Matematik A03401, Semester 4, Kolej Vokasional.

1. 1

2. 2
Disusun oleh:
• UNIT MATEMATIK
KOLEJ VOKASIONAL TANAH MERAH
MATEMATIK
SVM/SEMESTER

3. 3
ISI KANDUNGAN
1.1 PERNYATAAN
1.1.1 Menerangkan maksud pernyataan dan seterusnya
menentukan nilai kebenaran bagi suatu pernyataan
1.1.2 Menafikan suatu pernyataan
1.1.3 Menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majmuk
1.1.4 Membina pernyataan dalam bentuk implikasi
1.1.5 Membina dan membandingkan nilai kebenaran akas,
songsangan dan kontrapositif bagi suatu implikasi
1.1.6 Menentukan contoh penyangkal untuk menafikan kebenaran
pernyataan tertentu
1.2 HUJAH
1.2.1 Menerangkan maksud hujah, dan membezakan hujak deduktif
dan hujah induktif
1.2.2 Membuat satu kesimpulan berdasarkan dua premis yang diberi
bagi
a) Hujah Bentuk I
b) Hujan Bentuk II
c) Hujah Bentuk III
1.2.4 Membuat satu kesimpulan bagi satu kes khas berdasarkan satu
pernyataan umum yang diberikan secara deduksi
1.2.5 Membuat satu kesimpulan umum berdasarkan pola turutan
nombor secara induksi
1.2.6 Menyelesaikan masalah yang melibatkan penaakulan logik
4
4
7
8
11
16
19
21
21
24
29
30
31

4. 4
1.1 PERNYATAAN
1.1.1 Menerangkan maksud pernyataan dan seterusnya menentukan
nilai kebenaran bagi suatu pernyataan.
Contoh 1:
Tentukan sama ada ayat-ayat di bawah ialah pernyataan atau bukan pernyataan.
Berikan justifikasi anda.
a) Tolong hantar kertas kuiz sekarang juga!
b) Menara Kuala Lumpur ialah menara paling tinggi di Malaysia
c) Bagaimanakah anda datang ke sekolah?
d) x + 3 = 5
e) -6 < -8
Penyelesaian:
a) BUKAN PERNYATAAN kerana ayat itu tidak dapat ditentusahkan nilai
kebenarannya
b) PERNYATAAN kerana ayat itu benar
c) BUKAN PERNYATAAN kerana ayat itu tidak dapat ditentusahkan nilai
kebenarannya
PERNYATAAN
Ialah suatu ayat yang dapat
ditentukan nilai kebenarannya, iaitu
sama ada BENAR atau PALSU,
tetapi bukan kedua-duanya”.
Boleh tentukan BENAR
atau PALSU
INGAT YA…!!!
Ayat Tanya (?), ayat seruan (!) dan ayat perintah
BUKAN PERNYATAAN. Ayat-ayat ini tidak dapat
ditentukan kebenarannya.

5. 5
d) BUKAN PERNYATAAN kerana ayat itu tidak dapat ditentusahkan nilai
kebenarannya
e) PERNYATAAN kerana ayat itu palsu
Contoh 2 :
Tentukan sama ada pernyataan berikut BENAR atau PALSU.
a) 8 > 12 : ………………………
b) 2 ialah nombor genap : ………………………
c) Rumus luas segiempat ialah panjang x lebar : ………………………
d) 62
= 40 : ………………………
e) Jumlah sudut pedalaman segitiga ialah 1800
. : ……………………….
Contoh 3 :
Bina satu pernyataan benar dan satu pernyataan palsu dengan menggunakan
nombor dan simbol matematik yang diberi.
Contoh 4 :
Tentukan sama ada setiap pernyataan berikut adalah BENAR atau PALSU
a) Semua nombor perpuluhan adalah kurang dari 1 :……………………
b) Semua heksagon mempunyai 6 sisi :……………………
c) Semua poligon memepunyai pepenjuru :……………………
d) Sebilangan nombor genap adalah nombor perdana :……………………
e) Sebilangan mamalia berdarah sejuk :……………………
i) 9, +, 4, 3, <
Pernyataan benar :
Pernyataan palsu :
ii) 8 , 16, = , 2 , x
Pernyataan benar :
Pernyataan palsu :

6. 6
LATIHAN 1.1.1
1. Tentukan sama ada ayat matematik berikut adalah PERNYATAAN atau
BUKAN PERNYATAAN.
i) Adakah 3 + 2 = 8? :……………………………………..
ii) 2 ialah nombor perdana :……………………………………..
iii) x > 9 :……………………………………..
iv) k + 2 > 6 :……………………………………
v) 3x + 5 = -7 : …………………………………….
2. Nyatakan sama ada pernyataan berikut benar atau palsu
i) x0
= x, x ≠ 0 :……………………………………..
ii) (m - n)2
= m2
- n2
: ………………………………….
iii) 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 = 3𝑎 :……………………………………..
iv) Isipadu sebuah kubus dengan sisi 5cm ialah 125 cm3
. :………………..
v) 16 ialah nombor kuasa dua sempurna : ………………………………….
3. Tentukan sama ada pernyataan di bawah BENAR atau PALSU
i) Semua segi empat mempunyai sudut tepat. : ………………..
ii) Sebilangan rombus mempunyai empat sisi yang sama. : ………………..
iii) Semua segitiga mempunyai sisi yang sama panjang. : ………………..
iv) Sebilangan poligon mempunyai lima sisi. : ………………..
v) Semua bulatan boleh dibahagikan kepada lapan sektor yang sama saiz
: …………………………….

7. 7
1.1.2 Menafikan suatu pernyataan
Contoh 5 :
Bentuk satu penafian (~p ) bagi setiap pernyataan ( p ) berikut dengan menggunakan
perkataan “tidak” atau “bukan”.
a) 12 ialah gandaan 5
b) 41 ialah nombor perdana
c) Semua gandaan 5 ialah gandaan 10
d) 0.4 m bersamaan dengan 400 mm
Penyelesaian :
a) 12 bukan gandaan 5
b) 41 bukan nombor perdana
c) Bukan semua gandaan 5 ialah gandaan 10
d) 0.4 m tidak bersamaan dengan 400 m
e) Pekali bagi x2
bukan 1
LATIHAN 1.1.2
Bentuk satu penafian ( ~𝑝 ) bagi setiap pernyataan ( p ) berikut dengan menggunakan
perkataan “tidak” atau “bukan”. Kemudian, tentukan nilai kebenaran penafian itu.
1. 89 ialah gandaan 9.
2. √9 adalah sama dengan 3
3. 8 ialah nombor kuasa dua sempurna
4. Dua garis selari mempunyai kecerunan yang sama.
“Kita menggunakan perkataan “tidak” atau “bukan” untuk menafikan
suatu pernyataan. Penafian pernyataan p ditulis sebagai ~p”

8. 8
1.1.3 Menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majmuk
Contoh 6 :
Gabungkan pernyataan p dan q berikut dengan perkataan
i) dan ii) atau
a) p : Pentagon mempunyai dua pepenjuru
q : Heptagon mempunyai empat pepenjuru
b) p : Piramid mempunyai lima satah
q : Piramid mempunyai lima bucu
c) p : -4 ialah integer
q : 2 ialah integer
Penyelesaian :
a) i) Pentagon mempunyai dua pepenjuru dan heptagon mempunyai empat
pepenjuru
ii) Pentagon mempunyai dua pepenjuru atau heptagon mempunyai empat
pepenjuru.
b) i) Piramid mempunyai lima satah dan lima bucu.
ii) Piramid mempunyai lima satah atau lima bucu.
c) i) -4 dan 2 ialah integer
ii) -4 atau 2 ialah integer
“Pernyataan majmuk ialah gabungan dua atau lebih
pernyataan dengan menggunakan “dan” atau “atau”.

9. 9
Contoh 7 :
Kenal pasti dua pernyataan p dan q daripada ayat majmuk di bawah.
a) 5 + 3 > 5 dan 5 – 3 < 5.
b) 9 dan 91 ialah nombor perdana.
c) 22
= 4 atau 23
= 8.
d) -9 < 10 atau 9 < 10.
Penyelesaian :
a) p : 5 + 3 > 5.
q : 5 – 3 < 5.
b) p : 9 ialah nombor perdana.
q : 91 ialah nombor perdana.
c) p : 22
= 4.
q : 23
= 8.
d) p : -9 < 10.
q : 9 < 10.
Perkataan “dan” dalam pernyataan matematik membawa maksud kedua-dua.
Manakala perkataan “atau” membawa maksud salah satu atau kedua-dua.
Nilai kebenaran pernyataan majmuk boleh disimpulkan seperti yang ditunjukkan
dalam jadual kebenaran berikut.
p q p dan q p atau q
Benar Benar Benar Benar
Benar Palsu Palsu Benar
Palsu Benar Palsu Benar
Palsu Palsu Palsu Palsu

10. 10
Contoh 8:
Tentukan nilai kebenaran pernyataan majmuk yang berikut.
a) 2 dan -5 lebih besar daripada 3. : ………………………………
b) 8 + 2 = 10 dan 8 – 2 = 4 : ………………………………
c) 1 dan 5 ialah factor bagi 5 : ………………………………
d) 2 + 3 = 23 atau 2 x 3 = 23. : ……………………………….
e) 5 x 5 x 5 x 5 = 53
atau √125 = 5. : ……………………………….
f) 2 ialah no perpuluhan atau no genap : ……………………………….
g) 4 – ( -7 ) = 11 atau 4 + 7 = 11. : ………………………………
LATIHAN 1.1.3
1. Gabungkan pernyataan p dan q berikut dengan menggunakan perkataan yang
diberi dalam kurungan untuk membentuk pernyataan majmuk.
a) p : 2 ialah faktor perdana bagi 6. ( atau )
q : 3 ialah faktor perdana bagi 6.
………………………………………………………………………………………
b) p : kon mempunyai satu bucu. ( dan )
q : Kon mempunyai satu satah.
……………………………………………………………………………………….
c) p : Rombus ialah segiempat selari. ( dan )
q : Trapezium ialah segiempat selari.
………………………………………………………………………………………

11. 11
2. Tentukan nilai kebenaran pernyataan majmuk yang berikut.
a) 49 ialah gandaan 7 dan nombor kuasa dua sempurna.
b) 3 jam = 120 minit dan 4 minit = 240 saat.
c) Pekali bagi 9x ialah 9 dan 90
= 0.
d) 3 ∈ { 1, 2, 5 } dan { 8 , 9 } ∁ { 6, 7, 8 }.
e) 1 ialah nombor perdana atau 4 ialah nombor kuasa dua sempurna
f) 42
= 8 atau
2
4
= 0.5
g) 6 atau 8 ialah nombor ganjil.
h) √64
4
= 2 atau 23
= 8.
i) 278 ialah gandaan bagi 4 dan 189 ialah gandaan bagi 9
1.1.4 Membina pernyataan dalam bentuk implikasi
i) Jika p, maka q
ii) p jika dan hanya jika q
i) Jika p, maka q
Contoh 9 :
Tulis implikasi “jika p, maka q “ berdasarkan maklumat berikut
a) Antejadian : Anas lewat masuk ke kelas
Akibat : Anas akan di denda
Jika Anas lewat masuk ke kelas maka Anas akan di denda.
b) Antejadian : p ialah faktor bagi 4
Akibat : p ialah faktor bagi 8
……………………………………………………………………………………
c) Antejadian : b + 6 > 10
Akibat : b > 4
……………………………………………………………………………………
“Implikasi” ialah ayat dalam
bentuk “jika p, maka q”.
Pernyataan p dikenali sebagai
ANTEJADIAN dan pernyataan
q dikenali sebagai AKIBAT.

12. 12
d) Antejadian : katak hidup di air dan di darat
Akibat : katak adalah amfibia
……………………………………………………………………………………
e) Antejadian : B < C dan A < B
Akibat : A < C
……………………………………………………………………………………
(i) p jika dan hanya jika q
Contoh 10 :
Tulis pernyataan matematik “p jika dan hanya jika q” berdasarkan
maklumat yang di beri.
a) Jejari bulatan ialah 1 cm dan luas bulatan ialah 𝜋 cm2
.
…………………………………………………………………………………
b) x + 4 = 7 dan x = 3
…………………………………………………………………………………
c) 5x > 10 dan x > 2
………………………………………………………………………………
d) N ialah gandaan 6 dan n boleh dibahagi tepat dengan 6
………………………………………………………………………………
e) Luas segiempat = 25 cm2
dan panjang sisi segiempat = 5 cm
…………………………………………………………………………………
Kenal pasti p dan q.
p = Jejari bulatan ialah 1 cm
q = luas bulatan ialah 𝜋 cm2
.
Jejari bulatan ialah 1 cm jika dan hanya jika luas bulatan ialah 𝜋 cm

13. 13
Implikasi “ p jika dan hanya jika q”
Contoh 11 :
Tulis dua implikasi bagi setiap pernyataan berikut
a) m – 3 = 7 jika dan hanya jika m = 10
Implikasi 1 :… ……………………………………………………………………
Implikasi 2 :………………………………………………………………………
b) k ialah faktor bagi 3 jika dan hanya jika k ialah faktor bagi 6
Implikasi 1 :………………………………………………………………………
Implikasi 2 :………………………………………………………………………
c) Paus ialah mamalia jika dan hanya jika paus berdarah panas
Implikasi 1 :………………………………………………………………………
Implikasi 2 :………………………………………………………………………
d) y > 7 jika dan hanya jika y > 5
Implikasi 1 :……………………………………………………………………
Implikasi 2 :…………………………………………………………………….
e) Ronaldo tinggal di Kelantan jika dan hanya jika Ronaldo tinggal di Tanah
Merah.
Implikasi 1 :……………………………………………………………………
Implikasi 2 :…………………………………………………………………
Implikasi “ p jika dan hanya jika q” terdiri daripada
dua implikasi berikut:
• Jika p, maka q
• Jika q, maka p
Kenal pasti p dan q.
p : m-3 = 7
q : m =10
Jika m – 3 = 7 maka m = 10
Jika m = 10 maka m – 3 = 7

14. 14
LATIHAN 1.1.4
1. Tuliskan implikasi “Jika p, maka q” berdasarkan antejadian dan akibat berikut:
(a) Antejadian : harga sebiji oren ialah 72 sen
Akibat :harga sepuluh biji oren ialah RM7.20
Implikasi…………………………………………………………………………
(b) Antejadian : Jika tan 45° =1
Akibat : 20 tan 45° = 20
Implikasi………………………………………………………………………...
(c) Antejadian : 𝑎𝑥³ + 𝑏𝑥² + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 𝑖𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑘𝑢𝑏𝑖𝑘
Akibat : a ≠ 0
Implikasi………………………………………………………………………
2. Tentukan antejadian dan akibat daripada implikasi “Jika p, maka q” berikut:
(a) Jika √49 = 7 , maka 3 + √49 = 10
Antejadian :……………………………………………………………
Akibat :……………………………………………………………
(b) Jika x > 4, maka x + 1 > 5
Antejadian :……………………………………………………………
Akibat :……………………………………………………………
(c) Jika sin 𝜃 = 1, maka 𝜃 = 900
Antejadian :……………………………………………………………
Akibat :……………………………………………………………
(d) Jika Alif rajin berusaha, maka Alif pasti akan berjaya
Antejadian :……………………………………………………………
Akibat :……………………………………………………………

15. 15
3. Tuliskan dua implikasi berdasarkan pernyataan berikut
(a) p > q jika dan hanya jika p – q > 0
Implikasi 1 :…………………………………………………………………
Implikasi 2 :…………………………………………………………………
(b) Sebuah poligon ialah nonagon jika dan hanya jika poligon itu mempunyai
sembilan sisi.
Implikasi 1 :…………………………………………………………………
Implikasi 2 :…………………………………………………………………
(c) AI = A jika dan hanya jika I = (
1 0
0 1
)
Implikasi 1 :…………………………………………………………………
Implikasi 2 :…………………………………………………………………
(d) 9 ialah pintasan-y bagi garis lurus y = mx + c jika dan hanya jika c = 9
Implikasi 1 :…………………………………………………………………
Implikasi 2 :…………………………………………………………………
(e) Lilitan bulatan =10𝜋 𝑢𝑛𝑖𝑡 jika dan hanya jika luas bulatan = 25𝜋 𝑢𝑛𝑖𝑡²
Implikasi 1 :………………………………………………………………..
Implikasi 2 :…………………………………………………………………

16. 16
1.1.5 Membina dan membandingkan nilai kebenaran akas,
songsangan dan kontrapositif bagi suatu implikasi.
Contoh 12:
Tulis akas, songsangan dan kontrapositif bagi implikasi yang diberikan:
(a) Jika x ialah nombor positif, maka x lebih besar daripada 0
(b) Jika 𝑥² − 𝑦2
> 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) > 0
(a) Jika x = 7 maka x +1 = 8
Penyelesaian:
(a) Pernyataan : Jika x ialah nombor positif, maka x lebih besar daripada 0.
Akas : Jika x lebih besar daripada 0, maka x ialah nombor positif.
Songsangan : Jika x bukan nombor positif, maka x kurang daripada 0.
Kontrapositif : Jika x kurang daripada 0, maka x bukan nombor positif.
(b) Pernyataan : __________________________________________________
Akas : __________________________________________________
Songsangan : __________________________________________________
Kontrapositif : __________________________________________________
(c) Pernyataan : __________________________________________________
Akas : __________________________________________________
Songsangan : __________________________________________________
Kontrapositif : __________________________________________________
Pernyataan : Jika p, maka q
Akas : Jika q, maka p
Songsangan : Jika ~p, maka ~q
Kontrapositif : Jika ~q, maka ~p

17. 17
Nilai kebenaran bagi implikasi “Jika p, maka q”, akas, songsangan dan kontrapositif
sepadan dengan jadual berikut:
P q
Pernyataan Akas Songsangan Kontrapositif
Jika p, maka q Jika q, maka p Jika ~p, maka ~q Jika ~q, maka ~p
Benar Benar Benar Benar Benar Benar
Benar Palsu Palsu Benar Benar Palsu
Palsu Benar Benar Palsu Palsu Benar
Palsu Palsu Benar Benar Benar Benar
Nilai kebenaran implikasi “Jika p, maka q” adalah sentiasa benar kecuali apabila p
benar dan q palsu berlaku pada masa yang serentak. Jika sesuatu antejadian palsu,
maka implikasi “Jika p, maka q” sentiasa benar tanpa bergantung pada nilai akibatnya.
Contoh 13:
1. Tentukan nilai kebenaran implikasi, akas, songsangan dan kontrapositif bagi
pernyataan berikut:
“Jika 2 x 3 =6, maka 8 – 2 x 3 = 18”
Penyelesaian:
Pernyataan
Antejadian
(2 x 3 = 6)
Akibat
(8 – 2 x 3 = 18)
Nilai
kebenaran
Implikasi
Jika 2 x 3 = 6, maka
8 – 2 x 3 = 18
Benar Palsu Palsu
Akas
Jika 8 – 2 x 3 = 18,
maka 2 x 3 =6
Palsu Benar Benar
Songsangan
Jika 2 x 3 ≠ 6, maka
8 – 2 x 3 ≠ 18
Palsu Benar Benar
Kontrapositif
Jika 8 – 2 x 3 ≠ 18,
maka 2 x 3 ≠ 6
Benar Palsu Palsu

18. 18
2. Tentukan nilai kebenaran implikasi, akas, songsangan dan kontrapositif bagi
pernyataan
“Jika 2 ialah faktor bagi 10, maka 10 boleh dibahagi tepat dengan 2 ”
Penyelesaian:
Pernyataan Antejadian Akibat Nilai
kebenaran
Implikasi
Akas
Songsangan
Kontrapositif
LATIHAN 1.1.5:
Tentukan nilai kebenaran implikasi, akas, songsangan dan kontrapositif bagi setiap
pernyataan berikut:
(a) Jika 2 ialah faktor bagi 10, maka 10 boleh dibahagi tepat dengan 2
Pernyataan Antejadian Akibat
Nilai
kebenaran
Implikasi
Akas
Songsangan
Kontrapositif

19. 19
(b) Jika 55 + 55 = 4 x 5, maka 666 + 666 = 6 x 6
Pernyataan Antejadian Akibat
Nilai
kebenaran
Implikasi
Akas
Songsangan
Kontrapositif
1.1.6 Menentukan contoh penyangkal untuk menafikan kebenaran
pernyataan tertentu.
Bagi setiap pernyataan PALSU, sekurang-kurangnya satu contoh penyangkal boleh
diberikan untuk menafikan kebenaran pernyataan tersebut. Sebagai contoh,
pernyataan “ Semua poligon mempunyai dua atau lebih penjuru” adalah palsu
kerana segitiga tidak mempunyai pepenjuru. Segi tiga di sini merupakan contoh
penyangkal untuk menyokong nilai palsu tersebut.
Contoh 14:
Tentukan nilai kebenaran pernyataan matematik di bawah. Sekiranya palsu, berikan
satu contoh penyangkal untuk menyokong jawapan anda.
(a) Sebilangan nombor perdana ialah nombor genap
(b) Semua poligon mempunyai hasil tambah sudut pendalaman 180°
(c) 4 dan 8 ialah faktor bagi 20
(d) 6 atau 36 ialah gandaan 9

20. 20
Penyelesaian :
(a) Benar
(b)
(c)
(d)
Contoh 15:
Tuliskan pernyataan matematik yang dikehendaki dalam kurungan bagi setiap yang
berikut. Kemudian tentukan nilai kebenaran bagi pernyataan yang ditulis. Sekiranya
palsu, berikan satu contoh penyangkal untuk menyokong jawapan anda.
(a) Semua gandaan 10 ialah gandaan 2. (Penafian)
(b) Jika > 5 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 > 3 . (Akas)
(c) Jika 𝑥 𝑝𝑢𝑛𝑐𝑎 𝑘𝑒𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑥3
− 1 = 0, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑥 = 1. (Songsangan)
(d) Jika 𝑘² > 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑘 > 0. (Kontrapositif)
Penyelesaian:
(a) Penafian: Bukan semua gandaan 10 ialah gandaan 2. Palsu kerana semua
gandaan 10 boleh dibahagi tepat dengan 2
(b)
(c)
(d)

21. 21
1.2 HUJAH
1.2.1 Menerangkan maksud hujah, dan membezakan hujak deduktif
dan hujah induktif.
Proses membuat kesimpulan berdasarkan penyataan dikenali sebagai
PENGHUJAHAN.
• Hujah boleh terdiri daripada beberapa premis dan satu kesimpulan.
• Satu hujah ringkas biasanya terdiri daripada sekurang-kurangnya dua premis
dan satu kesimpulan.
Premis merupakan
satu pernyataan yang
memberikan informasi
sebelum satu
kesimpulan dibuat.
Kesimpulan
merupakan suatu
kesudahan pendapat
atau keputusan.
Pernyataan khusus ialah pernyataan yang khas merujuk suatu kes tertentu, manakala
pernyataan umum ialah pernyataan yang menerangkan sesuatu konsep secara menyeluruh

22. 22
HUJAH PREMIS 1 KESIMPULAN JENIS HUJAH
a) Luas sebuah bulatan ialah
πj². Bulatan A mempunyai
jejari 7 cm .
kesimpulannya, luas
bulatan A ialah 154 cm²
Luas sebuah
bulatan ialah πj²
Umum / khusus
Kesimpulannya ,
luas bulatan A
ialah 154 cm²
Umum / khusus
Hujah deduktif
b) 1° = 1
2° = 1
3° = 1
4 ° = 1
Kesimpulannya, n° = 1
dengan keadaan n =
1,2,3,4,…
Umum / khusus Umum / khusus
c) Semua murid 4 Celik
mendapat A dalam ujian
matematik. Camelia murid
4 Celik . kesimpulannya,
Camelia mendapat A
dalam ujian matematik.
Umum / khusus Umum / khusus
d) Semua gandaan 6 ialah
gandaan 2 dan gandaan
3. 72 ialah gandaan 6.
Maka, 72 ialah gandaan 2
dan gandaan 3.
Umum / khusus Umum / khusus
e) 2(1)³ - 4 = -2
2(2)³ - 4 = 12
2(3)³ - 4 = 50
2(4)³ - 4 = 124
Maka , pola nombor -
2,12,50,124,… boleh
dirumus sebagai 2n³-
4dengan keadaan
n=1,2,3,4,…
Umum / khusus Umum / khusus

23. 23
Hasil daripada jadual di sebelah, didapati bahawa :
LATIHAN 1.2.1
Tentukan sama ada hujah berikut ialah hujah deduktif atau hujah induktif.
1. Semua faktor bagi 6 ialah faktor bagi 12. 1, 2, 3 dan 6 ialah faktor bagi 6. Maka,
1,2,3 dan 6 ialah faktor bagi 12.
……………………………………….
2. Semua poligon sekata mempunyai sisi yang sama panjang . ABCDEFG ialah
poligon sekata. Maka, ABCDEFG mempunyai sisi yang sama panjang.
……………………………………….
3. Semua gandaan 10 berakhir dengan digit 0. Nombor 50 ialah gandaan 10.
Maka,nombor 50 berakhir dengan digit 0.
……………………………………….
4. 2(1) = 2 , 2(2) = 4 , 2(3) = 6 , … . Maka pola nombor 2,4,6,… boleh ditulis
sebagai 2n ; n=1,2,3,…
……………………………………….
5. Sudut penggenap bagi 60° ialah 120°. Sudut penggenap bagi 45° ialah 135°.
Maka, sudut penggenap bagi Ѳ ialah 180-Ѳ .
……………………………………….
• Hujah deduktif ialah proses kesimpulan khusus dibina berdasarkan premis umum.
• Hujah induktif ialah proses kesimpulan umum dibina berdasarkan premis khusus.

24. 24
1.2.2 Membuat satu kesimpulan berdasarkan dua premis yang
diberi bagi :
a) Hujah Bentuk I
b) Hujan Bentuk II
c) Hujah Bentuk III
Hujah deduktif yang sah boleh dikategorikan kepada tiga bentuk berikut :
Hujah Bentuk 1 Hujah Bentuk II Hujah Bentuk III
Premis 1 Semua A ialah B Jika p , maka q Jika p , maka q
Premis 2 C ialah A p adalah benar Bukan q adalah benar
Kesimpulan C ialah B q ialah benar Bukan p adalah benar
Contoh 16:
a) Lengkapkan kesimpulan bagi hujah yang berikut:
Premis 1: Semua poligon sekata mempunyai sisi sama
Premis 2: ABCD ialah satu poligon sekata.
Kesimpulan :………………………………………………..
Penyelesaian:
Kesimpulan: ABCD mempunyai sisi sama.
b) Lengkapkan kesimpulan bagi hujah yang berikut:
Premis 1: Jika m > 4, maka 2m > 8.
Premis 2: 2m < 8
Kesimpulan:…………………………………………………
Penyelesaian:
Kesimpulan: m < 4.
Suatu hujah deduktif
dikatakan munasabah
jika semua premis dan
kesimpulannya adalah
benar

25. 25
c) Lengkapkan premis bagi hujah yang berikut:
Premis 1:…………………………………………………………………………..…
Premis 2: m × n bukan satu nombor genap.
Kesimpulan: m dan n bukan nombor genap.
Penyelesaian:
Premis 1: Jika m dan n ialah nombor genap, maka m × n ialah satu
nombor genap.
d) Lengkapkan premis bagi hujah yang berikut:
Premis 1: Jika x = 3, maka x2
= 9.
Premis 2:………………………………………………………………………………
Kesimpulan: x ≠ 3
Penyelesaian:
Premis 2: x2
≠ 9.
LATIHAN 1.2.2:
1. Lengkapkan kesimpulan bagi hujah yang berikut:
a) Premis 1 : Semua murid 4 Amanah menggunakan buku teks digital.
Premis 2 : Preevena seorang murid 4 Amanah.
Kesimpulan :
…………………………………………………………………………………………..
b) Premis 1 : Jika segi empat PQRS ialah poligon sekata , maka segi empat
PQRS ialah segiempat sama.
Premis 2 : Segi empat PQRS bukan segi empat sama .
Kesimpulan :
…………………………………………………………………………………………
c) Premis 1 : Semua segi tiga sama kaki mempunyai satu paksi simetri.
Premis 2 : 𝛥𝐴𝐵𝐶 ialah segi tiga sama kaki.
Kesimpulan :
…………………………………………………………………………………………

26. 26
d) Premis 1 : Jika 3𝑚 = 2𝑛, maka m : n = 2 : 3.
Premis 2 : 3𝑚 = 2𝑛
Kesimpulan :
…………………………………………………………………………………………
e) Premis 1 : Jika 𝑚 + 3 ≤ 2𝑚 − 9 , maka 𝑚 ≥ 12
Premis 2 : 𝑚 < 12
Kesimpulan :
…………………………………………………………………………………………..
2. Lengkapkan premis bagi hujah yang berikut:
a) Premis 1 : Semua garis lurus yang mempunyai kecerunan sifar selari dengan
paksi-x.
Premis 2 : …………………………………………………………………………….
Kesimpulan : Garis lurus AB selari dengan paksi-x.
b) Premis 1 : …………………………………………………………………………….
Premis 2 : 891 ialah gandaan 9.
Kesimpulan : 891 boleh dibahagi tepat dengan 3.
c) Premis 1 : Jika poligon P ialah nonagon, maka poligon P mempunyai
sembilan bucu.
Premis 2 :………………………………………………………………………………
Kesimpulan : Poligon P mempunyai sembilan bucu.
d) Premis 1 : ……………………………………………………………………………
Premis 2 : x > 6.
Kesimpulan : x > 4.
e) Premis 1 : ……………………………………………………………………………
Premis 2 : 𝑥 ≠ 8
Kesimpulan : 3𝑥 − 8 ≠ 16

27. 27
1.2.4 Membuat satu kesimpulan bagi satu kes khas berdasarkan satu
pernyataan umum yang diberikan secara deduksi
DEDUKSI
Proses membuat suatu kesimpulan KHUSUS berdasarkan sesuatu pernyataan
UMUM yang diberi.
• Contoh 17
PERNYATAAN UMUM
Semua mamalia berdarah panas
PERNYATAAN KHUSUS
Harimau berdarah panas
• Contoh 18
PERNYATAAN UMUM
Semua orang makan nasi
PERNYATAAN KHUSUS
Ali makan nasi
• Contoh 19
Diberi bahawa hasil tambah sudut pedalaman sebuah poligonn dengan n sisi ialah
(𝑛 − 2) × 1800
. Apakah kesimpulan yang boleh anda buat tentang hasil tambah
sudut pendalaman sebuah heksagon.
Penyelesaian
Hasil tambah sudut pendalaman sebuah heksagon (Heksagon = 6 bucu)
=(6 − 2) × 1800
.
=4 × 1800
.
= 7200
.
UMUM KHUSUS

28. 28
1.2.5 Membuat satu kesimpulan umum berdasarkan pola turutan
nombor secara induksi
INDUKSI
Proses membuat suatu kesimpulan UMUM berdasarkan kes-kes KHUSUS.
• Contoh 20
PERNYATAAN KHUSUS
Premis 1: papa suka makan mee celup
Premis 2: mama suka makan mee celup
Premis 3: abang suka makan mee celup
Premis 4: adik suka makan mee celup
PERNYATAAN UMUM
Kesimpulan : Semua ahli keluarga di rumah suka makan mee celup.
• Contoh 21
PERNYATAAN KHUSUS
Pola 3,6,9,12,…
3(1) = 3
3(2) = 6
3(3) = 9
3(4) = 12
• Contoh 22
PERNYATAAN KHUSUS
2 = (0)2
+ 2
3 = (1)2
+ 2
6 = (2)2
+ 2
11 = (3)2
+ 2
.
PERNYATAAN UMUM
Kesimpulan umum , 3(n)2
+ 1 , n= 0,1,2,3,…
KHUSUS UMUM
PERNYATAAN UMUM
Boleh dirumus sebagai, 3(n), dengan keadaan
n = 1,2,3,4,…
Kesimpulan umum , 3n, n= 1,2,3,4,…

29. 29
LATIHAN 1.2.4
1. Tentukan hujah berikut ialah hujah INDUKSI atau DEDUKSI.
a) Semua murid 4 Bitara memberi hadiah
pada hari guru. Kumari murid 4 Bitara.
Maka, Kumari memberi hadiah pada hari
guru.
b) Hasil tambah 3 dan 5 ialah 8.
Hasil tambah 5 dan 7 ialah 12.
Hasil tambah 7 dan 9 ialah 16.
Hasil tambah 9 dan 11 ialah 20.
Kesimpulannya, hasil tambah dua nombor
ganjil ialah nombor genap.
c) Premis 1: 12 ialah gandaan 2.
Premis 2: 24 ialah gandaan 2.
Premis 3: 36 ialah gandaan 2.
Kesimpulan : Semua gandaan 2 ialah
nombor genap .
d) Pola 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, …
2. Bentukkan kesimpulan UMUM secara INDUKTIF bagi senarai nombor berpola
berikut.
a) Diberi 5, 10, 15, 20,…
Dan 5(1) = 5
5(2) = 10
5(3) = 15
5(4) = 20
…..
KESIMPULAN UMUM =
b) Diberi 1,
3
2
,
4
2
,
5
2
, … ..,…
dan
1
2
[(1) + 1] = 1
1
2
[(2) + 1] =
3
2
1
2
[(3) + 1] =
4
2
1
2
[(4) + 1] =
5
2
…
KESIMPULAN UMUM =

30. 30
c) Diberi 3, 1, -1, -3, ….
dan 5 – 2(1) = 3
5 – 2(2) = 1
5 – 2(3) = -1
5 – 2(4) = -3
……
KESIMPULAN UMUM =
d) Diberi 7, 13, 23, 37, ….
Dan 2(12
) + 5 = 2
2(22
) + 5 = 13
2(32
) + 5 = 23
2(42
) + 5 = 37
....
KESIMPULAN UMUM =
e) Diberi 3, 10, 29, 66, …
dan 3 = 2 + 13
n
10 = 2 + 23
29 = 2 + 33
66 = 2 + 43
…..
KESIMPULAN UMUM =
f) Diberi 4, 5, 7, 11, …
dan 4 = 3 + 20
5= 3 + 21
7 = 3 + 22
11 = 3 + 23
…
KESIMPULAN UMUM =

31. 31
1.2.6 Menyelesaikan masalah yang melibatkan penaakulan logik
CONTOH 23
Jumlah jualan kereta yang dicapai oleh penjual kereta didapati meningkat setiap
minggu, adalah ditunjukkan seperti berikut.
Minggu Bilangan kereta dijual
1 5
2 7
3 9
4 11
a) Buat satu kesimpulan tentang pola jualan kereta tersebut.
b) Cari bilangan kereta yang dijangka dijual pada akhir minggu ke-40.
Bincangkan jawapan dengan rakan anda.
Penyelesaian :
1.a)
Memahami masalah
• Membina kesimpulan secara induktif
• Membina rumus umum bagi bilangan kereta yang dijual.
Merancang strategi
• Memperhati pola nombor yang boleh dibentuk daripada
bilangan kereta jualan setiap minggu.
Melaksana strategi
5 = 2(1) + 3
7 = 2(2) + 3
9 = 2(3) + 3
11 = 2(4) + 3
.
.
.

32. 32
Maka, pola jualan kereta boleh dirumus sebagai 2n + 3 di mana n = 1,2,3,4,…
Kesimpulan
• Rumus yang umum untuk pola jualan kereta ialah 2n + 3 ; n=
1,2,3,4,…
Penyelesaian
1.b) bilangan kereta yang dijangka dijual pada akhir minggu ke-40
n = 40
2n + 3 = 2(40) + 3
= 83 unit kereta
CONTOH 24
Bilangan pelanggan yang berkunjung ke sebuah kedai gajet yang baru dibuka dalam
4 hari berturut-turut ialah seperti berikut;
Hari Bilangan pelanggan
1 2
2 3
3 6
4 11
a) Buat satu kesimpulan tentang pola bilangan pelanggan yang berkunjung ke
kedai gajet itu.
b) Berapa bilangan pelanggan yang berkunjung ke kedai gajet itu pada hari ke-9
pembukaan.
Penyelesaian ;
2.a)
Memahami masalah
• Membina kesimpulan secara induktif
• Membina rumus umum bagi bilangan gajet yang dibeli.
Merancang strategi

33. 33
• Memperhati pola nombor yang boleh dibentuk daripada
bilangan pelanggan yang membeli gajet.
Melaksana strategi
2 = (0)2
+ 2
3 = (1)2
+ 2
6 = (2)2
+ 2
11 = (3)2
+ 2
… .
Maka, pola bilangan pelanggan gajet itu boleh dirumus sebagai n 2
+ 2 ,
dengan keadaan n = 0,1,2,3,…
Kesimpulan
• Rumus yang umum untuk pola bilangan pelanggan ialah n2
+ 2 ;
n= 0,1,2,3,…
2.b) bilangan pelanggan pada hari ke -9,
n = 9
n2
+ 2 = 92
+ 2
= 83 orang pelanggan

34. 34
LATIHAN PENGUKUHAN
1. Luas segi empat sama bersisi 2 cm ialah 22
cm2
Luas segi empat sama bersisi 3 cm ialah 32
cm2
Luas segi empat sama bersisi 4 cm ialah 42
cm2
…
a) Buat satu kesimpulan umum secara induktif bagi luas sebuah segi empat
sama bersisi n cm
b) Hitung panjang sisi sebuah segi empat sama yang mempunyai luas 225
cm2
[Jawapan;1 a) n2
,n = 2,3,4,…, 1 (b)15 cm]
2. Rajah di bawah menunjukkan sebidang tanah berbentuk L.
Diberi bahawa luas sebuah segi empat tepat dengan panjang p m dan lebar l
m ialah pl m2
. Buat satu kesimpulan secara deduktif bagi luas, dalam m2
,
tanah itu.
[Jawapan; 30 m2
]
3. Encik Salam membeli kereta pada harga RM 50 000. Setiap tahun harga
susut sebanyak 10%. Nilai bagi kereta selepas n tahun boleh dibahagi
dengan menggunakan formula berikut,
P = R ( 0.9) n
dengan R = harga kereta asal dan P = harga kereta lepas n
tahun
a) Hitung harga kereta selepas 5 tahun
b) Selepas guna kereta selama 8 tahun, Encik Salam menjualnya dengan
harga RM25 000.
Adakah dia mendapat sebarang keuntungan?.
[Jawapan; 3(a) RM 29 524.50,1 (b) Untung = RM3 476.64]
2 cm
4 cm
9 cm
2 cm

35. 35
4. Dalam segitiga PQR, cari PR2
, PQ2
dan QR2
.Begitu juga segitiga STU,
cari ST2
, TU2
dan US2
dan untuk segitiga VWX, cari VW2
, WX2
dan VX2
.
a) Buat kesimpulan tentang hubungan antara sisi bagi segitiga bersudut
tegak di bawah;
b) Cari nilai M jika K = 10 dan L = 24.
[Jawapan 4(b) 26 ]
5. Jumlah penduduk di Taman Sukaria mengikut formula g(t) = 250 (t2
+ t + 100),
dengan keadaan t ialah bilangan tahun. Diberi jumlah penduduk di Taman Sukaria
pada 1 Januari 2015 ialah 25 000 orang.
a) Buat kesimpulan secara deduktif mengenai jumlah penduduk Taman
Sukaria pada 31 Disember 2019.
b) Pada tahun keberapakah penduduk Taman Sukaria akan mencapai 77 500
orang?
[Jawapan: 5(a) 32 500 orang, 5(b)ke -14]
K
Q
P R
8 cm
10 cm
8 cm
12 cm
13 cm
8 cm
5 cm
15 cm
17 cm
T
S
U
X
W
V
L
M

36. 36
6. Diberi luas permukaan sebuah kon = π j ( j +s). Bina satu kesimpulan secara
deduktif bagi luas permukaan lima kon yang sama dengan keadaan j = 7 cm dan
s = 13 cm.
[Jawapan : 700π cm2
]
7. Bilangan kelahiran bayi di sebuah negara pada tahun 2014 ialah 536 100. Bilangan
kelahiran bayi dari tahun 2015 hingga tahun 2017 di negara tersebut membentuk
satu pola seperti berikut.
Tahun Kelahiran bayi
2014 536 100
2015 521 100
2016 506 100
2017 491 100
a) Bina rumus berdasarkan pola bilangan kelahiran bayi tersebut.
b) Sekiranya bilangan kelahiran bayi dalam negara tersebut mengikut pola seperti
di atas bagi 5 tahun yang seterusnya, anggarkan bilangan bayi yang dilahirkan
pada tahun 2021.
[ Jawapan : 7(a) 536 100 – 15 000 n, 7(b) 431 100 bayi lahir]