power point tentang grup siklik

1. Grup Siklik
Agung Pratomo
Henny Novianti
Pebriza Ramandini
Sarah Febrianti
Sinta Dian Pratiwi
Setia Noviana I.S

2. PERIODE ELEMEN SUATU GRUP
Definisi 6.2:
• Misalkan suatu grup dan . Periode (order)
(disimbolkan ) adalah suatu bilangan bulat
positif terkecil, misalnya , sedemikian hingga.
Apabila bilangan bulat positif demikian itu
tidak ada, maka dikatakan bahwa periode
adalah tak hingga nol.

3. Contoh 6.12:
G = { 1, 2, 4, 5, 7, 8} 9
G p( 1) =1;
dengan perkalian modulo adalah suat grup. Periode elemen-elemen
adalah
sebab sebab
26 =1; p( 4) = 3, 43 =1
p( 5) = 6; p( 7) = 3 dan
p( 8) = 2.

4. Teorema 6.3:
Jika G suatu grup berhingga, maka
p( a) | n ( G) ,"a Î G,
dengan n( G) adalah order grup G
atau banyaknya
elemen grup G
.
Bukti:
Misalkan a Î G dan p( a) = m,
maka am = . e
Dibentuk
himpunan A={ a,a2 ,a3,...,am= e} . Elemen-elemen dalam
A
tidak ada yang sama,sebab apabila ar = at
.
dengan
r 0<r<t<m, maka at-= e
0<t-r<m . Hal ini tidak mungkin,
karena p( a) = , m yaitu m
suatu bilangan bulat positif
terkecil sedemikian hingga am = .
e

5. Contoh 6.13:
• Buktikan bahwa periode suatu elemen dari
suatu grup sama dengan periode dari invers
elemen tersebut.
• Penyelesaian : misalkan suatu grup dan
. Misalkan pula , maka m adalah
bilangan bulat positif terkecil, sedemikian
hingga
Maka
G
a Î G p( a) = m
am= e
( )am -1 = e-1
( )a-1 m = e
.
p( a-1 ) £ m

6. Teorema 6.4:
jika G suatu grup berhingga yang
berorder n , maka an , = e "a .
Î G
Contoh 6.15
G = {1, 2, 3, ... , 12}
Misalkan dengan perkalian
modulo 13 adalah suatu grup. ,
berarti ; , yaitu , maka
; , yaitu , maka .
n (G) = 12 p( 2) = 12 12 2 = 1 p(3) = 3
3 3 = 1
12 3 = 1 p( 4) = 6 6 4 = 1
12 4 = 1

7. GRUP SIKLIK
Definisi 6.3:
• Grup G disebut grup siklik, apabila ada suatu
elemen G, misalnya sedemikian a Î G
hingga
untuk setiap , x untuk Î G x = suatu am
bilangan
bulat m. selanjutnya a disebut generator
(elemen penghasil) dari G dan ditulis .
G = ( a)

8. Contoh 6.16
dengan perkalian modulo 7
adalah suatu grup siklik dengan
generator atau ,sebab:
atau
G = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
{3} {5}
1 = 36 , 2 = 32 , 4 = 34 , 5 = 35, 6 = 33
1 = 56 , 2 = 54 , 3 = 55, 4 = 52, 5 = 51, 6 = 53

9. Teorema 6.5:
Jika grup berhingga G memuat suatu
elemen yang periodenya sama dengan
order G, maka G adalah grup siklik dengan
generator elemen tersebut.
Bukti:
Misalkan G grup berhingga dan .
n(G) = m
aÎG p(a) = m am = e
dengan , yaitu dengan m
suatu bilangan bulat positif terkecilnya.
Dibentuk
A = {a,a2 ,a3,...,am = e}.

10. Teorema 6.6:
Misalkan G suatu grup siklik
dengan generator a dan ,
maka untuk suatu bilangan bulat
positif , adalah generator dari
G jika dan hanya jika
n(G) = k
m < k am
(m,k)=1