Нэг хувьсагчтай функцийн хязгаарыг бодох, тодорхойгүй хэлбэрийг шийдэх нь

1. Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò
õÿçãààðóóä
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð
Óëààíáààòàð èõ ñóðãóóëü
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

2. Öýã äýýðõ ôóíêöèéí õÿçãààð
Òîäîðõîéëîëò.
Õýðýâ
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x : 0 < |x − a| < δ(ε) ⇔ |f (x) − A| < ε
áîë A òîîã y = f (x) ôóíêöèéí a öýã äýõ õÿçãààð ãýæ íýðëýýä
lim
x→a
f (x) = A
ãýæ òýìäýãëýíý.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

3. Öýã äýýðõ ôóíêöèéí õÿçãààð
Òîäîðõîéëîëò.
Õýðýâ
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x : 0 < |x − a| < δ(ε) ⇔ |f (x) − A| < ε
áîë A òîîã y = f (x) ôóíêöèéí a öýã äýõ õÿçãààð ãýæ íýðëýýä
lim
x→a
f (x) = A
ãýæ òýìäýãëýíý.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

4. Öýã äýýðõ ôóíêöèéí õÿçãààð
Òîäîðõîéëîëò.
Õýðýâ
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x : 0 < |x − a| < δ(ε) ⇔ |f (x) − A| < ε
áîë A òîîã y = f (x) ôóíêöèéí a öýã äýõ õÿçãààð ãýæ íýðëýýä
lim
x→a
f (x) = A
ãýæ òýìäýãëýíý.
Ýíý òîäîðõîéëîëòûí óòãà: x öýã a öýã ð³³ ä°õ°õ°ä f (x)
ôóíêöèéí óòãà A òîî ðóó ä°õí° ãýñýí ³ã.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

5. Öýã äýýðõ ôóíêöèéí õÿçãààð
Òîäîðõîéëîëò.
Õýðýâ
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 ∀x : 0 < |x − a| < δ(ε) ⇔ |f (x) − A| < ε
áîë A òîîã y = f (x) ôóíêöèéí a öýã äýõ õÿçãààð ãýæ íýðëýýä
lim
x→a
f (x) = A
ãýæ òýìäýãëýíý.
Ýíý òîäîðõîéëîëòûí óòãà: x öýã a öýã ð³³ ä°õ°õ°ä f (x)
ôóíêöèéí óòãà A òîî ðóó ä°õí° ãýñýí ³ã.
Ýíý òîäîðõîéëîëòûã ýïñèëîí-äåëüòà -èéí õýë äýýðõ
òîäîðõîéëîëò áóþó Êîøèéí òîäîðõîéëîëò ãýíý.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

6. Õÿçãààðã³é äàõü ôóíêöèéí õÿçãààð
Õýðýâ ôóíêöèéí õÿçãààð äýýðýýñýý (äîîðîîñîî) çààãëàãäààã³é
áîë ôóíêöèéí x → +∞ (x → −∞) ³å äýõ ò°ë°â áàéäëûã
ñîíèðõîæ áîëíî.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

7. Õÿçãààðã³é äàõü ôóíêöèéí õÿçãààð
Õýðýâ ôóíêöèéí õÿçãààð äýýðýýñýý (äîîðîîñîî) çààãëàãäààã³é
áîë ôóíêöèéí x → +∞ (x → −∞) ³å äýõ ò°ë°â áàéäëûã
ñîíèðõîæ áîëíî.
Òîäîðõîéëîëò.
Õýðýâ
∀ε > 0 ∃M(ε) ∀x : x ≥ M ⇔ |f (x) − A| < ε
(∀ε > 0 ∃M(ε) ∀x : x ≤ −M ⇔ |f (x) − A| < ε)
áîë A òîîã f (x) ôóíêöèéí x → +∞ (x → −∞) ³åèéí õÿçãààð
ãýýä
lim
x→+∞
f (x) = A, ( lim
x→−∞
f (x) = A)
ãýæ òýìäýãëýíý.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

8. Æèøýý. y = x2, x → 1 áîë lim
x→1
x2 = 1 áîëîõûã áàòàë.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

9. Æèøýý. y = x2, x → 1 áîë lim
x→1
x2 = 1 áîëîõûã áàòàë.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

10. Æèøýý. y = x2, x → 1 áîë lim
x→1
x2 = 1 áîëîõûã áàòàë.
∀ε > 0 õóâüä |x2 − 1| < ε, |(x − 1)(x + 1)| < ε áóþó
|x − 1| <
ε
|x + 1|
.
Õÿçãààðò øèëæèõýä x íü a öýãò îéð òóë 0 < x < 2 áóþó
|x + 1| = x + 1, 1 < x + 1 < 3,
1
3
<
1
x + 1
< 1 ãýæ ³çýæ áîëíî.
Òýãâýë |x − 1| < ε áîëíî. .õ: δ(ε) = ε ãýæ ñîíãîæ áîëíî.
f (x) ôóíêöèéí x → a ³åèéí õÿçãààð îðøèí áàéíà ãýäãèéã
áàòëàõûí òóëä äóðûí ε òîîíû õóâüä δ(ε) òîî îëäîíî ãýæ
áàòëàõàä õàíãàëòòàé.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

11. Æèøýý. y = x2, x → 1 áîë lim
x→1
x2 = 1 áîëîõûã áàòàë.
∀ε > 0 õóâüä |x2 − 1| < ε, |(x − 1)(x + 1)| < ε áóþó
|x − 1| <
ε
|x + 1|
.
Õÿçãààðò øèëæèõýä x íü a öýãò îéð òóë 0 < x < 2 áóþó
|x + 1| = x + 1, 1 < x + 1 < 3,
1
3
<
1
x + 1
< 1 ãýæ ³çýæ áîëíî.
Òýãâýë |x − 1| < ε áîëíî. .õ: δ(ε) = ε ãýæ ñîíãîæ áîëíî.
f (x) ôóíêöèéí x → a ³åèéí õÿçãààð îðøèí áàéíà ãýäãèéã
áàòëàõûí òóëä äóðûí ε òîîíû õóâüä δ(ε) òîî îëäîíî ãýæ
áàòëàõàä õàíãàëòòàé.
Æèøýý. y =
x + 1
x
, x → ∞ áîë lim
x→∞
x + 1
x
= 1 ãýæ áàòàë.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

12. Æèøýý. y = x2, x → 1 áîë lim
x→1
x2 = 1 áîëîõûã áàòàë.
∀ε > 0 õóâüä |x2 − 1| < ε, |(x − 1)(x + 1)| < ε áóþó
|x − 1| <
ε
|x + 1|
.
Õÿçãààðò øèëæèõýä x íü a öýãò îéð òóë 0 < x < 2 áóþó
|x + 1| = x + 1, 1 < x + 1 < 3,
1
3
<
1
x + 1
< 1 ãýæ ³çýæ áîëíî.
Òýãâýë |x − 1| < ε áîëíî. .õ: δ(ε) = ε ãýæ ñîíãîæ áîëíî.
f (x) ôóíêöèéí x → a ³åèéí õÿçãààð îðøèí áàéíà ãýäãèéã
áàòëàõûí òóëä äóðûí ε òîîíû õóâüä δ(ε) òîî îëäîíî ãýæ
áàòëàõàä õàíãàëòòàé.
Æèøýý. y =
x + 1
x
, x → ∞ áîë lim
x→∞
x + 1
x
= 1 ãýæ áàòàë.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

13. Æèøýý. y = x2, x → 1 áîë lim
x→1
x2 = 1 áîëîõûã áàòàë.
∀ε > 0 õóâüä |x2 − 1| < ε, |(x − 1)(x + 1)| < ε áóþó
|x − 1| <
ε
|x + 1|
.
Õÿçãààðò øèëæèõýä x íü a öýãò îéð òóë 0 < x < 2 áóþó
|x + 1| = x + 1, 1 < x + 1 < 3,
1
3
<
1
x + 1
< 1 ãýæ ³çýæ áîëíî.
Òýãâýë |x − 1| < ε áîëíî. .õ: δ(ε) = ε ãýæ ñîíãîæ áîëíî.
f (x) ôóíêöèéí x → a ³åèéí õÿçãààð îðøèí áàéíà ãýäãèéã
áàòëàõûí òóëä äóðûí ε òîîíû õóâüä δ(ε) òîî îëäîíî ãýæ
áàòëàõàä õàíãàëòòàé.
Æèøýý. y =
x + 1
x
, x → ∞ áîë lim
x→∞
x + 1
x
= 1 ãýæ áàòàë.
∀ε > 0 õóâüä |
x + 1
x
− 1| < ε ⇒
1
x
< ε ⇒ |x| >
1
ε
. .õ:
M(ε) =
1
ε
.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

14. Æèøýý. y = x2, x → 1 áîë lim
x→1
x2 = 1 áîëîõûã áàòàë.
∀ε > 0 õóâüä |x2 − 1| < ε, |(x − 1)(x + 1)| < ε áóþó
|x − 1| <
ε
|x + 1|
.
Õÿçãààðò øèëæèõýä x íü a öýãò îéð òóë 0 < x < 2 áóþó
|x + 1| = x + 1, 1 < x + 1 < 3,
1
3
<
1
x + 1
< 1 ãýæ ³çýæ áîëíî.
Òýãâýë |x − 1| < ε áîëíî. .õ: δ(ε) = ε ãýæ ñîíãîæ áîëíî.
f (x) ôóíêöèéí x → a ³åèéí õÿçãààð îðøèí áàéíà ãýäãèéã
áàòëàõûí òóëä äóðûí ε òîîíû õóâüä δ(ε) òîî îëäîíî ãýæ
áàòëàõàä õàíãàëòòàé.
Æèøýý. y =
x + 1
x
, x → ∞ áîë lim
x→∞
x + 1
x
= 1 ãýæ áàòàë.
∀ε > 0 õóâüä |
x + 1
x
− 1| < ε ⇒
1
x
< ε ⇒ |x| >
1
ε
. .õ:
M(ε) =
1
ε
.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

15. Æèøýý. y = sin
1
x
, x → 0 ³åä lim
x→0
sin
1
x
õÿçãààð îðøèõã³é
ãýäãèéã áàòàë.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

16. Æèøýý. y = sin
1
x
, x → 0 ³åä lim
x→0
sin
1
x
õÿçãààð îðøèõã³é
ãýäãèéã áàòàë.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

17. Æèøýý. y = sin
1
x
, x → 0 ³åä lim
x→0
sin
1
x
õÿçãààð îðøèõã³é
ãýäãèéã áàòàë.
2 äàðààëàë àâ÷ ³çüå.
xn =
1
πn
, lim
n→∞
xn = 0, f (xn) = sin(nπ) = 0, lim
n→∞
f (xn) = 0;
xn =
2
π + 4πn
, lim
n→∞
xn = 0,
f (xn) = sin(π
2 + 2nπ) = 1, lim
n→∞
f (xn) = 1.
Àðãóìåíòûí óòãà òýã ð³³ íèéëäýã õî¼ð °°ð äàðààëëûí õàðãàëçàõ
ôóíêöèéí óòãóóäûí äàðààëàë õî¼ð °°ð õÿçãààðòàé òóë lim
x→0
sin
1
x
õÿçãààð îðøèõã³é.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

18. Æèøýý. y = sin
1
x
, x → 0 ³åä lim
x→0
sin
1
x
õÿçãààð îðøèõã³é
ãýäãèéã áàòàë.
2 äàðààëàë àâ÷ ³çüå.
xn =
1
πn
, lim
n→∞
xn = 0, f (xn) = sin(nπ) = 0, lim
n→∞
f (xn) = 0;
xn =
2
π + 4πn
, lim
n→∞
xn = 0,
f (xn) = sin(π
2 + 2nπ) = 1, lim
n→∞
f (xn) = 1.
Àðãóìåíòûí óòãà òýã ð³³ íèéëäýã õî¼ð °°ð äàðààëëûí õàðãàëçàõ
ôóíêöèéí óòãóóäûí äàðààëàë õî¼ð °°ð õÿçãààðòàé òóë lim
x→0
sin
1
x
õÿçãààð îðøèõã³é.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

19. Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

20. ð°°ñã°ë õÿçãààðóóä
Òîäîðõîéëîëò.
Õýðýâ
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 ∀x : 0 < x−a < δ(ε) ⇔ |f (x)−A| < ε
áîë A òîîã y = f (x) ôóíêöèéí x → a ³åèéí áàðóóí °ð°°ñã°ë
õÿçãààð ãýýä lim
x→a+0
f (x) = A ãýæ òýìäýãëýíý.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

21. ð°°ñã°ë õÿçãààðóóä
Òîäîðõîéëîëò.
Õýðýâ
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 ∀x : 0 < x−a < δ(ε) ⇔ |f (x)−A| < ε
áîë A òîîã y = f (x) ôóíêöèéí x → a ³åèéí áàðóóí °ð°°ñã°ë
õÿçãààð ãýýä lim
x→a+0
f (x) = A ãýæ òýìäýãëýíý.
Òîäîðõîéëîëò.
Õýðýâ
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 ∀x : −δ(ε) < x−a < 0 ⇔ |f (x)−A| < ε
áîë A òîîã y = f (x) ôóíêöèéí x → a ³åèéí ç³³í °ð°°ñã°ë
õÿçãààð ãýýä lim
x→a−0
f (x) = A ãýæ òýìäýãëýíý.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

22. Æèøýý.
y = sgnx, lim
x→+0
sgnx = 1, lim
x→−0
sgnx = −1.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

23. Æèøýý.
y = sgnx, lim
x→+0
sgnx = 1, lim
x→−0
sgnx = −1.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

24. Æèøýý.
y = sgnx, lim
x→+0
sgnx = 1, lim
x→−0
sgnx = −1.
Òåîðåì.
Õýðýâ x íü a öýã ð³³ òýì³³ëýõ ³åèéí áàðóóí áà ç³³í °ð°°ñã°ë
õÿçãààðóóä îðøèí áàéäàã á°ã°°ä òýíö³³ áîë y = f (x) ôóíêö
x = a öýãò õÿçãààðòàé áàéíà. .õ:
lim
x→a+0
f (x) = lim
x→a−0
f (x) ⇔ lim
x→a
f (x) = A.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

25. Æèøýý.
y = sgnx, lim
x→+0
sgnx = 1, lim
x→−0
sgnx = −1.
Òåîðåì.
Õýðýâ x íü a öýã ð³³ òýì³³ëýõ ³åèéí áàðóóí áà ç³³í °ð°°ñã°ë
õÿçãààðóóä îðøèí áàéäàã á°ã°°ä òýíö³³ áîë y = f (x) ôóíêö
x = a öýãò õÿçãààðòàé áàéíà. .õ:
lim
x→a+0
f (x) = lim
x→a−0
f (x) ⇔ lim
x→a
f (x) = A.
Æèøýý. lim
x→2
x2 + 5
x2 − 3
õÿçãààðûã áîä.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

26. Æèøýý.
y = sgnx, lim
x→+0
sgnx = 1, lim
x→−0
sgnx = −1.
Òåîðåì.
Õýðýâ x íü a öýã ð³³ òýì³³ëýõ ³åèéí áàðóóí áà ç³³í °ð°°ñã°ë
õÿçãààðóóä îðøèí áàéäàã á°ã°°ä òýíö³³ áîë y = f (x) ôóíêö
x = a öýãò õÿçãààðòàé áàéíà. .õ:
lim
x→a+0
f (x) = lim
x→a−0
f (x) ⇔ lim
x→a
f (x) = A.
Æèøýý. lim
x→2
x2 + 5
x2 − 3
õÿçãààðûã áîä.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

27. Æèøýý.
y = sgnx, lim
x→+0
sgnx = 1, lim
x→−0
sgnx = −1.
Òåîðåì.
Õýðýâ x íü a öýã ð³³ òýì³³ëýõ ³åèéí áàðóóí áà ç³³í °ð°°ñã°ë
õÿçãààðóóä îðøèí áàéäàã á°ã°°ä òýíö³³ áîë y = f (x) ôóíêö
x = a öýãò õÿçãààðòàé áàéíà. .õ:
lim
x→a+0
f (x) = lim
x→a−0
f (x) ⇔ lim
x→a
f (x) = A.
Æèøýý. lim
x→2
x2 + 5
x2 − 3
õÿçãààðûã áîä.
f (x) =
x2 + 5
x2 − 3
ôóíêö x0 = 2 öýãò òîäîðõîéëîãäñîí áàéíà.
f (2) =
22 + 5
22 − 3
=
9
1
= 9.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

28. Æèøýý.
y = sgnx, lim
x→+0
sgnx = 1, lim
x→−0
sgnx = −1.
Òåîðåì.
Õýðýâ x íü a öýã ð³³ òýì³³ëýõ ³åèéí áàðóóí áà ç³³í °ð°°ñã°ë
õÿçãààðóóä îðøèí áàéäàã á°ã°°ä òýíö³³ áîë y = f (x) ôóíêö
x = a öýãò õÿçãààðòàé áàéíà. .õ:
lim
x→a+0
f (x) = lim
x→a−0
f (x) ⇔ lim
x→a
f (x) = A.
Æèøýý. lim
x→2
x2 + 5
x2 − 3
õÿçãààðûã áîä.
f (x) =
x2 + 5
x2 − 3
ôóíêö x0 = 2 öýãò òîäîðõîéëîãäñîí áàéíà.
f (2) =
22 + 5
22 − 3
=
9
1
= 9.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

29. Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

30. Æèøýý. lim
x→∞
x3 + x
x3 − 3x2 + 1
õÿçãààðûã áîä.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

31. Æèøýý. lim
x→∞
x3 + x
x3 − 3x2 + 1
õÿçãààðûã áîä.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

32. Æèøýý. lim
x→∞
x3 + x
x3 − 3x2 + 1
õÿçãààðûã áîä.
Ýíä
∞
∞ òîäîðõîé áóñ õýëáýð òóë õ³ðòâýð áà õóâèàðûí õàìãèéí
èõ çýðýãòýä õóâààâàë: .õ: x3-ä õóâààâàë:
lim
x→∞
x3 + x
x3 − 3x2 + 1
=
∞
∞
= lim
x→∞
1 + 1/x2
1 − 3/x + 1/x3
=
1 + 0
1 − 0 + 0
= 1.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

33. Æèøýý. lim
x→∞
x3 + x
x3 − 3x2 + 1
õÿçãààðûã áîä.
Ýíä
∞
∞ òîäîðõîé áóñ õýëáýð òóë õ³ðòâýð áà õóâèàðûí õàìãèéí
èõ çýðýãòýä õóâààâàë: .õ: x3-ä õóâààâàë:
lim
x→∞
x3 + x
x3 − 3x2 + 1
=
∞
∞
= lim
x→∞
1 + 1/x2
1 − 3/x + 1/x3
=
1 + 0
1 − 0 + 0
= 1.
Æèøýý. lim
x→0
√
9 + 5x + 4x2 − 3
x
õÿçãààðûã áîä.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

34. Æèøýý. lim
x→∞
x3 + x
x3 − 3x2 + 1
õÿçãààðûã áîä.
Ýíä
∞
∞ òîäîðõîé áóñ õýëáýð òóë õ³ðòâýð áà õóâèàðûí õàìãèéí
èõ çýðýãòýä õóâààâàë: .õ: x3-ä õóâààâàë:
lim
x→∞
x3 + x
x3 − 3x2 + 1
=
∞
∞
= lim
x→∞
1 + 1/x2
1 − 3/x + 1/x3
=
1 + 0
1 − 0 + 0
= 1.
Æèøýý. lim
x→0
√
9 + 5x + 4x2 − 3
x
õÿçãààðûã áîä.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

35. Æèøýý. lim
x→∞
x3 + x
x3 − 3x2 + 1
õÿçãààðûã áîä.
Ýíä
∞
∞ òîäîðõîé áóñ õýëáýð òóë õ³ðòâýð áà õóâèàðûí õàìãèéí
èõ çýðýãòýä õóâààâàë: .õ: x3-ä õóâààâàë:
lim
x→∞
x3 + x
x3 − 3x2 + 1
=
∞
∞
= lim
x→∞
1 + 1/x2
1 − 3/x + 1/x3
=
1 + 0
1 − 0 + 0
= 1.
Æèøýý. lim
x→0
√
9 + 5x + 4x2 − 3
x
õÿçãààðûã áîä.
(0/0) òîäîðõîé áóñ õýëáýð ãàðàõ òóë áóòàðõàéí õ³ðòâýð õóâèàðûã
ÿçãóóðòàé èëýðõèéëëèéí õîñìîãîîð ³ðæ³³ëæ õóâààâàë:
lim
x→0
√
9 + 5x + 4x2 − 3
x
=
0
0
= lim
x→0
(
√
9 + 5x + 4x2)2 − 32
x · (
√
9 + 5x + 4x2 + 3)
=
= lim
x→0
9 + 5x + 4x2 − 9
x · (
√
9 + 5x + 4x2 + 3)
= lim
x→0
5x + 4x
√
9 + 5x + 4x2 + 3
=
=
5 + 0
√
9 + 0 + 0 + 3
=
5
3 + 3
=
5
6
.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

36. Æèøýý. lim
x→∞
x3 + x
x3 − 3x2 + 1
õÿçãààðûã áîä.
Ýíä
∞
∞ òîäîðõîé áóñ õýëáýð òóë õ³ðòâýð áà õóâèàðûí õàìãèéí
èõ çýðýãòýä õóâààâàë: .õ: x3-ä õóâààâàë:
lim
x→∞
x3 + x
x3 − 3x2 + 1
=
∞
∞
= lim
x→∞
1 + 1/x2
1 − 3/x + 1/x3
=
1 + 0
1 − 0 + 0
= 1.
Æèøýý. lim
x→0
√
9 + 5x + 4x2 − 3
x
õÿçãààðûã áîä.
(0/0) òîäîðõîé áóñ õýëáýð ãàðàõ òóë áóòàðõàéí õ³ðòâýð õóâèàðûã
ÿçãóóðòàé èëýðõèéëëèéí õîñìîãîîð ³ðæ³³ëæ õóâààâàë:
lim
x→0
√
9 + 5x + 4x2 − 3
x
=
0
0
= lim
x→0
(
√
9 + 5x + 4x2)2 − 32
x · (
√
9 + 5x + 4x2 + 3)
=
= lim
x→0
9 + 5x + 4x2 − 9
x · (
√
9 + 5x + 4x2 + 3)
= lim
x→0
5x + 4x
√
9 + 5x + 4x2 + 3
=
=
5 + 0
√
9 + 0 + 0 + 3
=
5
3 + 3
=
5
6
.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

37. Æèøýý. lim
x→+∞
( x2 + 1 − x) õÿçãààðûã áîä.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

38. Æèøýý. lim
x→+∞
( x2 + 1 − x) õÿçãààðûã áîä.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

39. Æèøýý. lim
x→+∞
( x2 + 1 − x) õÿçãààðûã áîä.
Õÿçãààðò øèëæâýë (∞ − ∞) ãýñýí òîäîðõîé áóñ õýëáýð ãàðàõ
òóë õ³ðòâýðèéã õîñìîãîîð ³ðæ³³ëæ õóâààâàë:
lim
x→+∞
( x2 + 1 − x) = lim
x→+∞
(
√
x2 + 1)2 − x2
√
x2 + 1 + x
=
lim
x→+∞
x2 + 1 − x2
√
x2 + 1 + x
= lim
x→+∞
1
√
x2 + 1 + x
= 0.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

40. Æèøýý. lim
x→+∞
( x2 + 1 − x) õÿçãààðûã áîä.
Õÿçãààðò øèëæâýë (∞ − ∞) ãýñýí òîäîðõîé áóñ õýëáýð ãàðàõ
òóë õ³ðòâýðèéã õîñìîãîîð ³ðæ³³ëæ õóâààâàë:
lim
x→+∞
( x2 + 1 − x) = lim
x→+∞
(
√
x2 + 1)2 − x2
√
x2 + 1 + x
=
lim
x→+∞
x2 + 1 − x2
√
x2 + 1 + x
= lim
x→+∞
1
√
x2 + 1 + x
= 0.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

41. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä
Õÿçãààðûí îíîëä ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä ãýæ íýðëýãäýõ õî¼ð
õÿçãààð èõýýõýí ÷óõàë ³³ðýãòýé.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

42. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä
Õÿçãààðûí îíîëä ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä ãýæ íýðëýãäýõ õî¼ð
õÿçãààð èõýýõýí ÷óõàë ³³ðýãòýé.
Íýãä³ãýýð ãàéõàìøèãò õÿçãààð
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

43. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä
Õÿçãààðûí îíîëä ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä ãýæ íýðëýãäýõ õî¼ð
õÿçãààð èõýýõýí ÷óõàë ³³ðýãòýé.
Íýãä³ãýýð ãàéõàìøèãò õÿçãààð
Òåîðåì.
y =
sin x
x
ôóíêö x → 0 ³åä 1-òýé òýíö³³ õÿçãààðòàé áàéíà. .õ:
lim
x→0
sin x
x
= 1
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

44. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä
Õÿçãààðûí îíîëä ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä ãýæ íýðëýãäýõ õî¼ð
õÿçãààð èõýýõýí ÷óõàë ³³ðýãòýé.
Íýãä³ãýýð ãàéõàìøèãò õÿçãààð
Òåîðåì.
y =
sin x
x
ôóíêö x → 0 ³åä 1-òýé òýíö³³ õÿçãààðòàé áàéíà. .õ:
lim
x→0
sin x
x
= 1
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

45. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä
Õÿçãààðûí îíîëä ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä ãýæ íýðëýãäýõ õî¼ð
õÿçãààð èõýýõýí ÷óõàë ³³ðýãòýé.
Íýãä³ãýýð ãàéõàìøèãò õÿçãààð
Òåîðåì.
y =
sin x
x
ôóíêö x → 0 ³åä 1-òýé òýíö³³ õÿçãààðòàé áàéíà. .õ:
lim
x→0
sin x
x
= 1
Ñàíàìæ: 1-ð ãàéõàìøèãò õÿçãààð
0
0
ãýñýí òîäîðõîé áóñ
õýëáýðòýé áàéíà.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

46. Æèøýý. lim
x→0
sin 2x
x
õÿçãààðûã áîä.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

47. Æèøýý. lim
x→0
sin 2x
x
õÿçãààðûã áîä.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

48. Æèøýý. lim
x→0
sin 2x
x
õÿçãààðûã áîä.
Õýðýâ x → 0 áîë 2x → 0 òóë
lim
x→0
sin 2x
x
=
0
0
= lim
x→0
2 · sin 2x
2 · x
= 2 · lim
x→0
sin 2x
2x
= 2 · 1 = 2.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

49. Æèøýý. lim
x→0
sin 2x
x
õÿçãààðûã áîä.
Õýðýâ x → 0 áîë 2x → 0 òóë
lim
x→0
sin 2x
x
=
0
0
= lim
x→0
2 · sin 2x
2 · x
= 2 · lim
x→0
sin 2x
2x
= 2 · 1 = 2.
Æèøýý. lim
x→0
tgx
x
õÿçãààðûã áîä.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

50. Æèøýý. lim
x→0
sin 2x
x
õÿçãààðûã áîä.
Õýðýâ x → 0 áîë 2x → 0 òóë
lim
x→0
sin 2x
x
=
0
0
= lim
x→0
2 · sin 2x
2 · x
= 2 · lim
x→0
sin 2x
2x
= 2 · 1 = 2.
Æèøýý. lim
x→0
tgx
x
õÿçãààðûã áîä.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

51. Æèøýý. lim
x→0
sin 2x
x
õÿçãààðûã áîä.
Õýðýâ x → 0 áîë 2x → 0 òóë
lim
x→0
sin 2x
x
=
0
0
= lim
x→0
2 · sin 2x
2 · x
= 2 · lim
x→0
sin 2x
2x
= 2 · 1 = 2.
Æèøýý. lim
x→0
tgx
x
õÿçãààðûã áîä.
lim
x→0
tgx
x
=
0
0
= lim
x→0
sin x
x
·
1
cos x
= lim
x→0
sin x
x
· lim
x→0
1
cos x
= 1 · 1 = 1.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

52. Æèøýý. lim
x→0
sin 2x
x
õÿçãààðûã áîä.
Õýðýâ x → 0 áîë 2x → 0 òóë
lim
x→0
sin 2x
x
=
0
0
= lim
x→0
2 · sin 2x
2 · x
= 2 · lim
x→0
sin 2x
2x
= 2 · 1 = 2.
Æèøýý. lim
x→0
tgx
x
õÿçãààðûã áîä.
lim
x→0
tgx
x
=
0
0
= lim
x→0
sin x
x
·
1
cos x
= lim
x→0
sin x
x
· lim
x→0
1
cos x
= 1 · 1 = 1.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

53. Õî¼ðäóãààð ãàéõàìøèãò õÿçãààð
Òåîðåì.
y = 1 +
1
x
x
ôóíêö x → ∞ ³åä e òîîòîé òýíö³³ áàéíà. .õ:
lim
x→∞
1 +
1
x
x
= e.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

54. Õî¼ðäóãààð ãàéõàìøèãò õÿçãààð
Òåîðåì.
y = 1 +
1
x
x
ôóíêö x → ∞ ³åä e òîîòîé òýíö³³ áàéíà. .õ:
lim
x→∞
1 +
1
x
x
= e.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

55. Õî¼ðäóãààð ãàéõàìøèãò õÿçãààð
Òåîðåì.
y = 1 +
1
x
x
ôóíêö x → ∞ ³åä e òîîòîé òýíö³³ áàéíà. .õ:
lim
x→∞
1 +
1
x
x
= e.
Ñàíàìæ:
lim
x→0
(1 + x)
1
x = e.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

56. Õî¼ðäóãààð ãàéõàìøèãò õÿçãààð
Òåîðåì.
y = 1 +
1
x
x
ôóíêö x → ∞ ³åä e òîîòîé òýíö³³ áàéíà. .õ:
lim
x→∞
1 +
1
x
x
= e.
Ñàíàìæ:
lim
x→0
(1 + x)
1
x = e.
“íýíäýý, ýíý õÿçãààðò t =
1
x
îðëóóëãà õèéâýë
lim
x→0
(1 + x)
1
x = lim
t→∞
1 +
1
t
t
= e.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

57. Æèøýý. lim
x→∞
1 +
1
x
7x
õÿçãààðûã áîä.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

58. Æèøýý. lim
x→∞
1 +
1
x
7x
õÿçãààðûã áîä.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

59. Æèøýý. lim
x→∞
1 +
1
x
7x
õÿçãààðûã áîä.
lim
x→∞
1 +
1
x
7x
= [1∞
] = lim
x→∞
1 +
1
x
x 7
= e7
.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

60. Æèøýý. lim
x→∞
1 +
1
x
7x
õÿçãààðûã áîä.
lim
x→∞
1 +
1
x
7x
= [1∞
] = lim
x→∞
1 +
1
x
x 7
= e7
.
Òîäîðõîéëîëò.
y = (f (x))ϕ(x)
(f (x) > 0)-èéã çýðýãò èëòãýã÷ ôóíêö ãýíý.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

61. Æèøýý. lim
x→∞
1 +
1
x
7x
õÿçãààðûã áîä.
lim
x→∞
1 +
1
x
7x
= [1∞
] = lim
x→∞
1 +
1
x
x 7
= e7
.
Òîäîðõîéëîëò.
y = (f (x))ϕ(x)
(f (x) > 0)-èéã çýðýãò èëòãýã÷ ôóíêö ãýíý.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

62. Æèøýý. lim
x→∞
1 +
1
x
7x
õÿçãààðûã áîä.
lim
x→∞
1 +
1
x
7x
= [1∞
] = lim
x→∞
1 +
1
x
x 7
= e7
.
Òîäîðõîéëîëò.
y = (f (x))ϕ(x)
(f (x) > 0)-èéã çýðýãò èëòãýã÷ ôóíêö ãýíý.
Ñàíàìæ: Õî¼ðäóãààð ãàéõàìøèãò õÿçãààð [1∞] ãýñýí
òîäîðõîé áóñ õýëáýðòýé áàéíà.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

63. Æèøýý. lim
x→∞
x + 1
x − 2
2x−1
õÿçãààðûã áîä.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

64. Æèøýý. lim
x→∞
x + 1
x − 2
2x−1
õÿçãààðûã áîä.
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

65. Æèøýý. lim
x→∞
x + 1
x − 2
2x−1
õÿçãààðûã áîä.
Ñóóðèéí õÿçãààðûã áîäâîë:
lim
x→∞
x + 1
x − 2
= lim
x→∞
1 + 1/x
1 − 2/x
=
1 + 0
1 − 0
= 1 áà lim
x→∞
(2x − 1) = ∞
òóë [1∞] ãýñýí òîäîðõîé áóñ õýëáýð áàéíà.
x + 1
x − 2
= 1 +
x + 1
x − 2
− 1 = 1 +
3
x − 2
= 1 +
1
(x − 2)/3
.
lim
x→∞
x + 1
x − 2
2x−1
= [1∞
] = lim
x→∞
1 +
1
(x − 2)/3
2x−1
=
= lim
x→∞


 1 +
1
(x − 2)/3
x − 2
3



(2x − 1)
3
x − 2
=
= e
lim
x→∞
3(2x − 1)
x − 2 = e6
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä

66. Æèøýý. lim
x→∞
x + 1
x − 2
2x−1
õÿçãààðûã áîä.
Ñóóðèéí õÿçãààðûã áîäâîë:
lim
x→∞
x + 1
x − 2
= lim
x→∞
1 + 1/x
1 − 2/x
=
1 + 0
1 − 0
= 1 áà lim
x→∞
(2x − 1) = ∞
òóë [1∞] ãýñýí òîäîðõîé áóñ õýëáýð áàéíà.
x + 1
x − 2
= 1 +
x + 1
x − 2
− 1 = 1 +
3
x − 2
= 1 +
1
(x − 2)/3
.
lim
x→∞
x + 1
x − 2
2x−1
= [1∞
] = lim
x→∞
1 +
1
(x − 2)/3
2x−1
=
= lim
x→∞


 1 +
1
(x − 2)/3
x − 2
3



(2x − 1)
3
x − 2
=
= e
lim
x→∞
3(2x − 1)
x − 2 = e6
Ä.Ãàíñ³õ, Ä.Áàòò°ð Ôóíêöèéí õÿçãààð, ÷àíàðóóä. Ãàéõàìøèãò õÿçãààðóóä