MATEMATIK UNTUK TEKNOLOGI

1. 33
MODUL 3: MATRIKS
3.1 MENGGUNAKAN KONSEP MATRIKS
Contoh
3.1.1
Membentuk matriks daripada
maklumat yang diberi.
Jadual menunjukkan keputusan kuiz 50 soalan Matematik bagi kelas
2A, 2B dan 2C. Tuliskan dalam bentuk matriks.
Kelas Lelaki Perempuan
2 A 48 49
2 B 42 40
2 C 37 36
Penyelesaian
48 49
42 40
37 36
31.2
Baris 1
Baris 2
Lajur 1 Lajur 2
a) Bilangan baris = m
b) Bilangan lajur = n
c) Peringkat matriks = m × n
Peringkat matriks = 2 × 2
3.1.3
Unsur dalam matriks
a i j
Lajur 1 Lajur 2 Lajur 3
Annette Fazlin Suriani
Fara Zainab Rina
Annette Fazlin Suriani
Fara Zainab Rina
a) a12 = Fazlin
b) a23 = Rina
c) a11 = Annette
d) a22 = Zainab






dc
ba
Baris 1
Baris 2
baris
lajur
A =

2. 34
Latihan 1
1 Beberapa permainan akan diberikan kepada sekumpulan kanak-kanak di sebuah parti hari jadi. Jenis, harga
dan kuantiti permainan yang dibeli adalah seperti senaraiberikut.
Permainan Harga Kuantiti
Kereta 4.50 30
Anak patung 3.20 25
Radio 6.00 55
Tulis matriks peringkat 2 × 3 untuk menggambarkan maklumat tersebut.
Jawapan :
2 Bagi setiap matriks berikut, tentukan
(i) bilangan baris
(ii) bilangan lajur
(iii) peringkat matriks
(a) (i)
2
0
−6
7
(ii)
(iii)
(c)
−1 3 8
6 −2 0
(i)
(ii)
(iii)
(b)
0 6 −1
3 5 4
−2 0 3
(i)
(ii)
(iii)
(d) 2 −3 7 0
(i)
(ii)
(iii)
3
Diberi matriks A = (
2 −3
5 7
) dan matriks B =
0 9
12 −5
3 6
(a) Senaraikan unsur-unsur dalam baris kedua bagi matriks A.
----------------------------------------------------------------------
(b) Nyatakan unsur bagi
(i) a22 = (ii) a11 = (iii) b12 = (iv) b21 =
(v) a22 + a11 = (vi) b12 + b21 =

3. 35
3.2 MENGGUNAKAN KONSEP MATRIKS SAMA UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH
3.2.1
Tentukan sama ada pasangan matriks berikut adalah matriks sama.
(a) A = −1 2 3 dan B = −1 2 −3
A ≠ B
(b) G = dan F =
G = F
3.2.2
Di beri A =
𝑥 2 5
4 −1 6
dan B =
−3 2 5
4 𝑥 + 𝑦 6
. Carikan nilai x dan y jika A = B.
Penyelesaian
𝑥 2 5
4 −1 6
=
−3 2 5
4 𝑥 + 𝑦 6
Latihan 2
1 Tentukan sama ada setiap pasangan matriks berikut adalah sama atau tidak. Tandakan (√ ) jika ya dalam petak
dan ( X ) jika tidak.
(a) F =
1
2
5
, G = 1 2 5
(b) H = (
1 3
−7 8
) , T = (
1 3
−7 8
)
(c) J = (
1 0
0 1
) , K = (
1
1
)
(d) L = (
4 2 8
−1 5 −3
), M = (
4 2 8
−1 5 −3
)
(e) P = (
1 3
7 −2
−6 0
), Q = (
1 3
7 −2
−6 0
) (f) R = (
1
2
3
4
), S = (
3
4
1
2
)






 25.1
5.00













2
4
2
3
2
1
0
kerana a13 tidak sama
dengan b13.
kerana mempunyai
peringkat matriks yang
sama dan unsur sepadan
yang sama.
sama
sama
Maka x = −3 dan – 1 = x + y
– 1 = – 3+ y
y = 2

4. 36
2 Bagi setiap pasangan matriks yang sama, tentukan nilai x dan y.
(a) ( 𝑥 4) = (5 𝑦)
(b) (
2
𝑥
0.7
) = (
2
−6
𝑦
)
(c) (
3 −1
−7 𝑦
) = (
3 𝑥
−7 9
) (d) (
1 𝑥 + 2
𝑥 2𝑦
) = (
1 5
𝑦 + 6 2𝑦
)
3.3 MELAKUKAN PENAMBAHAN DAN PENOLAKAN MATRIKS
3.3.1
Tentukan sama ada setiap pasangan matriks berikut dapat ditambah atau ditolak.
(a) A = (1 −2), B = (
3 6
0 0
)
Tidak.
(b) C = (
1 1 2
0 1 1
1 0 2
), D = (
2 3 1
3 1 2
1 0 1
)
Boleh.
3.3.2
Penambahan dan penolakan dua matriks
Penambahan Penolakan
 ( 𝑎 𝑏) + ( 𝑐 𝑑) = ( 𝑎 + 𝑐 𝑏 + 𝑑)
 (
𝑎
𝑏
) + (
𝑐
𝑑
)= (
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
)
 (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) + (
𝑒 𝑓
𝑔 ℎ
) = (
𝑎 + 𝑒 𝑏 + 𝑓
𝑐 + 𝑔 𝑑 + ℎ
)
 ( 𝑎 𝑏) − ( 𝑐 𝑑) = ( 𝑎 − 𝑐 𝑏 − 𝑑)
 (
𝑎
𝑏
) − (
𝑐
𝑑
) = (
𝑎 − 𝑐
𝑏 − 𝑑
)
 (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) − (
𝑒 𝑓
𝑔 ℎ
) = (
𝑎 − 𝑒 𝑏 − 𝑓
𝑐 − 𝑔 𝑑 − ℎ
)
3.3.3
Penambahan dan penolakan beberapa matriks
Ungkapkan (
2 7
−1 5
) + (
−3 2
−4 3
) − (
−8 6
5 −1
)
Penyelesaian
(
2 7
−1 5
) + (
−3 2
−4 3
) − (
−8 6
5 −1
)
= (
7 3
−10 9
)
Peringkat matriks A ≠
peringkat matriks B. Peringkat matriks C =
peringkat matriks D.
Mulakan penghitungan
dari kiri ke kanan

5. 37
3.3.4
&
3.3.5
Selesaikan setiap persamaan matriks yang berikut
(a) (
𝑥
5
) − (
5
−4
) = (
2
3𝑦
)
Penyelesaian
(
𝑥
5
) − (
5
−4
) = (
2
3𝑦
)
(
𝑥 − 5
5 − (−4)
) = (
2
3𝑦
)
maka, x – 5 = 2
x = 7
dan 5 – ( − 4 ) = 3y
9 = 3y
y = 3
(b) (
1 𝑥
𝑦 3
) + (
4 𝑥
0 𝑦
) = (
5 −8
𝑦 𝑥
)
Latihan 3
1 Tentukan sama ada setiap pasangan matriks berikut dapat ditambah atau ditolak. Tandakan (√ ) jika ya dalam
petak dan ( X ) jika tidak.
(a) (
1
7
) dan (
8
2
) (b) (
1 3
2 3
) dan (
1 2 3
4 3 −2
)
(c) (2 1 4) dan (6 2) (d) (
1 2 3
4 5 6
7 8 9
) dan (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
)
2 Ungkapkan setiap yang berikut sebagaisatu matriks tunggal
(a) (
1
2
) + (
2
5
)
(b) (
3
−4
6
) + (
2
7
−2
)
(c) (
3
7
) − (
2
5
) (d) (
−1 2
3 5
) − (
−6 7
−8 9
)
(e) (
3 5
6 4
1 6
) + (
−6 7
−5 −2
4 1
) (f) (
7 −4 2
8 9 3
) + (
−5 −2 3
0 6 4
)

6. 38
3 Permudahkan setiap yang berikut.
(a) (
6
1
) + (
0
3
) + (
4
5
) (b) (6 −3) − (5 −7) − (2 4)
(c) (
4
2
3
) − (
7
−1
3
) + (
−5
0
2
)
(d) (1 −2 5) + (6 1 −9) − (8 7 −6)
4 Bagi setiap pasangan matriks yang sama, tentukan nilai x dan y.
(a) (
𝑥
4
) + (
2
𝑦
) = (
3
−1
) (b) (
5
𝑦
) = (
𝑥
3𝑦) − (
7
6
)
(c) (2𝑥 5) − (3 𝑦) = (1 −2)
(d) (
3 4
𝑦 −1
) + (
𝑥 5
6 −3
) = (
8 9
2𝑦 −4
)
5 Selesaikan setiap persamaan yang berikut.
(a) (
𝑝
2
) + (
4
𝑞) = (
9
2
) (b) (
3𝑎
𝑏
) − (
5
−𝑏
) = (
7
−6
)
(c) (𝑚 𝑛) + (6 𝑛) = (4𝑚 3) (d) (
6 2𝑤
𝑣 −5
) − (
−2 1
𝑤 −7
) = (
8 9
−3 2
)

7. 39
3.4 MELAKUKAN PENDARABAN MATRIKS DENGAN SUATU NOMBOR
 k ( 𝑎 𝑏) = ( 𝑘 𝑎 𝑘𝑏)  k (
𝑎
𝑏
) = (
𝑘𝑎
𝑘𝑏
)  k (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) = (
𝑘𝑎 𝑘𝑏
𝑘𝑐 𝑘𝑑
)
Contoh 1
Diberi matriks A = (
3 −8
7 0
), cari3A
3 (
3 −8
7 0
) = (
3 × 3 3 × −8
3 × 7 3 × 0
)
= (
9 −24
21 0
)
Contoh 2
5 (
3
4
7
) −
1
2
(
4
−8
20
) + (
10
0
6
) = ???
= (
15 − 2 + 10
20 − (−4) + 10
35 − 10 + 6
)
= (
23
24
31
)
Contoh 3
Cari nilai x dan y
3 (
−6
𝑦
) + 2 (
𝑥
−1
)= (
2
7
)
Penyelesaian
(
−18
3𝑦
) + (
2𝑥
−2
)= (
2
7
)
(
−18 + 2𝑥
3𝑦 − 2
) = (
2
7
)
−18 + 2𝑥 = 2
2x = 20
x = 10
3y – 2 = 7
3y = 9
y = 3
Maka, x = 10 dan y = 3
Latihan 4
1 Ungkapkan setiap yang berikut sebagai matriks tunggal
(a) 4 (
−2 0
3 5
4 −1
) (b)
1
3
(
−9 12
18 0
)
(c) −5 (
0.4
−0.2
1.5
) (d)
1
4
(
0 4 12
−20 28 −8
)

8. 40
2 Selesaikan setiap persamaan matriks berikut
a) (
3 𝑥
0 −2
) −3 (
1 −2
−1 0
) = (
0 5
𝑦 −2
) b) 2 (
3𝑥
−𝑦 + 1
) = 3 (
4
0
)
c) 2 ( 𝑥 3 4) − (7 𝑦 3) = 5 (1 0 𝑧)
d)
1
2
(
−2 𝑥 + 2
0 𝑦 − 2
) + 2 (
𝑧 − 1 3
−1 0
) = (
5 7
−2 1
)
e) (
2𝑥 − 1 0
3 𝑦 + 2
4 1
) −2 (
3 −6
0 1
−1 2𝑧 + 3
) = 3(
1 4
1 −2
2 5
)

9. 41
3.5 MELAKUKAN PENDARABAN DUA MATRIKS
3.5.1 Mencari hasil darab dua matriks 2 x 2
1. (
3 −2
4 1
) (
5
8
) =
= (
3 × 5 + −2 × 8
4 × 5 + 1 × 8
)
= (
−1
28
)
2. (
6 − 2
4 3
) (
3 − 4
5 8
)
= (6 × 3 + −2 5 6 × −4 + −2 × 8
4 × 3 + 3 × 5 4 × −4 + 3 × 8
)
= (
18 − 10 −24 − 16
12 + 15 −16 + 24
)
= (
8 −40
27 8
)
3. (
2 3
4 7
) (
5 4
9 8
) 4. (
4 8
5 7
)(
5 6
3 9
)
5. (
−1 0
1 4
) (
−1 2
1 3
) 6. (
−2 1
1 4
)(
3 2
1 2
)
7. (
4 2
1 −2
) (
−2 5
3 7
)
8. (
3 −2
4 6
)(
−5
8
) =
 Konsep penting






dc
ba






sr
qp
= 







dscpdrcp
bsaqbrap
cq

10. 42
Diberi A = (
4 2
1 −2
) dan B = (
3 4
1 5
). Hitungkan
9. 𝐴𝐵
10. 𝐵𝐴
3.6 MEMAHAMI DANMENGGUNAKANKONSEP MATRIKS IDENTITIPELBAGAI PERINGKAT
3.6.1 Menentukan sama ada suatu matriks yang diberi adalah matriks identiti melalui pendaraban matriks
tersebut dengan matriks lain.
Cari hasil darab setiap matriks berikut dan seterusnya nyatakan sama ada matriks tersebut adalah matriks
identiti:
1. (
1 0
0 1
) (
−1 2
1 3
) 2. (
0 1
0 1
) (
2 1
0 3
)
3. (
2 0
−1 1
) (
1 0
0 1
) 4. (
3 1
−1 2
) (
1 0
0 −1
)
NOTA :
1. Semua matriks identiti ialah matriks segiempat sama.
2. Matriks identiti peringkat 2 x 2 ialah (
1 0
0 1
)
3. Matriks identiti peringkat 3 x 3 ialah (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
)
4. Apabila suatu matrik A didarab dengan matriks identiti, I
Maka
AI = IA = A

11. 43
3.6.2 Menulis matriks identiti 2 × 2 dan 3 × 3
3.6.3 Melakukan pengiraan yang melibatkan matriks identiti.
Selesaikan setiap matriks yang berikut:
1. (
1 0
0 1
) (
2 3
−1 5
) + (
−1 2
4 2
) =
2. (
1 8
0 3
)(
1 0
0 1
) + (
9 −2
6 2
) =
3. (
3 5
−2 4
) (
1 0
0 1
) − (
1 2
−2 −3
) =
4. (
1 0
0 1
)(
−4 9
7 −3
) − (
−1 5
4 −1
) =
5. (
1 0
0 1
) (
4 8
10 3
) + (
1 2
−2 −3
)
6. (
5 6
7 8
)(
1 0
0 1
) − (
2 3
1 5
)
Matriks identiti 2 × 2 = (
1 0
0 1
)
Matriks identiti 3 × 3 = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
)

12. 44
3.7 MEMAHAMI DANMENGGUNAKANKONSEP MATRIKS SONGSANG
3.7.1 Menentukan sama ada suatu matriks 2 × 2 adalah matriks songsang bagi suatu matriks 2 × 2 yang lain.
Lengkapkan jadual berikut. Tentukan sama ada A ialah matriks songsang bagi B atau tidak.
A B AB BA YA TIDAK
(
4 −3
3 −2
) (
−2 3
−3 4
)
(
1 1
1 2
) (
2 1
1 2
)
(
9 7
5 4
) (
4 −7
−5 9
)
NOTA :
Jika AB = I dan BA = I, maka matriks B ialah matriks songsang bagi A.

13. 45
3.7.2 Mencari matriks songsang bagi suatu matriks 2 × 2 menggunakan rumus.
Dengan menggunakan rumus, cari matriks songsang bagi setiap matriks yang berikut.
Contoh :
(
5 7
2 3
) =
1
(5×3)−(7×2)
(
3 −7
−2 5
)
= 1 (
3 −7
−2 5
)
= (
3 −7
−2 5
)
a) (
3 −4
−5 7
)
b) (
3 2
4 2
) c) (
−1 −3
3 7
)
d) (
2 4
1 3
) e) (
6 5
3 2
)
NOTA :
Secara umumnya, matriks songsang bagi suatu matriks A ditulis sebagai A-1
.
Bagi A = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
), 𝐴−1=
1
𝑎𝑑−𝑏𝑐
(
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
) apabila ad – bc ≠ 0

14. 46
3.8 MENYELESAIKANPERSAMAAN LINEARSERENTAK DENGAN KAEDAH MATRIKS
3.8.1 Menulis persamaan linear serentak dalam bentuk matriks.
Tukarkan persamaan linear serentak kepada bentuk matriks.
Persamaan serentak Persamaan matriks
a) −2𝑥 + 5𝑦 = 10
8𝑥 − 2𝑦 = 3
b) 𝑥 − 3𝑦 = 5
2𝑥 + 𝑦 = −3
c) 𝑝 + 3𝑞 = −3
−3𝑝 + 2𝑞 = −5
d) 5𝑝 + 2𝑞 = −5
2𝑝 + 4𝑞 = 3
e) 2𝑝 − 𝑞 = 4
6𝑝 + 2𝑞 = 5
NOTA :
 Dua persamaan linear serentak
ax + by = p
cx + dy = q
boleh diubah kepada bentuk matriks












y
x
dc
ba
= 





q
p

15. 47
3.8.2 Menentukan matriks (
𝑝
𝑞) dalam (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) (
𝑝
𝑞) = (
ℎ
𝑘
) dengan menggunakan matriks songsang.
Contoh :
Cari nilai 𝑥 dan 𝑦 bagi persamaan berikut;
2𝑥 + 𝑦 = 3
3𝑥 – 2𝑦 = 8
(
2 1
3 −2
)(
𝑥
𝑦) = (
3
8
)
(
𝑥
𝑦) =
1
(2 × −2) − (1 × 3)
(
−2 −1
−3 2
) (
3
8
)
(
𝑥
𝑦) =
1
−7
(
(−2 × 3) + (−1 × 8)
(−3 × 3) + (2 × 8)
)
(
𝑥
𝑦) =
1
−7
(
−6 − 8
−9 + 16
)
(
𝑥
𝑦) =
1
−7
(
−14
7
)
(
𝑥
𝑦) = (
−
1
7
× −14
−
1
7
× 7
)
𝑥 = 2, 𝑦 = −1
NOTA :
Katakan A = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) , maka, (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) (
𝑝
𝑞) = (
ℎ
𝑘
) 𝐴−1A =I
(
𝑝
𝑞) =
1
𝑎𝑑−𝑏𝑐
(
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
) (
ℎ
𝑘
)

16. 48
Cari matriks (
𝑝
𝑞) dalam setiap persamaan matriks yang berikut dengan menggunakan kaedah pendaraban matriks
songsang.
a) 





 43
21






q
p
= 





5
5
b) 





32
13






q
p
= 





4
13
c) 




 
51
34






q
p
= 





 3
11
d) 





 21
31






q
p
= 





3
2
3.8.3 Dengan menggunakan kaedah matriks, selesaikan persamaan serentak yang berikut.
a) 4x – 2y = 6
3x – y = 2
b) 3x – 4y = –1
5x – 6y = 2

17. 49
c) 3x – 4y = –1
5x – 6y = 2
d) 2x – 3y = 13
4x + y = 5
e) 5𝑝 + 3𝑞 = 13
2𝑝 − 𝑞 = 5
f) 𝑥 − 3𝑦 = 7
2𝑥 + 5𝑦 = 3
g) 3x + 7y = 9
2x + 5y = 7
h) 8𝑥 − 5𝑦 = 2
7𝑥 − 4𝑦 = 1
i) −r + 2s = 6
−3r + 4s = 8
j) 3x – 4y = –1
5x – 6y = 2

18. 50
CONTOH SOALAN PEPERIKSAAN
1. Diberi matriks A = (
3 −5
6 2
)
a) Kenalpasti unsur
i) a12 [ 1 markah ]
ii) a21 [ 1 markah ]
b) Nyatakan peringkat bagi matriks A. [ 1 markah ]
2. a) Permudahkan matriks berikut:
(i)
1
2
(
2
−14
) [ 1 markah ]
(ii) 3(
1 3
9 7
) [ 1 markah ]
(iii) (
0
1
) − (
5
4
) + (
8
9
) = [ 1 markah ]
b) Selesaikan matriks berikut:
(i) (10 12) − ( 𝑥 6) = (2 𝑦) [ 2 markah ]
(ii) (
𝑚 4
5 −10
) + (
8 2
−1 3
) = (
13 6
4 𝑛
) [ 2 markah ]

19. 51
3. Cari hasil darab matriks berikut:
(a) (
1 2
−2 1
)(
2 −3
0 1
) (b) (
2 −2
8 −12
) (
6 −1
4 −1
)
(a) (
−1 2
3 0
) (
2 5
−1 1
) (b) (
2 4
3 2
) (
5 2
−1 1
)
[ 8 markah ]
4. Ungkapkan matriks tersebut sebagai matriks tunggal.
(
1 0
0 1
) (
5 −4
3 6
)+(
1 3
3 2
)
[ 2 markah ]
5. Diberi matriks I = (
1 0
0 1
) , A = (
3 4
1 6
) dan B = (
−1 6
2 −4
), ungkapkan setiap yang berikut sebagai satu
matriks tunggal.
a) AB + I b) AI – AB
[ 4 markah ]

20. 52
6. Diberi matriks (
5 7
2 −3
) (
1 0
0 1
) = B , cari matriks B.
[ 2 markah ]
7. (a) Dengan menggunakan rumus, cari matriks songsang bagi 𝐺 = (
3 −4
1 2
)
(b) Jika matriks (
3 9
2 𝑚
) tidak mempunyai matriks songsang, cari nilai 𝑚.
[ 6 markah ]
8. Selesaikan persamaan linear serentak di bawah dengan kaedah matriks.
5𝑥 − 3𝑦 = −19
−2𝑥 + 4𝑦 = 16
[ 4 markah ]

21. 53
9. Diberi N ialah matriks(
𝑚 1
10 𝑛
) dan matriks songsang N ialah
1
10
(
𝑛 −1
−10 5
), hitung nilai m dan n.
[ 4 markah ]
10. Selesaikan persamaan linear di bawah dengan kaedah matriks.
4𝑥 − 5𝑦 = 32
3𝑥 − 4𝑦 = 25
[ 4 markah ]