Dokumen tersebut membahas tentang statistika dasar termasuk konsep mean, varian, dan selang kepercayaan. Metode-metode estimasi untuk satu dan dua populasi dibahas beserta contoh-contoh perhitungannya.

1. NURUL FITRIYANI, S.Si., M.Si.
nurul.Fitriyani@unram.ac.id
FMIPA UNIVERSITAS MATARAM
2017

2. Basic Statistics - 2017 2

3. Selang
Kepercayaan
Proporsi
1 Proporsi
Selisih
2 Proporsi
Mean
1 Mean

Diketahui
Populasi
Terbatas
Selisih
2 Mean
Varian
Diketahui
VarianTdk
Diketahui
s1 = s2 s1 ≠ s2
Data
Berpasangan
Varian
1Varian
Rasio
2 varian

4.  Asumsi
▪ Simpangan baku Populasi () Diketahui
▪ Populasi Berdistribusi Normal
▪ Jika tidak Normal, gunakan sampel besar (n ≥ 30)
 Estimasi Selang Kepercayaan
Basic Statistics - 2017 4
n
ZX
n
ZX



  2/2/

5.  Contoh :
Suatu sampel acak 49 batang baja profil,
menghasilkan rata-rata kekuatan tarik sebesar 120
kg/mm2. Apabila standar deviasi populasinya
diketahui = 14 kg/mm2.
Buat selang kepercayaan 95 % untuk rata-rata
kekuatan tarik dari jenis baja profil tersebut.
Basic Statistics - 2017 5

6. Basic Statistics - 2017 6

7. Basic Statistics - 2017 7

8.  Penyelesaian :
Basic Statistics - 2017 8
92.12308.116
49
14
96.1120
49
14
96.1120
2/2/









n
ZX
n
ZX

9.  Untuk mengetahui rata-rata waktu transaksi
menggunakan mesin ATM, diambil sampel
sebanyak 38 transaksi dan diperoleh rata-rata
waktu transaksi selama 261 detik dengan standar
deviasi populasi 22 detik. Buat selang kepercayaan
99 % untuk rata-rata waktu transaksi menggunakan
ATM.
9Basic Statistics - 2017

10.  Untuk mengestimasi rata-rata pendapatan mingguan
dari pekerja restoran, seorang peneliti
mengumpulkan data pendapatan mingguan dari
sampel acak sebanyak 75 pekerja restoran dan
didapatkan rata-rata $227 dengan standar deviasi
populasi $15. Buat selang kepercayaan 90% dan 80%
untuk rata-rata pendapatan mingguan pekerja
restoran tersebut.
10Basic Statistics - 2017

11.  Dalam suatu studi kualitas nutrisi dari fast foods,
diukur kandungan lemak 35 sampel acak
hamburger. Diperoleh rata-rata 30.2 gr dengan
standar deviasi populasi 3.8 gr. Buat selang
kepercayaan 95% untuk rata-rata kandungan lemak
dalam hamburger.
11Basic Statistics - 2017

12.  Pada studi yang sama, juga diukur kandungan
sodiumnya dan diperoleh rata-rata 658 mg dengan
simpangan baku populasi 47 mg. Buat selang
kepercayaan 98 % untuk rata-rata kandungan
sodium dalam hamburger.
12Basic Statistics - 2017

13. Selang
Kepercayaan
Proporsi
1 Proporsi
Selisih
2 Proporsi
Mean
1 Mean

Diketahui
Populasi
Terbatas
Selisih
2 Mean
Varian
Diketahui
VarianTdk
Diketahui
s1 = s2 s1 ≠ s2
Data
Berpasangan
Varian
1Varian
Rasio
2 varian
Basic Statistics - 2017 13

14.  Asumsi
▪ Simpangan baku Populasi ()Tidak Diketahui
▪ Ukuran Sampel Kecil (n < 30)
Basic Statistics - 2017 14

15.  Menggunakan Distribusi Student’s t
 Estimasi Selang Kepercayaan
Basic Statistics - 2017 15
n
S
tX
n
S
tX nn   1,2/1,2/  

16. Z
t0
t (db = 5)
Standard
Normal
t (db = 13)
• Bentuk
Lonceng
• Simetris
• Ekor ‘Lebih
Besar’
Basic Statistics - 2017 16

17. Banyaknya pengamatan yang bebas
bervariasi setelah rata-rata sampel
dihitung.
Basic Statistics - 2017 17

18.  Contoh
Rata-rata dari 3 bilangan adalah 2.
X1 = 1 (atau Bilangan Lain)
X2 = 2 (atau Bilangan Lain)
X3 = 3 (TIDAK bebas bervariasi)
Rata-rata = 2
Basic Statistics - 2017 18
Derajat bebas
= n – 1 = 3 – 1 = 2

19. t0
Asumsi
n = 3
db = n - 1 = 2
 = 0.10
/2 = 0.05
2.920
 / 2
0.05
Basic Statistics - 2017 19
Area Di atas Ekor
db 0.25 0.10 0.05
1 1.000 3.078 6.314
2 0.817 1.886 2.920
3 0.765 1.638 2.353

20. 20Basic Statistics - 2017

21. Sebuah sampel acak dengan n = 25
mempunyai rata-rata 50 dan simpangan
baku 8. Buat estimasi selang kepercayaan
95 % untuk rata-rata.
Basic Statistics - 2017 21

22.  Data < 30
 Simpangan baku populasi tidak diketahui
 Gunakan distribusi Student’s t.
Basic Statistics - 2017 22

23. Basic Statistics - 2017 23
3024.536976.46
5
8
064.250
5
8
064.250
5
8
50
5
8
50
25
8
50
25
8
50
24;025.024;025.0
125;2/05.0125;2/05.0
1,2/1,2/











 
tt
tt
n
S
tX
n
S
tX nn

24. 24Basic Statistics - 2017

25. 25Basic Statistics - 2017

26. Selang
Kepercayaan
Proporsi
1 Proporsi
Selisih
2 Proporsi
Mean
1 Mean

Diketahui
Populasi
Terbatas
Selisih
2 Mean
Varian
Diketahui
VarianTdk
Diketahui
s1 = s2 s1 ≠ s2
Data
Berpasangan
Varian
1Varian
Rasio
2 varian
Basic Statistics - 2017 26

27. Basic Statistics - 2017 27
Populasi 1 Populasi 2
Sampel 1 Sampel 2
 2
11,  2
22 ,
 2
11,1 , sxn  2
22,2 , sxn

28. Basic Statistics - 2017 28
Estimator titik dari
adalah
Bagaimana dengan estimasi selangnya?
 21  
 21 xx 

29. 29Basic Statistics - 2017
1
2
1
1
11
)(
)(
n
XVar
XE




2
2
2
1
2
1
2121
2121
)()()(
)(
nn
XVXVXXVar
XXE





Independen, saling lepas, dapat di pecah.
2
2
2
2
22
)(
)(
n
XVar
XE





30. Selang
Kepercayaan
Proporsi
1 Proporsi
Selisih
2 Proporsi
Mean
1 Mean

Diketahui
Populasi
Terbatas
Selisih
2 Mean
Varian
Diketahui
VarianTdk
Diketahui
1 = 2 1 ≠ 2
Data
Berpasangan
Varian
1Varian
Rasio
2 varian
Basic Statistics - 2017 30

31. Basic Statistics - 2017 31
Varian Diketahui
)1,0(~
//
)()(
)//,(~)(
2
2
21
2
1
2121
2
2
21
2
12121
N
nn
XX
nnNXX







32. Basic Statistics - 2017 32
 
2/
2
2
2
1
2
1
2121
2/
2/2/
)()(
1,0




z
nn
XX
z
zZz





2
2
2
1
2
1
2/2121
2
2
2
1
2
1
2/21 )()()(
nn
zXX
nn
zXX



 

33. Seorang importir mobil menerima 2 jenis mobil (A dan B).
Untuk mengetahui fuel ekonomi dari 2 jenis tersebut maka
dari 50 data yang dikumpulkan dari masing-masing jenis
ternyata rata-rata jarak tempuh per liter jenis A = 12.82
km/lt dan jenis B = 12.08 km/lt.
Bila standar deviasi masing-masing diketahui sebesar 0.8
km/lt dan 0.94 km/lt, buat selang kepercayaan 95 % untuk
beda rata-rata jarak tempuh per liter.
Basic Statistics - 2017 33

34. 34
 
082216.1)(397784.0
0176.00128.096.1)74.0(
50
94.0
50
8.0
)08.1282.12(
)(
21
22
025.0
2
2
2
1
2
1
2/21







z
nn
zXX
Estimasi Selang Selisih 2 Rata-rata

35. Basic Statistics - 2017 35

36. Selang
Kepercayaan
Proporsi
1 Proporsi
Selisih
2 Proporsi
Mean
1 Mean

Diketahui
Populasi
Terbatas
Selisih
2 Mean
Varian
Diketahui
VarianTdk
Diketahui
1 = 2 1 ≠ 2
Data
Berpasangan
Varian
1Varian
Rasio
2 varian
Basic Statistics - 2017 36

37. (1) VarianTidak Diketahui dan 1 = 2
2
21
2
2121
21
~
11
)()(









nn
p
t
nn
s
XX 
2
)1()1(
21
2
22
2
112



nn
snsn
sdengan p

38. Basic Statistics - 2017 38
2,2/
21
2
2121
2,2/
2,2/22,2/
2121
212121
11
)()(













nn
p
nn
nnnnnn
t
nn
s
XX
t
ttt



Estimasi Selang Selisih 2 Rata-rata

39. Basic Statistics - 2017 39
21
2,2/21
21
21
2,2/21
11
)(
)(
11
)(
21
21
nn
stXX
nn
stXX
pnn
pnn








Jadi,

40. (2) VarianTidak Diketahui dan 1 ≠ 2


t
n
s
n
s
XX
~
)()(
2
2
2
1
2
1
2121


)1(
)/(
)1(
)/(
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1











n
ns
n
ns
n
s
n
s


41. Basic Statistics - 2017 41
vv
vvv
t
n
s
n
s
XX
t
ttt
,2/
2
2
2
1
2
1
2121
,2/
,2/,2/
)()(








Estimasi Selang Selisih 2 Rata-rata

42. Basic Statistics - 2017 42
2
2
2
1
2
1
,2/21
21
2
2
2
1
2
1
,2/21
)(
)(
)(
n
s
n
s
tXX
n
s
n
s
tXX
v
v






Jadi,

43. Dua jenis baja diambil masing-masing 7 dan 6 sampel,
pengambilan dilakukan secara acak kemudian diuji
kekerasannya dan masing-masing memberikan hasil sebagai
berikut.
Baja I : 157.8; 156.2; 161.9; 154.4; 153.6; 156.4; 153.2
Baja II: 164.2; 158.7; 163.1; 162.5; 159.8; 159.2
Buat selang kepercayaan 95 % untuk beda/ selisih kekerasan
kedua jenis baja tersebut.
Basic Statistics - 2017 43

44. Basic Statistics - 2017 44
 Baja I :
 Baja II :
01500625.92143.1567 2
111  sxn
299204.525.1616 2
222  sxn

45. Basic Statistics - 2017 45
Jika 1 = 2
   
638.1
267
299.5)16(015.9)17(
2
22
2




pp
p
ss
s

46. Basic Statistics - 2017 46
 
   
0415.7)(030.3
6
1
7
1
638,1201,2)2143.15625.161(
6
1
7
1
638,1)2143.15625.161(
11
)(
21
267,025.0
21
2,2/21 21








t
nn
stXX pnn
Jadi,

47. 47Basic Statistics - 2017

48. Basic Statistics - 2017 48
Jika 1 ≠ 2
 
   
119.10
5/6/299204.56/7/01500625.9
6/299204.57/01500625.9
)1(
)/(
)1(
)/(
2222
222
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1















n
ns
n
ns
n
s
n
s


49. Basic Statistics - 2017 49
 
2414.8)(8297.1
6/299204.57/01500625.9201,20357.5
)(
)(
21
22
2
2
2
1
2
1
11,025.021
2
2
2
1
2
1
,2/21






n
s
n
s
tXX
n
s
n
s
tXX v
Jadi,

50. Selang
Kepercayaan
Proporsi
1 Proporsi
Selisih
2 Proporsi
Mean
1 Mean

Diketahui
Populasi
Terbatas
Selisih
2 Mean
Varian
Diketahui
VarianTdk
Diketahui
s1 = s2 s1 ≠ s2
Data
Berpasangan
Varian
1Varian
Rasio
2 varian
Basic Statistics - 2017 50

51. Basic Statistics - 2017 51
Untuk Data Berpasangan
 Dua kelompok data yang diukur dari individu yang
sama.
 Percobaan yg perlakuannya dipasang-pasangkan.

52. Basic Statistics - 2017 52
Langkah – Langkah :
1. d = x1 – x2
2. Hitung rata-rata (d) dan varian (d)
3.  
n
s
td
n
s
td d
n
d
n 1,2/211,2/ 
  

53. Terdapat 15 orang pasien yang diukur tekanan
darahnya sebelum dan sesudah diberi obat “X”, untuk
mengetahui apakah obat tersebut dapat menurunkan
tekanan darah pemakainya. Buat selang kepercayaan
95 % untuk beda rata-rata tekanan darah sebelum dan
sesudah pemberian obat.
Basic Statistics - 2017 53

54. Basic Statistics - 2017 54
Sebelum(A) 70 80 72 76 76 76 72 78 82 64 74 92 74 68 84
Sesudah(B) 68 72 62 70 58 66 68 52 64 72 74 60 74 72 74
d = A – B 2 8 10 6 18 10 4 26 18 -8 0 32 0 -4 10
145.2
98.10
80.8
14;025.0 


t
s
d
d

55. 55Basic Statistics - 2017

56. Basic Statistics - 2017 56
 
 
  88.1472.2
15
98.10
145.280.8
15
98.10
145.280.8
21
21
1,2/211,2/


 


 
n
s
td
n
s
td d
n
d
n

57.  Buatlah masing-masing satu contoh soal
beserta penyelesaiannya untuk setiap kasus
estimasi selang kepercayaan yang telah
dipelajari.
Basic Statistics - 2017 57

58. Basic Statistics - 2017 58

59. Selang
Kepercayaan
Proporsi
1 Proporsi
Selisih
2 Proporsi
Mean
1 Mean

Diketahui
Populasi
Terbatas
Selisih
2 Mean
Varian
Diketahui
VarianTdk
Diketahui
s1 = s2 s1 ≠ s2
Data
Berpasangan
Varian
1Varian
Rasio
2 varian
Basic Statistics - 2017 59

60.  Asumsi
▪ Muncul dua kategori
▪ Populasi mengikuti Distribusi Binomial
▪ Dapat digunakan pendekatan Normal
▪ n · p 5 & n · (1 – p)  5
Basic Statistics - 2017 60

61.  Estimasi Selang Kepercayaan
Basic Statistics - 2017 61
n
pp
Zp
n
pp
Zp
)1()1(
2/2/



  

62. Misalkan ingin diestimasi berapa persen penduduk
yang berusia 15 tahun ke atas yang termasuk ke
dalam golongan A. Untuk ini, sebuah sampel acak
berukuran 1200 diambil, dan dihasilkan 504 orang
tergolong kelompok A. Tentukan selang
kepercayaan 95 % bagi proporsi populasi.
Basic Statistics - 2017 62

63.  Data > 30, sampel besar
 Estimasi titik proporsi diketahui :
p = presentase golongan A dalam sampel
= (504 / 1.200) x 100 % = 42 %
 p = 42 % = 0.42
 q = 1 – p = 58 % = 0.58
Basic Statistics - 2017 63

64. Basic Statistics - 2017 64
   
45.039.0
014.096.142.0014.096.142.0
1200
)58.0(42.0
42.0
1200
)58.0(42.0
42.0
)1()1(
2/05.02/05.0
2/2/










 
ZZ
n
pp
Zp
n
pp
Zp

65. Selang
Kepercayaan
Proporsi
1 Proporsi
Selisih
2 Proporsi
Mean
1 Mean

Diketahui
Populasi
Terbatas
Selisih
2 Mean
Varian
Diketahui
VarianTdk
Diketahui
s1 = s2 s1 ≠ s2
Data
Berpasangan
Varian
1Varian
Rasio
2 varian
Basic Statistics - 2017 65

66. Basic Statistics - 2017 66
)1,0(~
)1()1(
)()(
2
22
1
11
2121
N
n
pp
n
pp
pp



 

67. Basic Statistics - 2017 67
 
2/
2
22
1
11
2121
2/
2/2/
)1()1(
)()(
1,0



z
n
pp
n
pp
pp
z
zZz








68. Basic Statistics - 2017 68
2
22
1
11
2/21
21
2
22
1
11
2/21
)1()1(
)(
)(
)1()1(
)(
n
pp
n
pp
zpp
n
pp
n
pp
zpp













69. Dua buah mesin pembuat paku, setelah diperiksa hasil
produksinya diambil dari masing-masing mesin secara
acak 400 dan 300 sampel terdapat masing-masing 200
dan 120 yang rusak.
Buat selang kepercayaan 95 % untuk beda proporsi
paku yang rusak untuk seluruh produksi.
Basic Statistics - 2017 69

70. Mesin I :
Mesin II :
Basic Statistics - 2017 70
5.0
400
200
400 11  pn
4.0
300
120
300 22  pn

71. Basic Statistics - 2017 71
17448.0)(02552.0
300
)6.0(4.0
400
)5.0(5.0
96.11.0
300
)4.01(4.0
400
)5.01(5.0
)4.05.0(
)1()1(
)(
21
025.0
2
22
1
11
2/21












z
n
pp
n
pp
zpp
Selang Kepercayaan Beda Dua Proporsi

72. Selang
Kepercayaan
Proporsi
1 Proporsi
Selisih
2 Proporsi
Mean
1 Mean

Diketahui
Populasi
Terbatas
Selisih
2 Mean
Varian
Diketahui
VarianTdk
Diketahui
s1 = s2 s1 ≠ s2
Data
Berpasangan
Varian
1Varian
Rasio
2 varian
Basic Statistics - 2017 72

73. Basic Statistics - 2017 73
Distribusi Chi-Square (Khi-Kuadrat)
2
2
2
~
)1(
tabel
sn




74. Basic Statistics - 2017 74
Kurva Distribusi Chi-Square (Khi-Kuadrat)

22
,

)( 2f

75. Basic Statistics - 2017 75
Estimasi Selang KepercayaanVarian
2
1,2/1
2
2
2
1,2/
2
2
1,2/2
2
2
1,2/1
)1()1(
)1(








nn
nn
snsn
sn









76. Diketahui 10 data sampel sebagai berikut.
46.4 46.1 45.8 47.0 46.1
45.9 45.8 46.9 45.2 46.0
Buat selang kepercayaan 95 % untuk variannya, bila
diasumsikan data berdistribusi normal.
Basic Statistics - 2017 76

77. Basic Statistics - 2017 77
?x
Mencari nilai standar deviasi (s)
 
?
1
2
2





n
xx
s i

78. Basic Statistics - 2017 78
12.46x
Mencari nilai standar deviasi (s)
286.02
s

79. Basic Statistics - 2017 79
975.02/1
025.02/
05.0






   
   
   
953.0135.0
700.2
286.0)9(
023.19
286.0)9(
286.0)9(286.0)9(
286.0)110(286.0)110(
)1()1(
2
2
2
9,975.0
2
2
9,025.0
2
9,975.0
2
2
9,025.0
2
1,2/1
2
2
2
1,2/
2




















  nn
snsn
Estimasi Selang KepercayaanVarian

80. Basic Statistics - 2017 80

81. Basic Statistics - 2017 81

82. Selang
Kepercayaan
Proporsi
1 Proporsi
Selisih
2 Proporsi
Mean
1 Mean

Diketahui
Populasi
Terbatas
Selisih
2 Mean
Varian
Diketahui
VarianTdk
Diketahui
s1 = s2 s1 ≠ s2
Data
Berpasangan
Varian
1Varian
Rasio
2 varian
Basic Statistics - 2017 82

83. Basic Statistics - 2017 83
 Menggunakan Distribusi F
1,12
2
2
1
2
2
2
1
21
~/  nnF
s
s



84.  Estimasi Selang Kepercayaan




















1,1,2/1
2
2
2
1
2
2
2
1
1,1,2/
2
2
2
1
1,1,2/2
2
2
1
2
2
2
1
1,1,2/1
2121
2121
11
/
nnnn
nnnn
Fs
s
Fs
s
F
s
s
F







85. Basic Statistics - 2017 85

F
2
,
1
, vv
F
)(Ff

86.  Terlalu Besar
Memerlukan terlalu banyak sumber.
 Terlalu Kecil
Tidak akan dapat melakukan pekerjaan.
Basic Statistics - 2017 86

87. Penentuan ukuran sampel yang dibutuhkan dalam
estimasi rata-rata dapat didasarkan pada galat/ error
dalam estimasi rata-rata, dimana
Error
Sehingga ukuran sampel
87Basic Statistics - 2017
n
ze

 2/
2
2/





 

e
z
n


88. Berapa ukuran sampel yang dibutuhkan agar 90 %
yakin akan benar berada dalam selang ± 5? Sebuah
studi awal menunjukkan bahwa simpangan baku
populasi adalah 45.
Basic Statistics - 2017 88
Pembulatan ke atas
 
  22019.2199645.1
9
5
45
2
2
05.0
2
2/1.0
2
2/






 





 
 z
z
e
z
n


89. Basic Statistics - 2017 89

90. Berapa ukuran sampel yang dibutuhkan agar berada
dalam selang ± 5 dengan keyakinan 90 % ? Dari
populasi berukuran 1000, dipilih secara acak sebanyak
100, yang mana 30 diantaranya defective/ cacat.
Ingat ! Error = 5 dari 100 sampel  0.05
Sampel cacat (1 – p) = 30 dari 100  0.30
Basic Statistics - 2017 90

91. Basic Statistics - 2017 91
 
228
3.227
05.0
)30.0)(70.0(645.1)1(
)1(
2
2
2
2
05.0
2
2/
2
2/












 





 

e
ppz
e
ppz
e
z
n  

92.  Buatlah masing-masing satu contoh soal
beserta penyelesaiannya untuk setiap kasus
estimasi selang kepercayaan yang telah
dipelajari.
Basic Statistics - 2017 92

93. Basic Statistics - 2017 93