1. Distribusi Poisson
Ciri-ciri distribusi Poisson :
1. Percobaan di satu selang tertentu tak bergantung pada selang lain.
2. Peluang terjadinya satu percobaan singkat atau pada daerah yang kecil (jarang
terjadi)
3. Peluang lebih dari satu hasil percobaan alkan terjadi dalam selang waktu yang
singkat tersebut, dapat diabaikan.
Contoh 6.7.
Mahasiswa menemukan dompet di jalan Jawa. Banyak mahasiswa yang lewat jalan
tersebut merupakan contoh ditribusi Poisson.
Definisi 6.5. Distribusi peluang peubah acak Poisson X, yang menyatakan banyaknya
sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu dinyatakan dengan t,
diberikan oleh
− λ
e λ x
f(x) = , x = 0, 1, 2, … dan λ > 0
x!
Bukti :
Karena λ > 0 dan x ≥ 0 maka λx > 0. Nilai suatu factorial pasti positif dan e-λ > 0,
− λ
e λ x
sehingga dapat disimpulkan bahwa : f(x) = ≥ 0. Dengan mempergunakan deret
x!
∞
ai
Mac Laurin : ea = 1 + a + a2/2! + … = ∑ i! dapat dibuktikan syarat kedua dari suatu
i =0
∞
e −λ λ x ∞
(λ ) x
pdf yaitu : ∑ x
f ( x) = ∑
x =1 x!
= e ∑
−λ
x =1 x!
. Ambil a = λ dan i = x maka
∞
(λ) x λ
∑ x! = e ,
x=1
sehingga ∑ f(x) = e-λeλ = 1. Oleh karena itu distribusi Poisson
x
merupakan suatu pdf.

2. Teorema. 6.4 Rataan dan variansi distribusi Poisson adalah sama yaitu λ, sedangkan
t
mgf distribusi poisson adalah e λ ( e −1)
Bukti :
∞
e −λ λ x (λe t ) x t
e − λ e λe
∞
MGF distribusi Poisson : M(t) = ∑ e e −λ ∑
tx
= =
x=0 x! x =1 x!
λ ( e t −1)
M(t) = e adalah fungsi pembangkit momen distribusi poisson.
t
Turunan pertama M(t) yaitu M′(t) = e λ ( e −1) .λet dan turunan keduanya adalah M″(t) =
t t
e λ ( e −1) λet + (λet)2 e λ ( e −1) . Jika t = 0, maka M′(0) = μ =λ adalah nilai rata – rata
distribusi Poisson. Sedangkan jika t = 0 maka turunan kedua M(t) menjadi M″(0) = λ +
λ2. Seperti yang kita ketahui dari sifat fungsi pembangkit momen (lihat bab IV) bahwa σ2
= M″(0) - M′(0)2 , maka varians distribusi poisson adalah sebagai berikut σ2 = (λ + λ2) -
λ2= λ .
Oleh karena λ = μ maka distribusi poisson yang dinotasikan dengan p(λ) dapat
− μ
e μ x
dituliskan sebagai p(μ) dengan pdf : f(x) = ,
x!
Teorema 6.5 Misalkan X berdistribusi binomial b(n,p). Bila n → ∞, p → 0, dan μ = np
tetap sama, maka b(n,p) dihampiri oleh p(μ)
Bukti diserahkan pada pembaca sebagai latihan.
BAB VI