Matematik A03401. Semester 4, Kolej Vokasional.

1. 1
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
NAMA KURSUS : MATEMATIK
SEMESTER : 4
UNIT 3.0 : MATRIKS
Dalam unit ini anda akan pelajari :
3.1 Apa itu matriks
- 3.1.1 Mewakilkan maklumat situasi sebenar dalam bentuk matriks.
- 3.1.2 Menentukan peringkat matriks dan seterusnya mengenalpasti unsur tertentu dalam
suatu matriks.
-3.1.3 Menentukan sama ada dua matriks adalah sama.
3.2 Operasi Asas Matriks
- 3.2.1 Menambah dan menolak matriks.
- 3.2.2 Mendarab matriks dengan suatu nombor.
- 3.2.3 Mendarab dua matriks.
-3.2.4 Menerangkan ciri-ciri matriks identity
-3.2.5 Menerangkan maksud matriks songsang dan seterusnya menentukan matriks songsang
bagi suatu matriks 2 × 2.
-3.2.6 Menggunakan kaedah matriks untuk menyelesaikan persamaan linear serentak.
-3.2.7 Menyelesaikan masalah yang melibatkan matriks.

2. 2
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
3.1 PENGENALAN MATRIKS
3.1.1 MEWAKILKAN MAKLUMAT SITUASI SEBENAR DALAM BENTUK MATRIKS.
Pengenalan
Contoh (i) :
Jadual di bawah menunjukkan markah yang diperolehi oleh tiga orang murid dalam ujian Bahasa
Melayu dan Sejarah.
Pelajar / Subjek Bahasa Melayu Sejarah
Ahmad 90 76
Selva 88 82
Chong 86 79
Kita boleh menyusun maklumat berangka di atas dalam bentuk tanda kurungan,
(
90 76
88 82
86 79
) dengan meninggalkan maklumat lain.
Nombor-nombor yang disusun dalam bentuk baris dan lajur untuk membentuk satu
tatasusunan segi empat tepat dinamakan matriks.
Contoh (ii) :
Bilangan pelajar bagi tiga program adalah seperti berikut ;
Program 1SVM CTP : 18 lelaki, 12 perempuan
Program 1SVM MPP : 24 lelaki, 6 perempuan
Program 1SVM BKP : 0 lelaki, 25 perempuan
Susun maklumat yang diberi dalam bentuk jadual, seterusnya tulis maklumat berangka ini dalam
bentuk matriks.
Penyelesaian
Program/Jantina Lelaki Perempuan
CTP 18 12
MPP 24 6
BKP 0 25
(
𝟏𝟖 𝟏𝟐
𝟐𝟒 𝟔
𝟎 𝟐𝟓
)

3. 3
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
Latihan 3.1.1
1. Jadual di bawah menunjukkan pungutan pingat dalam sukan SEA XXI bagi tiga buah negara yang
mendapat bilangan pingat yang paling banyak.
Pingat/Negara Emas Perak Gangsa
Malaysia 111 75 85
Thailand 103 86 89
Indonesia 72 74 80
Bentukkan satu matriks daripada maklumat di atas.
2. Rajah di bawah menunjukkan satu carta bar yang menggambarkan bilangan pekerja lelaki dan
perempuan dalam tiga jabatan di Syarikat Air Sejahtera.
Tuliskan satu matriks daripada maklumat dalam carta bar di atas.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Pentadbiran Pengeluaran Pemasaran
Bilangan pekerja
Lelaki Perempuan
Jabatan

4. 4
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
3.1.2 CIRI-CIRI MATRIKS
3.1.2 (a) Peringkat matriks
Perhatikan matriks berikut : lajur 1 lajur 2
(
2 3
4 5
6 7
)
Matriks ini mempunyai 3 baris dan 2 lajur.
Matriks yang mempunyai 𝒎 baris dan 𝒏 lajur dikenali sebagai matriks peringkat 𝒎 × 𝒏.
Peringkat matriks di atas ialah 3 × 2, dibaca sebagai matriks 3 dengan 2.
Matriks yang mempunyai bilangan baris yang sama dengan bilangan lajur dinamakan
matris segi empat sama.
Contoh :
(
9 0
4 −2
)
Matriks yang mempunyai hanya satu baris dinamakan matriks baris.
Contoh :
(3 2 7)
Matriks yang mempunyai hanya satu lajur dinamakan matriks lajur.
Contoh :
(
8
3
10
)
baris 1
baris 2
baris 3

5. 5
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
Latihan 3.1.2 (a)
1. Salin dan lengkapkan jadual berikut.
Matriks
(−2 0 5) (
3
−4
) (
6 7
−3 0.5
) (
4 1 3
2 8 5
)
(
7 0 0
0 8 0
0 0 9
)
(8)
Bilangan baris
Bilangan lajur
Peringkat
2. Bagi setiap matriks yang berikut, nyatakan bilangan baris, bilangan lajur dan peringkat matriks.
(a) (
18
−66
) (b) (
𝑝 𝑞
2𝑟 𝑠
) (c) (
5 7 1
1 2 0
6 −8 9
) (d) (𝑥 2𝑥)
3. Kategorikan setiap matriks berikut kepada matriks baris, matriks lajur dan matriks segi empat sama.
(a) (
6
1
2
) (b) (−7 0.8) (c) (57) (d) (
1 0
5 8
)
(e) (
3
−7
) (f) (
4 −7 2
1 0 −6
−1 5 3
) (g) (7 8
1
2
) (h) (
3 4 8
2 5 9
)
4. Tuliskan satu matriks bagi setiap peringkat yang berikut.
(a) 1 × 1 (b) 2 × 1 (c) 3 × 2 (d) 2 × 3

6. 6
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
Setiap nombor dalam suatu matriks dinamakan unsur bagi matriks itu.
(
4 7 6
8 9 2
) mempunyai 6 unsur, iaitu 4, 7, 6, 8, 9 dan 2.
Suatu matriks peringkat 𝑚 × 𝑛 mempunyai 𝑚𝑛 unsur.
Peringkat matriks (
4 7 6
8 9 2
) ialah 2 × 3.
Bilangan unsur matriks (
4 7 6
8 9 2
) ialah 6.
 Suatu matriks biasanya diwakili oleh satu huruf besar manakala setiap unsur diwakili oleh
huruf kecil.
 Kedudukan sesuatu unsur dalam suatu matriks ditunjukkan dengan menggunakan dua
subskrip, satu mewakili baris dan satu mewakili lajur.
Contoh : 𝑃 = (
5 1 2
4 0 6
)
𝑝11 = 5 𝑝12 = 2 𝑝13 = 2 𝑝21 = 4 𝑝22 = 0 𝑝23 = 6
Secara amnya, 𝒑𝒊𝒋 ialah unsur matriks 𝑷 pada baris ke-𝒊 dan lajur ke-𝒋 .
3.1.2 (b) Unsur dalam matriks
Barisan
pertama
Lajur
pertama
Barisan
kedua
Lajur
pertama

7. 7
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
Latihan 3.1.2 (b)
1. Diberi 𝑀 = (
2 7 5
−1 0 4
6 3 −9
) , nyatakan unsur pada
(a) baris kedua dan lajur ketiga
(b) baris pertama dan lajur kedua
(c) baris ketiga dan lajur pertama
2. Diberi 𝐴 = (
6 3
−7 0.5
5 −8
) dan 𝑎𝑖𝑗 ialah unsur bagi matriks 𝐴. Nyatakan
(a) 𝑎12
(b) 𝑎31
(c) 𝑎22
(d) 𝑎32
3. Diberi 𝑃 = (
3
1
3
−0.9
−4 4 6.1
) dan 𝑝𝑖𝑗 ialah unsur bagi matriks 𝑃.
Carikan nilai bagi
(a) 𝑝11 + 𝑝22
(b) 𝑝21 + 𝑝12
(c) 𝑝23 + 𝑝13
4. Diberi 𝑄 = (
4 𝑥 + 1
2 − 𝑦 6
−5 𝑦 − 9
) dan 𝑞𝑖𝑗 ialah unsur bagi matriks 𝑄.
Carikan nilai bagi
(a) 𝑥 jika 𝑞22 = 𝑞12 − 𝑞11
(b) 𝑦 jika 𝑞21 = 𝑞31 + 𝑞32

8. 8
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
3.1.3 MATRIKS SAMA
Dua matriks yang sama mempunyai peringkat yang sama dan setiap unsur sepadannya sama.
Contoh :
Tentukan sama ada setiap pasangan matriks berikut adalah sama atau tidak.
𝐴 = (
5 4
−1 0
) 𝐵 = (
5 0
−1 4
) 𝐶 = (2 9) (𝐷 =
2
9
) 𝐸 = (
4
1
2
5 −3
2 0.7
) 𝐹 = (
4 0.5
5 −3
2
7
10
)
Penyelesaian :
Matriks 𝐴 ≠ Matriks 𝐵 kerana unsur sepadan tidak sama.
Matriks 𝐶 ≠ Matriks 𝐷 kerana peringkat tidak sama
Matriks 𝐸 = Matriks 𝐹 kerana kedua-duanya mempunyai peringkat matriks yang sama dan unsur
sepadan yang sama.
Latihan 3.1.3 (a)
1. Tentukan sama ada setiap pasangan matriks berikut adalah sama atau tidak.
(a) 𝐹 = (
1
2
5
), 𝐺 = (1 2 5) (b) 𝐻 = (
1 3
−7 8
) , 𝑇 = (
1 3
−7 8
)
(c) 𝐽 = (
1 0
0 1
) , 𝐾 = (
1
1
) (d) 𝐿 = (
4 2 8
−1 5 −3
) , 𝑀 = (
4 2 8
−1 5 −3
)
2. Diberi 𝐴 = (
1 3
1
2
4) , 𝐵 = (6 4), 𝐶 = (
1 1
1
2
0.1 −5
4 2
) , 𝐷 = (
4
6
), 𝐸 = (
3
2
5
6
7
2
−1 4
)
𝐹 = (
1 3
0.5 4
), 𝐺 = (
6
4
) , 𝐻 = (
3 0.4 6
3.5 −1 4
) , 𝐼 = (
1 1.5
1
10
−5
4 2
).
Nyatakan semua pasangan matriks yang sama.
3.1.3 (a) Ciri-ciri matriks sama

9. 9
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
Diberi bahawa matriks 𝐴 = (
𝑥 2 5
4 −1 6
) dan 𝐵 = (
−3 2 5
4 𝑥 + 𝑦 6
) dan Matriks 𝐴 = Matriks 𝐵.
Nilai unsur yang tidak diketahui dalam dua matriks sama di atas boleh diperolehi dengan menyamakan
nilai unsur yang sepadan.
Bagi Matriks 𝐴, 𝑎11 = 𝑥
Bagi Matriks 𝐵, 𝑏11 = −3 Oleh itu 𝑥 = −3
Bagi Matriks 𝐴, 𝑎22 = −1
Bagi Matriks 𝐵, 𝑏22 = 𝑥 + 𝑦 Oleh itu 𝑥 + 𝑦 = −1
−3 + 𝑦 = −1
𝑦 = −1 + 3
𝑦 = 2
Latihan 3.1.3
1. Bagi setiap pasangan matriks yang sama, tentukan nilai 𝑥 dan nilai 𝑦.
(a) (𝑥 4) = (5 𝑦) (b) (
2
𝑥
0.7
) = (
2
−6
𝑦
)
(c) (
3 −1
−7 𝑦
) = (
3 𝑥
−7 9
)
(d) (
1 𝑥 + 2
𝑥 2𝑦
) = (
1 5
𝑦 + 6 2𝑦
)
(e) (
2 0
3 + 𝑥 −3
8 6
) = (
2 0
𝑦 −3
8 𝑥
)
(f) (
−5 8 − 𝑥 4
1
2
1.5 2𝑦
)=(
−5 𝑥 4
1
2
1.5 𝑦 + 𝑥
)
3.1.3 (b) Penentuan nilai unsur dalam dua matriks sama

10. 10
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
3.2 OPERASI ATAS MATRIKS
3.2.1(a) MENAMBAH DAN MENOLAK MATRIKS
* Penambahan dan penolakan dua matriks hanya boleh dilakukan jika kedua-dua matriks itu
mempunyai peringkat yang sama.
Contoh :
(a) (
1
7
) dan (
8
2
) boleh ditambah atau ditolak kerana mempunyai peringkat yang sama
(b) (2 1 4) dan (6 −2) tidak boleh ditambah atau ditolak kerana mempunyai peringkat yang
berbeza.
* Penambahan atau penolakan dua matriks yang sama peringkat merupakan pembentukan satu matriks
yang setiap unsurnya adalah hasil tambah atau hasil tolak unsur yang sepadan dalam dua matriks
berkenaan.
Contoh :
(a) (
1
2
) + (
2
5
) = (
1 + 2
2 + 5
) = (
3
7
)
(b) (
−1 2
3 5
) − (
−6 7
−8 9
) = (
−1 − (−6) 2 − 7
3 − (−8) 5 − 9
) = (
5 −5
11 −5
)
(c) (
2 7
−1 5
) + (
−3 2
−4 3
) − (
−8 6
5 −1
) mulakan perhitungan dari kiri ke kanan
= (
2 + (−3) 7 + 2
−1 ± (−4) 5 + 3
) − (
−8 6
5 −1
)
= (
−1 9
−5 8
) − (
−8 6
5 −1
)
= (
7 3
−10 9
)
* Sekiranyan matriks 𝑀 ditambah atau ditolak dengan matriks sifar hasil penambahan atau penolakan
ialah matriks 𝑀.
Contoh :
(a) (
5 8
2 3
) + (
0 0
0 0
) = (
5 8
2 3
)
(b) (
−9
7
) − (
0
0
) = (
−9
7
)

11. 11
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
Latihan 3.2.1 (a)
1. Ungkapkan setiap yang berikut sebagai satu matriks tunggal.
(a) (
3
−4
6
) + (
2
7
−2
) (b) (
6 7 2
−4 −5 0
) − (
9 4 −1
3 −7 6
)
(c) (
7 2 5
−1 4 −6
8 4 3
) − (
−1 0 5
6 5 −4
3 2 1
)
2. Diberi 𝑃 = (
3 −2
5 8
) , 𝑄 = (
4 −1
−3 6
) dan 𝑅 = (
7 0
9 −4
).
Carikan
(a) 𝑃 + 𝑄
(b) 𝑄 + 𝑅
(c) 𝑃 − 𝑄
(d) 𝑅 − 𝑃

12. 12
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
3. Ungkapkan setiap yang berikut sebagai satu matriks tunggal.
(a) (
2 3
−1 5
) + (
6 −2
4 4
) − (
0 5
2 7
)
(b) (
4 6 1
2 5 7
) − (
8 6 3
−2 7 4
) − (
4 0 −9
3 −2 8
)
4. Diberi 𝑀 = (
−3 4
5 2
), 𝑁 = (
7 1
−2 0
) dan 𝑃 = (
1 7
5 −6
).
Carikan
(a) 𝑀 + 𝑁 + 𝑃
(b) 𝑀 + 𝑁 − 𝑃
(c) 𝑀 − 𝑁 − 𝑃

13. 13
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
5. Anna, Bee dan Chin bekerja sebagai jurutera dalam sebuah kilang elektronik yang mengeluarkan
ketuhar. Jadual berikut menunjukkan bilangan unit ketuhar yang tidak dapat berfungsi yang telah
dianalisis dan dibaiki oleh mereka dalam dua bulan yang berturutan mengikut jenis kecacatan.
Bilangan unit Januari Februari
Jenis
kecacatan
Analisis Baiki Analisis Baiki
Anna Bee Chin Anna Bee Chin Anna Bee Chin Anna Bee Chin
Fizikal 14 8 4 10 4 0 10 8 6 9 7 0
Mekanikal 12 12 8 12 10 6 9 5 18 9 3 9
Elektrikal 8 2 4 2 0 3 1 2 4 0 1 3
Tuliskan satu matriks yang menunjukkan jumlah ketuhar yang belum dibaiki oleh mereka mengikut
jenis kecacatan dalam dua bulan tersebut.

14. 14
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
3.2.1(b) PENENTUAN NILAI UNSUR DALAM PERSAMAAN MATRIKS
Nilai unsur yang tidak diketahui dalam suatu persamaan matriks yang melibatkan operasi tambah dan
tolak boleh ditentukan dengan mengikut langkah-langkah berikut.
(a) Ringkaskan persamaan matriks dengan menjalankan operasi tambah atau tolak sehingga
memperolehi dua matriks yang sama.
(b) Samakan unsur yang sepadan dalam dua matriks yang sama itu.
(c) Selesaikan persamaan yang diperolehi.
Contoh :
(
𝑥
5
) − (
5
−4
) = (
2
3𝑦
)
(
𝑥 − 5
5 − (−4)
) = (
2
3𝑦
)
𝑥 − 5 = 2 5 − (−4) = 3𝑦
𝑥 = 7 9 = 3𝑦
𝑦 = 3
Latihan 3.2.1 (b)
1. Carikan nilai 𝑥 dan nilai 𝑦 dalam setiap persamaan matriks berikut.
(a) (
𝑥
4
) + (
2
𝑦
) = (
3
−1
)
(b) (
5
𝑦
) = (
𝑥
3𝑦) − (
7
6
)
(c) (2𝑥 5) − (3 𝑦) = (1 −2)
(d) (
3 4
𝑦 −1
) + (
𝑥 5
6 −3
) = (
8 9
2𝑦 −4
)

15. 15
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
2. Selesaikan setiap persamaan matriks yang berikut.
(a) (
𝑝
2
) + (
4
𝑞
) = (
9
2
)
(b) (
3𝑎
𝑏
) − (
5
−𝑏
) = (
7
−6
)
(c) (𝑚 𝑛) + (6 𝑛) = (4𝑚 3)
(d) (
6 2𝑤
𝑣 −5
) + (
−2 1
𝑤 −7
) = (
8 9
−3 2
)
3. Cari nilai bagi 𝑥, 𝑦 dan 𝑧 dalam setiap persamaan matriks berikut.
(a) (
6
5𝑦
𝑧
) − (
𝑥
8
−𝑧
) = (
4
7
𝑥
)
(b) (
𝑥 𝑦
0 −4
) = (
3 𝑥
−9 𝑧
) + (
−6 8
9 7𝑧
)

16. 16
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
3.2.1(c) SIFAT-SIFAT OPERASI MATRIKS
HUKUM KALIS TUKAR TERTIB : A + B = B + A
Contoh :
Jika 𝐴 = (
−3 5
2 4
) dan 𝐵 = (
1 −2
6 3
).
Cari hasil tambah 𝐴 + 𝐵 dan 𝐵 + 𝐴.
Adakah 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 ?
Penyelesaian:
𝐴 + 𝐵 = (
−3 5
2 4
) + (
1 −2
6 3
) = (
−2 3
8 7
)
𝐵 + 𝐴 = (
1 −2
6 3
) + (
−3 5
2 4
) = (
−2 3
8 7
)
Maka 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 mematuhi Hukum Kalis Tukar Tertib bagi penambahan matriks.
HUKUM KALIS SEKUTUAN : A + (B + C) = (A + B) + C
Contoh :
Jika 𝐴 = (
−3 5
2 4
) dan 𝐵 = (
1 −2
6 3
) dan 𝐶 = (
5 4
1 2
)
Cari 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) dan (𝐴 + 𝐵) + 𝐶
Adakah 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 ?
Penyelesaian:
𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (
−3 5
2 4
) + [(
1 −2
6 3
) + (
5 4
1 2
)]
= (
−3 5
2 4
) + (
6 2
7 5
)

17. 17
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
= (
3 7
9 9
)
(𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = [(
−3 5
2 4
) + (
1 −2
6 3
)] + (
5 4
1 2
)
= (
−2 3
8 7
) + (
5 4
1 2
)
= (
3 7
9 9
)
Maka 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 mematuhi Hukum Kalis Sekutuan bagi penambahan
matriks.
3.2.2 MENDARAB MATRIKS DENGAN SUATU NOMBOR
Pendaraban matriks dengan suatu nombor dikenali sebagai pendaraban skalar.
Dalam algebra matriks, bagi suatu matriks 𝐴 ;
2𝐴 = 𝐴 + 𝐴
3𝐴 = 𝐴 + 𝐴 + 𝐴
𝑛𝐴 = 𝐴 + 𝐴 + 𝐴 + ⋯ + 𝐴
Jika 𝑷 = (
𝒂
𝒃
), maka 𝒌𝑷 = 𝒌 (
𝒂
𝒃
) = (
𝒌𝒂
𝒌𝒃
) dengan 𝒌 sebagai suatu nombor.
Contoh :
(a) 4 (
6 0
−2
1
2
) (b)
1
3
(
9 −12 21
6 0 −3
)
= (
4 × 6 4 × 0
4 × −2 4 ×
1
2
) = (
1
3
× 9
1
3
× −12
1
3
× 21
1
3
× 6
1
3
× 0
1
3
× −3
)
= (
24 0
−8 2
) = (
3 −4 7
2 0 −1
)

18. 18
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
(c) Jadual di bawah menunjukkan harga jualan untuk beberapa jenis barangan di Pasar Raya Afifah
dan The Store. Diketahui keuntungan yang diperolehi daripada jualan setiap barangan ialah 20%
harga jualan.
Pasar Raya / Barangan Afifah (RM) The Store (RM)
Periuk 29.90 32.00
Rak pinggan 69.90 64.00
Senduk 15.90 16.00
Hitungkan harga asal setiap barangan, seterusnya tulis dalam bentuk matriks.
Penyelesain
Harga asal = Harga jualan – Keuntungan
= Harga jualan − 20% Harga jualan
= 80% Harga jualan
Maka, harga asal =
80
100
× (
29.90 32.00
69.90 64.00
15.90 16.00
)
= (
23.92 25.60
55.92 51.20
12.72 12.80
)
Latihan 3.2.2(a)
1. Carikan hasil darab bagi setiap yang berikut.
(a) 2 (
4
3
) (b) 3(
1
−2
4
)
(c) 5 (
4 −3
−1 7
) (d)
1
2
(12 −18 8)

19. 19
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
2. Diberi 𝑃 = (
4 −2
6 8
) dan 𝑄 = (
9 0 3
−6 3 −12
15 −18 6
). Kirakan
(a) 3𝑃
(b) −
1
2
𝑃
(c) −2𝑄
(d)
1
3
𝑄
3. Jadual dibawah menunjukkan bilangan litar bersepadu yang dapat dihasilkan oleh tiga mesin
dalam masa semini di sebuah kilang semikonduktor.
Mesin Bilangan litar bersepadu
(unit/minit)
I 5
II 3
III 2
Tuliskan satu matriks untuk mencari jumlah litar bersepadu yang dihasilkan oleh setiap mesin itu
dalam masa 1 jam. Seterusnya, kirakan jumlah litar bersepadu yang dihasilkan oleh tiga mesin itu
dalam 1 jam.
4. Lengkapkan setiap persamaan matriks yang berikut.
(a) (
6
15
) = 3 ( )
(b) (10 −35 20) = 5( )
(c) (
28 63
−42 −14
) = 7 ( )
(d) (
0.3 −0.5
0.9 1.1
0.4 −0.1
) =
1
10
( )

20. 20
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
Latihan 3.2.2(b)
1. Ungkapkan setiap yang berikut sebagai satu matriks tunggal.
(a) (
4
3
) + 2 (
1
2
) (b) 5 (
−1
3
) − 4 (
−2
2
)
(c) 2 (
3 −4
−5 0
) + 3 (
−1 9
7 2
) (d) (
6 8
9 7
−1 5
) −
1
2
(
4 6
−10 −2
0 8
)
(e) 4 (
7 3
6 8
) − 9 (
2 −1
3 4
) + (
−5 6
11 13
)
2. Diberi 𝐴 = (
−2 0
−1 1
), 𝐵 = (
2 6
5 −1
) dan 𝐶 = (
2 0
4 1
).
Hitungkan setiap yang berikut.
(a) 2𝐴 − 𝐵 (b) 𝐴 + 3𝐶
(c) 2𝐴 + 𝐵 − 3𝐶

21. 21
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
Latihan 3.2.2 (c)
1. Carikan nilai 𝑥 dan nilai nilai 𝑦 dalam setiap persamaan matriks yang berikut.
(a) 4 (
𝑥
𝑦) = (
−12
2
) (b)
1
2
(8 𝑦) = (𝑥 −3)
2. Selesaikan setiap persamaan matriks berikut.
(a) (
𝑥
𝑦) − 2 (
𝑦
−1
) = (
3
𝑥
) (b) 4 (
𝑘 −1
3 𝑚
) + (
7 𝑚
2 𝑛
) = 2 (
5 1
7 9
)
3. Diberi 𝐴 = (
𝑎 2
6 𝑏
) , 𝐵 = (
1 𝑐
𝑑 −2
) dan 𝐶 = (
5 6
2 7
).
Carikan nilai bagi 𝑎, 𝑏, 𝑐 dan 𝑑 dalam setiap kes berikut.
(a) 𝐴 + 𝐵 = 2𝐶 (b) 𝐴 − 3𝐵 = 𝐶
(c) 2𝐴 + 3𝐵 = 4𝐶

22. 22
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
3.2.3 MENDARAB DUA MATRIKS
3.2.3 (a) CIRI-CIRI MATRIKS DALAM PENDARABAN DUA MATRIKS
 Dua matriks hanya boleh didarab jika bilangan lajur matriks pertama sama dengan bilangan
baris matriks kedua
 Peringkat matriks yang terhasil
= bilangan baris matriks pertama × bilangan lajur matriks kedua
Contoh :
Tentukan sama ada setiap pasangan matriks berikut boleh didarab atau tidak. Jika boleh, nyatakan
peringkat bagi matriks hasil darab itu.
(a) (3 4) (
1 7
5 6
)
Peringkat matriks pertama = 1 × 2 1 × 2 2 × 2
Peringkat matriks kedua = 2 × 2
SAMA
(oleh itu kedua-dua matriks ini BOLEH didarab)
𝟏 × 2 2 × 𝟐
Peringkat matriks hasil darab ialah 𝟏 × 𝟐
(b) (
2 1
6 3
) (2 5)
Peringkat matriks pertama = 2 × 2 2 × 2 1 × 2
Peringkat matriks kedua = 1 × 2
TIDAK SAMA
(oleh itu kedua-dua matriks ini TIDAK boleh didarab)

23. 23
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
Latihan 3.2.3 (a)
1. Tentukan sama ada setiap pasangan matriks berikut boleh didarab atau tidak. Jika boleh, nyatakan
peringkat matriks hasil darabnya.
(a) (1 0)(2 7) (b) (
3
6
) (4 −1)
(c) (
2
3
) (
1
5
) (d) (6 −1) (
5
−2
)
(e ) (
1 2
2 6
)(
7
8
) (f) (
1 2 3
4 5 6
) (
1
3
8
)
2. Diberi 𝐴 = (2 3), 𝐵 = (
1
5
) , 𝐶 = (
2 6
7 10
) dan 𝐷 = (
1 2
3 4
5 6
).
Tentukan sama ada setiap pendaraban dua matriks yang berikut dapat dilakukan atau tidak. Jika boleh,
nyatakan peringkat matriks hasil daripada pendaraban itu.
(a) 𝐴𝐵 (b) 𝐵𝐴
(c) 𝐴𝐶 (d) 𝐶𝐷
(e ) 𝐵𝐷 (f) 𝐷𝐶

24. 24
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
3.2.3 (b) HASIL DARAB DUA MATRIKS
Hasil darab suatu matriks 𝑚 × 𝑛 dengan suatu matriks 𝑛 × 𝑝 adalah suatu matriks 𝑚 × 𝑝 yang
unsurnya dibaris 𝑖 dan lajur 𝑗 merupakan hasil tambah semua hasil darab antara unsur yang sepadan di
baris 𝑖 bagi matriks pertama dan lajur 𝑗 bagi matriks kedua.
Contoh :
(
1 2
3 4
) (
5
6
)
Cara (i)
– Tentukan peringkat matriks bagi matriks pertama dan kedua
2 × 2 dan 2 × 1
− Tentukan peringkat matriks hasil darab kedua-dua matriks di atas
2 × 2 2 × 1
Peringkat matriks hasil darab ialah 2 × 1 (dua baris dan satu lajur)
(
𝐵1𝐿1
𝐵2𝐿1
)
− Konsep pendaraban matriks ialah , baris matriks pertama didarabkan dengan lajur matriks kedua.
𝐵1 1 2 5 = 1 × 5 + 2 × 6 = 17
𝐵2 3 4 6 3× 5 + 4 × 6 39
𝐿1
Maka ,
(
1 2
3 4
) (
5
6
) = (
17
39
)

25. 25
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
Cara (ii)
− Susun supaya matriks pertama diletakkan di bahagian kiri dan bawah, matriks kedua diletakkan di
bahagian kanan dan atas.
(
5
6
)
(
1 2
3 4
)
− Buat garisan secara melintang bagi matriks pertama dan secara menegak bagi matriks kedua.
(
5
6
)
(
1 2
3 4
)
− Dua titik persilangan yang terhasil daripada kedua-dua matriks di atas menunjukkan dua unsur
bagi matriks hasil darab. Seterusnya, lakukan pendaraban antara baris matriks pertama dan lajur
bagi matriks kedua.
(
5
6
)
(
1 2
3 4
) 1× 5 + 2 × 6 = (
17
39
)
3 × 5 + 4 × 6

26. 26
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
Latihan 3.2.3 (b) Hasil Darab Dua Matriks
1. Cari hasil darab bagi setiap yang berikut.
(a) (2 8) (
3
1
) (b) (−2 6) (
4
3
)
(c ) (1 3 7)(
4
−5
2
) (d) (
6
0
5
) (2 −1 3)
(e ) (
2 1
3 2
)(
4
1
) (f) (
−5 3
4 0
) (
2
6
)
(g) (−2 6)(
0 −1
3 4
) (h) (
4 −3
5 6
) (
−2 −1
5 2
)

27. 27
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
2. Diberi 𝑃 = (
4 1
2 8
), 𝑄 = (
−1 2 1
5 3 4
), 𝑅 = (
−2
3
) dan 𝑆 = (
6
−4
1
).
Carikan hasil darab setiap yang berikut.
(a) 𝑃𝑅 (b) 𝑃𝑄 (c ) 𝑄𝑆 (d) 𝑃2
Penyelesaian :

28. 28
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
3. Jadual (i) menunjukkan markah yang diperolehi oleh Fatihah dan Nadia dalam ujian Sejarah
kertas 1 dan kertas 2.
Nama pelajar/Markah Kertas 1 Kertas 2
Fatihah 70 60
Nadia 80 65
Jadual (i)
Jadual (ii) menunjukkan pemberatan yang diberikan kepada setiap kertas.
Kertas Pemberatan
Kertas 1 0.4
Kertas 2 0.6
Jadual (ii)
(a) Bentukkan dua matriks berdasarkan maklumat dalam jadual-jadual yang diberi.
(b) Hitungkan markah Sejarah Fatihah dan Nadia.
Penyelesaian :

29. 29
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
Latihan 3.2.3 (c) Penentuan Nilai Unsur Dalam Persamaan Matriks
1. Selesaikan setiap persamaan matriks yang berikut.
(a) (−𝑝 3)(
4 1
𝑝 3
) = (−2 7)
(b) (2𝑘 3𝑘) (
2
7
) = (10)
(b) (
𝑥 1
−2 𝑦
)(
2 4
8 −12
) = (
9 11
8 −12
)
2. Jika 𝑃 = (
2 𝑘
3 1
), 𝑄 = (
2 −7
3 ℎ
) dan 𝑃𝑄 = (
16 18
9 −13
), carikan nilai ℎ dan 𝑘.

30. 30
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
3.2.4 MATRIKS IDENTITI
*Simbol matriks identity ialah 𝐼.
*Matriks identiti, 𝐼 apabila didarabkan dengan sebarang matriks, 𝐴 akan menghasilkan matriks 𝐴.
𝐼𝐴 = 𝐴𝐼 = 𝐴
*Matriks identiti untuk matriks 1 × 1, 2 × 2 dan 3 × 3 masing-masing ialah (1), (
1 0
0 1
) dan
(
1 0 0
0 1 0
0 0 1
)
Semua unsur pada pepenjuru utama adalah 1 dan semua unsur lain ialah 0.
Latihan 3.2.4 Pengiraan Yang Melibatkan Matriks Identiti
1. Permudahkan setiap yang berikut.
(a) (
5 6
7 8
) (
1 0
0 1
) − (
2 3
1 5
)
(b) (
1 0
0 1
) (
3 4
4 3
) − (
2 −1
3 −2
) (
1 0
0 1
)
(c ) (
−2 3
9 −4
) + (
1 0
0 1
) (
7 −1
−5 6
)
2. Diberi 𝐼 = (
1 0
0 1
) , 𝐾 = (
2 4
3 −1
) dan 𝐿 = (
5 6
−2 1
). Ungkapkan berikut sebagai matriks
tunggal.
(a) 𝐼𝐾 + 𝐿
(b) 𝐾 − 𝐼𝐿
(c) 𝐾𝐼𝐿

31. 31
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
𝐴 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) 𝐴−1
=
1
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
(
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
)
3.2.5 MATRIKS SONGSANG
- Dalam pendaraban dua matriks 𝐴 dan 𝐵, jika 𝐴𝐵 = 𝐼 dan 𝐵𝐴 = 𝐼, maka 𝐵 ialah matriks
songsang bagi 𝐴 dan 𝐴 ialah matriks songsang bagi 𝐵.
- Jika matriks 𝐴 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) , maka songsang bagi 𝐴, 𝐴−1
boleh dicari dengan menggunakan
rumus :
1
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
(
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
)
* 𝐴−1
ialah matriks songsang bagi 𝐴
* 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 dikenali sebagai penentu
* Syarat : 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0
Contoh :
Matriks 𝐴 = (
5 6
7 8
)
Songsang 𝐴, 𝐴−1
=
1
5×8−6×7
(
8 −6
−7 5
)
=
1
−2
(
8 −6
−7 5
)
= −
1
2
(
8 −6
−7 5
) = (
−4 3
7
2
−
5
2
)
5 6 5 6
7 8 tukar tempat 7 8 tukar tanda

32. 32
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
Latihan 3.2.5
1. Tentukan sama ada matriks 𝐵 ialah matriks songsang bagi matriks 𝐴 atau tidak.
(a) 𝐴 = (
6 5
2 2
), 𝐵 = (
2 −5
−2 6
)
(b) 𝐴 = (
−8 −3
11 4
) , 𝐵 = (
4 3
−11 −8
)
2. Cari matriks songsang bagi setiap matriks berikut menggunakan rumus.
(a) (
−3 −2
3 1
) (b) (
5 4
2 2
)
(c) (
3 −1
4 2
) (d) (
5 −4
−9 8
)

33. 33
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
3. Hitungkan nilai 𝑥 jika setiap matriks berikut tidak mempunyai matriks songsang.
(a) (
𝑥 6
2 3
)
(b) (
8 1
−6 𝑥
)
(c) (
4 3
2𝑥 −9
)
4. (a) Diberi 𝑃 = (
15 11
4 3
), carikan 𝑃−1
.
(b) Diberi 𝑄 = (
−1 2
1 1
), carikan 𝑄−1
.
(c) Diberi 𝑅 = (
−7 −14
3 𝑘
), carikan nilai 𝑘 jika 𝑅−1
tidak wujud.

34. 34
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
3.2.6 (a) MENULIS PERSAMAAN SERENTAK DALAM BENTUK
PERSAMAAN MATRIKS
Latihan 3.2.6 (a)
3.2.6 PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SERENTAK
DENGAN KAEDAH MATRIKS
Contoh :
PERSAMAAN SERENTAK PERSAMAAN MATRIKS
𝑥 + 6𝑦 = 5
2𝑥 − 𝑦 = 9
(
1 6
2 −1
)(
𝑥
𝑦)=(
5
9
)
2𝑥 + 3𝑦 = 6
5𝑥 + 2𝑦 = 9
(
2 3
5 2
) (
𝑥
𝑦) = (
6
9
)
6𝑚 + 3𝑛 = 7
5𝑚 − 4𝑛 = 8
(
6 3
5 −4
) (
𝑚
𝑛
) = (
7
8
)
1
2
ℎ + 5𝑘 = 0
3ℎ −
1
4
𝑘 = 2
(
1
2
5
3 −
1
4
) (
ℎ
𝑘
) = (
0
2
)
1. Tuliskan setiap persamaan linear serentak berikut dalam bentuk persamaan matriks.
(a) 𝑥 − 𝑦 = 6 (b) −2𝑎 + 3𝑏 = 4
𝑥 + 𝑦 = 7 −5𝑎 + 𝑏 = 1
(c) 3𝑝 + 𝑞 = −2 (d) 2𝑦 = 7
−𝑝 + 2𝑞 = 5 3𝑦 + 2𝑥 = 12

35. 35
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
3.2.6 (b) MENYELESAIKAN PERSAMAAN SERENTAK DENGAN
KAEDAH MATRIKS
Contoh :
Selesaikan persamaan linear serentak berikut dengan kaedah matriks.
6𝑝 − 3𝑞 = 5
9𝑝 + 5𝑞 = −2
Penyelesain
(i) Tulis persamaan di atas dalam bentuk persamaan matriks.
(
6 −3
9 5
) (
𝑝
𝑞) = (
5
−2
)
(ii) Cari matriks songsang bagi matriks (
6 −3
9 5
)
Matriks songsang bagi matriks (
6 −3
9 5
) ialah
1
6×5−(−3)×9
(
5 3
−9 6
)
=
1
57
(
5 3
−9 6
)
(iii) (
𝑝
𝑞) = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘𝑠 𝑠𝑜𝑛𝑔𝑠𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑎𝑔𝑖 (
6 −3
9 5
) × (
5
−2
)
=
1
57
(
5 3
−9 6
) (
5
−2
)
=
1
57
(
25 + (−6)
−45 + (−12)
)
=
1
57
(
19
−57
)
= (
1
3
−1
)
Iaitu, 𝑝 =
1
3
dan 𝑞 = −1

36. 36
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
Latihan 3.2.6 (b)
1. Tentukan matriks (
𝑥
𝑦) dalam setiap persamaan matriks berikut melalui pendaraban matriks dengan
matriks songsang.
(a) (
5 2
7 3
) (
𝑥
𝑦) = (
1
2
) (b) (
1 3
−1 2
) (
𝑥
𝑦) = (
10
0
)
(c) (
−4 5
−2 3
)(
𝑥
𝑦) = (
3
2
) (d) (
5 −4
4 2
) (
𝑥
𝑦) = (
6
10
)
(e) (
4 −11
−2 5
) (
𝑥
𝑦) = (
−8
2
) (f) (
9 −2
6 −1
)(
𝑥
𝑦) = (
3
4
)

37. 37
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
2. Selesaikan setiap persamaan linear serentak berikut dengan kaedah matriks.
(a) 𝑥 + 2𝑦 = 5 (b) 𝑥 − 𝑦 = 6
4𝑥 − 9𝑦 = 3 𝑥 + 𝑦 = 10
(c) 6𝑝 − 𝑞 = 13 (d) −𝑝 + 3𝑞 = 9
4𝑝 − 5𝑞 = −26 2𝑝 − 𝑞 = 7
(e) 7𝑚 − 6𝑛 = 5 (f) 8𝑚 − 4𝑛 = 15
2𝑚 + 3𝑛 = 3 9𝑚 + 8𝑛 = 20

38. 38
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
3.2.7 PENYELESAIN MASALAH
Kaedah penyelesaian persamaan serentak boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam
kehidupan seharian. Kebanyakan masalah dalam kajian Sains dan Matematik boleh diterjemahkan ke
dalam bentuk persamaan linear serentak yang boleh diselesaikan dengan kaedah matriks.
Contoh :
Sebuah kedai roti mengeluarkan 2000 buku roti seminggu. 900 daripadanya roti berperisa jagung
dengan setiap satu memerlukan 100 g tepung, 50 g marjerin dan 20 g gula manakala yang lainnya
pula roti berperisa pandan dengan setiap satu memerlukan 120 g tepung, 40 g marjerin dan 15 g gula.
Diberi bahawa harga sekilogram tepung, marjerin dan gula masing-masing ialah RM1.20, RM8.00
dan RM1.30, bentukkan tiga matriks berdasarkan maklumat di atas. Hitungkan jumlah kos
pengeluaran roti dalam seminggu dengan kaedah matriks.
Penyelesaian
Jadual maklumat adalah seperti berikut :
Kuantiti Bahan (kg) Bilangan
Tepung Marjerin Gula
Roti berperisa jagung
Roti berperisa pandan
0.10 0.05 0.020
0.12 0.04 0.015
900
1100
Harga/kg (sen) 120 800 130
Matriks (
0.1 0.05 0.020
0.12 0.04 0.015
) mewakili jisim ramuan.
Matriks (
120
800
130
) mewakili harga seunit ramuan.
Jumlah kos pengeluaran roti = (900 1100)(
0.1 0.05 0.020
0.12 0.04 0.015
)(
120
800
130
)
= (90 + 132 45 + 44 18 + 16.5) (
120
800
130
)
= (222 89 34.5) (
120
800
130
)
= (26 640 + 71 200 + 4485)
= 102 325 sen
Maka, jumlah kos ialah RM1023.25

39. 39
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
Latihan 3.2.7
Contoh (ii)
Sewaktu cuti sekolah, semua bilik Hotel Metro telah disewa. Diketahui bahawa hotel tersebut
mempunyai 400 buah bilik ;bilik standard disewa dengan harga RM170 sehari dan bilik deluxe
disewa dengan harga RM280 sehari. Jika jumlah sewa yang diperolehi sehari adalah RM76 800,
carikan bilangan setiap jenis bilik di Hotel Metro.
Penyelesaian
Katakan terdapat 𝑥 buah bilik standard dan 𝑦 buah bilik deluxe.
Maka, 𝑥 + 𝑦 = 400 (Jumlah bilangan bilik)
dan 170𝑥 + 280𝑦 = 76 800
Bentuk matriks , (
1 1
170 280
) (
𝑥
𝑦) = (
400
76800
)
(
𝑥
𝑦) =
1
280−170
(
280 −1
−170 1
)(
400
76800
)
=
1
110
(
35200
8800
)
= (
320
80
)
Maka, Hotel Metro mempunyai 320 buah bilik standard dan 80 buah bilik deluxe.
1. Selva membeli 𝑡 keping setem 15 sen dan 𝑝 keping setem 30 sen, manakala Li Yin pula membeli
𝑡 keping setem 20 sen dan 𝑝 keping setem 50 sen. Jika Selva dan Li Yin masing-masing membayar
RM6.00 dan RM9.50, carikan nilai 𝑡 dan 𝑝 dengan menggunakan kaedah matriks.
Penyelesaian

40. 40
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
2. Diberi perimeter sebuah bulatan sama dengan panjang lengkok suatu sukuan bulatan yang lain dan
jejari bulatan itu adalah 5 cm lebih pendek daripada jejari sukuan bulatan. Bentukkan dua persamaan
linear serentak, dan hitung jejari kedua-duanya dengan kaedah matriks.

41. 41
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
PETA KONSEP
Matriks ialah nombor-nombor yang disusun
dalam baris dan lajur untuk membentuk satu
tatasusunan segi empat tepat.
Matriks yang mempunyai 𝑚 baris dan 𝑛 lajur
dikenali sebagai matriks peringkat 𝑚 × 𝑛
Matriks sama mempunyai peringkat yang sama
dan setiap unsur sepadan adalah sama
Penambahan atau
penolakan dua matriks
yang sama peringkat
sebagai pembentukan
satu matriks yang setiap
unsurnya merupakan
hasil tambah atau hasil
tolak unsur yang
sepadan dalam dua
matriks berkenaan
Hasil darab suatu matriks
𝑚 × 𝑛 dengan suatu
matriks 𝑛 × 𝑝 adalah
suatu matriks 𝑚 × 𝑝 yang
unsurnya di baris 𝑖 dan
dan lajur 𝑗 merupakan
hasil darab antara setiap
unsur yang sepadan di
baris 𝑖 bagi matriks
pertama dan lajur 𝑗 bagi
matriks kedua.
Pendaraban suatu matriks
dengan suatu nombor
sebagai pendaraban setiap
unsur matriks dengan
nombor berkenaan
Matriks songsang bagi
matriks 𝐴 ialah matriks 𝐵,
jika 𝐴𝐵 = 𝐼 dan 𝐵𝐴 = 𝐼 .
Ia boleh didapati melalui
dua kaedah :
Matriks Identiti, 𝑰
apabila didarabkan dengan
sebarang matriks 𝐴 akan
menghasilkan matriks 𝐴
𝐼𝐴 = 𝐴𝐼 = 𝐴
Kaedah penyelesaian
persamaan serentak
Kaedah rumus
𝐴 = (𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
)
𝐴
−1=
1
𝑎𝑑−𝑏𝑐
(
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
)
Penyelesaian persamaan linear serentak
(𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) (
𝑥
𝑦) = (ℎ
𝑘
)
(
𝑥
𝑦)=
1
𝑎𝑑−𝑏𝑐
( 𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
)(ℎ
𝑘
)