MATEMATIK UNTUK TEKNOLOGI

1. 1
MODUL 1.0 ALGEBRA
1.1 Mengenal pasti pemboleh ubah dan menggunakan huruf untuk mewakili pemboleh ubah.
1.1.1 Mengenalpastipemboleh ubah dan gunakan abjad yang sesuai untuk mewakili pemboleh ubah bagi setiap
pernyataan berikut:
Contoh
a) Terdapat beberapa ekor ikan dalam sebuah
akuarium.
Pemboleh ubah : beberapa ekorikan
Huruf : w
b) Suatu kertas ujian mengandungi beberapa soalan.
Pemboleh ubah :
Huruf :
c) En Ramli membeli beberapa biji tembikai.
Pemboleh ubah :
Huruf :
d) Terdapat beberapa hari dalam seminggu yang
bermula dengan huruf S.
Pemboleh ubah :
Huruf :
e) Ariana memandu sejauh p km ke Telupid.
Pemboleh ubah :
Huruf :
f) Pn. Zubaidah menjual q kg udang dengan harga
RM15.00 sekilogram.
Pemboleh ubah :
Huruf :
g) John menyimpan RMy dalam masa seminggu.
Pemboleh ubah :
Huruf :
h) Rayner menjual h gelas air dalam sehari.
Pemboleh ubah :
Huruf :
Nota Ringkas:
 Pemboleh ubah ialah suatu kuantiti yang belum ditentukan nilainya.
 Huruf atau abjad digunakan untuk mewakili objek atau pemboleh ubah.
 Contoh :
Kilang A mempunyai p orang pekerja
Objek Pemboleh ubah

2. 2
1.1.2. Menggunakan huruf untuk mewakili pemboleh ubah.
Situasi Pemboleh ubah
a. En. M bekerja 8 jam sehari. En. M bekerja s jam sehari.
b. Bas Leila membawa 20 penumpang.
c. Kereta e dan kereta f masing-masing berharga RM 80 000
dan RM 100 000.
d. Bilangan pelajar di kelas 2 MTA ialah 34 orang pelajar.
e. Adely mengambil masa beberapa minggu untuk
menyiapkan projeknya.
f. Hadi menyimpan sebahagian wang gajinya ke dalam bank
tiap-tiap bulan.
g. Aini membeli beberapa biji epal di kedai.
h. Ravi mendermakan sejumlah pakaian kepada rumah anak
yatim.
1.2 Mengenal pasti sebutan algebra dalam satu pemboleh ubah dan menyatakan sebutan serupa.
1.2.1 Bulatkan sebutan algebra dengan satu pemboleh ubah.
9m, 2wx, –k,
5
3a
,
6
r
,
q
1
Nota Ringkas:
 Sebutan algebra dalam suatu pemboleh ubah ialah hasil darab suatu pemboleh ubah dengan suatu
nombor.
 Misalnya,
 Sebutan serupa dalamsatu anu ialah sebutan-sebutan yang mempunyai pemboleh ubah yang sama.
Contoh:
3x, ˗x, 6.2x dan ˗
2
5
x
 Sebutan tak serupa dalam satu anu ialah sebutan-sebutan yang mempunyai pemboleh ubah yang
berlainan.
Contoh:
3x, 7y, 67m dan
3
7
v

5y ialah suatu sebutan dalamsatu pemboleh ubah
= y + y + y + y + y
= 5 × y
= 5y
Pemboleh ubah
Pekali

3. 3
1.2.2 Nyatakan pekali dalam sebutan algebra dengan satu pemboleh ubah.
Sebutan algebra Pekali
a) 12m 12
b) –g
c)
8
n
d) 15q
e) – 0.5h
f) −
6
11
𝑝
1.2.3 Tentukan sama ada setiap pasangan sebutan algebra di bawah adalah serupa atau tak serupa.
a) 8x dan 8z Sebutan tak serupa
b) 6u dan u
7
1
___________________________________________________
c) 12m dan 0.2n ___________________________________________________
d) – 1.5x dan 3.8x ___________________________________________________
e) 7j dan 7k ___________________________________________________
f)
𝑡
3
dan
8
9
𝑡 ___________________________________________________
1.2.4 Tuliskan tiga sebutan serupa bagi setiap yang berikut.
Sebutan Algebra Sebutan Serupa
2v
0.5v, -5v,
1
2
v
w
2
1

0.6g
− 2k
3
2
𝑛
ℎ
8

4. 4
1.3 Mengenal pasti sebutan algebra dalam dua atau lebih pemboleh ubah dan menyatakan sebutan serupa.
1.3.1 Tentukan sama ada setiap yang berikut merupakan sebutan algebra dalam dua atau lebih pemboleh ubah.
Sebutan Algebra Ya / Tidak
a) 3y Tidak
b) −1.5𝑥𝑦
c) − 4𝑝𝑞
d) 3h
e) 13q
f) −1
g) 12𝑒𝑓
h) 3.2q
i)
2𝑝𝑞
3
j) 5x
k) 8ℎ𝑗
l) −3𝑚𝑛2
m) 6.5𝑠
n) 9𝑥𝑦𝑧
o) 6r
p)
8
9
𝑒𝑓
Nota Ringkas:
 Sebutan algebra dalam dua atau lebih pemboleh ubah ialah hasil darab dua atau lebih pemboleh ubah
dengan suatu nombor.
 Misalnya,
6ab = 6 × a × b
Nombor pemboleh ubah
 Pekali bagi pemboleh ubah dalan satu sebutan algebra ialah faktor yang lain bagi sebutan.
Contoh:
(i) Dalam sebutan 5x
5 ialah pekali bagi x
(ii) Dalam sebutan 4pq
(a) 4 ialah pekali bagi pq
(b) 4p ialah pekali bagi q
(c) 4q ialah pekali bagi p
 Sebutan serupa dalamsatu anu ialah sebutan-sebutan yang mempunyai anu yang sama.
Contoh:
3x, ˗x, 6.2x dan ˗
2
5
x
 Sebutan tak serupa dalam satu anu ialah sebutan-sebutan yang mempunyai anu yang berlainan.
Contoh:
3x, 7y, 67m dan
3
7
v


5. 5
1.3.2 Tentukan pekali bagi setiap sebutan berikut.
(a)
ce c e
(a) 8ce 8 8e 8c
(b) –ced
(c) ce
(d) −
𝑐𝑒
7
(e) 2ceg
(f) 4c
(b) Lengkapkan jadual berikut dengan pekali yang betul bagi sebutan algebra dalam dua pemboleh ubah.
Sebutan algebra Pekali Pemboleh ubah
2𝑎𝑏 2 𝑎𝑏
−6𝑠𝑡𝑢 𝑠𝑡𝑢
3
5
𝑟𝑠3 𝑠3
0.9𝑝2 𝑞 𝑞
2𝑔ℎ𝑖 𝑔ℎ𝑖
𝑥𝑦𝑧 𝑧
1.3.3 Tentukan sama ada pasangan berikut adalah sebutan serupa atau tak serupa.
Sebutan Algebra Sebutan Serupa / Sebutan Tak Serupa
(a)
2
5
pqr , − 7pqr Sebutan serupa
(b) 3ab , 5ba
(c) 4ac , 4ae
(d) 7qp , − 3pq
(e)
5𝑎𝑏
6
, −
1
5
𝑎𝑏
(f) 𝑘𝑙2 ,7𝑘𝑙2

6. 6
1.3.4 Nyatakan dua sebutan serupa bagi sebutan yang berikut.
Sebutan Algebra Jawapan
(a)
2
3
pq2
(b) − 5y 2
z 3
(c) 3𝑘𝑙2
(d) 0.2tsr
(e) 12ab
(f) 16𝑚𝑛2
1.4 Mengecam dan mempermudahkan algebra.
1. Ungkapan algebra ialah gabungan dua atau lebih sebutan dengan operasi penambahan dan penolakan atau kedua -duanya.
Contoh :
(a) 7q –
1
3
q ungkapan algebra dengan dua sebutan
(b) 4a – 3b + 2c ungkapan algebra dengan tiga sebutan
2. Ungkapan yang terdiri daripada sebutan yang serupa dapat dipermudahkan dengan menambah atau menolak pekali-
pekalinya.
3. Ungkapan yang terdiri daripada sebutan yang tak serupa tidak boleh dipermudahkan.
Contoh :
(a) 7x + 2x = 19x
(b) 3x – 4 + 6x – 5
= 3x + 6x – 4 – 5 kumpulkan sebutan-sebutan serupa
= 9x – 9 sebutan tak serupa tidak boleh dipermudahkan
(c) (7x + 4y) – (3x – 5y) = 7x + 4y – 3x + 5y
= 7x – 3y + 4y + 5y
= 4x + 9y
Buang kurungan dahulu. Kemudian, kumpulkan sebutan serupa.
Permudahkan.
Nota Ringkas

7. 7
1.4.1 Tandakan (√ ) pada ungkapan algebra dan ( X ) pada bukan ungkapan algebra bagi dua pemboleh ubah.
(a) 4𝑎 + 7𝑏 − 𝑐 (c) 6𝑥𝑦 − 3𝑦𝑧
(b) −3𝑚𝑛2 + 3𝑛 (d) 6𝑟
1.4.2 Permudahkan.
(a) 4a + ( 5a + 7b ) (c) ( 4ab + 5c ) – ( 6ab + c )
(b) ( a + 7 ) + ( 4a – 3 ) (d) ( 5a – 2d ) + ( 7a – 9d )
(e) 5𝑏 − 15 + 112𝑏 − 8 (h) 7𝑢 − 8𝑣 − 6𝑢 + 10𝑣
(f) 12𝑒 + 2𝑓 − 14𝑒 − 5𝑓 (i) −3𝑤 + 5𝑥 + 6 + 6𝑤 − 3
1.5 Melaksanakan pengiraan yang melibatkan pendaraban dan pembahagian dua atau lebih sebutan.
Nota ringkas
1. Hasil darab dua sebutan boleh
dicari dengan mendarabkan
nombor dengan nombor diikuti
pemboleh ubah dengan pemboleh
ubah.
Contoh:
6pq × 2pq2r
= 6 × p × q × 2 × p × q × q × r
= 6 × 2 × p × p × q × q × q × r
kumpulkan nombor dan anu yang
sama
= 12p2q3r
2. Hasil bahagi dua sebutan dapat
dicari dengan kaedah pemansuhan.
Contoh:
21 r2 st3 ÷ 3 r st2
=
721 × 𝑟 × 𝑟 × 𝑠 × 𝑡 × 𝑡 × 𝑡
3 × 𝑟 × 𝑠 × 𝑡 ×𝑡
= 7rt
3. Hasil gabungan operasi pendaraban
dan pembahagian dapat dicari
seperti yang berikut.
Contoh:
3xy × 4y2z ÷ 6xyz3
=
3 × 4 × 𝑥 × 𝑦 × 𝑦 × 𝑦 × 𝑧
6 × 𝑥 × 𝑦 × 𝑧 × 𝑧 × 𝑧
=
2 𝑦
𝑧2
2

8. 8
Permudahkan.
(a) abc × 5d2
e2
= 5abcd2
e2
(c) ( – 6mn ) (– 6m2
p )
(b) 3ab × 7ac
(d)
4
9
( uv × 27u )
(e) −3𝑎𝑏 × (−6𝑎𝑐𝑑)
(f) 𝑝𝑞 × 12𝑞2 𝑟
(g)
3
16
𝑓𝑔2ℎ × (−4)𝑓2ℎ (h) −
36𝑎2 𝑏3 𝑐
−54𝑎2 𝑏𝑐3
(i) 54𝑑3 𝑒3 𝑓÷ (−9)𝑒2 𝑓3
(j)
−6𝑥2 𝑧
36𝑥2 𝑦𝑧4
(k) 45𝑑2 𝑒4 𝑓 ÷ (−9)𝑑3 𝑒3 × 5𝑑3 𝑓3
(l)
36𝑎2 𝑏3 𝑐
−54𝑎𝑏4 𝑐3
× (−4) 𝑎𝑏𝑐
(m) 27𝑥𝑦2 𝑧 ×
(−7)𝑥𝑦2 𝑧
(−9)𝑥2 𝑦𝑧4
(n) −2𝑝4 𝑞𝑟 × 12𝑝2 𝑞 ÷ 48𝑝2 𝑞𝑟3

9. 9
1.6 Melaksanakan pengiraan yang melibatkan ungkapan algebra.
Nota Ringkas
1. Pendaraban dan pembahagian
Contoh:
Permudahkan
(a) – 3 ( 2 – 3xy + y2 ) = – 6 + 9xy – 3 y2
(b)
15𝑚2 – 10𝑚 + 25 𝑛2
5
=
15𝑚2
5
–
10𝑚
5
+
25 𝑛2
5
= 3m2 – 2mn + 5n2
2. Penambahan dan Penolakan
Contoh:
Permudahkan
(a) (2x + 3y) + (4x – 2y)
= 2x + 3y + 4x – 2y
= 6x + y
(b) (8m – 5n) – (4m + 3n)
= 8m – 5n – 4m – 3n
= 8m – 4m – 5n – 3n
= 4m – 8n
3. Untuk mempermudahkan ungkapan algebra, ia
melibatkan
(i) kembangkan hasil sebelum penambahan dan
penolakan
(ii) buangkan kurungan
(iii) kumpulkan sebutan-sebutan serupa
Contoh:
2 (x + 2y) – 3 (2x – 3y)
= 2x + 4y – 6x + 9y
= 2x – 6x + 4y + 9y
= – 4x + 13y
Permudahkan.
(a) 6 [ x – 5 ( x – 4 ) ]
(b)
18𝑦 −12
3
(c) 2 ( x – y ) – ( 3x – y )
(d)
18𝑥𝑦−15𝑧
3
(e) 9𝑎 − (𝑎 − 4) (f)
18𝑗𝑘2+54𝑚𝑛
9
− 5(3𝑗𝑘2 − 4𝑛𝑚)
+ ( a – b)
= + a – b
– ( a+ b)
= – a – b
Tidak boleh dipermudahkan lagi kerana
semua integer adalah sebutan tak serupa

10. 10
1.7 Melaksanakan pengiraan yang melibatkan ungkapan algebra.
Nota Ringkas
1. Pengembangan ialah hasil darab satu ungkapan algebra
dengan satu sebutan atau ungkapan algebra yang lain.
2. Kembangkan ungkapan algebra berikut:
(a) a ( x + y – z )
= a × x + a × y – a × z
= a x + ay – az
(b) x2 ( y2 – 2xz ) = x2 y2 – 2 x3z
(c) ab ( a + c ) = a2b + abc
3. Kembangkan dua algebra dalam kurungan:
Contoh:
(a) ( a + b )2 = ( a + b ) ( a + b ) = a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2
(b) ( a – b )2 = ( a – b ) ( a – b ) = a2 – ab – ab + b2
= a2 – 2ab + b2
(c) ( a + b ) ( a – b ) = a2 – a b + ba – b2 = a2 – b2
(d) ( a – b ) ( a + b ) = a2 + ab – ab – b2 = a2 – b2
1. Kembangkan ungkapan berikut.
(a) 2 ( a + 5 ) (b) −3 ( x − 6 )
(c) −
3
4
𝑤(2𝑥 + 𝑦) (d) −5𝑘(2𝑘 − 3 + 2𝑚)
(e) 2𝑟(2𝑟 − 𝑠 + 3𝑡) (f)
1
2
𝑎(𝑏 − 2𝑒 − 5𝑓)

11. 11
2. Kembangkan
(a) ( x + 2) ( x + 4) (d) ( 3x – 5n )2
(b) ( 2x + 3 ) ( x – 1 ) (e) ( 2x – 5 )2
(c) ( 5𝑐 + 5𝑑) ( 2𝑐 − 𝑑) (f) (
1
2
𝑔 + 6ℎ) ( 2𝑔 + 2ℎ)
1.8 Mengaplikasi konsep pemfaktoran ungkapan algebra untuk menyelesaikan masalah.
Nota Ringkas
1. Pemfaktoran adalah satu proses mencari faktor bagi
sebutan atau ungkapan faktor.
2. Pemfaktoran adalah songsangan kepada proses
pengembangan.
pengembangan
a ( x + y ) = ax + ay
pemfaktoran
3. Pemfaktoran ungkapan algebra boleh diselesaikan
dengan cara
(a) mengambil keluar faktor sepunya terbesar
(FSTB) dalam ungkapan.
Contoh:
(i) ax – ay = a ( x – y )
faktorsepunya
(ii) 3x2 + 6 = 3 ( x2 + 2 )
FSTB
(b) menggunakan kaedah perbezaan antara dua
nombor kuasa dua ( p2
– q2 )
Contoh:
(i) p2
– q2 = ( p – q ) ( p + q ) @ ( p + q ) ( p – q)
4. Pecahan algebra ialah pecahan dengan sebutan atau
ungkapan algebra sebagai pengangka atau penyebut
atau kedua-duanya.
Contoh:
𝑦
3
,
5
𝑥
dan
𝑥+2
𝑥+3
Letakkan baki faktoryang
lain ke dalam kurungan

12. 12
5. Pecahan algebra boleh dipermudahkan dengan
menggunakan cara
(a) hapuskan faktor sepunya
Contoh:
Permudahkan
(a)
3𝑐
18𝑏𝑐
=
3 × 𝑐
18 × 𝑏 × 𝑐× 𝑐× 𝑐
=
1
6𝑏𝑐2
1. Faktorkan
Faktor Sepunya Beza antara dua kuasa
(a) 4a + 6 (e) 𝑚2 − 36
(b) 9𝑥2 − 3𝑥 (f) 49 𝑥2 − 4𝑦2
(c) 8m + 40 (g) 16 𝑎2 − 25
(d) 4𝑎𝑥 + 6𝑏𝑥 (j) 9𝑚2 − 16
2. Permudahkan
(a)
8𝑥
8𝑥+10
(f)
𝑥2− 9
2𝑥2− 6𝑥
(b)
8𝑏+32
16𝑏−16
(g)
𝑒2− 𝑓2
3𝑒−3𝑓
3
6

13. 13
3. Faktorkan dan permudahkan ungkapan algebra berikut:
(a)
6𝑚2 𝑛
4𝑚4
(c)
4𝑒2− 𝑓2
2𝑒𝑓+𝑓2
(b)
4𝑎−12𝑏
2(𝑎−3𝑏)2 (d)
9𝑠2− 𝑡2
(3𝑠−𝑡)2
4. Selesaikan
(a)
1
𝑦+3
+
3
𝑦(𝑦+3)
(b)
3
5𝑡
+
4−𝑢
10𝑡
(c)
3+4𝑐
2𝑐2
−
2
𝑐
(d)
1
7𝑓
−
7−4𝑔
21𝑓𝑔
(e)
4𝑔2−9ℎ2
7𝑘2
×
14𝑘
2𝑔−3ℎ
(f)
2𝑥+8
𝑥2 𝑦
×
𝑥𝑦2
3𝑥+12
(h)
2𝑥2−4𝑥𝑦
7𝑥3 𝑦
÷
𝑥−2𝑦
14𝑦3
(i)
9𝑘2−1
4𝑘
÷
12𝑘−4
24𝑗𝑘

14. 14
1.9 Menggunakan konsep rumus untuk menyelesaikan masalah
Jawab semua soalan berikut:
(a) Diberi 𝑘 = 𝑚 +
3
4
. Tulis 𝑚 dalam sebutan 𝑘. (b) Diberi 𝑓 =
2
9𝑔
. Tulis 𝑔 dalam sebutan 𝑓.
(c) Diberi 𝑎 = 𝑏2. Tulis 𝑏 dalam sebutan 𝑎. (d) Diberi 𝑔 = √ℎ. Tulis ℎ dalam sebutan 𝑔.
(e) Diberi 𝑦 =
(𝑥2−5)
8
. Tulis 𝑥 dalam sebutan 𝑦. (f) Diberi 7𝑦2 = 2𝑧2 + 3𝑤. Tulis 𝑧 dalam sebutan
𝑤 dan 𝑦.
(h) Diberi 𝑣 = 2𝑦 −
6
2𝑤
. Cari nilai
i) 𝑣 apabila 𝑤 = 2 dan 𝑦 = 5.
ii) 𝑤 apabila 𝑦 = 3 dan 𝑣 = 5.
(i) Diberi 𝑐 =
2𝑏
4
+ 6𝑑. Cari nilai
i) 𝑐 apabila 𝑏 = 4 dan 𝑑 = 2.
ii) 𝑏 apabila 𝑐 = 2 dan 𝑑 = −5.

15. 15
MODUL 1 : ALGEBRA
1. Nyatakan:
a) pemboleh ubah bagi sebutan 9𝑝2.
b) Pemboleh ubah bagi sebutan −2h.
c) pekali bagi sebutan
3
8
m.
d) pekali bagi −2h2
.
2. Kembangkan tiap-tiap ungkapan berikut:
a) −3( x − 6 )
b) 3s ( 4s – 2t )
c) −5x ( 2x + 6y )
d) (2𝑚 + 2)(7𝑚 − 1)
e) (3𝑚 − 2)( 𝑚 + 4)
f) ( −2x  5n )2
3. Permudahkan ungkapan algebra berikut:
a) (h − 3)2
−15+ 4h
b) 5p – 4(8 – 2p)
c)
2𝑝3 × 𝑝−1
𝑝5
d) 3 – (2n + 5)
e) 3(4p – 3q) – (5q – p)
f) (𝑥 − 2𝑦)2
+ 3𝑥𝑦

16. 16
CONTOH SOALAN PEPERIKSAAN
4. Nyatakan:
e) pemboleh ubah bagi sebutan −2𝑝. [ 1 markah ]
f) pekali bagi sebutan
𝑚
8
. [ 1 markah ]
5. Kembangkan tiap-tiap ungkapan berikut:
b) 2(5𝑝 + 7) [ 1 markah ]
b) (3𝑚 + 2)(9𝑚 − 1) [ 2 markah ]
6. a) Faktorkan 2𝑚2 + 6𝑚𝑛 [ 1 markah ]
b) Diberi 3𝑥 = 3𝑦 − 6. Tulis 𝑦 dalam sebutan 𝑥. [ 2 markah ]
7. Permudahkan ungkapan algebra berikut:
a) 5(2𝑥 − 3𝑦) + ( 𝑥 − 2𝑦) [ 2 markah ]
b) −3( 𝑎 − 6) + 4𝑎 [ 2 markah ]
c)
𝑝 ×𝑞𝑟
4𝑝𝑟
[ 2 markah ]

17. 17
5.