1. Sham_D20112056089
PPGPJJ SEMESTER 2 SESI 2013/2014
SMU 3053 ALJABBAR ASAS
TUGASAN 1
DISEDIAKAN OLEH
NAMA NO. ID NO. TELEFON
SHAMSUDIAR BINTI SUDIN D20112056089 0194586369
KUMPULAN : UPSI 02 (A132 PJJ)
NAMA TUTOR E-LEARNING: DR. MOHD FAIZAL NIZAM LEE BIN ABDULLAH
TARIKH SERAH: 28.03.2014
PEMARKAHAN

2. 2
Sham_D20112056089
Tugasan 1 :
1a) Ada tiga kaedah utama bagi mencari penyelesaian-penyelesaian bagi persamaan
kuadratik yang telah anda pelajari. Bincangkan kelebihan (advantage) dan kekurangan
(disadvantage) bagi setiap kaedah.
Kaedah pertama bagi menyelesaikan persamaan kuadratik ialah kaedah pemfaktoran. Bagi
mencari penyelesaian bagi persamaan kuadratik dengan menggunakan kaedah pemfaktoran,
kita perlu menggunakan Prinsip Hasil Darab Sifar. Oleh itu satu persamaan A.B = 0 adalah
benar jika dan hanya jika A=0 atau B=0 atau kedua-duanya sifar. Kaedah ini mudah untuk
dijalankan walau bagaimanapun penggunaan kaedah ini adalah terhad. Ia boleh digunakan
apabila persamaan adalah bersamaan dengan sifar.
Contohnya:
a) x2 + x -6 = 0
( x + 3) ( x -2 ) = 0
Oleh itu mengikut prinsip hasil darab sifar ini bermakna,
X + 3 = 0 oleh itu X= - 3. Manakala X- 2 = 0 makan x = 2.
Walau bagaimanapun terdapat juga situasi di mana persamaan yang diberikan tidak
bersamaan dengan sifar, contohnya:
b) ( 2x -1 ) ( x + 3 ) = 9. Bagi situasi ini, sebelum menyelesaikan menggunakan kaedah
pemfaktoran ia perlu di kembangkan terlebih dahulu dan menjadikan persamaan ini
bersamaan dengan sifar, baharullah ia boleh difaktorkan.
Kaedah yang kedua yang boleh digunakan ialah dengan menggunakan Rumus Kuadratik.
Sebagaimana yang dimaklumkan dalam penggunaan kaedah yang pertama tadi iaitu
pemfaktoran, di mana bukan semua persamaan kuadratik dapat difaktorkan. Penggunaan
Rumus Kuadratik merupakan suatu kaedah yang bersesuaian. Penggunaan rumus ini dapat
menyelesaikan hampir semua jawapan bagi persamaan kuadratik. Rumus kuadratik yang
digunakan ialah :
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎

3. 3
Sham_D20112056089
Penyelesaian bagi suatu persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0 ( di mana a ≠ 0 )
Contoh penyelesaian bagi x2 – 3x + 1 = 0
Di mana a = 1, b = -3 dan c = 1.
𝑥 =
−(−3)± √(−3)2 − 4(1)(1)
2(1)
𝑥 =
3 ± √9 − 4
2
𝑥 =
3 ± √5
2
𝑥 =
3 ± 2.24
2
𝑥 =
3+ 2.24
2
𝑥 =
5.24
2
𝒙 = 𝟐. 𝟔𝟐
Atau 𝑥 =
3− 2.24
2
, 𝑥 =
0.76
2
, 𝒙 = 𝟎. 𝟑𝟖
Walau bagaimanapun bukan semua persamaan kuadratik dapat diselesaikan menggunakan
rumus. Contoh penyelesaian bagi 3x2 – 6x + 7 = 0.
𝑥 =
−6±√62
−4(3)(7)
2(3)
x =
−6±√36−84
6
x =
−6±√−48
6
x =
−6±√−48
6

4. 4
Sham_D20112056089
memandangkan √−48 maka tiada penyelesaian dapat dilakukan. Kerana √−48 tidak wujud
iaitu bukan nombor nyata. Lantaran itu persamaan kuadratik 3x2 – 6x + 7 = 0 tidak dapat
diselesaikan menggunakan rumus.
Kaedah yang ketiga ialah dengan melengkapkan kuasa dua. Penggunaan kaedah ini
juga membantu dalam menyelesaikan persamaan kuadratik namun ia melibatkan pengiraan
yang panjang. Contoh penyelesaian adalah seperti berikut:
Bagi menyempurnakan kuasa dua, pekali bagi x2 adalah positif dan bernilai 1.
ax2 + bx + c = 0
𝑎 [ 𝑥2
+
𝑏
𝑎
𝑥 +
𝑐
𝑎
] = 0
𝑎 [( 𝑥2
+
𝑏
2𝑎
)
2
− (
𝑏
2𝑎
)
2
+
𝑐
𝑎
] = 0
Contoh penyelesaian, x² + 6x + 8 = 0. Oleh itu , a = 1, b = 6 dan c = 8.
1[ 𝑥2
+ 6𝑥 + 8] = 0
1 [ 𝑥2
+
6
1
𝑥 +
8
1
] = 0
1 [( 𝑥2
+
6
2(1)
)
2
− (
6
2(1)
)
2
+
8
1
] = 0
1 [( 𝑥2
+ 3)2
− (3)2
+ 8 ] = 0
( x + 3)2 – 9 + 8 = 0
( x + 3 )2 -1 = 0
( x + 3 )2 = 1
X + 3 = ± 1
X = -3 ± 1 , x = -2 atau -4.
1(b) (i) Suatu polinomial p(x) dibentuk dengan tiga faktor iaitu ( x+1), (x-5) dan (ax +b). Jika
polinomial tersebut mempunyai nilai 10 apabila x=0 dan mempunyai baki -35 apabila
dibahagi dengan 2x-3, cari nilai a dan b.

5. 5
Sham_D20112056089
𝑃( 𝑥) = ( 𝑥 + 1)( 𝑥 − 5)(𝑎𝑥 + 𝑏)
 X = 0, P(x) = 10
𝑃(𝑥)
2𝑥 − 3
= −35
 X = 0, P(x) = 10
Oleh itu,
( 𝑥 + 1)( 𝑥 − 5)( 𝑎𝑥 + 𝑏) = 10
((𝑜)+ 1)((0)− 5)( 𝑎(0)+ 𝑏) = 10
(1)(−5)( 𝑏) = 10
−5𝑏 = 10
𝑏 =
10
−5
,
𝒃 = −𝟐
𝑃(𝑥)
2𝑥−3
= −35 … 2𝑥 − 3 = 0, oleh itu 𝑥 =
3
2
Masukkan 𝑥 =
3
2
dalam P(x),
𝑃( 𝑥) = ( 𝑥 + 1)( 𝑥 − 5)(𝑎𝑥 + 𝑏) = -35
𝑃(3
2⁄ ) = (3
2⁄ + 1)(3
2⁄ − 5)(𝑎(3
2⁄ ) − 2) = −35
(3
2⁄ + 1)(3
2⁄ − 5)(𝑎(3
2⁄ ) − 2) = −35
(
5
2
)(−
7
2
)((
3
2
𝑎) − 2) = −35
(−
35
4
)((
3
2
𝑎) − 2) = −35
((
3
2
𝑎) − 2) = −35(−
4
35
)
(
3
2
𝑎) = 4 + 2
𝑎 = 6 (
2
3
) oleh itu a = 4. Daripada persamaan , a= 4 dan b= -2
1(b) (ii) Jika x-2 adalah suatu faktor bagi polinomial 3x3-mx2-6x +8, cari nilai m. Seterusnya
selesaikan persamaan 3x3-mx2-6x +8 = 0.

6. 6
Sham_D20112056089
𝑃( 𝑥) = 3𝑥3
– 𝑚𝑥 − 6𝑥 + 8
Memandangkan ( 𝑥 − 2) adalah faktor bagi P(x) maka
( 𝑥 − 2) = 0 oleh itu x =2. Masukkan x=2 dalam P(x).
𝑃(2) = 3𝑥3
–𝑚𝑥² − 6𝑥 + 8 = 0
3(2)3
–𝑚(2)² − 6(2) + 8 = 0
3(8) –4𝑚 − 12 + 8 = 0
24 –4 − 4𝑚 = 0
20 = 4𝑚
20/4 = 𝑚
𝟓 = 𝒎
selesaikan persamaan 3x3-mx2-6x +8 = 0.
Oleh itu, 3𝑥3
− 5𝑥² − 6𝑥 + 8 = 0 menggunakan pembahagian panjang dengan
faktornya iaitu ( 𝑥 − 2)
3𝑥² + 𝑥 − 4
( 𝑥 − 2)√3𝑥³ − 5𝑥² − 6𝑥 + 8
− 3𝑥³ − 6𝑥²
𝑥² − 6𝑥 + 8
− 𝑥² − 2𝑥
−4𝑥 + 8
− (−4𝑥) + 8
( 𝑥 − 2)(3𝑥2
+ 𝑥 − 4) = 0
( 𝑥 − 2)(3𝑥 + 4)(𝑥 − 1) = 0
Penyelesaian:
𝑥 − 2 = 0 , oleh itu x = 2.
3x + 4 = 0, oleh itu x = -4/3
x -1 = 0, oleh itu x = 1.

7. 7
Sham_D20112056089
2(a) Bincangkan kepentingan pendaraban matriks dalam kehidupan seharian dengan
memberikan contoh-contoh yang relevan.
Jawapan :
Kehidupan seharian kita melibatkan banyak maklumat dan data-data. Contohnya kehidupan
seharian kita melibatkan bayaran bil-bil, pengurusan kewangan, pembelian barangan dan lain-
lain lagi. Sehubungan itu, melalui penggunaan matriks kita dapat menyusun data dengan lebih
baik lagi. Malahan sewaktu kita ingin menyemak atau memeriksa maklumat yang telah kita
perolehi adalah lebih baik dan kemas. Lantaran itu, penggunaan pendaraban matriks dalam
kehidupan seharian kita ialah bagi membantu memudahkan proses menjumlahkan sesuatu
permasalahan secara berperingkat-peringkat.
Contoh 1:
Kadar penggunaan air ialah 200 liter pertama berjumlah RM 0.255. Manakala bagi 100 liter
berikutnya ialah RM0.355. Sekiranya En. Ali menggunakan 265 liter bagi bulan Mac.
Berapakah jumlah bayaran En. Ali bagi bulan Mac.
Penyelesaian;
Kadar penggunaan , G [ 200 65 ]
Kadar Bayaran, B [
0.255
0.355
]
Kadar bayaran En. Ali bagi bulan Mac ialah ;
GB [ 200 65][
0.255
0.355
]
= [ 51+ 23.08]
= RM 74.08
Contoh 2:
Kedai Burger Ria telah menghasilkan burger dan memasarkannya seperti jadual berikut .
Berapakah jumlah jualan
JENIS BURGER HARGA JUALAN JUMLAH GERAI
Burger Benjo ( A ) RM 1.30 206, 470, 215 X, Y, Z
Burger Ayam ( B ) RM 1.70 163, 534, 414 X, Y, Z
Burger Daging ( C) RM 1.80 305, 208, 279 X, Y, Z

8. 8
Sham_D20112056089
Jumlah jualan ialah:
1.3 [
206
470
215
] + 1.7 [
163
534
414
] + 1.8 [
305
208
279
]
= [
267.8
611
279.5
] + [
277.1
907.8
703.8
] + [
549
374.4
502.2
]
= [
267.8 + 277.1 + 549
611 + 907.8 + 374.4
279.5 + 703.8 + 502.2
]
= [
1093.9
1893.2
1485.5
]
Jumlah jualan = jualan Benjo + Jualan Burger Ayam + Jualan Burger Daging
= RM 1093.9 + RM 1893.2 + RM 1485.5
= RM 4472.60.
Selain daripada jumlah jualan, melalui pendaraban matriks juga kita boleh mencari jumlah
jualan bagi setiap gerai.
2(b) Tunjukkan matriks A = [
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
] memenuhi persamaan A² - (a + d) A + (ad –bc) I = 0, di
mana a , b, c dan d adalah nombor nyata, I adalah matriks identiti 2x2 dan 0 adalah matriks
sifar 2 x 2.
Diketahui bahawa A = [
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
] dan I ialah [
1 0
0 1
]
Buktikan bahawa , 𝐴² − ( 𝑎 + 𝑑) 𝐴 + ( 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) 𝐼 = 0
𝐴² − ( 𝑎 + 𝑑) 𝐴 + ( 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) 𝐼
= [
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
]² − ( 𝑎 + 𝑑) [
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
]+ ( 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) [
1 0
0 1
]
= [
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
][
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
]− ( 𝑎 + 𝑑)[
𝑎 𝑐
𝑏 𝑑
] + ( 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) [
1 0
0 1
]
= [
𝑎² + 𝑏𝑐 𝑎𝑐 + 𝑐𝑑
𝑎𝑏 + 𝑏𝑑 𝑏𝑐 + 𝑑²
] − [
𝑎² + 𝑎𝑑 𝑎𝑐 + 𝑐𝑑
𝑎𝑏 + 𝑏𝑑 𝑎𝑑 + 𝑑²
] + [
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 0
0 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
]
= [
𝑎² + 𝑏𝑐 − 𝑎² − 𝑎𝑑 + 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 𝑎𝑐 + 𝑐𝑑 − 𝑎𝑐 − 𝑐𝑑 + 0
𝑎𝑏 + 𝑏𝑑 − 𝑎𝑏 − 𝑏𝑑 + 0 𝑏𝑐 + 𝑑² − 𝑎𝑑 − 𝑑² + 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
]

9. 9
Sham_D20112056089
= [
𝑎² + 𝑏𝑐 − 𝑎² − 𝑎𝑑 + 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 𝑎𝑐 + 𝑐𝑑 − 𝑎𝑐 − 𝑐𝑑 + 0
𝑎𝑏 + 𝑏𝑑 − 𝑎𝑏 − 𝑏𝑑 + 0 𝑏𝑐 + 𝑑² − 𝑎𝑑 − 𝑑² + 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
]
= [
0 0
0 0
]
= 0,
Oleh itu terbukti 𝑨² − ( 𝒂+ 𝒅) 𝑨 + ( 𝒂𝒅 − 𝒃𝒄) 𝑰 = 𝟎
3(a)(i) Hasil tambah ketakterhinggaan bagi satu siri geometri ialah
3
4
, dan hasil tambah dua
sebutan pertama ialah
2
3
. Dapatkan sebutan pertama, a dan nisbah sepunya, 𝑟 ( 𝑟 < 0).
Seterusnya dapatkan sebutan kesepuluh bagi siri tersebut.
Diberi , 𝑠∞ =
3
4
dan 𝑠2 =
2
3
Dicari, sebutan pertama (a) dan nisbah sepunya (r).
𝑠∞ =
3
4
𝑎
1 − 𝑟
=
3
4
𝑎 =
3
4
(1 − 𝑟 )
𝑠2 =
2
3
𝑎 ( 1 − 𝑟²)
1 − 𝑟
=
2
3
𝑎 ( 1−𝑟)(1+𝑟)
1−𝑟
=
2
3
𝑎( 1 + 𝑟) =
2
3
Masukkan ke dalam
𝑎( 1 + 𝑟) =
2
3
3
4
(1 − 𝑟)( 1 + 𝑟) =
2
3
(1 − 𝑟)( 1 + 𝑟) =
2
3
𝑋
4
3
1
2
1 2
2

10. 10
Sham_D20112056089
1 + 𝑟 − 𝑟 − 𝑟² =
8
9
1 −
8
9
= 𝑟²
1
9
= 𝑟² , r = ± 1/3. Oleh sebab( r < 0 ) maka r = -1/3
Masukkan r = -1/3 ke dalam persamaan
𝑎 =
3
4
(1 − 𝑟 )
𝑎 =
3
4
(1 − (−
1
3
)
𝑎 =
3
4
(
4
3
)
𝑎 =
12
12
𝒂 = 𝟏
Sebutan ke sepuluh T10.
𝑇𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1
𝑇10 = (1)(−
1
3
)10−1
𝑇10 = (−
1
3
)9
𝑻 𝟏𝟎 = −
𝟏
𝟏𝟗𝟔𝟖𝟑
1

11. 11
Sham_D20112056089
3(a)(ii) Masa yang diambil antara lantunan pertama hingga kembali ke lantai adalah T1. Masa
antara lantunan kedua dan ketiga adalah T2 dengan T2= 0.7T1. Masa antara lantunan
seterusnya adalah 0.7 kali masa lantunan sebelumnya. Tentukan Tn iaitu masa pada lantunan
ke –n. Jelaskan pengertian S3 = T1 + T2 + T3. Seterusnya cari Sn.
Hitung tempoh yang diperlukan untuk bola itu berhenti melantun jika diberi T1 = 1.5
Masa lantunan ke – n.
Diketahui bahawa lantunan pertama , a = T1
Lantunan kedua , T2 = 0.7T1 dan
Lantunan seterusnya ialah 0.7 kali masa lantunan sebelumnya.
Oleh itu, susunan lantunan adalah seperti berikut;
T1, 0.7T1, 0.7T2, 0.7T3, 0.7T4 …………….
Sebutan ke –n, Tn = arn-1
Tn = (T1) (0.7)n-1
Tn = 0.7n-1T1
Pengertian S3 = T1 + T2 + T3 merupakan hasil tambah tiga lantunan pertama iaitu T1, T2
dan T3 ataupun ia juga disebut sebagai hasil tambah 3 sebutan pertama.
Cari Sn. Diketahui bahawa a = T1 dan r = 0.7
𝑆 𝑛 =
𝑎 ( 1 − 𝑟 𝑛
)
1 − 𝑟
𝑆 𝑛 =
𝑇1 ( 1− 0.7 𝑛
)
1 − 0.7
𝑺 𝒏 =
𝑻 𝟏 −𝟎. 𝟕 𝒏
𝑻 𝟏
𝟎. 𝟑

12. 12
Sham_D20112056089
Hitung tempoh bola berhenti melantun iaitu pada 𝑆∞.
Diketahui bahawa T1 / a = 1.5 dan r= 0.7
𝑆∞ =
𝑎
1 − 𝑟
𝑆∞ =
1.5
1 − 0.7
𝑆∞ =
1.5
0.3
𝑺∞ = 𝟓
3(b)(i) Jelaskan bagaimana anda mengembangkan ungkapan ( 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ) 𝑛
Kebiasaannya ungkapan binomial adalah satu polinomial yang mengandungi dua sebutan.
Oleh itu bagi mengembangkan ungkapan berikut, saya menggantikan b + c = y. Oleh itu
ungkapan yang baru dibentuk oleh saya ialah:
( 𝑎 + 𝑦 ) 𝑛
di mana y ialah b + c.
Bagi ungkapan ( 𝑎 + 𝑦 ) 𝑛
perkembangannya ditulis seperti berikut:
( 𝑎 + 𝑦 ) 𝑛
= 𝑎 𝑛
+ 𝑛 𝑎 𝑛−1
𝑦+. . .+ 𝑛
𝐶𝑟 𝑎 𝑛−𝑟
𝑦 𝑟
+. .. +𝑛 𝑎𝑦 𝑛−1
+ 𝑦 𝑛
Pekali bagi 𝑎 𝑛−1
𝑦 𝑟
ialah 𝑛
𝐶𝑟 =
𝑛!
(𝑛−𝑟)!𝑟!
. Simbol (
𝑛
𝑟
) juga digunakan mewakili pekali
binomial 𝑛
𝐶𝑟.
Seterusnya bagi ungkapan y iaitu b+ c pula.
( 𝑏 + 𝑐 ) 𝑛
( 𝑏 + 𝑐 ) 𝑛
= 𝑏 𝑛
+ 𝑛 𝑏 𝑛−1
𝑐+. . . + 𝑛
𝐶𝑟 𝑏 𝑛−𝑟
𝑐 𝑟
+. . . +𝑛 𝑏𝑐 𝑛−1
+ 𝑐 𝑛
Seterusnya memasukkan kedua-dua persamaan di dalam satu persamaan. Walau
bagaimanapun ia merupakan suatu persamaan yang panjang. Lantaran itu bentuk berikut
boleh digunakan.

13. 13
Sham_D20112056089
( 𝑥 + 𝑎) 𝑛
= ∑ (
𝑛
𝑘
) 𝑥 𝑘
𝑎 𝑛−𝑘
𝑛
𝑘=0
( 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ) 𝑛
( 𝑎 + 𝑦 ) 𝑛
di mana y ialah b + c.
( 𝑎 + 𝑦) 𝑛
= ∑ ( 𝑛
𝑘
)𝑎 𝑘
𝑦 𝑛−𝑘
𝑛
𝑘=0
Bagi ( b + c )n pula ialah
( 𝑏 + 𝑐) 𝑛
= ∑ (
𝑛
𝑘
) 𝑏 𝑘
𝑐 𝑛−𝑘
𝑛
𝑘=0
Oleh itu , ( 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ) 𝑛
( 𝒂 + (𝒃 + 𝒄)) 𝒏
= ∑ (
𝒏
𝒌
) 𝒂 𝒌 ⌈∑ (
𝒏
𝒌
) 𝒃 𝒌
𝒄 𝒏−𝒌
]
𝒏
𝒌=𝟎
⌉
𝒏−𝒌
𝒏
𝒌=𝟎
3(b)(ii) Kembangkan ( 1+
2
𝑥
− 𝑥2
)
4
dalam kuasa dua menaik x.
(1)4
+ (
2
𝑥
− 𝑥2
)
4
= 1 + [(
4
0
)(
2
𝑥
)
4
(−𝑥)2+0
+ (
4
1
)(
2
𝑥
)
3
(−𝑥)2+1
+ (
4
2
)(
2
𝑥
)
2
(−𝑥)2+2
+ (
4
3
)(
2
𝑥
)
1
(−𝑥)2+3
+ (
4
4
) (
2
𝑥
)
0
(−𝑥)2+4
]
= 1 + [(1)(
16
𝑥4
) (−𝑥)2
+ (4)(
8
𝑥3
) (−𝑥)3
+ (6)(
4
𝑥2
) (−𝑥)4
+ (4)(
2
𝑥1
) (−𝑥)5
+ (1)(
2
𝑥
) (−𝑥)6
]

14. 14
Sham_D20112056089
= 1 + [(
16
𝑥4
) (−𝑥)2
+ (
32
𝑥3
) (−𝑥)3
+ (
24
𝑥2
) (−𝑥)4
+ (
8
𝑥1
) (−𝑥)5
+ (
2
𝑥
) (−𝑥)6
]
= 1 + [(−
16
𝑥2
) + (−
32
𝑥
) + (−24𝑥)2
+ (−8𝑥)4
+ (−2𝑥)5
]
= 𝟏 − (
𝟏𝟔
𝒙 𝟐
) − (
𝟑𝟐
𝒙
) − 𝟐𝟒𝒙 𝟐
− 𝟖𝒙 𝟒
− 𝟐𝒙 𝟓