soal n jawab

1. Halaman : 1
SOAL & JAWAB
TENTANG LINGKARAN
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat (3,4) dan berjari-jari 6 !
Jawab :
( x  3) 2  ( y  4) 2  62  x 2  y 2  6 x  8 y  11  0
2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat (2,3) dan melalui titik (5,-1) !
Jawab :
Persamaan lingkaran yang berpusat (2,3 ) adalah ( x  2) 2  ( y  3) 2  r 2
Melalui titik (5,-1) maka : (5  2) 2  (1  3) 2  r 2  r 2  25
Jadi persamaan lingkarannya : ( x  2) 2  ( y  3) 2  25 atau
x 2  y 2  4 x  6 y  12  0
3. Diketahui titik A(5,-1) dan B(2,4). Tentukan persamaan lingkaran yang
diameternya melalui titik A dan B !
Jawab :
 5  2 1 4   7 3 
Pusat lingkarannya :  ,  , 
 2 2  2 2
Panjang diameternya : (2  5)2  (4  1)2  34
Jari-jari lingkarannya = r = ½ d = 1
2
34
Persamaan lingkarannya : ( x  7 )2  ( y  3 )2  ( 1 34)2 atau
2 2 2
x2  y 2  7 x  3 y  6  0
4. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,-3) dan
menyinggung garis 3x - 4y + 7 = 0 !
Jawab :
r
(2,-3)
ax1  by1  c 3.2  (4)(3)  7
r  5
a 2  b2 32  (4) 2
Jadi ( x  2) 2  ( y  3) 2  25  x 2  y 2  4 x  6 y  12  0
5. Tentukan pusat lingkaran x 2  y 2  4 x  6 y  13  0 !
Jawab :
Pusat  1 A, 1 B   ( 1 .4, 1 .( 6))  (2,3)
2 2 2 2
Mas Munif Memang Manis Matematikaq.Blogspot.com

2. Halaman : 2
6. Tentukan jari-jari lingkaran x 2  y 2  4 x  2 y  c  0 yang melalui titik A(5,-1) !
Jawab :
Melalui titik A(5,-1) maka 52  (1) 2  4.5  2(1)  c  0  c  4
r 1
4
A2  1 B 2  c 
4
1
4
.(4)2  1 .22  (4)  3
4
7. Tentukan jari-jari dan pusat lingkaran 4 x 2  4 y 2  4 x  12 y  1  0 !
Jawab :
4x2  4y 2  4x  12y  1  0 kedua ruasdi bagi 4
x 2  y 2  x  3y  1  0
4
Pusat   2 , 2 
1 3
Jari  jari  r  1
4
91 
4 4
3
2
8. Tentukan m supaya lingkaran x 2  y 2  4 x  6 y  m  0 mempunyai jari-jari 5 !
Jawab :
5 1
4
.16  1 .36  m  m  12
4
9. Agar garis y = x + c menyinggung lingkaran x 2  y 2  25 maka tentukan c !
Jawab :
Cara I : Substitusi y = x + c ke x 2  y 2  25 maka
x 2  ( x  c) 2  25  2 x 2  2cx  c 2  25  0
D  b 2  4ac  0  4c 2  8c 2  200  0  c  5 2
Cara II : x 2  y 2  25  r  5
y  xc  m 1
c 2  r 2 (1  m2 )  25(1  12 )  50  c  5 2
10. Tentukan a agar garis y = x + a menyinggung lingkaran
x2  y 2  6x  2 y  2  0 !
Jawab :
x 2  ( x  a) 2  6 x  2( x  a)  2  0
2 x 2  (2a  8) x  a 2  2a  2  0
D  0  (2a  8) 2  4.2.(a 2  2a  2)  0
a  6 atau a  2
Mas Munif Memang Manis Matematikaq.Blogspot.com

3. Halaman : 3
11. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2  y 2  25 yang
melalui titik (7,1) !
Jawab :
Persamaan garis yang melalui titik (7,1) adalah :
y  1  m( x  7)  y  mx  1  7m
c 2  r 2 (1  m 2 )  (1  7m) 2  25(1  m2 )  m1   3 atau m2 
4
4
3
m1   3  y   3 x  1  7( 3 )  3x  4 y  25
4 4 4
m2  4  y  4 x  1  7. 4  4 x  3 y  25
3 3 3
12. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
x 2  y 2  4 x  6 y  12  0 di (5,1 ) !
Jawab :
Cara I : x 2  y 2  4 x  6 y  12  0  ( x  2) 2  ( y  3) 2  25
Persamaan garis singgungnya :
( x1  2)(x  2)  ( y1  3)( y  3)  25
(5  2)(x  2)  (1  3)( y  3)  25
3x  4 y  19  0
Cara II : Garis yang melalui (5,1) adalah :
y  1  m( x  5)
y  3  4  m( x  2  2)  y  3  m( x  2)  4  3m
c 2  r 2 (1  m 2 )
(4m  3) 2  25(1  m 2 )  M   3
4
jadi y  1   3 ( x  5)  3x  4 y  19  0
4
13. Garis singgung di titik (12,-5) pada lingkaran
x 2  y 2  169 menyinggung lingkaran ( x  5) 2  ( y  12 ) 2  p .
Tentukan p !
Jawab :
Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2  y 2  169 adalah
x1 x  y1 y  169
Melalui (12,-5) sehingga :
12x – 5y = 169
12 ( x  5)  60  5( y  12 )  60  169
12 ( x  5)  5( y  12 )  169 ........( 1)
Garis singgung pada lingkaran ( x  5) 2  ( y  12 ) 2  p adalah :
( x1  5)( x  5)  ( y1  12 )( y  12 )  p .......... .( 2)
Dari (1) dan (2) disimpulkan p = 169
14. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (3,2) dan
menyinggung sumbu Y !
Jawab :
Karena pusatnya (3,2) dan menyinggung sumbu Y maka r = 3.
Persamaan lingkarannya :
( x  3) 2  ( y  2) 2  9  x 2  y 2  6 x  4 y  4  0
Mas Munif Memang Manis Matematikaq.Blogspot.com

4. Halaman : 4
15. Diketahui lingkaran l berpusat di (-2,3) dan melalui titik (1,5).
Jika lingkaran L diputar 90 searah jarum jam terhadap titik O(0,0),
kemudian digeser ke bawah sejauh 5 satuan, maka tentukan persamaan
lingkaran yang dihasilkan !
Jawab :
Persamaan lingkaran dengan (-2,3) dan melalui titik (1,5) adalah:
( x  2) 2  ( y  3) 2  r 2
(1  2) 2  (5  3) 2  r 2  r 2  13
Jadi ( x  2) 2  ( y  3) 2  13  x 2  y 2  4 x  6 y  0 .......( )
1
 x'   cos(90 )  sin(90 )  x   0 1  x   y 
 
 y '   sin(90 ) cos(90 )  y     1 0  y     x 
      
         
 x"   y   0   y  x   y"5
       
 y"   x    5    x  5   y  x"
 .......( )
2
       
Substitusi (2) ke (1) :
 y"52  ( x" )2  4( y"5)  6( x")  0
x2  y 2  6x  6 y  5  0
16. Jika titik (-5,k) terletak pada lingkaran x 2  y 2  2 x  5 y  21  0 ,
maka tentukan k !
Jawab :
25  k 2  10  5k  21  0  k  1 atau k  6
17. Tentukan jari-jari lingkaran yang melalui titik-titik A(5,0),
B(0,5) dan C(-1,0) !
Jawab :
Misal persamaan lingkarannya : x 2  y 2  Ax  By  C  0
Melalui A(5,0) maka 5A + C = -25 ……..(1)
Melalui B(0,5) maka 5B + C = -25 ……..(2)
Melalui C(-1,0) maka –A + C = -1 ………..(3)
Dari (1), (2) dan (3) didapat A = -4, B = -4 dan C = -5
Jadi persamaan lingkarannya x 2  y 2  4 x  4 y  5  0
Sehingga jari-jarinya = r = 22  22  (5)  13
18. Diketahui lingkaran dengan persamaan
x 2  y 2  bx  6 y  25  0 dan b  0 menyinggung sumbu X.
Tentukan nilai b !
Jawab :
Pusat lingkaran  1 b,3
2
Menyinggung sumbu X berarti r = 3
r=3= ( 1 b)2  32  25  b  10
2
Mas Munif Memang Manis Matematikaq.Blogspot.com

5. Halaman : 5
19. Lingkaran x 2  y 2  2 px  q  0 yang mempunyai jari-jari 2,
akan menyinggung garis x – y = 0 bila nilai p
yang positif = ……
Jawab :
r  2  p 2  0  q  q  p 2  4 .......() 1
Menyinggung garis y = x maka :
x 2  x 2  2 px  q  0  2 x 2  2 px  q  0
D  0  (2 p) 2  4.2.q  0  p 2  2q  0 .......... 2)
.(
Substitusi (1) ke (2) :
p 2  2( p 2  4)  0  p  2 2
20. Tentukan persamaan lingkaran yang sepusat dengan
lingkaran x 2  y 2  4 x  6 y  17  0 dan menyinggung garis
3x – 4y + 7 = 0 !
Jawab :
Misal persamaan lingkarannya : x 2  y 2  4 x  6 y  c  0 .........( 1)
3x  7
Substitusi y  ke persamaan (1) sehingga :
4
 3x  7   3x  7 
2
x2     4 x  6   c  0 .16
 4   4 
25x 2  50 x  217  16c  0
D  0  502  4.25.(217  16c)  0  c  12
Persamaan lingkarannya :
x 2  y 2  4 x  6 y  12  0  ( x  2) 2  ( y  3) 2  25
21. Garis singgung lingkaran x 2  y 2  25 di titik (-3,4) menyinggung
lingkaran dengan pusat (10,5). Tentukan jari-jarinya !
Jawab :
Persamaan garis lingkaran x 2  y 2  25 di titik (-3,4) adalah:
3x  25
 3x  4 y  25  y  ........()
1
4
Persamaan lingkaran dengan pusat (10,5) dan jari-jari r adalah :
x  102  ( y  5)2  r 2  x 2  y 2  20x  10 y  125  r 2  0 .......( )
2
Substitusi (1) ke (2) :
 3x  25   3x  25 
2
x2     20 x  10   125  r  0
2
.16
 4   4 
25x  290x  1625  16r  0
2 2
D  0  (290) 2  4.25.(1625  16r 2 )  0  r  7
Mas Munif Memang Manis Matematikaq.Blogspot.com