Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
•
4 likes•6,752 views
Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэль үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй тэгшитгэл, аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл
Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Similar to Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл (20)
More from Battur
More from Battur (13)
Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
- 1. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл МАТЕМАТИК-2 Ердийн дифференциал тэгшитгэл Д.Баттөр 2010 оны 3-р сарын 31
- 2. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Агуулга 1 Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл
- 3. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Тодорхойлт 2 ≤ n эрэмбийн (шугаман бус) f (x, y, y , ..., y(n) ) = 0 (1) хэлбэрийн тэгшитгэлийг n-дүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл гэнэ.
- 4. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Тодорхойлт 2 ≤ n эрэмбийн (шугаман бус) f (x, y, y , ..., y(n) ) = 0 (1) хэлбэрийн тэгшитгэлийг n-дүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл гэнэ. Тодорхойлт (1) тэгшитгэлийг үл мэдэгдэх y(x) функцийн уламждадын хувьд бодогдсон y(n) = f (x, y, y , ..., y(n−1) ) (2) хэлбэрт бичиж болно.
- 5. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл y(n) = f (x) (3) хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье.
- 6. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл y(n) = f (x) (3) хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье.(4) тэгшитгэлийн шийд нь y(n) = f (x) тэнцэтгэлийг n-удаа дэс дараалан интегралчлах замаар олдоно. Үүнд: y(n−1) = f (x)dx + C1, C1 = const
- 7. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл y(n) = f (x) (3) хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье.(4) тэгшитгэлийн шийд нь y(n) = f (x) тэнцэтгэлийг n-удаа дэс дараалан интегралчлах замаар олдоно. Үүнд: y(n−1) = f (x)dx + C1, C1 = const y(n−2) = dx f (x)dx + C1x + C2, C2 = const
- 8. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл y(n) = f (x) (3) хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье.(4) тэгшитгэлийн шийд нь y(n) = f (x) тэнцэтгэлийг n-удаа дэс дараалан интегралчлах замаар олдоно. Үүнд: y(n−1) = f (x)dx + C1, C1 = const y(n−2) = dx f (x)dx + C1x + C2, C2 = const y(n−3) = dx dx f (x)dx + C1x2 2 + C2x + C3, C3 = const
- 9. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл y(n) = f (x) (3) хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье.(4) тэгшитгэлийн шийд нь y(n) = f (x) тэнцэтгэлийг n-удаа дэс дараалан интегралчлах замаар олдоно. Үүнд: y(n−1) = f (x)dx + C1, C1 = const y(n−2) = dx f (x)dx + C1x + C2, C2 = const y(n−3) = dx dx f (x)dx + C1x2 2 + C2x + C3, C3 = const · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
- 10. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл y(n) = f (x) (3) хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье.(4) тэгшитгэлийн шийд нь y(n) = f (x) тэнцэтгэлийг n-удаа дэс дараалан интегралчлах замаар олдоно. Үүнд: y(n−1) = f (x)dx + C1, C1 = const y(n−2) = dx f (x)dx + C1x + C2, C2 = const y(n−3) = dx dx f (x)dx + C1x2 2 + C2x + C3, C3 = const · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · y = dx dx... (nудаа) f (x)dx + C1 xn−1 n − 1 + C2 xn−2 n − 2 + ... + Cn, Cn = cons
- 11. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Сүүлчийн тэнцэтгэл дэх дурын тогтмолуудыг шинээр тэмдэглэвэл шийд y = dx dx... f (x)dx + c1xn−1 + c2xn−2 + ... + cn олдоно. Шийдийн энэ илэрхийллээс y(k) (x0) = 0, (k = 0, 1, 2, ..., n − 1) эхний нөхцлүүдийг хангадаг тухайн шийдийг y(x) = 1 (n − 1)! x x0 f (t) · (x − t)n−1 dt Коши-ийн томъёогоор олж болно.
- 12. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл f (x, y , y ) = 0 (4) хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье.
- 13. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл f (x, y , y ) = 0 (4) хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье. эрэмбэ бууруулах арга:
- 14. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл f (x, y , y ) = 0 (4) хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье. эрэмбэ бууруулах арга: y = z гэж орлуулга хийвэл f (x, z, z ) = 0 гэсэн нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлд хүрнэ.
- 15. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл f (x, y , y ) = 0 (4) хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье. эрэмбэ бууруулах арга: y = z гэж орлуулга хийвэл f (x, z, z ) = 0 гэсэн нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлд хүрнэ. Ийм тэгшитгэлийн ерөнхий шийд F(x, z, C1) = 0 хэлбэрээр олдоно.
- 16. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл f (x, y , y ) = 0 (4) хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье. эрэмбэ бууруулах арга: y = z гэж орлуулга хийвэл f (x, z, z ) = 0 гэсэн нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлд хүрнэ. Ийм тэгшитгэлийн ерөнхий шийд F(x, z, C1) = 0 хэлбэрээр олдоно. Хэрэв энэ тэгшитгэлээс z-ийг z = Φ(x, C1) ил хэлбэрээр олж болно.
- 17. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Орлуулга ёсоор y = Φ(x, C1) болно.
- 18. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Орлуулга ёсоор y = Φ(x, C1) болно. Одоо энэхүү нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийн шийдийг олоход өгөгдсөн f (x, y , y ) = 0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийд y = Φ(x, C1)dx + C2 хэлбэрээр олдоно.
- 19. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл f (y, y , y ) = 0 (5) хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье.
- 20. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл f (y, y , y ) = 0 (5) хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье. y = p орлуулга хийе (p нь y-ээс хамаарах функц гэж үзнэ).
- 21. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл f (y, y , y ) = 0 (5) хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье. y = p орлуулга хийе (p нь y-ээс хамаарах функц гэж үзнэ). давхар функцийн уламжлалын томъёо ёсоор y = p = dp dx = dp dy · dy dx = dp dy · y = p · dp dy болох ба
- 22. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл f (y, y , y ) = 0 (5) хэлбэрийн тэгшитгэл ачв үзье. y = p орлуулга хийе (p нь y-ээс хамаарах функц гэж үзнэ). давхар функцийн уламжлалын томъёо ёсоор y = p = dp dx = dp dy · dy dx = dp dy · y = p · dp dy болох ба иймд өгөгдсөн тэгшитгэл нь нэгдүгээр эрэмбийн дараахь тэгшитгэлд шилжинэ: f y, p, p dp dy = 0
- 23. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийд F(y, p, C1) = 0
- 24. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийд F(y, p, C1) = 0 хэлбэрт бичигдэх бөгөөд хэрэв уг тэнцэтгэлээс p хувьсагчийг p = Φ(y, C1) хэлбэрээр олвол орлуулга ёсоор y = Φ(y, C1) тэгшитгэлд хүрнэ.
- 25. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийд F(y, p, C1) = 0 хэлбэрт бичигдэх бөгөөд хэрэв уг тэнцэтгэлээс p хувьсагчийг p = Φ(y, C1) хэлбэрээр олвол орлуулга ёсоор y = Φ(y, C1) тэгшитгэлд хүрнэ. Сүүлчийн тэгшитгэл бол хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл учраас түүний ерөнхий шийдийг олсны үр дүнд анх өгөгдсөн f (y, y , y ) = 0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийд dy Φ(y, C1) = x + C2, C2 = const, хэлбэрт тавигдана.
- 26. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Жишээ 3y · y 2 = (1 + y 2) · y тэгшитгэл бод.
- 27. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Жишээ 3y · y 2 = (1 + y 2) · y тэгшитгэл бод. - y = z;
- 28. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Жишээ 3y · y 2 = (1 + y 2) · y тэгшитгэл бод. - y = z; 3z · z 2 = (1 + z2) · z ;
- 29. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Жишээ 3y · y 2 = (1 + y 2) · y тэгшитгэл бод. - y = z; 3z · z 2 = (1 + z2) · z ; z = p; z = p · dp dz ;
- 30. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Жишээ 3y · y 2 = (1 + y 2) · y тэгшитгэл бод. - y = z; 3z · z 2 = (1 + z2) · z ; z = p; z = p · dp dz ; 3z · p2 = (1 + z2 ) · p dp dz ;
- 31. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Жишээ 3y · y 2 = (1 + y 2) · y тэгшитгэл бод. - y = z; 3z · z 2 = (1 + z2) · z ; z = p; z = p · dp dz ; 3z · p2 = (1 + z2 ) · p dp dz ; dp p = 3zdz 1 + z2 ;
- 32. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Жишээ 3y · y 2 = (1 + y 2) · y тэгшитгэл бод. - y = z; 3z · z 2 = (1 + z2) · z ; z = p; z = p · dp dz ; 3z · p2 = (1 + z2 ) · p dp dz ; dp p = 3zdz 1 + z2 ; ln p = 3 2 ln(1 + z2 ) + ln C;
- 33. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Жишээ 3y · y 2 = (1 + y 2) · y тэгшитгэл бод. - y = z; 3z · z 2 = (1 + z2) · z ; z = p; z = p · dp dz ; 3z · p2 = (1 + z2 ) · p dp dz ; dp p = 3zdz 1 + z2 ; ln p = 3 2 ln(1 + z2 ) + ln C; p = C · (1 + z2) 3 2 ;
- 34. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Жишээ 3y · y 2 = (1 + y 2) · y тэгшитгэл бод.
- 35. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Жишээ 3y · y 2 = (1 + y 2) · y тэгшитгэл бод. - p = C · (1 + z2) 3 2 ;
- 36. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Жишээ 3y · y 2 = (1 + y 2) · y тэгшитгэл бод. - p = C · (1 + z2) 3 2 ; dz dx = C · (1 + z2 ) 3 2 ;
- 37. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Жишээ 3y · y 2 = (1 + y 2) · y тэгшитгэл бод. - p = C · (1 + z2) 3 2 ; dz dx = C · (1 + z2 ) 3 2 ; dz (1 + z2) 3 2 = Cdx;
- 38. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Жишээ 3y · y 2 = (1 + y 2) · y тэгшитгэл бод. - p = C · (1 + z2) 3 2 ; dz dx = C · (1 + z2 ) 3 2 ; dz (1 + z2) 3 2 = Cdx; z √ 1 + z2 = C · (x + C1);
- 39. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Жишээ 3y · y 2 = (1 + y 2) · y тэгшитгэл бод. - p = C · (1 + z2) 3 2 ; dz dx = C · (1 + z2 ) 3 2 ; dz (1 + z2) 3 2 = Cdx; z √ 1 + z2 = C · (x + C1); z2 1 + z2 = C2 (x + C1)2 ;
- 40. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Жишээ 3y · y 2 = (1 + y 2) · y тэгшитгэл бод. - p = C · (1 + z2) 3 2 ; dz dx = C · (1 + z2 ) 3 2 ; dz (1 + z2) 3 2 = Cdx; z √ 1 + z2 = C · (x + C1); z2 1 + z2 = C2 (x + C1)2 ; z2 = C2(x + C1)2 1 − C2(x + C1)2 ;
- 41. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Жишээ 3y · y 2 = (1 + y 2) · y тэгшитгэл бод. - p = C · (1 + z2) 3 2 ; dz dx = C · (1 + z2 ) 3 2 ; dz (1 + z2) 3 2 = Cdx; z √ 1 + z2 = C · (x + C1); z2 1 + z2 = C2 (x + C1)2 ; z2 = C2(x + C1)2 1 − C2(x + C1)2 ; z = ± C(x + C1) 1 − C2(x + C1)2 ;
- 42. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Жишээ 3y · y 2 = (1 + y 2) · y тэгшитгэл бод. - p = C · (1 + z2) 3 2 ; dz dx = C · (1 + z2 ) 3 2 ; dz (1 + z2) 3 2 = Cdx; z √ 1 + z2 = C · (x + C1); z2 1 + z2 = C2 (x + C1)2 ; z2 = C2(x + C1)2 1 − C2(x + C1)2 ; z = ± C(x + C1) 1 − C2(x + C1)2 ; dy dx = ± C(x + C1) 1 − C2(x + C1)2 ;
- 43. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Жишээ 3y · y 2 = (1 + y 2) · y тэгшитгэл бод. - p = C · (1 + z2) 3 2 ; dz dx = C · (1 + z2 ) 3 2 ; dz (1 + z2) 3 2 = Cdx; z √ 1 + z2 = C · (x + C1); z2 1 + z2 = C2 (x + C1)2 ; z2 = C2(x + C1)2 1 − C2(x + C1)2 ; z = ± C(x + C1) 1 − C2(x + C1)2 ; dy dx = ± C(x + C1) 1 − C2(x + C1)2 ; y + C2 = ± 1 C · 1 − C2(x + C1)2;
- 44. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Жишээ 3y · y 2 = (1 + y 2) · y тэгшитгэл бод. - p = C · (1 + z2) 3 2 ; dz dx = C · (1 + z2 ) 3 2 ; dz (1 + z2) 3 2 = Cdx; z √ 1 + z2 = C · (x + C1); z2 1 + z2 = C2 (x + C1)2 ; z2 = C2(x + C1)2 1 − C2(x + C1)2 ; z = ± C(x + C1) 1 − C2(x + C1)2 ; dy dx = ± C(x + C1) 1 − C2(x + C1)2 ; y + C2 = ± 1 C · 1 − C2(x + C1)2; (x + C1)2 + (y + C2)2 = 1 2
- 45. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Жишээ 3y · y 2 = (1 + y 2) · y тэгшитгэл бод. - p = C · (1 + z2) 3 2 ; dz dx = C · (1 + z2 ) 3 2 ; dz (1 + z2) 3 2 = Cdx; z √ 1 + z2 = C · (x + C1); z2 1 + z2 = C2 (x + C1)2 ; z2 = C2(x + C1)2 1 − C2(x + C1)2 ; z = ± C(x + C1) 1 − C2(x + C1)2 ; dy dx = ± C(x + C1) 1 − C2(x + C1)2 ; y + C2 = ± 1 C · 1 − C2(x + C1)2; (x + C1)2 + (y + C2)2 = 1 2
- 46. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл f (x, y, y , y ) = 0 тэгшитгэлийн зүүн тал дахь функц нь y, y , y хувьсагчуудын хувьд нэгэн төрлийн функц байх тохиолдол: f (x, ty, ty , ty ) ≡ tk · f (x, y, y , y ) (∗)
- 47. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл f (x, y, y , y ) = 0 тэгшитгэлийн зүүн тал дахь функц нь y, y , y хувьсагчуудын хувьд нэгэн төрлийн функц байх тохиолдол: f (x, ty, ty , ty ) ≡ tk · f (x, y, y , y ) (∗) y y = u = u(x) орлуулга ашиглаж эрэмбэ бууруулна.
- 48. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл f (x, y, y , y ) = 0 тэгшитгэлийн зүүн тал дахь функц нь y, y , y хувьсагчуудын хувьд нэгэн төрлийн функц байх тохиолдол: f (x, ty, ty , ty ) ≡ tk · f (x, y, y , y ) (∗) y y = u = u(x) орлуулга ашиглаж эрэмбэ бууруулна. y = u ·y, y = u y +u ·y = u ·y +u ·uy = (u +u2 )·y,
- 49. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл f (x, y, y , y ) = 0 тэгшитгэлийн зүүн тал дахь функц нь y, y , y хувьсагчуудын хувьд нэгэн төрлийн функц байх тохиолдол: f (x, ty, ty , ty ) ≡ tk · f (x, y, y , y ) (∗) y y = u = u(x) орлуулга ашиглаж эрэмбэ бууруулна. y = u ·y, y = u y +u ·y = u ·y +u ·uy = (u +u2 )·y, f (x, y, yu, y(u + u2 )) = 0, f (x, 1, u, u + u2 ) = 0 гэсэн, нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл гаргана.
- 50. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хэрэв энэ тэгшитгэлийн шийдийг олвол u = φ(x, C1); y y = φ(x, C1),
- 51. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хэрэв энэ тэгшитгэлийн шийдийг олвол u = φ(x, C1); y y = φ(x, C1), болох ба улмаар ln |y| = φ(x, C1)dx + ln C2; y = C2 · e φ(x,C1)dx
- 52. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хэрэв энэ тэгшитгэлийн шийдийг олвол u = φ(x, C1); y y = φ(x, C1), болох ба улмаар ln |y| = φ(x, C1)dx + ln C2; y = C2 · e φ(x,C1)dx хэлбэрээр анх өгөгдсөн тэгшитгэлийн шийд олдоно.
- 53. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл z + p(x) · z + q(x) · z = 0 (6) хэлбэрт бичигдсэн, зүүн талд байгаа илэрхийлэл нь үл мэдэгдэх функц z ба түүний z , z уламжлалуудыг шугаман (нэг зэрэгтэй) байдлаар агуулсан бөгөөд сул гишүүн нь тэг байх тэгшитгэл авъя.
- 54. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл z + p(x) · z + q(x) · z = 0 (6) хэлбэрт бичигдсэн, зүүн талд байгаа илэрхийлэл нь үл мэдэгдэх функц z ба түүний z , z уламжлалуудыг шугаман (нэг зэрэгтэй) байдлаар агуулсан бөгөөд сул гишүүн нь тэг байх тэгшитгэл авъя. (6) тэгшитгэлийн зүүн тал дахь илэрхийллийг L[z] ≡ z + p(x) · z + q(x) · z гэж тэмдэглэвэл (6) тэгшитгэл нь L[z] = 0 хэлбэрт бичигдэнэ.
- 55. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл L[z] илэрхийллийн хувьд: а) L[z1 + z2] = (z1 + z2) + p(x)(z1 + z2) + q(x)(z1 + z2) = (z1 +p(x)z1 +q(x)z1)+(z2 +p(x)z2 +q(x)z2) = L[z1]+L[z2];
- 56. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл L[z] илэрхийллийн хувьд: а) L[z1 + z2] = (z1 + z2) + p(x)(z1 + z2) + q(x)(z1 + z2) = (z1 +p(x)z1 +q(x)z1)+(z2 +p(x)z2 +q(x)z2) = L[z1]+L[z2]; б) C = const утганд L[C · z] = C · L[z] чанарууд тус тус биелэгдэх бөгөөд L[z] нь шугаман дифференциал оператор гэж нэрлэгддэг.
- 57. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдийн чанарууд: 1) (6) тэгшитгэлийн z1, z2 шийдүүдийн нийлбэр z = z1 + z2 нь бас (6) тэгшитгэлийн шийд байна.
- 58. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдийн чанарууд: 1) (6) тэгшитгэлийн z1, z2 шийдүүдийн нийлбэр z = z1 + z2 нь бас (6) тэгшитгэлийн шийд байна. Учир нь, L[z1] = 0, L[z2] = 0 байвал өмнөх а) чанар ёсооор L[z] = L[z1 + z2] = L[z1] + L[z2] = 0
- 59. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдийн чанарууд: 1) (6) тэгшитгэлийн z1, z2 шийдүүдийн нийлбэр z = z1 + z2 нь бас (6) тэгшитгэлийн шийд байна. Учир нь, L[z1] = 0, L[z2] = 0 байвал өмнөх а) чанар ёсооор L[z] = L[z1 + z2] = L[z1] + L[z2] = 0 2) (6) тэгшитгэлийн z шийдийг тогтмол C тоогоор үржүүлсэн үржвэр C · z нь бас (6) тэгшитгэлийн шийд байна.
- 60. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдийн чанарууд: 1) (6) тэгшитгэлийн z1, z2 шийдүүдийн нийлбэр z = z1 + z2 нь бас (6) тэгшитгэлийн шийд байна. Учир нь, L[z1] = 0, L[z2] = 0 байвал өмнөх а) чанар ёсооор L[z] = L[z1 + z2] = L[z1] + L[z2] = 0 2) (6) тэгшитгэлийн z шийдийг тогтмол C тоогоор үржүүлсэн үржвэр C · z нь бас (6) тэгшитгэлийн шийд байна. Дээрх 2 дүгнэлтээс (6) тэгшитгэлийн z1, z2 шийдүүдийн аливаа шугаман эвлүүлэг z = C1 · z1(x) + C2 · z2(x), (C1, C2 = const) нь мөн (6) тэгшитгэлийн шийд байна.
- 61. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдийн чанарууд: 1) (6) тэгшитгэлийн z1, z2 шийдүүдийн нийлбэр z = z1 + z2 нь бас (6) тэгшитгэлийн шийд байна. Учир нь, L[z1] = 0, L[z2] = 0 байвал өмнөх а) чанар ёсооор L[z] = L[z1 + z2] = L[z1] + L[z2] = 0 2) (6) тэгшитгэлийн z шийдийг тогтмол C тоогоор үржүүлсэн үржвэр C · z нь бас (6) тэгшитгэлийн шийд байна. Дээрх 2 дүгнэлтээс (6) тэгшитгэлийн z1, z2 шийдүүдийн аливаа шугаман эвлүүлэг z = C1 · z1(x) + C2 · z2(x), (C1, C2 = const) нь мөн (6) тэгшитгэлийн шийд байна. 3) z(x) ≡ 0 функц (6) тэгшитгэлийн шийд байна.
- 62. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Тодорхойлолт Хэрэв (a, b) завсрын бүх цэгүүдийн хувьд α1 · z1(x) + α2 · z2(x) = 0 тэнцэтгэл биелэгдэж байхаар ядаж нэг нь тэг биш α1, α2 тогтмол тоонууд олдож байвал z1(x) ба z2(x) функцүүд шугаман хамааралтай байна гэнэ.
- 63. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Тодорхойлолт Хэрэв (a, b) завсрын бүх цэгүүдийн хувьд α1 · z1(x) + α2 · z2(x) = 0 тэнцэтгэл биелэгдэж байхаар ядаж нэг нь тэг биш α1, α2 тогтмол тоонууд олдож байвал z1(x) ба z2(x) функцүүд шугаман хамааралтай байна гэнэ. Тодорхойлолт Хэрэв z1(x), z2(x) функцүүдийн хувьд α1 · z1(x) + α2 · z2(x) = 0 тэнцэтгэл нь зөвхөн α1 = α2 = 0 байхад биелэгдэж байвал уг z1(x), z2(x) функцүүд шугаман хамааралгүй байна гэнэ.
- 64. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Теорем Хэрэв L[z] = 0 шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн z1(x) ба z2(x) шийдүүд (a, b) дээр шугаман хамааралгүй байвал W (z1, z2) = z1(x) z2(x) z1(x) z2(x) = z1(x)·z2(x)−z2(x)·z1(x) = W (x) = 0 байна.
- 65. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Теорем Хэрэв L[z] = 0 шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн z1(x) ба z2(x) шийдүүд (a, b) дээр шугаман хамааралгүй байвал W (z1, z2) = z1(x) z2(x) z1(x) z2(x) = z1(x)·z2(x)−z2(x)·z1(x) = W (x) = 0 байна. Теорем Хэрэв z1(x) ба z2(x) функцүүд нь L[z] = 0 тэгшитгэлийн (a, b) завсар дээр шугаман хамаарaлгүй шийдүүд бол дурын C1, C2 тогтмолуудын утганд z = C1 · z1(x) + C2 · z2(x) функц нь L[z] = 0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийд байна.
- 66. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Теорем Хэрэв L[z] = 0 шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн z1(x) ба z2(x) шийдүүд (a, b) дээр шугаман хамааралгүй байвал W (z1, z2) = z1(x) z2(x) z1(x) z2(x) = z1(x)·z2(x)−z2(x)·z1(x) = W (x) = 0 байна. Теорем Хэрэв z1(x) ба z2(x) функцүүд нь L[z] = 0 тэгшитгэлийн (a, b) завсар дээр шугаман хамаарaлгүй шийдүүд бол дурын C1, C2 тогтмолуудын утганд z = C1 · z1(x) + C2 · z2(x) функц нь L[z] = 0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийд байна. Энэ тохиолдолд, z1(x) ба z2(x) функцүүд нь L[z] = 0
- 67. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Жишээ y − y = 0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.
- 68. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Жишээ y − y = 0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол. - Энэ бол шугаман, нэгэн төрлийн тэгшитгэл бөгөөд түүний тухайн шийдүүд z1(x) = ex , z2(x) = e−x байна (шууд орлуулж шалгана).
- 69. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Жишээ y − y = 0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол. - Энэ бол шугаман, нэгэн төрлийн тэгшитгэл бөгөөд түүний тухайн шийдүүд z1(x) = ex , z2(x) = e−x байна (шууд орлуулж шалгана). Улмаар W (x) = ex e−x ex −e−x = −2 = 0
- 70. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Жишээ y − y = 0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол. - Энэ бол шугаман, нэгэн төрлийн тэгшитгэл бөгөөд түүний тухайн шийдүүд z1(x) = ex , z2(x) = e−x байна (шууд орлуулж шалгана). Улмаар W (x) = ex e−x ex −e−x = −2 = 0 учраас уг шийдүүд нь бүх тоон шулуун дээр шугаман хамааралгүй байна.
- 71. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Жишээ y − y = 0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол. - Энэ бол шугаман, нэгэн төрлийн тэгшитгэл бөгөөд түүний тухайн шийдүүд z1(x) = ex , z2(x) = e−x байна (шууд орлуулж шалгана). Улмаар W (x) = ex e−x ex −e−x = −2 = 0 учраас уг шийдүүд нь бүх тоон шулуун дээр шугаман хамааралгүй байна.Иймд өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий шийд y = C1ex + C2e−x хэлбэртэй байна.
- 72. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлд эрэмбэ бууруулах арга Хэрэв L[z] = z + p(x) · z + q(x)z = 0 тэгшитгэлийн ямар нэг тухайн шийд z1(x) мэдэгдэж байвал уг тэгшитгэлд z = z1 · u, u = u(x) орлуулга хийх замаар тэгшитгэлийн эрэмбийг 1-ээр бууруулж болно. Үнэндээ (z1 · u + 2z1 · u + z1 · u ) + p(z1 · u + z1 · u ) + qz1u = 0, өөрөөр хэлбэл, z1 · u + (2z1 + pz1) · u + (z1 + p · z1 + qz1)u = 0 болно.
- 73. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл y(n) = f (x) хэлбэрийн тэгшитгэл Үл мэдэгдэх функцийг ил агуулаагүй дифференциал тэгшитгэл Аргументийг ил агуулаагүй тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлд эрэмбэ бууруулах арга Гэхдээ L[z1] = 0 учраас гуравдахь гишүүн устах бөгөөд u = v гэж орлуулбал z1 · v + (2z1 + pz1) · v = 0 гэсэн нэгдүгээр эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл гарна. Энэ бол хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл учраас dv v = − 2z1 + pz1 z1 dx, ln |v| = −2 ln |z1| − p(x)dx + ln C2; v = C2 z2 1 e− p(x)dx , u = C2 · 1 z2 1 e− p(x)dx + C1; Иймд өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий шийд z = C1 · z1 + C2 · z1 · 1 z2 1 · e− p(x)dx хэлбэрт тавигдана.