TRANSFORMASI FOURIER DAN APLIKASINYA

1
UNIT 3
TRANSFORMASI FOURIER DAN APLIKASINYA
Tujuan
1. Memahami konsep kawasan frekuensi dalam menganalisis suatu isyarat.
2. Memahami bahwa isyarat aperiodik dapat didapatkan dari isyarat periodik dengan
periode tertentu.
3. Menghitung dan menerapkan transformasi Fourier dalam menganalisis suatu isyarat.
4. Memahami diskritisasi dari transformasi Fourier agar dapat dihitung/diterapkan pada
piranti komputer dengan bantuan software MATLAB/SCILAB.
5. Menganalisa berbagai properti yang berkaitan dengan transformasi Fourier.
Alat dan Bahan
1. Perangkat lunak MATLAB atau SCILAB (disarankan memakai versi terbaru,
MATLAB R2020b atau SCILAB 6.1.0).
2. Perangkat keras berupa komputer desktop atau notebook dengan spesifikasi yang
memadai.
Dasar Teori
Pada praktikum sebelumnya (unit 2), Anda telah memahami bagaimana suatu isyarat
dapat didekomposisi menjadi sekumpulan isyarat basis berupa fungsi trigonometris yang
harmonis yang memiliki variasi amplitudo dan frekuensi. Anda juga telah mengamati bahwa
deret Fourier membutuhkan banyak sekali runtun untuk dapat menyerupai isyarat yang
memiliki abrupt change yang berarti dibutuhkan banyak sekali isyarat basis untuk menyusun
isyarat tersebut (itupun tetap masih belum sempurna). Unit praktikum ini akan berfokus ke
isyarat aperiodik dan analisisnya di kawasan frekuensi.
Tidak seperti isyarat periodik, isyarat aperiodik tidak mengalami perulangan yang jelas
setelah durasi waktu tertentu. Tentu saja isyarat aperiodik tersebut akan sulit sekali
didekomposisi menggunakan persamaan deret trigonometri Fourier karena periode isyarat
sukar untuk diketahui. Oleh karena itu, proses analisis Fourier terhadap suatu isyarat perlu
diturunkan dari asumsi bahwa isyarat aperiodik dapat dibuat dari isyarat periodik yang
memiliki periode tertentu (lebih lengkapnya silakan pelajari materi yang diberikan di

2
perkuliahan). Persamaan transformasi Fourier didapat dari persamaan deret Fourier versi
complex exponential sebagai berikut :
𝑥(𝑡) = ∑ 𝐶𝑛𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡
∞
𝑛=−∞
Lalu, bagaimana cara mencari 𝐶𝑛 bila diketahui 𝑥(𝑡) (tanpa mencari 𝑎𝑛 dan 𝑏𝑛)? Maka,
persamaan berikut dapat digunakan (penurunan persamaan ada di perkuliahan) :
𝐶𝑛 =
1
𝑇0
∫ 𝑥(𝑡)𝑒−𝑗𝑛𝜔0𝑡
𝑑𝑡
𝑇0
Kedua persamaan tersebut dikenal dengan persamaan sintesis dan analisis dari deret Fourier
yang berguna dalam merumuskan persamaan transformasi Fourier sehingga dapat diterapkan
ke isyarat aperiodik.
Konsekuensi penggunaan kompleks eksponensial dalam mendekomposisi suatu isyarat
adalah Anda akan mengamati komponen frekuensi isyarat dari vektor yang berputar searah dan
berlawanan dengan arah jarum jam. Akibatnya, akan nampak kawasan frekuensi negatif pada
saat analisis transformasi Fourier dilakukan. Penting untuk diperhatikan bahwa konsep
frekuensi negatif ini tidak sama dengan konsep frekuensi pada ilmu fisika gelombang
(banyaknya getaran per detik), tetapi komponen frekuensi negatif muncul akibat adanya
pasangan conjugate pada persamaan complex exponential tersebut. Persamaan transformasi
Fourier (persamaan analisis) untuk suatu isyarat 𝑥(𝑡) agar didapat representasinya di kawasan
frekuensi ditunjukkan sebagai berikut (penurunan persamaan ada di perkuliahan) :
𝑋(𝑗𝜔) = ∫ 𝑥(𝑡)
∞
−∞
𝑒−𝑗𝜔𝑡
𝑑𝑡
Sebaliknya, bila dinginkan kembali representasi isyarat 𝑥(𝑡) di kawasan waktu dapat
digunakan persamaan invers transformasi Fourier (persamaan sintesis):
𝑥(𝑡) =
1
2𝜋
∫ 𝑋(𝑗𝜔)
∞
−∞
𝑒𝑗𝜔𝑡
𝑑𝑡
Nantinya, persamaan transformasi Fourier akan berguna untuk banyak aplikasi pengolahan
data dan isyarat dalam rangka menggali informasi tambahan terhadap data dan isyarat yang

3
diamati. Persamaan transformasi Fourier tersebut juga menawarkan fleksibilitas terhadap
analisis lebih banyak macam data dan isyarat daripada persamaan deret Fourier pada unit 2
praktikum lalu.
Praktikum ini akan memanfaatkan built-in perintah fft pada MATLAB/SCILAB
sebagai metode untuk melakukan verifikasi perhitungan transformasi Fourier Anda dan
mengamati representasi kawasan frekuensi suatu isyarat. Transformasi Fourier mustahil
didemonstrasikan dengan MATLAB/SCILAB secara manual dengan sempurna karena
dibutuhkan banyak sekali (infinitely many) titik – titik frekuensi untuk merealisasikan
representasi isyarat di kawasan frekuensi yang kontinyu. Perintah fft sebenarnya merupakan
perintah untuk menjalankan algoritma Fast Fourier Transform (FFT) yang nanti Anda akan
dapatkan secara lebih detil pada mata kuliah teknik pengolahan isyarat digital (TPID).
Algoritma FFT sendiri juga diturunkan dari discrete Fourier transfrom (DFT) yang merupakan
pengembangan dari discrete time Fourier transform (DTFT). Keduanya juga akan Anda
dapatkan lebih rinci di mata kuliah TPID mendatang. Modul praktikum ini hanya menyediakan
introduksi terkait proses sampling, DTFT, dan DFT sebagai modal bagi Anda untuk
memanfaatkan perintah fft pada MATLAB/SCILAB. Maka, pada praktikum ini Anda cukup
berfokus pada perintah fft secara umum sebagai tool untuk mengamati karakteristik kawasan
frekuensi dari suatu isyarat yang diamati. Silakan Anda membaca dokumentasi di
MATLAB/SCILAB tentang cara memakai perintah fft lebih detil walaupun panduan
penggunaanya juga disertakan pada modul ini.
Sebelum Anda memulai pengujian…
Kode MATLAB dilampirkan di halaman terakhir. Pengguna SCILAB dapat
menyesuaikan syntax atau menggunakan perintah mfile2sci untuk melakukan konversi kode.
Kode tersebut dapat dimodifikasi sesuai pengujian yang dilakukan. Saat pengumpulan,
lampirkan seluruh kode yang telah Anda buat! Silakan mengganti tulisan yang berwarna
hijau pada bagian atas dengan nama dan NIM Anda masing – masing. Hal ini berarti
Anda setidaknya memiliki 6 buah kode untuk semua pengujian. Simpan script dengan
nama :
“Unit1_NamaPanggilan_Pengujian1.m”, “Unit1_NamaPanggilan_Pengujian2.m”, dan
seterusnya.
Pengujian Praktikum

4
Pastikan Anda memiliki sebuah folder aktif tempat untuk meletakkan semua file
pengujian dan lakukan berbagai pengujian berikut :
Pengujian 1 – Complex Conjugate and Symmetricity
Deret trigonometri yang menyusun suatu isyarat juga dapat dipandang sebagai
kompleks eksponensial yang berpasangan secara conjugate. Kompleks eksponensial
sebagai penyusun suatu isyarat merupakan fondasi transformasi Fourier.
a) Carilah bentuk Euler dari trigonometri cosinus dan sinus! Tuliskan bentuk
matematisnya di laporan!
Berapakah pasangan nilai magnitude untuk tiap trigonometri tersebut? Apakah
pasangan nilai magnitude tersebut bernilai sama (untuk tiap isyarat cosinus dan
sinus)?
Gambarkan secara manual nilai magnitude dari isyarat cosinus dan sinus tersebut
dengan absis (sumbu x) yang berisi nilai 𝑗𝜔!
Ubahlah bentuk Euler tersebut ke bentuk rectangular lalu lakukan plot via
MATLAB/SCILAB (tunjukkan figures di laporan)! Gunakan nilai 𝜔 sebesar
𝜋
4
!
Apa kesimpulan Anda?
b) Lihat kode yang terlampir di lampiran! Realisasikan plot isyarat cosinus dan sinus
menggunakan bentuk rectangular dari kompleks eksponensial! Lampirkan
gambarnya di laporan! Berapakah nilai amplitudonya? Jelaskan relasi matematis
antara nilai magnitude yang sudah Anda temukan dari poin (a) dengan amplitudo
yang isyarat cosinus dan sinus yang baru saja Anda kerjakan!
Apakah isyarat cosinus dan sinus yang Anda plot bersifat kompleks? Bila tidak,
mengapa demikian? Padahal isyarat cosinus dan sinus tersebut tersusun dari
kompleks eksponensial (yang merupakan bilangan kompleks).
c) Sampai di sini Anda seharusnya sudah memahami bahwa isyarat basis cosinus dan
sinus dapat dibentuk dari kompleks eksponensial sehingga seolah – olah akan
muncul frekuensi negatif yang tidak lain hanyalah kompleks eksponensial dengan
sudut putar (phase) yang negatif. Maka, ubahlah bentuk persamaan deret Fourier
berikut :
𝑥(𝑡) = 𝑎0 + ∑ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝜔0𝑡) + ∑ 𝑏𝑛 sin(𝑛𝜔0𝑡)
∞
𝑛=1
∞
𝑛=1

5
Ke bentuk berikut :
𝑥(𝑡) = 𝐶0 + ∑ 𝐶𝑛𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡
+ ∑ 𝐶𝑛𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡
−1
𝑛=−∞
∞
𝑛=1
𝑥(𝑡) = ∑ 𝐶𝑛𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡
∞
𝑛=−∞
dengan cara mengganti fungsi cosinus dan sinus ke bentuk kompleks eksponensial
yang sudah Anda temukan. Sertakan proses matematika Anda di laporan!
d) Pada unit 2 praktikum sebelumnya, Anda sudah mengerjakan plot koefisien Fourier
(kawasan frekuensi) dari area negatif sampai positif. Plot kawasan frekuensi yang
terbentang dari negatif ke positif memberikan fleksibilitas lebih dalam menganalisis
karakter isyarat dan data. Salah satunya adalah karaketer isyarat real, imajiner, atau
kompleks. Pada mata kuliah Isyarat dan Sistem, isyarat dibatasi di lingkup real dan
isyarat real memiliki keunikan pada plot kawasan frekuensinya. Pada unit
praktikum sebelumnya Anda telah melihat kode berikut :
stem(-n,Cn,'b') %magnitude isyarat real bersifat symmetric di
origin
dan kode berikut :
stem(-n,-angle_Cn,'r') %phase isyarat real bersifat antisymmetric
di origin
Kode tersebut menunjukkan properti symmetricity pada transformasi Fourier dan
pengujian ini akan membutikan properti itu.
Anda telah mengetahui persamaan analisis berikut :
𝐶𝑛 =
1
𝑇0
𝑑𝑡
𝑇0
Bila persamaan analisis tersebut dikenakan operasi time reversal dan
dikonjugatkan, maka didapat :
𝐶−𝑛
∗
=
1
𝑇0
∫ 𝑥∗(𝑡)𝑒−𝑗𝑛𝜔0𝑡
𝑑𝑡
𝑇0

6
Dengan mengasumsikan bahwa isyarat 𝑥(𝑡) merupakan isyarat real, tunjukkan dan
sertakan proses matematisnya di laporan kebenaran dari 2 baris kode sebelumnya
(bahwa nilai magnitude isyarat real bersifat simetris di origin dan phase bersifat
antisimetris di origin) berbasis 2 persamaan analisis tersebut! Jelaskan apa yang
dimaksud dengan conjugate symmetric! Apakah pada isyarat cosinus dan sinus
yang sudah Anda kerjakan juga berlaku conjugate symmetric pada koefisien 𝐶𝑛
keduanya? Jelaskan kesimpulan Anda!
Pengujian 2 – Representasi Kawasan Frekuensi dari Isyarat Periodik
Pada unit 2 praktikum sebelumnya Anda telah mencoba mencari koefisien Fourier dan
melakukan plot di domain lain selain waktu. Namun, domain tersebut belum
merupakan kawasan frekuensi. Hal ini disebabkan karena persamaan analisis belum
menyertakan titik – titik frekuensi pada hasil koefisien Fourier 𝐶𝑛. Dari perkuliahan,
Anda telah diberikan proses lengkap perkembangan dari persamaan analisis sehingga
menjadi :
𝑋(𝑗𝜔) = ∑ 2𝜋𝐶𝑛𝛿(𝜔 − 𝑛𝜔0)
∞
𝑛=−∞
Sekarang, gunakan kembali isyarat 𝑠(𝑡) pada pengujian 3c dari unit 2 praktikum
sebelumnya! Namun kali ini gunakan persamaan analisis :
𝐶𝑛 =
1
𝑇0
𝑑𝑡
𝑇0
untuk mencari koefisien Fourier 𝐶𝑛 lalu masukkan ke persamaan mencari 𝑋(𝑗𝜔)
sehingga Anda akan mendapatkan representasi lebih lengkap suatu isyarat di kawasan
frekuensi seperti Gambar 3.1! Sertakan proses matematika detil pada laporan! Lalu
realisasikan via MATLAB/SCILAB (tunjukkan figures di laporan)!
Bila Anda cermati lebih dalam, nilai magnitude pada Gambar 3.1 menjadi kurang tepat
karena representasi pada suatu transformasi matematis normalnya diinginkan untuk
tidak mengubah nilai amplitudo isyarat basis sehingga didapat representasi kawasan
frekuensi yang lebih konsisten (ingat kembali pengujian 2 pada praktikum unit 2).
Untuk lebih mudah dalam memahami ini, ambil contoh nilai magnitude pada frekuensi
tertentu, frekuensi 0 misalnya, seharusnya nilainya 1 bukan 2𝜋. Hal ini disebabkan

7
karena nilai
1
2𝜋
terletak pada persamaan sintesis (dan diabaikan di persamaan analisis
transformasi Fourier). Oleh karena itu, dalam rangka merepresentasikan kawasan
frekuensi yang lebih akurat, nilai
1
2𝜋
diletakkan di persamaan analisis sebagai upaya
Gambar 3.1 Representasi kawasan frekuensi (perhatikan nilai x dan y yang
ditandai, sumbu x dan y harus tepat)
Gambar 3.2 Representasi kawasan frekuensi isyarat 𝑠(𝑡) setelah normalisasi,
(perhatikan nilai x dan y yang ditandai, sumbu x dan y harus tepat)

8
normalisasi magnitude alih – alih di persamaan sintesis sehingga persamaan
analisisnya menjadi :
1
2𝜋
𝑋(𝑗𝜔) =
1
2𝜋
∫ 𝑥(𝑡)
∞
−∞
𝑒−𝑗𝜔𝑡
𝑑𝑡
Maka, didapat represensi kawasan frekuensi isyarat 𝑠(𝑡) yang lebih sesuai seperti
Gambar 3.2. Realisasikan represensi kawasan frekuensi isyarat 𝒔(𝒕) yang baru via
MATLAB/SCILAB (tunjukkan figures di laporan)!
Apa yang dapat Anda simpulkan dari pengujian 2 ini? Apakah sekarang Anda dapat
mengetahui dengan lebih akurat kontribusi tiap isyarat basis?
Karena nilai
1
2𝜋
sudah dipindah ke persamaan transformasi Fourier (persamaan analisis),
tunjukkan persamaan invers transformasi Fourier (persamaan sintesis) yang baru!
Pada Gambar 3.2, sumbu x tertera dalam rad/s. Dapatkah Anda mengubahnya ke dalam
Hz? Bila iya, tunjukkan kode serta figure di laporan! Berikan tanda nilai x dan y pada
figure Anda!
Pengujian 3 – Proses Sampling dan Penggunaan Perintah fft via
MATLAB/SCILAB
Pada pengujian ini, Anda akan mempraktikkan penggunaan perintah fft untuk
melakukan analisis transformasi Fourier secara tepat. Telah dijelaskan di dasar teori
bahwa untuk memahami algoritma FFT secara komprehensif, Anda perlu mempelajari
terlebih dahulu teori DTFT dan DFT. Namun, unit praktikum ini akan melewatkan teori
FFT dan menganggap bahwa perintah fft pada MATLAB/SCILAB semata – mata
merupakan realisasi persamaan transformasi Fourier. Dengan demikian, perintah
fft dapat Anda pergunakan untuk menganalisis berbagai representasi isyarat di kawasan
frekuensi. Pada bagian ini, penting bagi Anda untuk kembali mengingat bahwa isyarat
(isyarat 1 dimensi) dapat direpresentasikan juga sebagai vektor yang memiliki jumlah
elemen tertentu. Pada MATLAB, istilah jumlah elemen vektor dikenal dengan nama
“panjang vektor” (not to be confused with length of vector or magnitude in Linear
Algebra). Pada pengujian ini pula, Anda akan mengenal introduksi untuk proses
sampling yang fundamental untuk merealisasikan isyarat (runtun bilangan) apapun di
piranti komputer, dalam konteks praktikum ini adalah MATLAB/SCILAB. Sebelum

9
memulai, Anda sangat disarankan untuk membaca chapter 7 tentang sampling dari
buku Signals and Systems 2nd
Edition by Alan V. Oppenheim.
a) Sampling process : from integration to summation
Pada kuliah metode numeris, Anda telah belajar bahwa proses integrasi sejatinya
merupakan proses jumlahan; jumlahan dari area – area yang sangat sempit
(mendekati 0) penyusun keseluruhan area under the curve yang jumlahnya sangat
banyak (mendekati tak hingga) seperti Gambar 3.3. Nyatanya, proses integrasi tidak
bisa direalisasikan dalam perhitugan komputer karena pastilah membutuhkan
memori yang besarnya tak hingga. Akibatnya, isyarat yang diamati tidak dapat
diamati pada semua titik, melainkan pada kumpulan titik atau sample tertentu saja.
Dengan demikian, realisasi proses integrasi pada MATLAB/SCILAB adalah proses
jumlahan dengan sample – sample tertentu penyusun suatu isyarat yang diamati.
Coba lakukan perhitungan berikut secara manual :
𝐴𝑟𝑒𝑎 = ∫ 𝑢(𝑡)
𝑇
0
𝑑𝑡 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑇 = 4 𝑑𝑎𝑛 𝑢(𝑡) 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑜𝑢𝑠 − 𝑡𝑖𝑚𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑡 𝑠𝑡𝑒𝑝
Berapakah hasilnya? Sertakan proses matematika lengkap di laporan!
Bila dilakukan secara diskrit menggunakan jumlahan maka persamaan tadi menjadi:
𝐴𝑟𝑒𝑎 = ∑ 𝑢[𝑛]
𝐿−1
𝑛=0
𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐿 = 4 𝑑𝑎𝑛 𝑢[𝑛]𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑒 − 𝑡𝑖𝑚𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑡 𝑠𝑡𝑒𝑝
Berapakah hasilnya? Apakah sama dengan proses integrasi sebelumnya?
Gambar 3.3 Relasi proses integrasi dan jumlahan

10
Proses jumlahan pada persamaan kedua sejatinya adalah proses pendekatan integrasi
dengan menggunakan Δ𝑥 bernilai 1 (mengacu pada persamaan di Gambar 3.3) dan
sekumpulan sample – sample penyusun isyarat 𝑢[𝑛]. Perhatikan bahwa agar proses
jumlahan dapat koheren dengan proses integrasi, batas atas pada proses jumlahan
harus berakhir sesaat sebelum durasi observasi L. Seberapa besar nilai “sesaat”
tersebut tentu saja bergantung pada nilai Δ𝑥. Pada teori sampling, nilai Δ𝑥 ini dikenal
dengan nama sampling period (Ts) dan nilai
1
Δ𝑥
dinamakan sampling frequency
(Fs). Pada praktikum unit 1 dan 2 lalu, Anda juga sebenarnya sudah melakukan
proses sampling yakni dengan membangun time vector dengan nilai increment
(sampling period) tertentu. Bila digambarkan, isyarat pada persamaan kedua
menjadi seperti Gambar 3.4.
Tentu saja nilai Ts dapat terus dikecilkan sehingga perlahan – lahan isyarat 𝑢[𝑛]
akan mendekati isyarat 𝑢(𝑡). Bila nilai Ts diganti menjadi 0,5, maka akan menjadi
seperti Gambar 3.5.
Sekarang, coba hitung jumlahan pada isyarat 𝒖[𝒏] pada Gambar 3.5.
Apakah Anda masih mendapatkan nilai 4? Sertakan proses matematika dan
ceritakan bagaimana Anda mendapatkan nilai 4 untuk proses jumlahan
tersebut!
Bila Anda perhatikan, seiring berkurangnya nilai Ts, jumlah impuls N akan
meningkat untuk menjaga durasi observasi isyarat L tetap bernilai 4.
Gambar 3.4 Isyarat 𝑢[𝑛] dengan nilai Ts = 1 dan 4 sample

11
Pada kasus isyarat 𝑢[𝑛], perubahan nilai 𝑇𝑠 dan 𝐹𝑠 menjadi kurang bermakna karena
isyarat 𝑢[𝑛] memiliki nilai amplitudo yang konstan.
Sekarang, coba Anda lakukan perhitungan berikut :
𝐴𝑟𝑒𝑎 = ∫ 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑥(𝑡) = cos(𝜔0𝑡) 𝑑𝑎𝑛 𝑓0 = 0,25 𝐻𝑧
5
0
Berapakah hasilnya? Sertakan proses matematika Anda secara lengkap di
laporan!
Kemudian, coba Anda realisasikan perhitungan integrasi isyarat 𝑥(𝑡)
menggunakan MATLAB/SCILAB dengan kode sebagai berikut :
Berapakah nilai Area yang didapat? Apakah sama dengan perhitungan Anda
sebelumnya?
Lalu, coba tingkatkan nilai Fs berturut – turut menjadi 102
, 103
, 104
, dan 105
. Catat
tiap nilai Area yang Anda dapatkan! Manakah yang paling mendekati dengan proses
integrasi manual yang sudah Anda kerjakan? Mengapa demikian? Jelaskan argumen
Anda di laporan!
Fs=10^0; % sampling frequency
Ts=1/Fs; % sampling period
L=5; % durasi observasi
N=floor(Fs*L); % jumlah sample selama durasi observasi
t=0:Ts:(L-Ts); % time vector (points of time)
x=cos(2*pi*0.25*t); % 0.25 Hz cosine signal
Area=sum(x)./Fs % proses jumlahan selama durasi observasi
Gambar 3.5 Isyarat 𝑢[𝑛] dengan nilai Ts = 0,5 dan 8 sample

12
Amati pula nilai N yang Anda dapatkan tiap perubahan nilai Fs! Bandingkan tiap
nilai N dengan panjang vektor (jumlah elemen) dari vektor x! Apakah sama?
Mengapa demikian? Jelaskan argumen Anda di laporan!
b) Sampling process : the effect in time domain
Sebelumnya Anda telah memahami bagaimana proses integrasi dapat didekati
dengan proses jumlahan sehingga tercipta realisasi proses komputasi tersebut via
MATLAB/SCILAB. Proses jumlahan tersebut dilakukan dengan terlebih dahulu
melakukan sampling terhadap suatu isyarat sehingga didapat kumpulan sample –
sample dengan sampling period tertentu. Secara matematis, proses sampling
dimodelkan dengan operasi perkalian suatu isyarat dengan runtun impuls (impulse
train) yang diatur memiliki sampling period tertentu. Di kelas Isyarat dan Sistem,
Anda telah diberikan teori, motivasi, dan pembuktian terkait proses sampling
sehingga modul praktikum ini akan melewati bagian tersebut. Singkatnya, alasan
adanya proses sampling masih terkait dengan pengujian 3a sebelumnya, yakni
mustahil untuk melakukan analisis atau komputasi terhadap suatu isyarat secara
kontinyu pada piranti diskrit seperti komputer (pada environment
MATLAB/SCILAB) sehingga dibutuhkan konversi ke isyarat/runtun diskrit agar
isyarat kontinyu dapat diolah di piranti diskrit.
Secara umum, rule of thumb atau kaidah dari proses sampling adalah Anda perlu
memiliki sampling frequency yang nilainya lebih dari 2 kali frekuensi
maksimum penyusun suatu isyarat. Kaidah tersebut dinamakan Nyquist rate. Bila
syarat tersebut terpenuhi, maka Anda bisa merekonstruksi kembali isyarat asli Anda
sebelum terkena proses sampling secara sempurna. Dengan kata lain, Anda akan
mendapatkan representasi kawasan frekuensi yang proper (tanpa tumpang
tindih atau aliasing) dari suatu isyarat yang diamati bila Nyquist rate terpenuhi.
Namun, hal tersebut belum menjamin bahwa Anda mendapatkan representasi
isyarat di kawasan waktu yang proper (dalam artian memiliki resolusi yang proper).
Pengujian 3b ini akan berfokus pada proses sampling dari sudut pandang kawasan
waktu.
Bila isyarat cosinus dengan frekuensi 0,25 Hz yang terdapat di pengujian 3a
dilakukan sampling dengan sampling frequency sebesar 2 Hz dan dalam durasi
observasi 20 detik maka akan didapatkan representasi di kawasan waktu seperti
Gambar 3.6.

13
Tampak dari Gambar 3.6, meskipun sudah digunakan sampling frequency yang
cukup besar dibandingkan Nyquist rate (4 times the Nyquist rate, in fact), masih
didapatkan representasi isyarat cosinus di kawasan waktu yang belum proper.
Tugas Anda adalah :
• Modifikasilah kode yang sudah diberikan pada pengujian 3a untuk membuat
proses sampling pada MATLAB/SCILAB! Ubah nilai L menjadi 20 agar
Anda mendapatkan 5 buah gelombang utuh (seharusnya, bila sampling
frequency sesuai)! Gunakan nilai Fs yang bervariasi mulai dari 0,4 Hz, 0,5
Hz, 0,8 Hz, 5 Hz, dan 10 Hz! Sebisa mungkin hasil plot Anda didesain
seperti Gambar 3.6. Lampirkan semua figures di laporan!
• Apa yang terjadi di kawasan waktu bila Anda memakai sampling frequency
sebesar 0,4 Hz? Berapa jumlah sample yang Anda dapatkan? Apakah Anda
mendapatkan 5 gelombang utuh dengan karakteristik mirip isyarat cosinus?
Apakah Anda mendapati suatu isyarat yang nampak berfrekuensi rendah?
Mengapa demikian? Jelaskan terkait fenomena aliasing dari sudut
pandang kawasan waktu dan jelaskan pula apa “gejala” terjadinya
fenomena tersebut!
Gambar 3.6 Proses sampling pada Fs bernilai 2 Hz terhadap isyarat cosinus
berfrekuensi 0,25 Hz dengan durasi observasi 20 detik. Didapat 40 sample selama
durasi observasi tersebut. Rekonstruksi (aproksimasi) isyarat asli dilakukan dengan
proses interpolasi linear antar titik sample.

14
sebesar 0,8 Hz? Berapa jumlah sample yang Anda dapatkan? Apakah Anda
mendapatkan 5 gelombang utuh dengan karakteristik mirip isyarat cosinus?
sebesar 5 Hz? Berapa jumlah sample yang Anda dapatkan? Apakah Anda
sudah mendapatkan 5 gelombang utuh dengan karakteristik mirip isyarat
cosinus? Sudah cukup baikkah representasi isyarat cosinus di kawasan
waktu?
sebesar 10 Hz? Berapa jumlah sample yang Anda dapatkan? Apakah Anda
sudah mendapatkan 5 gelombang utuh dengan karakteristik mirip isyarat
cosinus? Sudah cukup baikkah representasi isyarat cosinus di kawasan
waktu? Bandingkan dengan pengujian Anda yang menggunakan sampling
frequency sebesar 5 Hz!
• Bila sampling frequency terus ditingkatkan menjadi ke nilai yang sangat
tinggi yakni 1000 Hz, apa yang terjadi? Dengan memperhatikan nilai N
(jumlah sample) dan panjang vektor isyarat cosinus Anda (total elemen yang
tersimpan dalam variabel x), jelaskan dampak negatif dari proses
oversampling yang sudah Anda lakukan!
Sampai di sini, Anda telah memiliki isyarat dengan observasi hanya pada titik – titik
waktu tertentu saja (alih – alih secara kontinyu). Hal ini menjelaskan mengapa di
pengujian 2 pada praktikum unit 2 lalu Anda dapat mengenakan operasi dot product
pada 2 isyarat yang terlibat sebagai pengganti operasi integral, isyarat tersebut
bukan lagi kontinyu melainkan sekumpulan nilai yang dapat dicacah dengan
jumlah sample yang terbatas.
c) Sampling process : discrete time and discrete frequency
Proses sampling terhadap suatu isyarat di kawasan waktu yang telah Anda lakukan
di pengujian 3b sebetulnya belumlah menghasilkan isyarat diskrit 𝑥[𝑛], melainkan
baru berupa periodic impulse train 𝑥(𝑛𝑇𝑠). Hal ini jelas dengan melihat sumbu x di
kawasan waktu yang masih berupa titik – titik waktu (dalam detik) belum berupa
titik – titik data kelipatan 𝒏 integer (sample ke-𝒏). Dengan demikian, persamaan
matematis untuk isyarat cosinus pada pengujian 3b (Gambar 3.6) adalah :

15
𝑥(𝑛𝑇𝑠) = cos(2𝜋𝑓0𝑛𝑇𝑠) 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑓0 = 0,25 𝐻𝑧
Dari persamaan tersebut sangat jelas bahwa cara mendapatkan 𝑥[𝑛] adalah dengan
melakukan proses time scaling terhadap 𝑥(𝑛𝑇𝑠) dengan faktor
1
𝑇𝑠
. Konsekuensi dari
proses time scaling tersebut adalah terjadi proses frequency scaling dengan faktor
𝑇𝑠 sehingga sepanjang frekuensi pada kawasan frekuensi akan dikalikan dengan
faktor tersebut. Otomatis, seluruh frequency content pada kawasan frekuensi akan
bergeser ke arah kiri (ternormalisasi dengan menjadi mendekati frekuensi 0)
termasuk frekuensi isyarat cosinus yang diamati. Dengan demikian, frekuensi 𝑓0
isyarat cosinus yang baru menjadi :
Ω0 = 2𝜋𝑓0 ∙ 𝑇𝑠 = 2𝜋0,25
𝑟𝑎𝑑
𝑠
∙ 0,5 = 2𝜋0,125 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑎𝑡𝑎𝑢 0,125 𝐻𝑧
Alhasil, persamaan isyarat cosinus yang baru (discrete-time sequence) adalah :
𝑥[𝑛] = cos(Ω0𝑛) 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 Ω0 = 2𝜋𝑓′
0
𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑑𝑎𝑛 𝑓′0 = 0,125 𝐻𝑧
Gambar isyarat diskrit 𝑥[𝑛] ditunjukkan oleh Gambar 3.7.
Gambar 3.7 Discrete-time sequence dari isyarat cosinus dalam durasi observasi
40 samples. Perhatikan bahwa lama durasi dalam isyarat diskrit bukan lagi 20
detik melainkan 40 samples.

16
Tugas Anda adalah :
• Modifikasilah kode pada pengujian 3a untuk menghasilkan isyarat cosinus
secara diskrit seperti pada Gambar 3.7. Gunakan isyarat cosinus
berfrekuensi 0,25 Hz dengan sampling frequency 5 Hz (di contoh pada
Gambar 3.7 memakai sampling frequency 2 Hz). Durasi observasi adalah
20 detik. Sebisa mungkin hasil plot Anda didesain seperti Gambar 3.7
(namun, tidak perlu ditampilkan bagian approximated signal) Lampirkan
semua figures di laporan!
Hint: Bila kode Anda benar, maka durasi observasi Anda seharusnya
terkonversi menjadi 100 samples.
Sampai di sini, sudah didapat pasangan discrete-time dan continous-frequency yang
prosesnya dikenal dengan nama DTFT. Namun, perintah fft menggunakan discrete-
time dan discrete-frequency sehingga kawasan frekuensi yang didapat dari proses
DTFT perlu dikenakan proses sampling agar didapat kawasan frekuensi kelipatan
integer (discrete-frequency) yang prosesnya dikenal dengan nama DFT. Untuk
memahami proses sampling di kawasan frekuensi, ingat kembali unit 2 praktikum
lalu dan perhatikan dengan seksama pola jarak antar titik frekuensi pada
pengujian 2 yang merupakan bagian dari deret Fourier! Agar didapat
representasi kawasan frekuensi dengan kelipatan integer, maka jarak antar titik
frekuensi haruslah
1
𝑇0
Hz atau
2𝜋
𝑇0
rad/s. Nilai 𝑇0 tersebut dapat dipahami sebagai
fundamental period atau bisa juga sebagai durasi observasi isyarat (dalam detik).
Karena sejatinya, pada komputasi deret Fourier, Anda dapat melakukan perhitungan
dalam durasi observasi lebih dari 𝑇0 detik, tetapi harus dalam kelipatan integer
(2𝑻𝟎, 3𝑻𝟎, 4𝑻𝟎, dst) agar tetap didapat jumlah periode (jumlah gelombang) yang
utuh demi menjaga ortogonalitas. Dengan pengujian 3c ini pula, Anda telah
memahami bahwa pada konteks discrete-time, durasi observasi adalah dalam 𝑵
samples, bukan lagi dalam detik. Dengan demikian, isyarat – isyarat basis yang
dipilih hanya pada kelipatan
1
𝑁
Hz atau
2𝜋
𝑁
rad/s dalam rangka mendapatkan
representasi kawasan frekuensi berupa dalam titik – titik data berkelipatan integer.
Alhasil, didapat persamaan DFT dan inverse discrete Fourier transform (IDFT)
yang berturut – turut dirumuskan sebagai berikut :

17
𝑋[𝑘] = ∑ 𝑥[𝑛]𝑒(−𝑗
2𝜋𝑘
𝑁
𝑛)
𝑁−1
𝑛=𝑜
, 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁 − 1
𝑥[𝑛] =
1
𝑁
∑ 𝑋[𝑘]𝑒(𝑗
2𝜋𝑘
𝑁
𝑛)
𝑁−1
𝑘=𝑜
, 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1
Persamaan DFT dan IDFT inilah yang menjadi basis perintah fft pada MATLAB
sehingga seluruh behavior perintah fft mengikuti berbagai properti yang
menyertai persamaan tersebut. Perhatikan bahwa pada DFT, baik itu di kawasan
waktu dan kawasan frekuensi, Anda hanya memiliki titik – titik data atau sample
kelipatan integer (tidak ada lagi informasi waktu dalam detik dan tidak ada pula
informasi frekuensi dalam rad/s atau Hz). Dengan demikian, isyarat di kawasan
waktu maupun frekuensi pada konteks DFT sangat mungkin dimodelkan
dalam rupa vektor (dan/atau matriks) sehingga seluruh konsep vektor dan
matriks pada aljabar linear berlaku padanya.
Dari proses sampling di kawasan frekuensi akibat proses DFT Anda mungkin
menyadari bahwa isyarat cosinus berfrekuensi 0,125 Hz (akibat proses DTFT)
kembali mengalami scaling sehingga bernilai dalam kelipatan integer 𝑘 pada
kawasan frekuensinya. Karena diketahui kawasan frekuensi memiliki spacing
bernilai
1
𝑁
Hz, maka posisi isyarat cosinus di kawasan frekuensi yang baru adalah :
𝑓′
0
=
𝑘0
𝑁
𝑘0 = 𝑓′
0
𝑁 = 0,125 ∙ 40 = 5
Dengan demikian, persamaan isyarat cosinus dalam konteks discrete-time dan
discrete-frequency adalah :
𝑥[𝑛] = cos (2𝜋
𝑘0
𝑁
𝑛) 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘0 = 5 𝑑𝑎𝑛 𝑁 = 40 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠
Isyarat cosinus diskrit 𝑥[𝑛] akan memiliki persamaan representasi kawasan
frekuensi 𝑋[𝑘] sebagai berikut :
𝑋[𝑘] =
1
2
𝑁(𝛿[𝑘 − 𝑘0] + 𝛿[𝑘 + 𝑘0])

18
Atau, agar lebih sesuai dalam konteks DFT, karena 𝑘 dimulai dari 0 dan berakhir
pada 𝑁 − 1, maka persamaan 𝑋[𝑘] menjadi :
𝑋[𝑘] =
1
2
𝑁(𝛿[𝑘 − 𝑘0] + 𝛿[𝑘 − (𝑁 − 𝑘0) ]) = 20(𝛿[𝑘 − 5] + 𝛿[𝑘 − 35 ])
d) Sampling process : representing spectrum frequency of signals
Sampai di sini Anda seharusnya sudah memahami bagaimana proses sampling
terjadi dan semua konsekuensi di baliknya, baik itu di kawasan waktu dan kawasan
frekuensi. Penting bagi Anda untuk benar – benar memahami pengujian 3a, 3b,
dan 3c sebelum memakai perintah fft pada MATLAB/SCILAB sebagai realisasi dari
transformasi Fourier. Pengujian 3c akan berfokus ke tahapan penggunaan perintah
fft pada MATLAB/SCILAB sehingga didapatkan representasi kawasan frekuensi
yang tepat dari suatu isyarat, baik itu pada konteks DFT, DTFT, dan FT (Fourier
transform). Ingat kembali bahwa behavior perintah fft adalah berbasis persamaan
DFT. Dengan demikian, bila Anda memberikan input berupa isyarat 𝑥[𝑛] ke perintah
fft maka langsung akan didapat representasi 𝑋[𝑘] yang merupakan bilangan
kompleks (bisa jadi real saja atau imajiner saja, tergantung dari symmetricity isyarat
Anda di kawasan waktu). Otomatis, setelah Anda mengenakan perintah fft, Anda
perlu mencari magnitude atau phase dari 𝑋[𝑘] agar didapat tanggapan magnitude
atau tanggapan phase. Pada MATLAB, Anda hanya perlu memakai perintah abs
untuk mencari magnitude dan perintah angle untuk mencari phase dari suatu
bilangan kompleks.
Contoh diberikan memakai isyarat cosinus dengan frekuensi 0,25 Hz yang terdapat
di pengujian 3b dengan sampling frequency sebesar 2 Hz dan durasi observasi 20
detik (40 samples). Gambar 3.8 menunjukkan representasi kawasan frekuensi
(magnitude) dari isyarat cosinus. Bila Anda amati, Anda sudah mendapatkan
representasi isyarat cosinus dalam kawasan frekuensi diskrit 𝑋[𝑘] yang sesuai
dengan persamaan 3c.
Perhatikan bahwa sumbu x (titik – titik data 𝒌) hanya terbatas pada 𝑵 − 𝟏!
Meskipun MATLAB merealisasikan komputasi DFT hanya untuk titik – titik data 𝑘
sampai 𝑁 − 1 (dan memang komputasi proses DFT hanya dapat menghasilkan titik
– titik data 𝑘 sebanyak 𝑁), terdapat alasan yang sangat logis di balik hal ini bila Anda
mengingat kembali proses sampling di kawasan waktu pada pengujian 3b serta teori
dan pembuktian proses sampling di kelas Isyarat dan Sistem.

19
Seperti ilustrasi pada Gambar 3.9, proses sampling di kawasan waktu berarti terjadi
operasi konvolusi antara spektrum suatu isyarat yang diamati dengan spektrum
impulse train. Dari Gambar 3.9 pula Anda dapat melihat bahwa perulangan
spektrum yang sama akan terus terjadi tiap 𝟐𝝅𝑭𝒔 rad/s. Dengan demikian,
semua frekuensi sebelum 0 rad/s dan setelah 𝟐𝝅𝑭𝒔 rad/s dapat diabaikan
(MATLAB mengabaikannya untuk alasan efisiensi komputasi), nanti Anda
akan melihat di pengujian 3f bahwa semua informasi yang diabaikan pada
rentang frekuensi tersebut dapat dibuat hanya dengan bermodalkan informasi
Gambar 3.9 Operasi konvolusi antara spektrum isyarat diamati dengan spektrum impulse train. Diambil
dari buku Signals and Systems 2nd
Edition by Alan V. Oppenheim halaman 517.
Gambar 3.8 Representasi kawasan frekuensi diskrit (dalam konteks DFT)
dari isyarat cosinus menggunakan perintah fft.

20
selama 𝟐𝝅𝑭𝒔 rad/s. Hal ini menjadi semakin jelas bila Anda mengingat kembali
teori sampling bahwa rekonstruksi kembali isyarat diamati dari wujudnya setelah
proses sampling adalah, berbasis spektrum dari sampled signal, Anda cukup
mengambil low frequency content sampai sebelum sampling frequency dan
mengabaikan semua high frequency content setelah sampling frequency
(realisasinya adalah dengan mengenakan low pass filter). Tentu saja, rekonstruksi
tersebut dapat berhasil selama kaidah Nyquist rate terpenuhi.
Dengan semua penjelasan dan pengujian sejauh ini, Anda seharusnya sudah
menyadari bahwa untuk mendapatkan representasi kawasan frekuensi pada konteks
DTFT dan FT1
hanya masalah meredefinisi sumbu x secara tepat dari representasi
kawasan frekuensi pada konteks DFT yang didapat dari perintah fft.
Di saat yang sama, ingat kembali pada pengujian 2 bahwa faktor
1
2𝜋
dipindah dari
persamaan sintesis FT ke persamaan analisis FT dalam rangka normalisasi
magnitude agar didapat representasi kawasan frekuensi yang lebih konsisten.
Dengan alasan yang sama, persamaan DFT menjadi :
1
𝑁
𝑋[𝑘] =
1
𝑁
∑ 𝑥[𝑛]𝑒(−𝑗
2𝜋𝑘
𝑁
𝑛)
𝑁−1
𝑛=𝑜
, 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁 − 1
Jadi, representasi isyarat cosinus dalam kawasan frekuensi pada konteks DFT
dirumuskan :
𝑋[𝑘] =
1
2
(𝛿[𝑘 − 5] + 𝛿[𝑘 − 35 ])
Representasi isyarat cosinus dalam kawasan frekuensi pada konteks DTFT
dirumuskan (dalam Hz) :
𝑋(Ω) =
1
2
(𝛿(𝑓′
− 0,125) + 𝛿(𝑓′
− (1 − 0,125)) =
1
2
(𝛿(𝑓′
− 0,125) + 𝛿(𝑓′
− 0,875)
1
Konteks FT yang dimaksud adalah setelah isyarat dikenakan proses sampling dan didapat titik
– titik waktu dengan periode sesuai sampling period (tentu saja mustahil untuk merealisasikan FT
secara continous-time via MATLAB/SCILAB). Konteks FT ini cukup baik sebagai pendekatan FT
yang sesungguhnya (continous-time dan continous-frequency).

21
Representasi isyarat cosinus dalam kawasan frekuensi pada konteks FT
(pendekatan) dirumuskan (dalam Hz) :
𝑋(𝑗𝜔) =
1
2
(𝛿(𝑓 − 0,25) + 𝛿(𝑓 − (2 − 0,25)) =
1
2
(𝛿(𝑓 − 0,25) + 𝛿(𝑓 − 1,75)
Gambar 3.10 Representasi kawasan frekuensi pada konteks DFT berupa titik – titik data 𝑘.
Kunci meredefinisi sumbu x adalah pemahaman akan DFT dan bagaimana spacing
atau jarak frekuensi di kawasan frekuensi DFT.
Gambar 3.11 Representasi kawasan frekuensi pada konteks DTFT berupa frekuensi
ternormalisasi akibat frequency scaling dengan faktor 𝑇𝑠. Kunci meredefinisi sumbu x
adalah pemahaman akan DTFT dan bagaimana spacing atau jarak frekuensi di
kawasan frekuensi DTFT.

22
Representasi kawasan frekuensi isyarat cosinus pada konteks DFT, DTFT dan FT
berturut – turut dimodelkan seperti Gambar 3.10, Gambar 3.11, dan Gambar 3.12.
Tugas Anda adalah :
• Gunakan isyarat cosinus berfrekuensi 0,25 Hz dengan sampling
frequency 5 Hz serta durasi observasi selama 20 detik (100 samples) yang
sudah Anda buat pada 3c. Tampilkan representasi frekuensi dari isyarat
tersebut pada konteks DFT dengan memakai perintah fft via
MATLAB/SCILAB! Perhatikan dengan seksama sumbu x dan sumbu y
(perhatikan contoh Gambar 3.10)! Lampirkan figure di laporan!
Sertakan pula persamaan matematis isyarat cosinus di kawasan frekuensi
(konteks DFT) tersebut di laporan!
Jelaskan/ceritakan bagaimana Anda meredefinisi sumbu x di laporan!
tersebut pada konteks DTFT dengan memakai perintah fft via
Gambar 3.12 Representasi kawasan frekuensi pada konteks FT dalam frekuensi Hz.
Kunci meredefinisi sumbu x adalah pemahaman akan FT dan bagaimana
spacing atau jarak frekuensi di kawasan frekuensi FT.

23
(konteks DTFT) tersebut di laporan!
tersebut pada konteks FT (pendekatan) dengan memakai perintah fft via
(konteks FT) tersebut di laporan!
e) Sampling process : the effect in frequency domain
Bila pada pengujian 3b Anda telah mengamati berbagai efek perubahan sampling
frequency terhadap isyarat yang Anda kenakan proses sampling di kawasan waktu,
kali ini Anda akan mengamati bagaimana efeknya di kawasan frekuensi.
Anda telah diberikan kode di lampiran dalam rangka memodelkan pengaruh
sampling frequency di kawasan waktu secara animatif.
Masih menggunakan isyarat cosinus Anda (berfrekuensi 0,25 Hz dengan sampling
frequency 5 Hz serta durasi observasi selama 20 detik/100 samples) dan berbasis
representasi kawasan frekuensi pada konteks FT, modifikasilah kode tersebut
hingga Anda mendapatkan plot kawasan frekuensi Anda secara animatif pula.
Jelaskan apa yang terjadi pada spektrum isyarat saat sampling frequency bernilai
kurang dari 0,6 Hz!
lebih dari 0,6 Hz sampai 2 Hz!
lebih dari 2 Hz sampai 10 Hz!
Pada rentang sampling frequency berapa terjadi fenomena aliasing di kawasan
frekuensi? Apa “gejala” terjadinya aliasing di kawasan frekuensi? Tunjukkan
fenomena tersebut di laporan!
f) The two-sided spectrum
Pada pengujian 1d Anda telah memahami bahwa menampilkan representasi kawasan
frekuensi yang terbentang dari frekuensi negatif sampai frekuensi positif

24
memberikan informasi lebih mengenai karakteristik isyarat, terlebih bila isyarat
yang diamati bukan merupakan isyarat real. Representasi spektrum dari frekuensi
negatif sampai frekuensi positif dengan frekuensi 0 (origin) berada di tengahnya
seperti ini dinamakan two-sided spectrum. Bila yang diamati merupakan isyarat
real, tentu saja representasi kawasan frekuensinya (tanggapan magnitude)
akan symmetric di origin. Hal ini berarti (pada konteks DFT) :
|𝑋[−𝑘 + 0]| = |𝑋[𝑘 + 0]|
Akan tetapi, ingat kembali bahwa pada teori sampling, representasi kawasan
frekuensi akan berulang tiap rentang 𝐹𝑠 Hz (konteks FT) atau tiap rentang 1 Hz
(konteks DTFT) atau tiap rentang 𝑁 (konteks DFT). Hal ini berarti di kawasan
frekuensi pada konteks DFT, sifat symmetric juga akan tetap ada di tiap rentang
𝜶𝑵 dengan 𝛼 merupakan kelipatan integer (jadi tidak harus selalu di origin/frekuensi
0). Dengan demikian, sifat symmetric di kawasan frekuensi untuk isyarat real pada
konteks DFT dapat dirumuskan ulang sebagai :
|𝑋[−𝑘 + 𝛼𝑁]| = |𝑋[𝑘 + 𝛽𝑁]|
𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝛼 = −∞, … , −2, −1, 0, 1, 2, … , ∞ 𝑑𝑎𝑛 𝛽 = −∞, … , −2, −1, 0, 1, 2, … , ∞
Namun, perhatikan bahwa bila isyarat yang diamati bukan merupakan isyarat real
(isyarat kompleks misalnya), maka conjugate symmetric akan gagal dicapai
sehingga :
|𝑋[−𝑘 + 0]| ≠ |𝑋[𝑘 + 0]|
Otomatis,
|𝑋[−𝑘 + 𝛼𝑁]| ≠ |𝑋[𝑘 + 𝛽𝑁]|
Namun, perulangan pada tiap rentang 𝑵 (konteks DFT) akibat proses sampling
tetap terjadi dengan persamaan :
𝑋[−𝑘] = 𝑋[−𝑘 + 𝛼𝑁]
𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝛼 = −∞, … , −2, −1, 0, 1, 2, … , ∞
Dan,
𝑋[𝑘] = 𝑋[𝑘 + 𝛽𝑁]
𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝛽 = −∞, … , −2, −1, 0, 1, 2, … , ∞
Berarti, bila memakai contoh pada Gambar 3.10 :
𝑋[−5] = 𝑋[−5 + 40] = 𝑋[35]

25
Dengan memahami konsep symmetric yang berulang ini dan memandang
representasi bahwa representasi 𝑿[𝒌] adalah suatu vektor dengan panjang 40
elemen, maka 20 elemen terakhir pada vektor tersebut dapat dipindah ke sebelum
20 elemen pertamanya untuk menghasilkan two-sided spectrum. Atau, sebagai
alternatif, 20 elemen pertama dapat dipindah ke sesudah 20 elemen terakhir.
Selanjutnya, hanya masalah meredifinisi sumbu x dengan tepat agar didapat plot
seperti Gambar 3.13.
Pada konteks FT dapat digambarkan seperti Gambar 3.14 (dalam Hz) dan Gambar
3.15 (dalam rad/s).
Dengan demikian, benarlah bahwa transformasi Fourier dari isyarat cosinus yang
dirumuskan :
𝑋(𝑗𝜔) =
1
2
(𝛿(𝜔 + 𝜔0) + 𝛿(𝜔 − 𝜔0)) =
1
2
(𝛿(𝑓 + 𝑓0) + 𝛿(𝑓 − 𝑓0))
𝑋(𝑗𝜔) =
1
2
(𝛿(𝜔 + 0,5𝜋) + 𝛿(𝜔 − 0,5𝜋)) =
1
2
(𝛿(𝑓 + 0.25) + 𝛿(𝑓 − 0.25))
Gambar 3.13 Model two-sided spectrum dari isyarat cosinus (modifikasi
dari Gambar 3.10)

26
Tugas Anda adalah :
• Kembali gunakan isyarat cosinus berfrekuensi 0,25 Hz dengan sampling
tersebut pada konteks FT secara two-sided spectrum dalam Hz dengan
Gambar 3.14 Model two-sided spectrum dari isyarat cosinus dalam Hz
(modifikasi dari Gambar 3.12)
Gambar 3.15 Model two-sided spectrum dari isyarat cosinus dalam rad/s
(modifikasi dari Gambar 3.12)

27
memakai perintah fft via MATLAB/SCILAB! Perhatikan dengan seksama
sumbu x dan sumbu y (perhatikan contoh Gambar 3.14)! Lampirkan
figure di laporan!
tersebut pada konteks FT secara two-sided spectrum dalam rad/s dengan
figure di laporan!
g) The one-sided spectrum
Selain tampilan kawasan frekuensi secara two-sided spectrum, terdapat pula
tampilan kawasan frekuensi yang dinamakan one-sided spectrum. Tampilan model
ini lebih berguna bila isyarat yang diamati merupakan isyarat real (bukan isyarat
kompleks). Tentu saja hal ini dikarenakan tanggapan magnitude isyarat real yang
symmetric di origin. Pengujian 2f pada unit 2 praktikum lalu merupakan contoh
menampilkan spektrum isyarat secara one-sided.
Ingat kembali pada pengujian 3d bahwa perintah fft pada MATLAB hanya
menghitung dari frekuensi 0 sampai sesaat sebelum 𝟐𝝅𝑭𝒔 rad/s (atau dari 0
sampai 𝑵 − 𝟏 pada konteks DFT).
Bila pada two-sided spectrum Anda perlu menukar posisi dari vektor isyarat Anda
agar didapat frekuensi 0 di tengah, untuk mendapatkan one-sided spectrum Anda
hanya perlu “membuang” separuh terakhir dari total elemen vektor isyarat Anda
sehingga Anda memiliki frekuensi dari 0 sampai sesaat sebelum 𝝅𝑭𝒔 rad/s (atau
dari 0 sampai
𝑵
𝟐
− 𝟏 pada konteks DFT).

28
Karena sifat symmetric pada tanggapan magnitude, tentu saja semua nilai magnitude
selain frekuensi 0 perlu dikali 2 agar didapat tampilan model one-sided spectrum
yang tepat.
Dengan demikian, lagi – lagi Anda hanya perlu meredefinisi sumbu x dengan
tepat agar didapat representasi kawasan frekuensi yang sesuai.
Tampilan model one-sided spectrum dari Gambar 3.14 dan Gambar 3.15 berturut –
turut ditunjukkan oleh Gambar 3.16 (dalam Hz) dan Gambar 3.17 (dalam rad/s).
Gambar 3.16 Model one-sided spectrum dari isyarat cosinus dalam Hz
Gambar 3.17 Model one-sided spectrum dari isyarat cosinus dalam rad/s

29
Tugas Anda adalah :
tersebut pada konteks FT secara one-sided spectrum dalam Hz dengan
figure di laporan!
tersebut pada konteks FT secara one-sided spectrum dalam rad/s dengan
figure di laporan!
h) Using the “fft” command
Gambar 3.18 Representasi kawasan frekuensi isyarat 𝑠(𝑡) dengan perintah fft

30
Setelah memahami dan mempraktikkan seluk – beluk penggunaan perintah fft secara
tepat pada MATLAB/SCILAB, ulangi kembali penggunaan isyarat 𝒔(𝒕) pada
pengujian 2, namun kali ini gunakan perintah fft dari MATLAB/SCILAB!
Lampirkan figures dan kode di laporan!
Agar didapatkan tampilan kawasan frekuensi yang diskrit, Anda dapat menggunakan
perintah stem alih – alih plot. Anda juga dapat membatasi rentang sumbu x dengan
perintah xlim agar Anda dapat berfokus ke impuls – impuls yang dekat dengan 0
rad/s saja. Gambar 3.18 menunjukkan tampilan tanggapan magnitude secara double-
sided yang sangat mirip dengan Gambar 3.2.
Pengujian 4 – Matriks DFT (Alternatif dari perintah fft)
Pada pengujian 3 sebelumnya Anda telah memahami bagaimana proses sampling dan
DFT sebagai pendekatan untuk merealisasikan transformasi Fourier via piranti
komputer (MATLAB/SCILAB). Di saat yang sama, penggunaan DFT membuka
adanya pemahaman yang lebih baik akan isyarat – isyarat basis sinusoidal (sinusoids)
penyusun suatu isyarat. Pada trasnformasi Fourier, mustahil bagi Anda untuk
melakukan tracking terhadap semua isyarat basis karena terdapat infinitely many
sinusoids (yang tergambar dalam rupa continous frequency) di kawasan frekuensi.
Pada deret Fourier, meskipun jarak antar sinusoids adalah
1
𝑇0
Hz atau
2𝜋
𝑇0
rad/s (tidak
berupa continous frequency), tetap sukar untuk melakukan tracking karena masih
terdapat jumlah sinusoids yang sampai tak berhingga (kelipatan integer n sampai
tak hingga) Pada DFT, melakukan tracking terhadap semua isyarat basis adalah suatu
hal yang mungkin karena hanya terdapat 𝑵 buah sinusoids penyusun suatu isyarat
dengan jarak antar sinusoids adalah
𝟏
𝑵
Hz atau
𝟐𝝅
𝑵
rad/s. Dengan demikian,
pengujian 4 ini memiliki esensi atau makna yang sangat mirip dengan pengujian
2 pada praktikum unit 2 (tentang deret Fourier) lalu di mana Anda melakukan
tracking satu per satu terhadap variasi frekuensi isyarat basis dalam rangka mengetahui
kontribusi tiap isyrat basis tertentu.
Ingat kembali bahwa pada DFT, jumlah elemen vektor di kawasan waktu dan frekuensi
adalah sama. Dengan demikian, isyarat – isyarat basis pada konteks DFT dapat disusun
menjadi sebuah matriks berukuran 𝑁𝑥𝑁 yang isinya adalah runtun bilangan kompleks
di mana bagian real merupakan runtun isyarat basis cosinus (even symmetricity) dan

31
bagian imajiner merupakan runtun isyarat basis sinus (odd symmetricity). Realisasi
matriks DFT adalah berbasis persamaan analisis DFT sebagai berikut :
𝑋[𝑘] = ∑ 𝑥[𝑛]𝑒(−𝑗
2𝜋𝑘
𝑁
𝑛)
𝑁−1
𝑛=𝑜
, 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁 − 1
Bila isyarat – isyarat basis pada DFT dibuat dalam variabel 𝜔, maka :
𝜔 = 𝑒(−𝑗
2𝜋
𝑁
)
Dengan demikian, secara matriks dan vektor, persamaan analisis DFT dapat ditulis
ulang sebagai berikut :
[
𝑋[0]
𝑋[1]
𝑋[2]
⋮
𝑋[𝑁 − 1]]
=
[
𝜔0
𝜔0
𝜔0
⋯ 𝜔0
𝜔0
𝜔1
𝜔2
⋯ 𝜔𝑁−1
𝜔0
𝜔2
𝜔4
⋯ 𝜔2(𝑁−1)
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝜔0
𝜔𝑁−1
𝜔2(𝑁−1)
⋯ 𝜔(𝑁−1)2
] [
𝑥[0]
𝑥[1]
𝑥[2]
⋮
𝑥[𝑁 − 1]]
𝑾 =
[
𝜔0
𝜔0
𝜔0
⋯ 𝜔0
𝜔0
𝜔1
𝜔2
⋯ 𝜔𝑁−1
𝜔0
𝜔2
𝜔4
⋯ 𝜔2(𝑁−1)
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝜔0
𝜔𝑁−1
𝜔2(𝑁−1)
⋯ 𝜔(𝑁−1)2
]
Bila hendak dinormalisasi agar nilai magnitude lebih sesuai (ingat kembali persoalan
konsistensi magnitude pada pengujian 2 dan 3), maka matriks DFT menjadi seperti
berikut :
𝑾𝒏𝒐𝒓𝒎 =
1
𝑁
∙
[
𝜔0
𝜔0
𝜔0
⋯ 𝜔0
𝜔0
𝜔1
𝜔2
⋯ 𝜔𝑁−1
𝜔0
𝜔2
𝜔4
⋯ 𝜔2(𝑁−1)
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝜔0
𝜔𝑁−1
𝜔2(𝑁−1)
⋯ 𝜔(𝑁−1)2
]
Dengan 𝑾 adalah matriks DFT yang berisi kumpulan isyarat basis berupa
eksponensial kompleks. Perhatikan bahwa pada matriks tersebut terdapat 𝑵 buah
isyarat basis (𝑵 baris) yang berjarak frekuensi
𝟏
𝑵
dan tiap isyarat basis hanya

32
dievaluasi (di-sample) tiap
𝟏
𝑵
pula sehingga tiap isyarat basis hanya memiliki 𝑵
buah titik (𝑵 kolom).
Tugas Anda adalah :
• Bangunlah matriks DFT berukuran 200x200 secara manual via
MATLAB/SCILAB! Hal ini berarti Anda membutuhkan 2 kali iterasi (1
untuk sweeping variabel 𝑘 dan 1 lagi untuk sweeping variabel 𝑛, urutan
sweeping sesuai preferensi Anda).
Anda dapat menggunakan perintah dftmtx pada MATLAB untuk melakukan
verifikasi terhadap matriks DFT Anda! Namun, Anda tetap harus
membangun matriks DFT secara manual (ditunjukkan dengan kode)!
• Tunjukkan ilustrasi isyarat – isyarat basis (semua komponen real dan
imajiner) dari matriks DFT! Anda dapat mengilustrasikan dengan perintah
plot yang beriterasi (dalam 2 dimensi) atau memakai perintah mesh terhadap
matriks DFT (dalam 3 dimensi). Apapun preferensi Anda, lampirkan figures
di laporan!
• Anda akan diberikan suatu vektor baris berukuran 1x200 bernama
some_signal bersama dengan praktikum ini yang menggambarkan suatu
isyarat di kawasan waktu. Anda diminta untuk mencari vektor keluaran
berupa isyarat di kawasan frekuensi. Normalisasilah matriks DFT yang
telah Anda bangun lalu gunakan matriks DFT ternormalisasi dan
carilah vektor keluarannya!
Coba lakukan limitasi terhadap sumbu x vektor keluaran tersebut! Apakah
Anda familiar dengan vektor keluaran tersebut? Bila iya, mirip dengan
apakah itu?
• Sampai di sini Anda hanya memiliki vektor keluaran tanpa informasi akan
sampling frequency (atau sampling period) dan durasi observasi isyarat.
Tanpa salah satu dari 2 informasi tersebut, Anda tidak dapat meredefinisi
sumbu x sehingga diketahui titik – titik frekuensi yang sesuai.
Bila titik – titik frekuensi diinginkan seperti Gambar 2.1 pada pengujian 2f
pada praktikum unit 2 lalu, bagaimana Anda meredifinisi sumbu x? Jelaskan
proses Anda di laporan dan lampirkan figures kawasan frekuensi yang sudah
Anda redefinisi!

33
Pengujian 5 – Analisis Transformasi Fourier terhadap Isyarat Aperiodik
a) Anda akan menggunakan kembali isyarat 𝑟(𝑡) (gelombang kotak) yang telah Anda
bangun pada pengujian 4 unit 2. Namun dengan sedikit modifikasi yang sudah
tersedia di lampiran. Dengan isyarat 𝑟(𝑡) tersebut, carilah representasi kawasan
frekuensinya dengan perintah fft via MATLAB/SCILAB secara double-sided
(kawasan frekuensi dalam Hz). Gunakan perintah stem dan perintah axis([-10 10 0
2]). Lampiran figures di laporan!
Lalu, tingkatkan nilai periode isyarat (dari yang semula 2) menjadi 3, 4, ... 8.
Perhatikan dengan seksama tampilan isyarat di kawasan waktu dan representasinya
di kawasan frekuensi!
Apa yang terjadi di kawasan waktu? Pada periode berapa Anda justru melihat isyarat
aperiodik dari isyarat 𝑟(𝑡) yang awalnya adalah periodik? Jelaskan kesimpulan Anda
terkait fenomena yang Anda lihat di kawasan waktu!
Seiring meningkatnya nilai periode, apa yang terjadi di kawasan frekuensi? Ubahlah
perintah stem menjadi plot lalu lihat perubahannya! Pada nilai periode 8, kurva apa
yang dapat Anda lihat? Bandingkan dengan saat nilai periode 2! Lampirkan figures
di laporan dan jelaskan kesimpulan Anda!
b) Carilah trasnformasi Fourier dari berbagai isyarat aperiodik berikut secara manual
(sertakan proses matematis di laporan) lalu verifikasi hasilnya via
MATLAB/SCILAB (sertakan figures di laporan)! Anda cukup mencari
tanggapan magnitude saja.
• 𝑝(𝑡) = {
1, |𝑡| < 𝑇
0, |𝑡| > 𝑇
• 𝑞(𝑡) = 𝑒−𝑎𝑡
𝑢(𝑡) 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎 > 0
• 𝑟(𝑡) = 0,5𝛿(𝑡 + 𝛼) + 0,5𝛿(𝑡 − 𝛼)
Variabel 𝑇 pada isyarat 𝑝(𝑡), variabel 𝑎 pada isyarat 𝑞(𝑡), dan variabel 𝛼 pada
isyarat 𝑟(𝑡) dapat Anda isi sesuai preferensi Anda (tidak boleh sama dengan
contoh yang terdapat di lampiran).
Dalam merealisasikan ketiga macam isyarat tersebut di kawasan waktu, Anda bisa
menggunakan konsep proses sampling.
Tampilkan spektrum frekuensi dalam two-sided dengan sumbu frekuensi
dalam rad/s! Pastikan proses redefinisi sumbu x Anda sesuai!

34
Tunjukkan/buktikan di laporan bahwa hasil perhitungan manual Anda sangat
mendekati dengan hasil transformasi Fourier via MATLAB/SCILAB!
Anda diberi pilihan untuk memakai perintah fft atau matriks DFT untuk
merealisasikan transformasi Fourier via MATLAB/SCILAB sesuai preferensi
Anda.
Anda juga bebas memilih untuk melakukan normalisasi pada magnitude atau tidak
selama laporan Anda konsisten! Ceritakan semua proses yang Anda kerjakan
di laporan!
Di lampiran diberikan contoh isyarat di kawasan waktu dan hasil transformasi
Fourier dari ketiga isyarat yang diminta dalam versi tanpa normalisasi magnitude
(
𝟏
𝑵
) dengan tujuan agar lebih mudah untuk melakukan verifikasi terhadap
perhitungan manual. Anda dapat mengacu ke lampiran tersebut untuk memastikan
kebenaran hasil transformasi Fourier Anda.
Pengujian 6 – Engineering Scenario : Analog Modulation
Di perkuliahan Anda telah memahami berbagai properti terkait transformasi Fourier,
salah satunya adalah frequency shifting. Teknik modulasi analog merupakan teknin
modulasi yang mengambil manfaat dari properti tersebut. Modulasi pada prinsipnya
hanyalah suatu fenomena frequency shifting yang sering digunakan di berbagai bidang
komunikasi dan pengolahan informasi. Pada bidang komunikasi, modifikasi karakter
frekuensi dari suatu isyarat penting dilakukan utamanya untuk menyelaraskan frekuensi
isyarat dengan medium pemancar atau untuk mencegah interferensi. Pada mata kuliah
lain, Anda mungkin sudah pernah mendengar bahwa isyarat wicara via telepon berkisar
antara 200 Hz sampai 3000 Hz. Bila diketahui relasi antara panjang gelombang (𝜆),
cepat rambat gelombang cahaya (𝑐), dan frekuensi (𝑓) berikut :
𝜆 =
𝑐
𝑓
Serta, diketahui pula rule of thumb persamaan panjang antena (𝑙) =
1
2
𝜆,
Hitung dan tentukan ukuran antena yang sesuai untuk memancarkan isyarat wicara
tersebut! Apakah ukuran antena cukup realistis untuk dibangun?
Bila diinginkan ukuran antena sebesar 10 cm, pada frekuensi berapa isyarat dapat
dipancarkan via antena tersebut?

35
Pada pengujian ini, jenis modulasi yang digunakan adalah modulasi analog dengan jenis
double sideband suppressed carrier (DSBSC). Modulasi DSBSC termasuk dalam
kategori amplitude modulation (AM), artinya suatu isyarat termodulasi AM akan
mengalami perubahan amplitudo yang berulang – ulang selama durasi periodenya.
Anda akan mengamati bagaimana proses terbentuknya teknik modulasi tersebut dengan
bantuan MATLAB/SCILAB dan perintah fft di dalamnya.
Sekarang, bangkitkan suatu isyarat cosinus dengan frekuensi 10 Hz! Sampling
frequency dan durasi observasi dapat Anda atur sesuai preferensi Anda.
Lampirkan kawasan waktu dan frekuensinya secara double-sided (tanggapan
magnitude saja)! Sertakan figures di laporan!
Lalu, lakukan operasi frequency shifting terhadap isyarat cosinus tersebut
sehingga didapat kawasan frekuensi seperti Gambar 3.8.
Carilah fungsi (sebut saja fungsi 𝑚(𝑡)) yang membuat isyarat cosinus jadi memiliki
kawasan frekuensi seperti Gambar 3.8! Lampirkan figures kawasan waktu dan
frekuensi dari fungsi tersebut di laporan! Hitunglah juga secara manual dan sertakan
proses matematikanya di laporan bagaimana fungsi tersebut dapat menyebabkan
Gambar 3.19 Representasi kawasan frekuensi isyarat cosinus setelah frequency
shifting

36
frequency shifting! Lampirkan pula figures kawasan waktu dan frekuensi dari isyarat
cosinus hasil frequency shifting di laporan!
Fenomena frequency shifting akibat perkalian dengan fungsi 𝑚(𝑡) di kawasan waktu
juga dapat dipandang sebagai operasi lain di kawasan frekuensi. Operasi antara isyarat
cosinus dan fungsi 𝑚(𝑡) di kawasan frekuensi disebut apa?
Perhatikan tipe data isyarat cosinus setelah terkena operasi frequency shifting tersebut!
Apa tipe datanya? Apakah isyarat cosinus masih berupa isyarat real? Kaitkan
penjelasan Anda dengan symmetricity pada tanggapan magnitude isyarat cosinus hasil
frequency shifting!
Setelah memahami permasalahan symmetricity yang muncul akibat penggunaan fungsi
𝑐(𝑡), Anda akan menyadari bahwa fungsi 𝑚(𝑡) yang dibutuhkan untuk melakukan
frequency shifting merupakan isyarat kompleks yang sangat merepotkan untuk
dibangkitkan di dunia nyata oleh berbagai piranti. Padahal, teknologi modulasi dipakai
oleh berbagai piranti komunikasi di kehidupan manusia. Isyarat sinusoidal real
merupakan isyarat yang mudah dibangkitkan oleh berbagai piranti komputer modern.
Sekarang, lakukan operasi perkalian antara isyarat cosinus terhadap suatu fungsi 𝑛(𝑡)
berikut :
𝑛(𝑡) = cos(𝜔𝑡) 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑓 = 100 𝐻𝑧
Selesaikan operasi perkalian tersebut secara manual dan sertakan proses matematikanya
di laporan! Lalu, verifikasi hasilnya menggunakan MATLAB/SCILAB! Tampilkan
hasil perkaliannya di kawasan waktu dan frekuensi! Apa yang terjadi? Apakah masih
terjadi frequency shifting sama seperti sebelumnya? Bila iya, apa perbedaannya dengan
frequency shifting sebelumnya? Bagaimana tipe data isyarat hasil perkalian tersebut?
Jelaskan kesimpulan Anda terkait symmetricity di kawasan frekuensi pada hasil
perkalian yang baru ini!
Penggunaan fungsi 𝑛(𝑡) sebagai penggeser frekuensi untuk isyarat cosinus memiliki
efek samping dibandingkan menggunakan fungsi 𝑚(𝑡). Perhatikan dan bandingkan
magnitude hasil perkalian antara isyarat cosinus dan fungsi 𝑛(𝑡) serta antara isyarat
cosinus dan fungsi 𝑚(𝑡)! Apakah terjadi penyusutan magnitude bila isyarat cosinus
dikalikan fungsi 𝑛(𝑡)? Bila iya, berapakah penyusutannya?

37
Masih dengan konsep frequency shifting yang sama, coba kembalikan isyarat hasil
perkalian antara isyarat cosinus dan fungsi 𝑛(𝑡) ke isyarat cosinus semula (frekuensi
semula)! Tunjukkan hasil perhitungan manual dan perhitungannya via
MATLAB/SCILAB di laporan! Apakah terdapat isyarat “residu” yang muncul
bersamaan dengan isyarat cosinus semula? Menurut Anda, bagaimana cara
menghilangkan isyarat “residu” tersebut?

38
Lampiran Kode dan Figures
Lampiran kode MATLAB untuk pengujian 1b :
%% Code by Gabriel, Electrical Engineering Department
%% Gadjah Mada University
%% Example of Complex Exponential
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Complex plot
t=0:0.01:8;
omega1=(pi/4);
omega2=(-pi/4);
R=1/(2);
[x1,y1]=pol2cart(omega1,R);
z1=x1+1i*y1;
z2=x2+1i*y2;
figure(1)
clf
hold on
plot(z1,'*')
plot(z2,'*')
axis equal
axis([-1 1 -1 1])
grid on
xlabel('Real')
ylabel('Imajiner')
title('Bidang kompleks')
%% Real plot
omega1=(pi/4.*t);
omega2=(-pi/4.*t);
R=1/(2);
z1=x1+1i*y1;
z2=x2+1i*y2;
z=z1+z2;
figure(2)
plot(t,z)
xlabel('Waktu')
ylabel('Amplitudo')
title('Bidang real')

39
Lampiran kode MATLAB untuk pengujian 3e :
Lampiran kode MATLAB untuk pengujian 5a :
%% Example of The Effect of Sampling Frequency in Time Domain
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Fs=0.1:0.1:10; % sampling frequency variation
L=20; % duration of observation
for i=1:length(Fs) % iteration for sampling frequency variation
Ts=1/Fs(i); % sampling period
N=floor(Fs(i)*L); % total samples
t=0:Ts:(L-Ts); % time vector
x=cos(2*pi*0.25*t); % input your signal here
figure(1)
plot(t,x)
grid on
title('Sampling of 0.25 Hz cosine signal (Fs = 2 Hz)')
xlabel('nTs')
ylabel('x(nTs)')
pause(0.2) % can be varied for better observation
end
%% Example of Derivation of Aperiodic Signal from Periodic Signal
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Fs=100;
Ts=1/Fs;
L=200;
t = (-L:L-1)*Ts;
nmax=100;
T=2;
w0=2*pi/T;
x=1;
for n=1:nmax
a=(2.*(1/(n*pi))*(sin((n*pi)/2)))*cos(n*w0*t);
b=0;
x=x+a+b; %dc term+cosine terms+sine terms
end
figure(1)
plot(t,x)
title('Representasi deret Fourier isyarat v(t)')
xlabel('Waktu (s)')
ylabel('Amplitudo')
grid on

40
Lampiran figures untuk pengujian 5b :
Perhatikan bahwa representasi frekuensi dilakukan tanpa normalisasi pada tanggapan
magnitude agar cross-check kebenarannya dengan perhitungan manual lebih mudah dilakukan.
Gambar 3.21 Tanggapan magnitude dari runtun 𝑝[𝑛]
Gambar 3.20 Pendekatan isyarat 𝑝(𝑡) dengan runtun 𝑝[𝑛]. Nilai 𝑇 dipilih sebesar 2,5
sehingga durasi observasi adalah sebesar 5 sample (sampling rate 1 Hz).

41
Gambar 3.22 Isyarat 𝑞(𝑡). Dipilih nilai 𝑎 = 2.
Gambar 3.23 Tanggapan magnitude dari isyarat 𝑞(𝑡)

42
Gambar 3.24 Pendekatan isyarat 𝑟(𝑡) dengan runtun 𝑟[𝑛]. Dipilih nilai 𝛼 = 2
Gambar 3.25 Tanggapan magnitude dari runtun 𝑟[𝑛]

TRANSFORMASI FOURIER DAN APLIKASINYA

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to TRANSFORMASI FOURIER DAN APLIKASINYA

Similar to TRANSFORMASI FOURIER DAN APLIKASINYA (20)

More from Adam Superman

More from Adam Superman (20)

TRANSFORMASI FOURIER DAN APLIKASINYA