En 7 8 1 8 1 7) ให้ E7 แทนเหตุการณ์ที่ไม่มีบุตร หญิงเลย นั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่มีบุตรหญิงเลย เท่ากับ ( ) ( )Sn En 8 8 0 8) ให้ E8 แทนเหตุการณ์ที่มีบุตรชาย 2 คน บุตรหญิง 2 คน E8 = = ∅ n(E8 ) = 0 P(E8 ) = 15
  18. 18. ตัวอย่างที่ 2 ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1 ครั้ง จงหา 1) แซมเปิลสเปซ 2) เหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มที่ขึ้นเท่ากับ 8 3) เหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มที่ขึ้นหารด้วย 4 ลงตัว 4) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้มเหมือนกัน 5) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าลูกแรกขึ้นแต้มเป็น 4 6) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าลูกแรกขึ้นแต้ม 2 และหารลูกท ได้ลงตัว 7) ความน่าจะเป็นของข้อ 2 และข้อ 3 วิธีทำา 1) S = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) ,16
  19. 19. 2) ให้ A แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มเท่ากับ 8 A = (2,6) , (6,2) , (3,5) , (5,3) , (4,4) n(A) = 5 3) ให้ B แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มที่ขึ้นหารด้วย 4 ลงตัว B = (1,3) , (3,1) , (2,2) , (2,6) , (6,2) , (3,5) , (5,3) , (4,4) , (6,6) n(B) = 9 ( )CP ( ) ( )Sn Cn 36 6 6 1 4 ) ให้ C แทนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นแต้มเหมือน กันC = {(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) , (5,5) , (6,6) } ; n(C) 6 = = = 17
  20. 20. D = { (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) } ; n(D) = 6 ( )DP ( ) ( )Sn Dn 36 6 6 1 5) ให้ D แทนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋า ลูกแรกขึ้นแต้ม 4 = = = 6) ให้ E เป็นเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าลูกแรกขึ้นแต้ม 2 และหารลูกที่สองได ลงตัว E = (2,2) , (2,4) , (2,6) ; n(E) = 3 ( )EP ( ) ( )Sn En 36 3 12 1= = = ( )AP ( ) ( )Sn An 36 5 ( )BP ( ) ( )Sn Bn 36 9 4 1 7 ) = = = = = 18
  21. 21. n f การหาค่าความน่าจะเป็นด้วยวิธีการใช้ความถี่ สัมพัทธ์ (relative frequency method) นิยาม ถ้ามีการทดลองซำ้า ๆ กัน n ครั้ง เกิดเหตุการณ์ A ขึ้น f ครั้ง ความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์ A คือ หรือความน่า จะเป็นโดยใช้ความถี่สัมพัทธ์เกิดจากอัตราส่วนระหว่างความถี่ของ เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นหรือที่สนใจกับความถี่ของเหตุการณ์ทั้งหมด นั่นคือ P(A) = n f โยนเหรียญบาท 1 อัน 700 ครั้ง ปรากฏว่าขึ้นหัว 250 ครั้ง จงหาควา การโยนเหรียญบาทนี้ ให้ A เป็นเหตุการณ์ของการโยนที่เกิดหัว P(A) = 700 250 = 0.3571 ดังนั้น ความน่าจะเป็นของการโยนเหรียญนี้ที่จะเกิดหัว เท่ากับ 0.3571 19
  22. 22. ตัวอย่างที่ 4 บริษัทรับทำาประกันอัคคีภัยแห่งหนึ่ง กำาลังเปิด ทำาประกันอัคคีภัยที่อำาเภอหนึ่ง และเพื่อเป็นการหาข้อมูล สำาหรับการกำาหนดอัตราการประกัน จึงได้ทำาการสำารวจคนใน อำาเภอนี้มา 10,000 คน พบว่ามีจำานวนผู้สนใจทำาประกัน อัคคีภัยอยู่ 1,750 คน จงหาความน่าจะเป็นที่คนในอำาเภอนี้ จะทำาประกันอัคคีภัย วิธีทำา ความน่าจะเป็นที่คนในอำาเภอนี้จะทำาประกันอัคคีภัย = n f 10,000 1,750 = = 0.175 20
  23. 23. สุ่มนักศึกษา 1 คน จากตารางนี้ จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไป เป็นนักศึกษาอายุ 20 – 23 ปี เป็นนักศึกษาชายคณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี เป็นนักศึกษาหญิงที่อายุไม่เกิน 23 ปี เป็นนักศึกษาชาย เป็นนักศึกษาชายที่อายุตั้งแต่ 20 ปีขึ้นไป เป็นนักศึกษาหญิงอายุน้อยกว่า 20 ปี เป็นนักศึกษาคณะวิทยาการจัดการ 5 ในภาคเรียนที่แล้วมีนักศึกษาลงทะเบียนเรียนวิชาการคิดและการตัดสินใจ ณะเป็นดังนี้ อายุ คณะวิทยา ศาสตร์ฯ คณะวิทยาการ จัดการ ชาย หญิง ชาย หญิง น้อยกว่า 20 ปี 11 19 15 29 20 – 23 ปี 24 38 31 53 มากกว่า 23 ปี 10 18 12 10 21
  24. 24. วิธีทำา จากตารางหาผลรวมในแนวตั้ง และแนวนอนได้ดังนี้อายุ คณะวิทยา ศาสตร์ฯ คณะ วิทยาการ จัดการ รว ม ชาย หญิง ชาย หญิง น้อยกว่า 20 ปี 11 19 15 29 74 20 – 23 ปี 24 38 31 53 14 6 มากกว่า 23 ปี 10 18 12 10 50 รวม 45 75 58 92 27 0 จำานวนนักศึกษาทั้งหมด = 45 + 75 + 58 + 92 = 270 คน ให้ A แทนนักศึกษาอายุ 20 – 23 ปี จำานวน 24 + 38 + 31 + 53 = P(A) = 270 146 2) ให้ B แทนนักศึกษาชายคณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีจำานวน 45 P(B) = 270 45 22
  25. 25. ให้ C แทนนักศึกษาหญิงที่อายุไม่เกิน 23 ปี จำานวน 19+38+29+53 = (C) = 270 139 4) ให้ D แทนนักศึกษาชาย จำานวน 45 + 58 = 103 คน P(D) = 270 103 ให้ F แทนนักศึกษาหญิงอายุน้อยกว่า 20 ปี จำานวน 19 + 29 = 48 P(F) = 270 48 E แทนนักศึกษาชายที่มีอายุตั้งแต่ 20 ปีขึ้นไป จำานวน 24 + 10 + 31 + E) = 270 77 ) ให้ G แทนนักศึกษาคณะวิทยาการจัดการ จำานวน 58 + 92 = 150 คน P(G) = 270 150 23
  26. 26. คุณสมบัติความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ใด ๆ มีค่าได้ตั้งแต่ 0 ถึง 1 เท่าน นั่นคือ 0 ≤ P(A) ≤ 1 หรือ 0% ≤ P(A) ≤ 100 % กล่าวได้ว่า ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นเซตว่าง จะมีค่าเท่ากับ 0 ค P(∅) = 0 เป็นเหตุการณ์ที่ไม่มีโอกาสเกิดขึ้นเลย ความน่าจะเป็นของแซมเปิลสเปซมีค่าเท่ากับ 1 คือ P(s) = 1 เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแน่นอน P(A) = 0.5 หมายถึง เหตุการณ์ A มีโอกาสเกิดหรือไม่เกิดไ 24

×