Topik ini membincangkan permodelan matematik dalam biologi dan ekologi. Ia menjelaskan teori permodelan pertumbuhan populasi menggunakan matrik dan konsep eigenvalue serta eigenvector. Model predator-mangsa dan persamaan Lotka-Volterra juga dibincangkan untuk memodelkan interaksi antara spesies. Simulasi model digunakan untuk melihat hubungan antara bilangan pemangsa dan mangsa terhadap masa. Akhir sekali, contoh permodelan untuk ubat paracet

1. Oleh: Cg Mohd Ridzuan al-Kindy (IPG KDRI)
Nota Padat MTE3114 – Aplikasi Matematik | 21
TOPIK 4: PENGGUNAAN PERMODELAN
MATEMATIK DALAM BIOLOGI DAN EKOLOGI
Teori Matrik Permodelan Pertumbuhan Populasi
 Definisi
 Pengiraan =
 Eigenvalue, λ dan eigenvector, v
Pengiraan eigenvalue, λ dan eigenvector, v
 Pengiraan eigenvalue, λ
 Pengiraan eigenvector, v
o Jika A adalah square matrik dan Ax = λx untuk
skalar λ, dan beberapa non-zero vektor x.
Maka:
 λ ialah eigenvalue bagi A
 x ialah eigenvector yang sepadan dengan
λ.
o Istilah eigenvalue dan eigenvector datang dari
perkataan Jerman. ‘Eigen’ bermaksud
kepunyaan sendiri. Oleh itu, kita dapat lihat
jika = vektor bergerak kepada
arahnya ‘sendiri’.
Diberi A=
3 0
0 2
, = 3, =
1
0
; = 2,
=
0
2
=
3 0
0 2
1
0
=
3
0
= 3
1
0
=
=
3 0
0 2
0
2
=
0
2
= 2
0
1
=
Maka, =
Diberi, A= . Cari eigenvalue, λ.
Diberi, A= dan λ = 2.
Cari eigenvector, v
Gantikan = 2 ke dalam persamaan.
= 2
2 − = 0
2 − = 0
(2 − ) = 0
Jadi,
2 − = 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−
2 −5 5
0 3 −1
0 −1 3
=
0 5 −5
0 −1 1
0 1 −1

2. Oleh: Cg Mohd Ridzuan al-Kindy (IPG KDRI)
Nota Padat MTE3114 – Aplikasi Matematik | 22
 Polinomial dan Persamaan Sifat (Characteristic
equation and polynomial)
Diberi A =
 Pembuktian Teorem =













310
130
552
Tukar kepada Matrik Augmented dan jalankan
Elementary Row Operation (ERO)
Maka,
+ = 0
=
= 1
Penyelesaian untuk = adalah semua
vektor bagi = =
1
0
0
+
0
1
1
.
Jadi, eigenvector, v bagi matrik A dan λ = 2
adalah infiniti, dan ianya adalag kombinasi linear
bagi vektor
1
0
0
dan
0
1
1
.
Persamaan ( – ) = dipanggil
persamaan sifat (characteristic equation)
bagi A
Manakala ( – ) dipanggil polinomial sifat
(characteristic polynomial) bagi A
det( – )
=
= ( – 2) [( – 3) ( – 3 ) – 1]
= ( – 2)( – 2)( – 4)
( – 2)( – 2)( – 4) = 0
= 2, 2, 4
o Kita dapat mencari eigenvalues A dengan
mencari persamaan sifat (characteristic
equation) seperti di bawah:
Maka det – = 0
Jadi, eigenvalues matrix A ialah = 2, 2, 4.
o Mencari eigenvalues A (polynomial
characteristic) yang sepadan dengan = 2
 Lihat contoh pada m/s 21 – 22 (kotak
merah)
o Mencari eigenvalues A (polynomial
characteristic) yang sepadan dengan = 4
Selesaikan sistem = 4 , yang mana
ditulis sebagai ( − 4 ) = 0
Gunakan ERO
Eigenvector, v yang sepadan dengan = 4
adalah
5
−1
1
Diberi =
−2 3 1
0 1 1
−3 4 1
Eigenvalues, = 0, −2, 2
Eigenvector, =
−1
−1
1
,
1
1
1
,
5
−3
9

3. Oleh: Cg Mohd Ridzuan al-Kindy (IPG KDRI)
Nota Padat MTE3114 – Aplikasi Matematik | 23
 Kesimpulan:
Model Pemangsa-Mangsa (Predator-Prey)
Generasi Terpisah dan Berlanjutan (Tidak Berpisah)
 Generasi terpisah
o Populasi mangsa akan meningkat ketika
pemangsa berkurangan.
o Ketika bilangan pemangsa bertambah, bilangan
mangsa akan berkurang kerana dimakan oleh
pemangsa.
o Jumlah mangsa yang dimakan oleh pemangsa
mungkin tetap dan mungkin juga berubah-ubah.
o Namun, jika populasi mangsa ditentukan oleh
populasi pemangsa, maka secara
keseluruhannya:
 Populasi pemangsa akan meningkat apabila
populasi mangsa naik.
 Populasi pemangsa akan berkurangan
apabila populasi mangsa turun.
 Generasi berlanjutan (tidak terpisah)
o Generasi pemangsa (predator) dan mangsa
(prey) bergantung kepada kelahiran dan
kematian yang berlaku sepanjang tahun.
o Pada kebiasaannya, pemangsa generasi ini
adalah daripada kumpulan vertebra.
o Model generasi berlanjut juga digambarkan oleh
Model Lotka (1925) dan Voltera (1926).
= −
1
8
×
6 −2 −4
3 −7 −4
−1 1 0
=
−1 1 5
−1 1 −3
1 1 9
0 0 0
0 −2 0
0 0 2
−
1
8
×
6 −2 −4
3 −7 −4
−1 1 0
=
0 2 −10
0 2 6
0 2 −18
−
1
8
6 −2 −4
3 −7 −4
−1 1 0
= −
1
8
16 −24 −8
0 −8 −8
24 −32 −8
=
−2 3 1
0 1 1
−3 4 1
=
Diberi teorem = ,
Daripada Eigenvector, =
−1
−1
1
,
1
1
1
,
5
−3
9
,
matrik B diberi sebagai
−1 1 5
−1 1 −3
1 1 9
Daripada Eigenvalues, = 0, −2, 2, membentuk
matrik diagonal D sebagai
0 0 0
0 −2 0
0 0 2
Semakan teori,
Terbukti bahawa =
o Jika λ adalah eigenvalue bagi matrix A, maka
set semua eigenvectors yang sepadan
dengan λ ialah ruang vektor.
o Set-set eigenvectors yang sepadan dengan λ
ialah null space bagi matrik (λI – A) – set
penyelesaian bagi (λI – A) x = 0.
o Set semua eigenvectors yang sepadan
dengan eigenvalue λ ialah ruang vektor yang
disebut sebagai eigenspace bagi λ.
 Bahagian A: Haiwan membiak dan
menyebabkan populasi meningkat.
 Bahagian B: Haiwan mengalami persaingan
hidup sama ada untuk mendapatkan
makanan, tempat tinggal atau pasangan dan
menyebabkan populasi haiwan
berkurangan.
 Faktor kematian secara semula jadi juga
boleh menyebabkan populasi haiwan
berkurangan.

4. Oleh: Cg Mohd Ridzuan al-Kindy (IPG KDRI)
Nota Padat MTE3114 – Aplikasi Matematik | 24
o Andaian:
Permodel Lotka-Volterra
 Permodelan antara populasi pemangsa dan
populasi mangsa pada sebuah lingkungan yang
bergantung satu sama lain berdasarkan hubungan
interaksi saling antara pemangsa-mangsa.
 Persamaan permodelan:
Persamaan Logistik
 Perkembangan populasi berlaku pesat kerana:
 Kadar pertumbuhan populasi:
 Persamaan pertumbuhan semulajadi:
 Apabila populasi mula berkembang, ia akan
melalui fasa pertumbuhan eksponen, namun
apabila menghampiri kepada kapasiti bawaan
(carrying capasity), pertumbuhan akan menjadi
perlahan dan ia mencapai tahap yang stabil.
Interaksi Antara Spesies
 Interaksi pemangsa-mangsa (Contoh: Musang dan
Arnab)
 Andaian:

 Bilangan arnab sekiranya tiada musang:
 Spesis pemangsa adalah bergantung
sepenuhnya hanya pada spesis mangsa
tersebut sahaja sebagai bekalan makanan
 Spesies mangsa mempunyai bekalan
makanan tanpa had
 Tiada ancaman lain kepada mangsa
selain daripada pemangsa tersebut.
Di mana,
- bilangan pemangsa
- bilangan mangsa
, - perkembangan pemangsa /
mangsa berkadar dengan masa
, , , - parameter yang menunjukkan
interaksi antara spesies
o sumber makanan yang tidak putus.
o ruang (habitat yang sempurna) untuk
berkembang
o tiada ancaman daripada pemangsa
=
Di mana,
P ialah populasi sebagai fungsi masa t,
r adalah pemalar perkadaran
( ) =
Di mana
adalah populasi pada masa t = 0
o Arnab hanya mati dengan dimakan oleh
musang.
o Musang akan mati secara semula jadi.
o Interaksi antara musang dan arnab boleh
digambarkan oleh sebuah persamaan.
= ( ) + × ( )
Di mana:
o ∶ bilangan arnab yang baru selepas
tempoh masa
o ( ) : bilangan awal arnab pada tempoh
masa − 1
o : kadar kelahiran untuk arnab
Dalam keadaan ini bilangan arnab secara
berterusan akan meningkat.

5. Oleh: Cg Mohd Ridzuan al-Kindy (IPG KDRI)
Nota Padat MTE3114 – Aplikasi Matematik | 25
 Bilangan musang jika tiada pemburu:
 Apabila musang memakan arnab, persamaan
populasi mempunyai satu lagi istilah untuk
menggambarkan interaksi tersebut.
 Persamaan berikut menunjukkan bilangan arnab
yang semakin berkurangan akibat dimakan oleh
musang:
Simulasi
 Simulasi model pemangsa-mangsa pada graf
bilangan pemangsa dan mangsa terhadap masa:
 Simulasi model pemangsa-mangsa pada graf
bilangan pemangsa terhadap bilangan mansa
o Titik keseimbangan (equilibium point)
Penggunaan Persamaan Pembezaan Permodelan
Dos Dadah yang Selamat dan Berkesan
Pharmakokinetik (PK) vs Pharmakodinamik (PD)
= ( ) − × ( )
Di mana:
o ∶ bilangan musang baru selepas tempoh
masa
o ( ) : bilangan awal musang pada
tempoh masa − 1
o : kadar kematian musang
= {[( ( ) + × ( ))
− × ( )] × ( )}
Di mana:
o ∶ interaksi yang berterusan antara musang
dan arnab.
Diberi persamaan permodelan Lotka-Volterra
Titik keseimbangan = ,
Di mana,
= (parameter graf sistem trajectori) dan
, , = pemalar
Diberi , , = 1
Maka titik keseimbangan
= ,
.
=(1,1.5)
 Pharmakokinetik (PK) adalah
tindakan dadah di dalam badan yang
mempunyai hubungan dengan
tempoh masa, termasuk proses penyerapan,
pengedaran dalam tisu
badan, biotransformasi dan perkumuhan.
o Apakah yang berlaku kepada ubat
itu selepas ia masuk ke dalam badan?
o Apakah reaksi tubuh badan dengan
dadah yang berkadar dengan masa?

6. Oleh: Cg Mohd Ridzuan al-Kindy (IPG KDRI)
Nota Padat MTE3114 – Aplikasi Matematik | 26
Kepentingan Model
Kegunaan Model
Contoh Permodelan
 Paracetamol
o Kajian ini adalah untuk memastikan
dos paracetamol diperlukan bagi orang dewasa
melalui rektum untuk mencapai kepekatan
plasma paracetamol antara 10-20 µgml-1.
o Kepekatan toksik = 120 µg ml–1
o Dos
 Berapa banyak ubat yang anda perlukan?
 Contoh Paracetamol 500 mg
o Dos Regimen
 Berapa kerap ubat yang diperlukan?
 Masa – 4 jam sekali.
 Kesan dos bagi phenylbutazone (PBZ) dan flunixin
(FLU)
o Graf menunjukkan hubungan antara kesan dos
bagi phenylbutazone (PBZ) dan flunixin (FLU)
kepada kuda.
o PBZ dan FLU telah diuji pada sendi carpal bagi
penyakit artritis.
o Untuk Flunixin (FLU)
o Bagi Phenylbutazone (PBZ)
Model PK dan PD membantu dalam memilih dos
yang bersesuaian untuk disahkan dalam ujian
klinikal
Model ini dapat melihat keberkesanan terhadap
dos dadah yang dipilih.
•Percubaan reka bentuk klinikal
•Ramalan tindak balas daripada pesakit
•Ramalan kejayaan berdasarkan ujian
klinikal
Hospital
•Percubaan reka bentuk klinikal
•Sokongan dalam menjelaskan mekanisma
dadah
Universiti
•Penggunaan dadah yang baru (ubat)
•Menentukan keputusan dalam
penyelidikkan
Syarikat Farmaseutikal
•Tinjauan untuk mendapat kelulusan dalam
penggunaan dadah
•Pelabelan dan regimen dos
Food and Drug Administration
 Pharmakodinamik (PD)
menerangkan hubungan antara
kepekatan dadah sistemik
dan kesannya dengan masa
dan model statistik.
o Apakah yang dadah lakukan kepada
badan?
 Pada dos 0.5 mg / kg = kesan terapeutik
yang minimum terhasil
 Dos sebanyak 1 mg / kg = kesan yang
hampir maksimum (dos yang disyorkan).
 Jika dos 2 mg / kg diberikan, ia tidak
meningkatkan kesan intensiti, tetapi
meningkatkan tempoh masa iaitu kira-kira
24 jam.
 Apabila < 1.0 mg,kg dos diberikan, tiada
kesan akan berlaku.
 Jika 1.5mg/kg dos diberikan kesan yang
maksimum akan terhasil tetapi dalam
jangka masa yang pendek sahaja.
 Jika 4m/kg dos diberikan, kesan yang
maksimum akan terhasil iaitu lebih
daripada 12jam.

7. Oleh: Cg Mohd Ridzuan al-Kindy (IPG KDRI)
Nota Padat MTE3114 – Aplikasi Matematik | 27
Permodelan Penyebaran Wabak dan Penyakit
Model Asas Jangkitan AIDS / HIV
 Matematik telah digunakan untuk memahami dan
meramalkan penyebaran penyakit.
 Mengkaji semula model penyakit yang paling
mudah dan mempertimbangkan beberapa
perkembangan matematik yang telah meningkatkan
pemahaman kita dan keupayaan ramalan terhadap
jangkitan penyakit.
 Dipelopori oleh Kermack dan McKendrick (1926)
 Susceptible – Infected – Recovered (SIR)
 Susceptible – Infected – Aids (SIA)
o Bagi penyakit AID / HIV secara khusus kerana
tiada penawar penyakit yang ditemui lagi
setakat hari ini.
o Justifikasi:
 Susceptible – Exposed – Infected – Aids (SEIA)
o Lebih tepat untuk permodelan penularan HIV.
o S – individu yang terdedah kepada
jangkitan penyakit
o I – individu yang telah dijangkiti penyakit
o R – individu yang kembali pulih dari
penyakit setelah menjalani rawatan
 S(t) - kelas individu yang mudah
terpengaruh, orang-orang yang aktif
secara seksual dan tidak
mempunyai pendedahan kepada virus.
 I(t) - kelas individu yang dijangkiti, orang-
orang yang aktif secara seksual, yang
dijangkiti dan berjangkit bagi individu
yang mudah terpengaruh.
 A(t) - kelas pesakit AIDS kritikal, mereka
menunjukkan tanda-tanda yang berkaitan
dengan AIDS dan kita menganggap
bahawa mereka tidak melibatkan
banyak dalam aktiviti seksual akibat
daripada penyakit.
( ) = ( ) + ( ) + ( )
( ) = ( ) + ( )
 Bilangan individu yang mudah
terpengaruh boleh meningkat disebabka
n oleh individu yang baru direkrut
 Ia boleh berkurangan akibat jangkitan
baru sebagai hasil interaksi dengan
individu yang dijangkiti di dalam
kelas ( ) dan juga disebabkan
oleh kematian semula jadi.
 Individu yang dijangkiti (kelas ( ))
boleh maju ke kelas ( ) atau mungkin
mati kerana kematian semula jadi.
 Selepas perkembangan ke kelas ( ),
individu yang dikeluarkan daripada
kelas ini disebabkan oleh kematian
semulajadi atau kematian berpunca
daripada penyakit.
 Jumlah individual seksual yang matang
bagi populasi pada masa yang
diberikan adalah jumlah semua individu
dalam semua kelas yang diberikan oleh,
 Manakala, kelas yang aktif dalam aktiviti
seksual yang diberikan oleh
 Model SEIA yang memperhatikan adanya
tempoh masa dan pendekatan
compartmental (pembahagian kelas)
maka populasi dibahagi ke dalam empat
kelas iaitu susceptible, exposed,
infected dan AIDS.
 Penyebaran virus dari kelas susceptible,
( ) perlu melepasi tempoh masa tertentu
berdasarkan situasi sehingga memasuki
kelas exposed, ( ).
 Setelah tempoh masa tertentu, individu
dalam kelas ini memasuki kelas infected,
( ).
 Jika:
 tahap imunisasi tubuh tinggi, HIV
akan tetap pada kelas infected, ( )
 tahap imunisasi tubuh rendah maka
akan memasuki kelas AIDS, ( )
A