Submit Search
Upload
Олон хувьсагчтай функцийн үндэс
•
1 like
•
376 views
Battur
Follow
Олон хувьсагчтай функцийн үндсэн ойлголтууд
Read less
Read more
Education
Report
Share
Report
Share
1 of 34
Recommended
Олон хувьсагчтай функцийн нөхцөлт экстремум, интеграл
Олон хувьсагчтай функцийн нөхцөлт экстремум, интеграл
Battur
Funktsin grafik8
Funktsin grafik8
rmarey
Lection 5
Lection 5
Sukhee Bilgee
математик анализ лекц№10
математик анализ лекц№10
narangerelodon
Lection 2
Lection 2
Sukhee Bilgee
Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал
Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал
Battur
Math101 Lecture4
Math101 Lecture4
Munhbayr Sukhbaatar
Үг бүтэх арга
Үг бүтэх арга
Otgontungalag Moodoi
Recommended
Олон хувьсагчтай функцийн нөхцөлт экстремум, интеграл
Олон хувьсагчтай функцийн нөхцөлт экстремум, интеграл
Battur
Funktsin grafik8
Funktsin grafik8
rmarey
Lection 5
Lection 5
Sukhee Bilgee
математик анализ лекц№10
математик анализ лекц№10
narangerelodon
Lection 2
Lection 2
Sukhee Bilgee
Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал
Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал
Battur
Math101 Lecture4
Math101 Lecture4
Munhbayr Sukhbaatar
Үг бүтэх арга
Үг бүтэх арга
Otgontungalag Moodoi
мат 10
мат 10
Tsetsegsuten Baatar
интеграл
интеграл
Хөвсгөл Аймаг Боловсролын Газар
математик анализ лекц№4
математик анализ лекц№4
narangerelodon
Lekts 1
Lekts 1
udwal555 bhus
Тоон цуваа
Тоон цуваа
Battur
Lekts 5
Lekts 5
Anhaa8941
MT102 Лекц 9
MT102 Лекц 9
ssuser184df1
Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Battur
Lection 1
Lection 1
Sukhee Bilgee
функцийн өсөх ба буурах нөхцөл
функцийн өсөх ба буурах нөхцөл
doogii2335
Магадлалын онол бодлого
Магадлалын онол бодлого
Temuulen Nyamdorj
Koordinat
Koordinat
tuya9994
8 р анги нийлмэл бодис нэгж
8 р анги нийлмэл бодис нэгж
Naraa_2012
функц шинжлэх график байгуулах
функц шинжлэх график байгуулах
Khishighuu Myanganbuu
Lekts 3
Lekts 3
udwal555 bhus
Урвуу матриц
Урвуу матриц
Bolorma Bolor
Turiin sanhuu l11
Turiin sanhuu l11
Энхтамир Ш
модультай тэгшитгэл тэнцэтгэл биш
модультай тэгшитгэл тэнцэтгэл биш
Nandintsetseg Yadamsuren
трапецийн талбай
трапецийн талбай
CHBD_6684
Интегралчлах үндсэн аргууд
Интегралчлах үндсэн аргууд
Battur
Тодорхой интегралын хэрэглээ
Тодорхой интегралын хэрэглээ
Battur
Тодорхой интеграл
Тодорхой интеграл
Battur
More Related Content
What's hot
мат 10
мат 10
Tsetsegsuten Baatar
интеграл
интеграл
Хөвсгөл Аймаг Боловсролын Газар
математик анализ лекц№4
математик анализ лекц№4
narangerelodon
Lekts 1
Lekts 1
udwal555 bhus
Тоон цуваа
Тоон цуваа
Battur
Lekts 5
Lekts 5
Anhaa8941
MT102 Лекц 9
MT102 Лекц 9
ssuser184df1
Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Battur
Lection 1
Lection 1
Sukhee Bilgee
функцийн өсөх ба буурах нөхцөл
функцийн өсөх ба буурах нөхцөл
doogii2335
Магадлалын онол бодлого
Магадлалын онол бодлого
Temuulen Nyamdorj
Koordinat
Koordinat
tuya9994
8 р анги нийлмэл бодис нэгж
8 р анги нийлмэл бодис нэгж
Naraa_2012
функц шинжлэх график байгуулах
функц шинжлэх график байгуулах
Khishighuu Myanganbuu
Lekts 3
Lekts 3
udwal555 bhus
Урвуу матриц
Урвуу матриц
Bolorma Bolor
Turiin sanhuu l11
Turiin sanhuu l11
Энхтамир Ш
модультай тэгшитгэл тэнцэтгэл биш
модультай тэгшитгэл тэнцэтгэл биш
Nandintsetseg Yadamsuren
трапецийн талбай
трапецийн талбай
CHBD_6684
Интегралчлах үндсэн аргууд
Интегралчлах үндсэн аргууд
Battur
What's hot
(20)
мат 10
мат 10
интеграл
интеграл
математик анализ лекц№4
математик анализ лекц№4
Lekts 1
Lekts 1
Тоон цуваа
Тоон цуваа
Lekts 5
Lekts 5
MT102 Лекц 9
MT102 Лекц 9
Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Lection 1
Lection 1
функцийн өсөх ба буурах нөхцөл
функцийн өсөх ба буурах нөхцөл
Магадлалын онол бодлого
Магадлалын онол бодлого
Koordinat
Koordinat
8 р анги нийлмэл бодис нэгж
8 р анги нийлмэл бодис нэгж
функц шинжлэх график байгуулах
функц шинжлэх график байгуулах
Lekts 3
Lekts 3
Урвуу матриц
Урвуу матриц
Turiin sanhuu l11
Turiin sanhuu l11
модультай тэгшитгэл тэнцэтгэл биш
модультай тэгшитгэл тэнцэтгэл биш
трапецийн талбай
трапецийн талбай
Интегралчлах үндсэн аргууд
Интегралчлах үндсэн аргууд
More from Battur
Тодорхой интегралын хэрэглээ
Тодорхой интегралын хэрэглээ
Battur
Тодорхой интеграл
Тодорхой интеграл
Battur
Бутархай рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга
Бутархай рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга
Battur
Эх функц ба тодорхой биш интеграл
Эх функц ба тодорхой биш интеграл
Battur
Хязгаарыг бодох
Хязгаарыг бодох
Battur
Уламжлал
Уламжлал
Battur
Нэг хувьсагчийн функц
Нэг хувьсагчийн функц
Battur
Матриц, тодорхойлогчийг хэрэглэн шугаман тэгшитгэлийн системийг бодох
Матриц, тодорхойлогчийг хэрэглэн шугаман тэгшитгэлийн системийг бодох
Battur
Матриц болон тодорхойлогч, тэдгээрийг бодох нь
Матриц болон тодорхойлогч, тэдгээрийг бодох нь
Battur
Функцэн цуваа
Функцэн цуваа
Battur
Хялбар интегралчлагдах 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Хялбар интегралчлагдах 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Battur
Ердийн дифференциал тэгшитгэл
Ердийн дифференциал тэгшитгэл
Battur
Олон хувьсагчтай функцийн экстремум
Олон хувьсагчтай функцийн экстремум
Battur
Test sourse MT207
Test sourse MT207
Battur
More from Battur
(14)
Тодорхой интегралын хэрэглээ
Тодорхой интегралын хэрэглээ
Тодорхой интеграл
Тодорхой интеграл
Бутархай рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга
Бутархай рациональ функцийг интегралчлах өвөрмөц арга
Эх функц ба тодорхой биш интеграл
Эх функц ба тодорхой биш интеграл
Хязгаарыг бодох
Хязгаарыг бодох
Уламжлал
Уламжлал
Нэг хувьсагчийн функц
Нэг хувьсагчийн функц
Матриц, тодорхойлогчийг хэрэглэн шугаман тэгшитгэлийн системийг бодох
Матриц, тодорхойлогчийг хэрэглэн шугаман тэгшитгэлийн системийг бодох
Матриц болон тодорхойлогч, тэдгээрийг бодох нь
Матриц болон тодорхойлогч, тэдгээрийг бодох нь
Функцэн цуваа
Функцэн цуваа
Хялбар интегралчлагдах 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Хялбар интегралчлагдах 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
Ердийн дифференциал тэгшитгэл
Ердийн дифференциал тэгшитгэл
Олон хувьсагчтай функцийн экстремум
Олон хувьсагчтай функцийн экстремум
Test sourse MT207
Test sourse MT207
Олон хувьсагчтай функцийн үндэс
1.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2 Îëîí õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí ³íäýñ Ä. Áàòò°ð ÎËÎÍ ÓËÑÛÍ ÓËÀÀÍÁÀÀÒÀÐÛÍ ÈÕ ÑÓÐÃÓÓËÜ 2016.01.15
2.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí 1 Îëîí
õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò 2 Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð 3 (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí óëàìæëàë áà á³òýí äèôôåðåíèéë (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí óëàìæëàë (ÎÕÔ)-èéí á³òýí äèôåðåíöèàë
3.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ Òîäîðõîéëò Õýðýâ áèå áèåíýýñýý ³ë õàìààðàí °°ð÷ë°ãä°õ x, y-ãýñýí õóâüñàõ õýìæèãäýõ³³íèé ýðýìáýëýãäñýí õîñ óòãà (x; y)-ýýñ òîãòîõ (D) ìóæèéí M(x; y) öýã á³õýíä ÿìàð íýãýí õóóëü, ä³ðìýýð òîäîðõîé íýã áîäèò òîî z-èéã õàðãàëçóóëæ áàéâàë z-ûã x, y-õóâüñàã÷ààñ õàìààðñàí, D ìóæ äýýð òîäîðõîéëîãäñîí íýãýí óòãàò õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêö ãýýä z = f (x; y) z = φ(x; y) ãýõ ìýòýýð òýìäýãëýíý.
4.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ Òîäîðõîéëò Õýðýâ áèå áèåíýýñýý ³ë õàìààðàí °°ð÷ë°ãä°õ x, y-ãýñýí õóâüñàõ õýìæèãäýõ³³íèé ýðýìáýëýãäñýí õîñ óòãà (x; y)-ýýñ òîãòîõ (D) ìóæèéí M(x; y) öýã á³õýíä ÿìàð íýãýí õóóëü, ä³ðìýýð òîäîðõîé íýã áîäèò òîî z-èéã õàðãàëçóóëæ áàéâàë z-ûã x, y-õóâüñàã÷ààñ õàìààðñàí, D ìóæ äýýð òîäîðõîéëîãäñîí íýãýí óòãàò õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêö ãýýä z = f (x; y) z = φ(x; y) ãýõ ìýòýýð òýìäýãëýíý. ÎÕÔ-ã °ã°õ àðãóóä
5.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ Òîäîðõîéëò Õýðýâ áèå áèåíýýñýý ³ë õàìààðàí °°ð÷ë°ãä°õ x, y-ãýñýí õóâüñàõ õýìæèãäýõ³³íèé ýðýìáýëýãäñýí õîñ óòãà (x; y)-ýýñ òîãòîõ (D) ìóæèéí M(x; y) öýã á³õýíä ÿìàð íýãýí õóóëü, ä³ðìýýð òîäîðõîé íýã áîäèò òîî z-èéã õàðãàëçóóëæ áàéâàë z-ûã x, y-õóâüñàã÷ààñ õàìààðñàí, D ìóæ äýýð òîäîðõîéëîãäñîí íýãýí óòãàò õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêö ãýýä z = f (x; y) z = φ(x; y) ãýõ ìýòýýð òýìäýãëýíý. ÎÕÔ-ã °ã°õ àðãóóä 1 Õ³ñíýãòýýð 2 Àíàëèòèê àðãààð (ìàòåìàòèêèéí òîìú¼îíû òóñëàìæòàéãààð)
6.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ Æèøýý x y 0 1 2 3 4 5 1 0 1 2 3 4 5 2 0 2 4 6 8 10 3 0 3 6 9 12 15 4 0 4 8 12 16 20 z = x2 + y2
7.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ Òîäîðõîéëò Àíàëèòèê àðãààð òîäîðõîéëîãäñîí z = f (x; y) ôóíêöèéí óòãûã òîäîðõîé áîäèò òîî áàéëãàõ á³õ (x; y)-õîñ óòãóóäûí îëîíëîãèéã z = f (x; y) ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ ãýíý.
8.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ Òîäîðõîéëò Àíàëèòèê àðãààð òîäîðõîéëîãäñîí z = f (x; y) ôóíêöèéí óòãûã òîäîðõîé áîäèò òîî áàéëãàõ á³õ (x; y)-õîñ óòãóóäûí îëîíëîãèéã z = f (x; y) ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ ãýíý. Òîäîðõîéëò Òîäîðõîéëîãäîõ ìóæèéí (x; y)-õîñ óòãà á³õýíä õàðãàëçàõ z-ûí á³õ óòãóóäûí îëîíëîãèéã ôóíêöèéí óòãûí ìóæ ãýíý.
9.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ Æèøýý z = 4x − y ôóíêö íü äóðûí (x; y)-õîñ óòãà á³õýí äýýð òîäîðõîé áîäèò óòãàòàé áàéõ òóë ò³³íèé òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ íü õàâòãàéí á³õ öýã³³ä áàéíà.
10.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ Æèøýý z = 4x − y ôóíêö íü äóðûí (x; y)-õîñ óòãà á³õýí äýýð òîäîðõîé áîäèò óòãàòàé áàéõ òóë ò³³íèé òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ íü õàâòãàéí á³õ öýã³³ä áàéíà. z = 9 − x2 − y2 ôóíêö íü 9 − x2 − y2 ≥ 0 áóþó x2 + y2 ≤ 9 í°õöëèéã õàíãàõ (x; y)-ûí õîñ óòãà á³õýí äýýð òîäîðõîéëîãäîíî. x2 + y2 ≤ 9 íü O(0; 0) öýã äýýð ò°âòýé R = 3 ðàäèóñòàé äóãóéí äîòîðõè á³õ öýã³³ä áîëîí x2 + y2 = 9 òîéðãèéí öýã³³ä áàéíà. Èéìä z = 9 − x2 − y2 ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ íü áèò³³ ìóæ áàéíà.
11.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ Æèøýý z = 4x − y ôóíêö íü äóðûí (x; y)-õîñ óòãà á³õýí äýýð òîäîðõîé áîäèò óòãàòàé áàéõ òóë ò³³íèé òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ íü õàâòãàéí á³õ öýã³³ä áàéíà. z = 9 − x2 − y2 ôóíêö íü 9 − x2 − y2 ≥ 0 áóþó x2 + y2 ≤ 9 í°õöëèéã õàíãàõ (x; y)-ûí õîñ óòãà á³õýí äýýð òîäîðõîéëîãäîíî. x2 + y2 ≤ 9 íü O(0; 0) öýã äýýð ò°âòýé R = 3 ðàäèóñòàé äóãóéí äîòîðõè á³õ öýã³³ä áîëîí x2 + y2 = 9 òîéðãèéí öýã³³ä áàéíà. Èéìä z = 9 − x2 − y2 ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ íü áèò³³ ìóæ áàéíà. z = ln(x + y) ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ íü x + y > 0 áóþó y > −x í°õöëèéã õàíãàñàí (x; y)-õîñ óòãà á³õýí äýýð òîäîðõîéëîãäîíî. Ýíýõ³³ (x; y)-õîñ óòãóóäûí îëîíëîã íü y = −x-øóëóóíààñ äýýø îðøèõ õàâòãàéí á³õ öýã³³äèéí îëîíëîã áàéíà.
12.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ Ñàíàìæ ÎÕÔ-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ íü êîîäèíàòûí õàâòãàé, ýñâýë ò³³íèé õýñýã áàéäàã. 6 - y x y = −x 0 1-ð çóðàã
13.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ Òîäîðõîéëò Áèå áèåíýýñýý ³ë õàìààðàõ x1, x2, ..., xn-ãýñýí n-øèðõýã õóâüñàã÷óóäûí óòãóóäààñ òîãòîõ D ìóæèéí (x1, x2, ..., xn) óòãà á³õýíä ÿìàð íýãýí õóóëü ä³ðìýýð z-ãýñýí õóâüñàõ õýìæèãäýõ³³íèé òîäîðõîé íýã óòãûã õàðãàëçóóëæ áîëæ áàéâàë z-ûã D-ìóæ äýýð òîäîðõîéëîãäñîí (x1, x2, ..., xn) õóâüñàã÷ààñ õàìààðñàí n-õóâüñàã÷òàé íýãýí óòãàò ôóíêö ãýæ íýðëýýä z = f (x1; x2; ...; xn) áóþó z = φ(x1; x2; ...; xn) ãýõ ìýòýýð òýìäýãëýíý. Åð°íõèéä°° õî¼ð áà ò³³íýýñ äýýø òîîíû õóâüñàã÷ààñ õàìààðñàí ôóíêöèéã îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö ãýíý. Æèøýýëáýë W = x2+y2+z2 √ 1+t2 ôóíêö íü x, y, z, t ãýñýí ä°ðâ°í õóâüñàã÷òàé ôóíêö þì.
14.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí
áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Òîäîðõîéëò z = f (x; y), (x; y) ∈ D õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêö àâúÿ. Ýíý ôóíêöèéí x-õóâüñàã÷èä ∆x-°°ð÷ë°ëòèéã (x + ∆x; y) ∈ D áàéõààð °ã÷ y-ûã õýâýýð áàéëãàâàë z-ôóíêö °°ð÷ë°ãä°õ á°ã°°ä ò³³íä õàðãàëçàõ °°ð÷ë°ëò ∆x z = f (x + ∆x; y) − f (x; y) (1) -èéã z-ôóíêöèéí x-ýýð àâñàí òóõàéí °°ð÷ë°ëò ãýíý. “³íèé àäèëààð z-ýýñ y-ýýð àâñàí òóõàéí °°ð÷ë°ëòèéã ∆y z = f (x; y + ∆y) − f (x; y) ãýæ òîäîðõîéëæ áîëíî.
15.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí
áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Òîäîðõîéëò Õýðýâ z = f (x; y) ôóíêöèéí x àðãóìåíòàä ∆x, y-àðãóìåíòàä ∆y-°°ð÷ë°ëòèéã íýãýí çýðýã (x + ∆x; y + ∆y) ∈ D áàéõààð °ã°õ°ä ãàðàõ ôóíêöèéí °°ð÷ë°ëò ∆z = f (x + ∆x; y + ∆y) − f (x; y) -èéã z = f (x; y)-èéí á³òýí °°ð÷ë°ëò ãýíý. Ñàíàìæ ∆z = ∆x z + ∆y z áàéæ áîëíî.
16.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí
áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Æèøýý z = x2 · y ôóíêöèéí õóâüä ∆x z = (x + ∆x)2 y − x2 y = x2 y + 2x · ∆x · y + (∆x)2 y − x2 y = = (2x + ∆x) · ∆x · y ∆y z = x2 (y + ∆y) − x2 y = x2 · ∆y ∆z = (x + ∆x)2 (y + ∆y) − x2 y = [x2 + 2x∆x + (∆x)2 ](y + ∆y) − x2 y = 2x · ∆x · y + (∆x)2 y + x2 ∆y + x2 ∆y +2x∆y∆x + (∆x)2 ∆y áàéõ áà ∆z = ∆x z + ∆y z áàéíà.
17.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí
áà á³òýí °°ð÷ë°ëò 1-èéí ðã°òã°ë “³íèé àäèëààð z = f (x1; x2; ...; xn) ôóíêöèéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëòèéã áè÷âýë ∆x1 = f (x1 + ∆x1, x2, ..., xn) − f (x1, x2, ..., xn) ∆x2 = f (x1, x2 + ∆x2, ..., xn) − f (x1, x2, ..., xn) .................................... ∆xn = f (x1, x2, ..., xn + ∆xn) − f (x1, x2, ..., xn) ∆z = f (x1 + ∆x1; x2 + ∆x2; ...; xn + ∆xn) − f (x1, x2, ..., xn) áàéíà.
18.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí Äàâõàð õÿçãààð Õàâòãàéí
M0 áà M öýãèéí õîîðîíäàõü çàéã ρ(M, M0) = (x − x0)2 + (y − y0)2 ãýæ òýìäýãëüå.
19.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí Äàâõàð õÿçãààð Õàâòãàéí
M0 áà M öýãèéí õîîðîíäàõü çàéã ρ(M, M0) = (x − x0)2 + (y − y0)2 ãýæ òýìäýãëüå. Òîäîðõîéëò M0(x0, y0) öýãèéí õóâüä ρ(M, M0) < ε í°õö°ëèéã õàíãàñàí M(x, y) öýã³³äèéí îëîíëîãèéã M0(x0, y0) öýãèéí ε îð÷èí ãýíý. M0(x0, y0) öýãèéí îð÷èí ãýäýã íü ãåîìåòðèéí ³³äíýýñ M0(x0, y0) öýã äýýð ò°âòýé ε ðàäèóñòàé äóãóéí á³õ öýã³³äèéí îëîíëîã þì.
20.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí Äàâõàð õÿçãààð Òîäîðõîéëò ∀ε
> 0 òîî àâàõàä ρ(M, M0) < δ áàéõ M(x, y) öýã³³äèéí õóâüä |f (M) − A| < ε òýíöýòãýë áèø áèåëýãäýæ áàéõààð δ = δ(ε) > 0 òîî îëäîæ áàéâàë A − const òîîã M → M0(x0, y0) ³åèéí f (x, y) ôóíêöèéí äàâõàð õÿçãààð ãýæ íýðëýýä lim M→M0 f (M) = A áóþó lim x → x0 y → y0 f (x, y) = A (2) ãýæ òýìäýãëýíý.
21.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí Äàâõàð õÿçãààð Æèøýý lim x
→ 0 y → 0 a− √ a2−xy xy õÿçãààðûã îë.
22.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí Äàâõàð õÿçãààð Æèøýý lim x
→ 0 y → 0 a− √ a2−xy xy õÿçãààðûã îë. lim x → 0 y → 0 a− √ a2−xy xy = lim x → 0 y → 0 (a− √ a2−xy)(a+ √ a2−xy) xy·(a+ √ a2−xy) = lim x → 0 y → 0 xy xy·(a+ √ a2−xy) = lim x → 0 y → 0 1 (a+ √ a2−xy) = 1 2a .
23.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí Äàðààëñàí õÿçãààð Òîäîðõîéëò z
= f (x, y), x ∈ X, y ∈ Y ôóíêöèéí õóâüä y-ûã áýõëýýä x → a ³åèéí f (x, y) ôóíêöèéí õÿçãààð íü îðøèí áàéâàë òýð íü åð°íõèéä°° y-ýýñ õàìààðñàí ôóíêö áàéíà. lim x→a f (x, y) = φ(y). Ýíý ôóíêöýýñ y → b ³åèéí õÿçãààð àâáàë lim y→b φ(y) = lim y→b (lim x→a f (x, y)) (3) áîëíî. (4)-èéã äàðààëñàí õÿçãààð ãýæ íýðëýíý. “³íèé àäèëààð lim x→a lim y→b f (x, y) = lim x→a ψ(x) (4) ãýñýí äàðààëñàí õÿçãààðûí òóõàé ÿðüæ áîëíî.
24.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí Äàðààëñàí õÿçãààð Æèøýý f
(x, y) = 5x−3y+x2+y2 x+y ôóíêöèéí x → 0, y → 0 ³åèéí á³õ áîëîìæò äàðààëñàí õÿçãààðûã îë.
25.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí Äàðààëñàí õÿçãààð Æèøýý f
(x, y) = 5x−3y+x2+y2 x+y ôóíêöèéí x → 0, y → 0 ³åèéí á³õ áîëîìæò äàðààëñàí õÿçãààðûã îë. lim y→0 lim x→0 5x − 3y + x2 + y2 x + y = lim y→0 (y − 3) = −3 lim x→0 lim y→0 5x − 3y + x2 + y2 x + y = lim x→0 5x + x2 x = 5.
26.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é
÷àíàð Òîäîðõîéëò Õýðýâ M0(x0, y0) öýã íü f (x, y) ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæèéí öýã áàéõ áà lim x → x0 y → y0 f (x, y) = f (x0, y0) (5) òýíöýòãýë áèåëýãäýæ áàéâàë z = f (x, y) ôóíêöèéã M0(x0, y0) öýã äýýð òàñðàëòã³é ôóíêö ãýíý. Áèä x = x0 + ∆x, y = y0 + ∆y ãýâýë (6)-èéã lim ∆x → 0 ∆y → 0 f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) = f (x0, y0) (6)
27.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí
óëàìæëàë Òîäîðõîéëò z = f (x; y) ôóíêöèéí M0(x0; y0) öýã äýýðõ x-ýýð àâñàí òóõàéí °°ð÷ë°ëòèéã àðãóìåíò x-èéí °°ð÷ë°ëò ∆x-ä õàðüöóóëñàí õàðüöàà ∆x z ∆x -ààñ ∆x → 0 ³åèéí õÿçãààð àâàõàä ò°ãñã°ë°ã òîî ãàðàõ áîë ýíý õÿçãààðûã f (x; y) ôóíêöýýñ M0(x0; y0) öýã äýýðõ x-ýýð àâñàí òóõàéí óëàìæëàë ãýýä ∂z ∂x ; ∂f (x0; y0) ∂x ; zx ; fx (x0; y0) ãýæ òýìäýãëýíý.
28.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí
óëàìæëàë Òîäîðõîéëò °ð°°ð õýëáýë: ∂z ∂x = lim ∆→0 ∆x z ∆x = lim ∆x→0 f (x0 + ∆x; y0) − f (x0; y0) ∆x (7)
29.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí
óëàìæëàë Òîäîðõîéëò °ð°°ð õýëáýë: ∂z ∂x = lim ∆→0 ∆x z ∆x = lim ∆x→0 f (x0 + ∆x; y0) − f (x0; y0) ∆x (7) ∂z ∂y = lim ∆→0 ∆y z ∆y = lim ∆y→0 f (x0; y0 + ∆y) − f (x0; y0) ∆y (8)
30.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí
óëàìæëàë Òîäîðõîéëò °ð°°ð õýëáýë: ∂z ∂x = lim ∆→0 ∆x z ∆x = lim ∆x→0 f (x0 + ∆x; y0) − f (x0; y0) ∆x (7) ∂z ∂y = lim ∆→0 ∆y z ∆y = lim ∆y→0 f (x0; y0 + ∆y) − f (x0; y0) ∆y (8) Æèøýý z = x2y2 + ln(5x + 4y) + 1 ôóíêöýýñ x, y-àðãóìåíòóóäààð àâñàí òóõàéí óëàìæëàëóóäûã îë.
31.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí
óëàìæëàë Òîäîðõîéëò °ð°°ð õýëáýë: ∂z ∂x = lim ∆→0 ∆x z ∆x = lim ∆x→0 f (x0 + ∆x; y0) − f (x0; y0) ∆x (7) ∂z ∂y = lim ∆→0 ∆y z ∆y = lim ∆y→0 f (x0; y0 + ∆y) − f (x0; y0) ∆y (8) Æèøýý z = x2y2 + ln(5x + 4y) + 1 ôóíêöýýñ x, y-àðãóìåíòóóäààð àâñàí òóõàéí óëàìæëàëóóäûã îë. ∂z ∂x = 2xy2 + 5 5x+4y ; ∂z ∂y = 2x2y + 4 5x+4y
32.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí (ÎÕÔ)-èéí á³òýí
äèôåðåíöèàë Òîäîðõîéëò Õýðýâ z = f (x; y) ôóíêöèéí M0(x0; y0) öýã äýýðõ á³òýí °°ð÷ë°ëò íü (2) õýëáýðòýé áè÷èãäýõ áîë z = f (x; y)-èéã M0(x0; y0) öýã äýýð äèôôåðåíöèàë÷ëàãäàõ ôóíêö ãýæ íýðëýõ áà ýíýõ³³ °°ð÷ë°ëòèéí ∆x, ∆y-òàé õàðüöóóëàõàä øóãàìàí áàéõ õýñãèéã f (x; y) ôóíêöèéí á³òýí äèôôåðåíöèàë ãýíý. dz = ∂f ∂x dx + ∂f ∂y dy (9)
33.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí (ÎÕÔ)-èéí á³òýí
äèôåðåíöèàë Òîäîðõîéëò (9)-èéí °ðã°òã°ë z = f (x1; x2; ...; xn) ãýñýí n õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí á³òýí äèôôåðåíöèàë: dz = ∂f ∂x1 dx1 + ∂f ∂x2 dx2 + · · · + ∂f ∂xn dxn áàéíà.
34.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ- 2 Àãóóëãà Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ) (ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð Äàâõàð õÿçãààð Äàðààëñàí õÿçãààð (ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð (ÎÕÔ)-èéí (ÎÕÔ)-èéí á³òýí
äèôåðåíöèàë Òîäîðõîéëò (9)-èéí °ðã°òã°ë z = f (x1; x2; ...; xn) ãýñýí n õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí á³òýí äèôôåðåíöèàë: dz = ∂f ∂x1 dx1 + ∂f ∂x2 dx2 + · · · + ∂f ∂xn dxn áàéíà. Æèøýý u = xy − y x + zx + z2 ôóíêöèéí á³òýí äèôôåðåíöèàëûã îë. ∂u ∂x = y + y x2 + z, ∂u ∂y = x − 1 x , ∂u ∂z = x + 2z. dz = (y + y x2 + z)dx + (x − 1 x )dy + (x + 2z)dz.