1

1. Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики
ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ. ПЕРЕСТАНОВКИ, РОЗМІЩЕННЯ, КОМБІНАЦІЇ.
Множини
Множиною називається сукупність елементів або об′єктів.
Множини позначають великими літерами латинського алфавіту.
Є скінченні і нескінченні множини.
Приклад. Множина натуральних чисел нескінченна.
Рівні множини складаються з тих самих елементів.
Множина, що не містить елементів, називається порожньою. А = ∅ (множина А – порожня).
Підмножина
Якщо всі елементи множини А є елементами множини В, то множина А називається
підмножиною множини В.
А ⊂ В
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Переріз множин
С = А ∩ В
Об′єднання множин
С = А U В
Різниця множин
С = А В
Множина, в якій не враховано порядок розміщення її елементів, називається невпорядкованою.
Запис: {a; b; c} – множина (невпорядкована).
Множина з фіксованим порядком елементів називається впорядкованою.
Запис: (a; b; c) – впорядкована множина.
Приклад. Для множини {a; b; c} визначити впорядковані множини.
(a; b; c), (a; c; b), (b; a; c), (b; c; a), (c; b; a), (c; a; b) – 6 впорядкованих множин.
Задачі, в яких треба визначити з множини кількість впорядкованих множин, називаються
комбінаторними.
Розділ математики про розв′язування комбінаторних задач називається комбінаторикою.
Визначити кількість маршрутів з пункту А в пункт С.
(1; 4), (1; 5), (2; 4), (2; 5), (3; 4), (3; 5) – 6 маршрутів або 3 ⋅ 2 = 6 маршрутів

2. Узагальнення:
Якщо перший елемент пари можна вибрати m способами, а другий – n способами, то таку пару
можна вибрати m⋅n способами. Це правило добутку.
Правило добутку є основним правилом комбінаторики.
Для впорядкованої трійки:
Якщо перший елемент трійки можна вибрати m способами, другий – n способами, третій – k
способами, то таку трійку можна вибрати m⋅n⋅k способами.
Скількома способами можна скласти потяг із 6 вагонів?
Перший вагон можна вибрати 6-а способами, другий – 5-а способами, третій – 4-а способами,
четвертий – 3-а способами, п′ятий – 2-а способами, шостий – 1-м способом.
Тоді 6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 720 (способів)
В комбінаториці дуже часто поширене обчислення добутку натуральних чисел від 1 до n.
Добуток всіх натуральних чисел від 1 до n називають n-факторіалом.
Позначення: n!
n! = 1 · 2 · 3...(n - 1) · n
0! = 1, 1! = 1.
4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24
ОСНОВНІ ФОРМУЛИ КОМБІНАТОРИКИ
* Формула числа розміщень з n елементів по m елементів
елементівmпоелементівnзрозміщеньчислоAm
n −
)!(
!
mn
n
Am
n
−
=
Число розміщень з n елементів по m елементів дорівнює добутку m послідовних натуральних
чисел, найбільше з яких n.
)1(...)2)(1( +−−−= mnnnnAm
n (n ≥ m)
* Формула перестановок без повторень n елементів
Розміщення з n елементів по n елементів називають перестановками з n елементів.
елементівnзкаперестановPn −
!nPn =
* Формула комбінацій (сполучень) з n елементів по m без повторень
)( nmmпоелементівnзкомбінаціяCm
n ≤−
m
m
nm
n
P
A
C =
!)!(
!
mmn
n
Cm
n
−
= або
m
mnnnn
Cm
n
⋅⋅⋅⋅
+−−−
=
...321
)1)...(2)(1(
Отже, комбінаторика – розділ математики, в якому розглядаються комбінаторні задачі,
тобто такі, в яких є комбінації, розміщення і перестановки (одним словом – сполуки).
1;;1 01
=== mm
m
m CmCС
Основні властивості сполук

3. Щоб вибрати ту чи іншу формулу для розв'язування задачі, необхідно з'ясувати, чи
враховується порядок розміщення елементів. Якщо враховується, то чи всі елементи входять у
сполуку. Маємо два випадки: nP - якщо так; m
nA - якщо ні. Якщо ж порядок розміщення елементів
не враховується, то маємо m
nC .
СТОХАСТИЧНИЙ ЕКСПЕРИМЕНТ І ВИПАДКОВА ПОДІЯ.
У повсякденному житті часто доводиться чути: «Сьогодні ймовірність опадів становить
80 %», «Малоймовірно, що така подія може відбутися», «Ймовірність захворіти значно менша,
якщо вжити профілактичні заходи», "Стовідсоткова ймовірність" тощо. Що людина розуміє під
словом «імовірність»? Чи можна робити припущення про те, відбудеться чи ні якесь явище, що
пов’язане з випадком?
Ми розпочинаємо ознайомлення з наукою, що вивчає закономірності масових випадкових
подій. Ви можете сказати: саме слово «випадок» означає щось несподіване, те, що не можна
передбачити. Як же можна говорити про якісь закономірності того, що відбувається випадково?
Виявляється, що можна.
За середньовіччя в багатьох країнах Європи дуже популярною була гра в кості. І
от якось на одному майдані в Неаполі трапилася така пригода. Чоловік, який приїхав з
міста Базилікати, струшував у чашці три гральні кості й пропонував усім бажаючим
побитися об заклад, що він викине одразу три шістки. І дійсно, йому це вдалося.
Хтось може сказати: ну що ж, так буває. Але чоловік із Базилікати знову побився об
заклад і знову виграв. Потім він ще тричі підряд викидав три шістки. Вчений Галіані,
який був якраз на площі і спостерігав за тим, що відбувалося, вигукнув:
— Він шахрай! Кості налито свинцем.
Це підтвердилося. Як же Галіані вдалося викрити пройдисвіта?
Випадок, що стався в Неаполі, — один із прикладів практичного застосування теорії
ймовірностей — науки, що вивчає закономірності відбування випадкових явищ.
У природі теж не існує фізичного явища, в якому б не мали місце елементи випадковості.
Теорія ймовірностей вчить передбачувати перебіг подій, незважаючи на випадковий
характер явищ, що вивчаються. Звичайно, окремі випадковості неможливо передбачити. Але,
повторюючись багаторазово, вони підпорядковуються певним законам.
Теорія ймовірностей вивчає лише масові випадкові події.
Уявімо, що двоє друзів домовилися про зустріч у багатолюдному місці. Один з них
запізнюється. Знічев’я інший починає підраховувати, скільки чоловіків і скільки жінок проходить
повз нього. Ось пройшли дві дівчини, потім — старенька, за нею — чоловік... Спочатку
співвідношення може бути будь-яким. Але чим довше він спостерігатиме, тим більше
схилятиметься до думки про те, що за досить тривалий час пройде приблизно однакова кількість
чоловіків і жінок. Під час такого спостереження діяла одна із закономірностей, яким
підпорядковуються випадкові явища: для кожного окремого випадку результат може бути
непередбаченим, а при масовому повторенні таких випадковостей кінцевий (узагальнений)
результат можна досить точно передбачити з деякою мірою впевненості.
У навколишньому світі існує безліч явищ і процесів, прояви і перебіг яких є непередбачуваними,
випадковими.

4. Для того щоб вивчати закономірності відбування випадкових явищ, будують так звані
ймовірнісні моделі — математичні моделі цих явищ. Теорія ймовірностей допомагає будувати і
досліджувати такі ймовірнісні моделі.
Для вивчення закономірностей відбування випадкових явищ дослідники проводять
спеціально організовані експерименти (спостереження або досліди). Результати таких
експериментів можна лише прогнозувати з певною мірою сподівання.
Експерименти, точні результати (наслідки) яких передбачити неможливо, називатимемо
випадковими, або стохастичними.
Наприклад.
1. Підкидання монети один раз і фіксація боку, яким монета впаде догори.
2. Підкидання грального кубика один раз і фіксація кількості очок на грані, що випала догори.
3. Підкидання двох гральних кубиків один раз і фіксація суми очок на гранях, які випали догори.
4. Фіксація номера кульки, яка викочується з лототрона в таких іграх, як лото «Забава»,
«Укрлото», «Спортлото» тощо.
5. Вибір навмання числа з відрізка [а, b], а є R, b є R, і його фіксація.
Кожне конкретне (окреме) проведення стохастичного експерименту називають
випробуванням. Ми не можемо передбачити точний наслідок кожного окремого випробування.
Водночас дослідним шляхом і розмірковуваннями можна визначити всі можливі результати
(наслідки) даного стохастичного експерименту. Ці наслідки (результати) утворюють множину, яку
позначають буквою Ω. Так, множина всіх можливих наслідків експерименту 1 складається з двох
наслідків: «монета падає догори гербом» і «монета падає догори цифрою». Це можна записати так:
Ω = {г, ц}. Експеримент 2 має шість можливих наслідків. Відповідну йому множину Ω можна
записати так: Ω = {1,2, З, 4, 5, 6}. Для експерименту 3: Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.
Множина Ω для експерименту 4 містить усі числа, які відповідають номерам кульок. Оскільки в
лото «Забава» в лототроні 75 кульок, то Ω = {1,2, 3,..., 75}. Для експерименту 5 множина Ω
очевидно є проміжком [а, b].
Кожний можливий наслідок стохастичного експерименту називають елементарною подією.
Множину Ω всіх можливих наслідків стохастичного експерименту називають простором
елементарних подій.
Простір Ω може містити скінченну або нескінченну кількість елементарних подій.
Елементарну подію (як елемент множини) позначатимемо буквою е (можливе також позна-
чення ei, і = 1,2, ...). Кожне окреме випробування (проведення даного експерименту) закінчується
єдиним наслідком — відбувається одна елементарна подія е з множини Ω, що відповідає даному
експерименту.
Нехай Ω — простір елементарних подій, який відповідає даному експерименту. З цих
елементарних подій можна утворювати різні підмножини простору Ω. Події, які відбуваються під
час стохастичного експерименту називають випадковими подіями (або просто подіями).
Події (як множини) позначають великими латинськими буквами А, В, С тощо. Оскільки кожна
подія є деякою множиною, то її можна задати переліком її елементів — елементарних подій, або
словесно — описанням характеристичної властивості її елементів. Наприклад, подію С = {3,6,12}
можна задати так: С — «сума очок ділиться на 3».
Оскільки Ω — множина всіх можливих наслідків експерименту, то в результаті кожного
випробування, тобто кожного проведення даного експерименту, подія Ω обов’язково відбудеться.
Тому подію Ω називають вірогідною (або достовірною). Інакше, вірогідною є подія, яка
відбувається в результаті кожного випробування, пов’язаного з даним стохастичним
експериментом.
Подія ∅ не містить жодної елементарної події е з множини Ω, тому вона ніколи не може
відбутися в результаті проведення експерименту. Подію ∅ називають неможливою. Інакше
кажучи, неможливою є подія, яка не може відбутися в результаті будь-якого випробування,
пов’язаного з даним стохастичним експериментом.
Наприклад, в експерименті з двома гральними кубиками вірогідною є подія, яка полягає в
тому, що випаде сума очок не менша від 2 і не більша за 12, а неможливою — випаде сума очок,
що дорівнює 1.
Якщо подія А спричинює подію В і подія В спричинює подію А (А ⊂ В і В ⊂ А), то події А і В

5. називають рівними, або рівносильними, або еквівалентними, і записують А = В.
Види подій:
− Випадкова подія – це подія, яка може відбутися або не відбутися під час даного
випробування;
− Масові події – це однорідні події, що спостерігаються за певних умов і які можуть бути
відтворені необмежену кількість разів;
− Множина подій утворює повну групу подій, якщо внаслідок кожного випробування хоч
одна з цих подій обов′язково відбудеться;
− Події називаються попарно несумісними в даному випробуванні, якщо ніякі дві з них не
можуть відбутися разом;
− Події називаються рівноможливими, якщо кожна з них не має ніяких переваг у появі
частіше за іншу під час багаторазових випробувань, що проводяться за однакових умов;
− Вірогідна подія – це подія, яка внаслідок даного випробування обов′язково має відбутися;
− Неможлива подія – це подія, яка внаслідок даного випробування не може відбутися.
Елементарними називаються події такої множини, які мають три властивості:
− утворюють повну групу подій;
− є несумісними;
− є рівно можливими.
ВІДНОСНА ЧАСТОТА ПОДІЇ. ОПЕРАЦІЇ НАД ПОДІЯМИ
Дослід
Потрібно записати на картці 4 довільних слова. Навпроти кожного слова записати числом
кількість букв у ньому. Визначити скільки слів із парною кількістю букв та записати їх кількість
цифрою на картці, обвівши її квадратом. Завдання досліду: визначити серед карток з цифрами 0, 1,
2, 3, 4 яких буде найбільше, а яких найменше. (для масовості: студент заповнює не одну картку, а
декілька).
Математичний розрахунок. Спочатку визначаємо можливі випадки запису слів з парною кількістю
букв для одного слова, потім – двох, трьох, чотирьох. З отриманих результатів слідує:
Всього можливих варіантів – 16. Карток з цифрою "4" – 1 із 16, "3" – 4 із 16, "2" – 6 із 16, "1" – 4 із
16, "0" – 1 із 16.
Відносною частотою події називається відношення кількості появи події до загальної кількості
проведених випробувань.
Сума подій
Сумою подій А і В називається подія С, яка полягає у здійсненні під час одиничного випробування
або події А, або події В, або обох разом.
А + В = С або А U В = С
Сума подій називається об′єднанням.
Різниця подій
Різницею двох подій А і В називають подію С, яка відбудеться тоді і лише тоді, коли відбудеться
подія А, але не відбудеться подія В.
А – В = С або А В = С
Добуток подій
Добутком двох подій А і В називається подія С, що полягає у здійсненні під час одиничного
випробування і події А і події В.
А ⋅ В = С або А ∩ В = С
Події поділяють на прості і складені.
Складеною називають подію, поява якої залежить від появи інших, простих подій.
ЙМОВІРНІСТЬ ПОДІЇ. ЙМОВІРНОСТІ СУМИ ТА ДОБУТКУ ПОДІЙ.
З′ясуємо, що таке ймовірність.
Ймовірність – це числова характеристика можливості появи випадкової події за певної умови,
яка може бути відтворена необмежену кількість разів.

6. Розглянемо приклад.
Серед 16 запобіжників є 6 зіпсованих. Навмання беремо один запобіжник. Ми на перед не можемо
сказати – чи справний він чи зіпсований.
Поява справного чи зіпсованого запобіжника – випадкова подія. Ці події утворюють групу з 16
несумісних подій.
Появі справного запобіжника відповідає 10 подій, а появі зіпсованого – 6 подій.
Позначимо: А – події, що відповідають появі справного запобіжника.
В – події, що відповідають появі зіпсованого запобіжника.
Можливість появи події А характеризується відношенням
16
10
.
Можливість появи події В характеризується відношенням
16
6
.
Ці числа називають ймовірностями подій А і В.
Запис: Р(А) =
16
10
Р(В) =
16
6
Ймовірністю випадкової події називають відношення кількості подій, які сприяють цій
події, до кількості всіх рівно можливих несумісних подій, які утворюють повну групу подій
під час певного випробування.
Р(А) =
n
m
m – число елементарних подій, які сприяють події А.
n – загальна кількість елементарних подій.
Р(А) – ймовірність події А (лат.- probabilitas).
Визначимо ймовірності вірогідної події U, неможливої події V, випадкової події А, будь-якої події
В.
Для вірогідної події m = n: P(U) = 1.
Для неможливої події m = 0: P(V) = 0.
Для випадкової події: 0 < P(A) < 1.
Для будь-якої події: 0 ≤ Р(В) ≤ 1.
Ймовірності складених подій обчислюють через ймовірності простих подій, з яких складаються
складені події. Таке обчислення базується на теоремах додавання і множення несумісних однаково
можливих подій, які утворюють повну групу.
Теорема
Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.
Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
/ Доведення на стор.461-462 Шкіль М.І., Алгебра і початки аналізу./
Наслідки з теореми додавання.
Наслідок 1. Сума ймовірностей несумісних подій, що утворюють повну групу, дорівнює 1.
Р(А1 + А2 + …+Аn) = Р(А1) + Р(А2) +…+ Р(Аn) = 1
Дві події називаються протилежними, якщо одна і лише одна з них обов′язково здійсниться в
даному випробуванні.
Запис: А – подія, то Ᾱ - протилежна їй подія.
Наслідок 2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1.
Р(А) + Р(Ᾱ) = 1
Подія А називається незалежною від події В, якщо ймовірність події А не залежить від того,
відбулась чи ні подія В.
Теорема множення встановлює зв′язок між ймовірністю добутку двох незалежних подій та
ймовірностями цих подій.
Теорема.

7. Ймовірність добутку двох незалежних подій А і В дорівнює добутку ймовірностей цих подій.
Р(А⋅В) = Р(А) ⋅Р(В)
/ Доведення на стор.466-467 Шкіль М.І., Алгебра і початки аналізу./
ДИСКРЕТНА ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА, ЗАКОН ЇЇ РОЗПОДІЛУ.
Оскільки результат випробування може змінюватися від випадку до випадку, то кількісна
ознака, яка в ньому розглядається, в загальному є змінною величиною, до того ж випадковою.
Отже, випадкова величина – це величина, яка в результаті випробування з випадковим
результатом набуває того чи іншого числового значення.
Випадкові величини позначають великими латинськими літерами X, Y, Z …, а їх можливі
значення – малими літерами x, y, z …
Типи випадкових величин:
− Дискретні (це величини, множини можливих значень яких скінченні або зліченні);
− Неперервні (це величини, множини можливих значень яких суцільно заповнюють
деякий інтервал).
Множина можливих значень випадкової величини Х складається з усіх значень, яких набуває
функція Х(ω) (випадкова величина Х є функцією елементарної події ω).
Якщо ця множина скінченна або зліченна – то випадкова величина Х називається дискретною, а
якщо незліченна – то неперервною.
Випадкова величина називається дискретною, якщо множина її можливих значень є
скінченною або зліченною.
Нехай Х – дискретна випадкова величина, можливими і єдино можливими значеннями якої є
числа х1, х2, х3, …, хn. Через рk = р{x = xn} позначимо ймовірність того, що випадкова величина Х
набуває значення хk, рk ≥ 0.
Події {x = xn} (k ∈ [1; n]) утворюють повну групу попарно несумісних подій, тому
1...21
1
=+++=∑=
k
n
k
k pppp .
Для того, щоб описати випадкову величину, необхідно вказати не тільки множину її можливих
значень, але і охарактеризувати ймовірності всіх можливих подій, пов′язаних із випадковою
величиною. Наприклад, ймовірність того, що вона набуде того чи іншого значення або потрапить
у деякий інтервал. Такий повний опис випадкової величини називають її законом роподілу.
Законом розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини називають відповідність
між усіма її можливими значеннями та їхніми ймовірностями.
Табличний запис закону розподілу – це таблиця значень хk випадкової величини Х та
відповідних їхніх ймовірностей рk:
хk х1 х2 … хn
рk р1 р2 … рn
За допомогою табличного запису розподілу можна визначити функцію розподілу F(X)
випадкової величини за формулою ∑<
=<=
xxk
k
k
pxXXF
:
}{)( у якій сумування проводиться з усіма
індексами k, для яких xk < x.
Функція розподілу є найбільш загальною формою закону розподілу, придатною для
характеристики всіх випадкових величин.
На практиці доводиться розглядати задачі в яких одне і те ж випробування повторюється
неодноразово. При цьому всі випробування є взаємно незалежними.
Взаємно незалежними називаються такі випробування, в яких ймовірність результату
кожного з них не залежить від того, які результати має чи матиме решта випробувань.
Очевидно, що в результаті незалежних випробувань відбуваються незалежні події. Коли
проводиться серія незалежних випробувань, то практичне значення має не результат кожного
окремого випробування, а загальна кількість появи серед усіх випробувань події, яка нас цікавить.
Розв′язують такі задачі за схемою Бернуллі (схема повернутої кульки).

8. Розглянемо, як визначається ймовірність Рm,n того, що подія А відбудеться m разів при n
випробуваннях.
При n незалежних випробуваннях, у кожному з яких подія А відбувається з ймовірністю р,
ймовірність того, що подія А відбудеться m разів, визначається за формулою:
mnmm
nnm qpCP −
=, /формула Бернуллі ( 1713 р. )/
де
)!(!
!
mnm
n
Cm
n
−
= q = 1 – p
Формула Бернуллі виражає закон розподілу випадкової величини Х, який називають біномним
законом розподілу.
Для визначення ймовірності здійснення хоча б однієї з незалежних подій А1, А2, …, Аn,
ймовірність яких відома, використовують теорему:
Якщо події А1, А2, …, Аn – взаємно незалежні, то ймовірність здійснення принаймні однієї з
них може бути виражена через ймовірність цих подій за формулою:
Р(А) = 1 – (1 – Р(А1))(1 – Р(А2))(1 – Р(А3))…(1 – Р(Аn)).
Наслідок:
Якщо Р(А1) = Р(А2) = Р(А3) = … = Р(Аn), то Р(А) = 1 – (1 – р)n
.
МАТЕМАТИЧНЕ СПОДІВАННЯ ДИСКРЕТНОЇ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ.
ВИБІРКОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ.
Найповнішу інформацію про випадкову величину дає її функція розподілу. Проте іноді навіть
зручніше користуватися числами, які описують випадкову величину сумарно і називаються
числовими характеристиками цієї величини.
Розглянемо основні з них.
Нехай Х – дискретна випадкова величина, яка може набувати значень х1, х2,… відповідно з
ймовірностями р1, р2,…
Математичним сподіванням дискретної випадкової величини Х називається число
∑
∞
=
++==
1
2211 ...)(
k
kk pxpxpxXM якщо ряд у правій частині абсолютно збіжний.
У випадку скінченної кількості можливих значень дискретної випадкової величини її
математичне сподівання nn
n
k
kk pxpxpxpxXM +++== ∑=1
2211 ...)( завжди існує.
Нехай проводиться n незалежних випробувань, в кожному з яких випадкова величина Х може
набувати деякого значення з множини {x1; x2; …; xk}.
Припустимо, що значення х1 набуте n1 разів, значення х2 набуте n2 разів, …, хk набуте nk разів.
Тоді середнє арифметичне значення набутих випадковою величиною Х значень в n випробуваннях
обчислюємо за формулою:
n
n
x
n
n
x
n
n
xnxnxnx
n
X k
kkk +++=+++= ...)...(
1 2
2
1
12211
Відношення
n
ni
- це відносна частота події {X = xi}.
Якщо кількість випробувань n – число досить велике, то }{ ii
i
xXPp
n
n
==≈ . Тому і середнє
арифметичне X буде в цьому випадку наближатися до математичного сподівання М(Х):
)(...2211 XMpxpxpxX kk =+++≈ .
Висновок:

9. Математичне сподівання наближено дорівнює середньому арифметичному спостережуваних
значень випадкової величини Х.
Деякі властивості математичного сподівання:
− Математичне сподівання сталої величини дорівнює цій величині, тобто, якщо C = const,
то М(С) = С.
− Сталий множник виноситься за знак математичного сподівання, тобто, якщо C = const, то
М(С⋅Х) = С⋅М(Х).
− Математичне сподівання алгебраїчної суми двох (або кількох) випадкових величин
дорівнює алгебраїчній сумі математичних сподівань цих величин, тобто
М(Х ± Y) = М(Х) ± М(Y).
− Якщо випадкові величини Х і Y незалежні, то М(Х ⋅ Y) = М(Х) ⋅ М(Y).
Вибіркові характеристики:
− Дисперсія випадкової величини (характеризує відхилення випадкової величини від її
математичного сподівання). D(X) = M(X – M(X))2
− Середнє квадратичне відхилення випадкової величини (характеризує розсіювання
значень випадкової величини).
ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ. ВИБІРКОВИЙ МЕТОД У СТАТИСТИЦІ.
Поняття про статистичну імовірність. Закон великих чисел
Класична імовірність має обмежену область застосувань, оскільки далеко не завжди в реальних
умовах можна виділити рівноможливі випадки в скінченній кількості. Наприклад, нехай нас
цікавить імовірність того, що під певним навантаженням діод здатний працювати більше 10 тисяч
годин? Як тут визначити рівноможливі випадки?
У таких задачах використовується статистичне означення імовірності.
Щоб увести це поняття, повернемось до прикладу підкидання гральної кості, яка має однакову
густину, є кубом і підкидається навмання. Імовірність появи шестірки на її грані дорівнює
6
1
.
Припустимо, що ми провели п підкидань і шестірка випала т разів. Відношення назвемо
статистичною частотою появи шестірки під час проведення серії таких випробувань. Може
трапитись, що в п підкиданнях шестірка з’явиться m1 разів. Статистична частота при цьому
п
т
р 1
1 = .
Під час підкидання кості п + 1 разів шестірка може випасти т2 рази. Статистична частота при
цьому дорівнює
1
2
2
+
=
n
m
p і т.д.
Під час підкидання кості N разів шестірка може випасти тN разів, статистична частота при цьому
дорівнює
N
m
p N
N = .
Виконавши такі випробування, можна помітити, що для статистичної частоти характерна
властивість із збільшенням кількості підкидань наближатися до числа
6
1
, тобто прямувати до
імовірності р=
6
1
.
Якщо підкидати неправильно гральний кубик (із зміщенням від геометричного центра ваги), то
статистичні частоти появи шестірки так само мають властивість групуватись навколо певного
числа р при збільшенні кількості випробувань. Але це число нам невідоме, бо гральний кубик
неправильний і для кожного кубика воно буде своє.
Прийнято вважати це невідоме число р статистичною імовірністю появи шестірки під час
підкидання грального кубика.
Статистичне означення імовірності залежить від проведення випробувань. Наприклад, у
випадку з визначенням імовірності роботи діода більше 10 тисяч годин проводять таке

10. випробування: на стенд ставлять 1000 діодів які виготовлені в тих самих умовах і з тієї самої
партії матеріалів. Якщо після 10 тисяч годин роботи вийде з ладу 100 діодів, то статистична
частота появи діодів (подія А), здатних проробити 10 тисяч годин, дорівнюватиме
1000
900
= 0,9.
Для великої кількості випробувань можна вважати, що імовірність події А буде близька до
статистичної частоти.
Після розглянутих прикладів введемо означення статистичної імовірності.
Означення. Імовірністю події А називається невідоме число р, навколо якого зосереджується
значення статистичної частоти здійснення події А при зростанні числа випробувань.
Поняття статистичної імовірності широко використовується в практиці: біології, медицині,
інженерній справі, економіці та інших галузях.
Дослідження показали, що при великій кількості випробувань статистична частота наближено
дорівнює статистичній ймовірності події.
Ця наближена рівність є однією з найважливіших закономірностей масових випадкових подій.
Математичне формулювання цієї закономірності вперше дав швейцарський математик Якоб
Бернуллі у вигляді теореми.
Теорема. Якщо в ряді випробувань імовірність деякої події залишається для кожного
випробування сталою, то з достовірністю можна стверджувати, що при досить великій кількості
випробувань статистична частота цієї події відрізнятиметься як завгодно мало від її імовірності.
Теорема Бернуллі є простішою формою так званого «закону великих чисел», одного з
найважливіших законів теорії імовірностей.
У теорії імовірностей велике значення має розв’язування питання про те, наскільки частота може
відхилятися від імовірності. Таке відхилення вкаже на похибку, яка допускається, якщо прийняти
частоту за імовірність.
На можливості визначення величини відхилення частоти від імовірності грунтується практичне
застосування теорії імовірностей в економіці, метеорології, медицині,, біології, астрономії, теорії
стрільби та багатьох інших галузях науки і практики.
Теорему Бернуллі вперше було опубліковано в 1713 році. На доведення цієї «золотої теореми»,
як він її називав, було витрачено 20 років життя вченого. Доведення Я. Бернуллі займало 12
сторінок тексту.
Надзвичайно коротке і строге доведення цієї теореми дав у 1845 р. П. Л. Чебишов.
У1837 р. французький математик Пуассон довів теорему, яка узагальнює теорему Бернуллі на
випадок, коли імовірність події, що розглядається, змінюється в разі повторення випробовувань.
Про статистику та її методи
Термін «статистика» походить від латинського слова status — стан, становище.
Статистика - це наука про збирання, обробку та вивчення різноманітних даних, пов’язаних з
масовими явищами, процесами й подіями. Найчастіше вона використовується в економіці,
політиці та експериментальних дослідженнях. Предметом вивчення статистики є, зокрема,
кількісна сторона масових суспільних явищ і процесів у зв’язку з їхньою якісною
стороною.Статистичну інформацію збирають за допомогою спостережень, зокрема перепису,
опитувань, обліків тощо.
Математична статистика — розділ математики, присвячений математичним методам
систематизації, обробки й використання статистичних даних для наукових і практичних висновків.
Статистика виникла з практичних потреб людей, їх господарської діяльності, необхідності
обліку земельних угідь, майна, кількості населення, вивчення його занять, вікового складу тощо.
Цікаво, що в Англії в XVII ст., коли статистичне вивчення поширилося на явища суспільного
життя, людей, що займалися цими питаннями, називали «політичними арифметиками». Одним з
головних представників «політичних арифметиків» Англії був В. П е т т і (1625—1687).
Статистику розділяють на описову і пояснювальну.
Описова статистика займається добором кількісної інформації, необхідної (або цікавої) для
різних людей. Такою є спортивна інформація, відомості про середній рівень заробітної плати в
державі, середньорічну температуру в певному регіоні тощо.
Великі масиви даних, перш ніж вони будуть тлумачитися людиною, мають узагальнюватися або
згортатися. Саме це робить описова статистика, яка описує, узагальнює або зводить до бажаного

11. виду властивості масивів даних.
За допомогою пояснювальної статистики з отриманих статистичних результатів роблять певні
висновки, будують прогнози. Предметом вивчення статистики є такі об’єкти, як кількість і склад
населення, трудові ресурси суспільства (їх розподіл і використання), національне багатство,
виробництво і розподіл суспільного продукту і національного прибутку, матеріальний достаток
населення, освіта, культура, охорона здоров’я, показники статистики органів державного
управління і громадських організацій.
У процесі статистичного дослідження застосовують особливі прийоми вивчення, які в
сукупності утворюють статистичний метод. Складовими елементами статистичного методу є
масове спостереження, статистичне зведення, групування, обчислення середніх величин та
індексів, побудова графіків.
С т а т и с т и ч н е с п о с т е р е ж е н н я — перший етап статистичного дослідження.
На схемі систематизовано види статистичних спостережень.
Статистичні таблиці
Статистичні таблиці мають п і д м е т і п р и с у д о к . Статистичний підмет — це та
сукупність, про яку йдеться в таблиці. Як правило, розміщується в лівій частині таблиці.
Статистичний присудок — це ті ознаки або показники, які характеризують статистичний
підмет. Розміщується в заголовках граф — стовпців.
За структурою підмета статистичні таблиці поділяються на прості, групові і комбінаційні.
Прості — підмет являє собою перелік окремих об’єктів (назви підприємств, міст, республік,
країн і т. п.).
Групові — в підметі одиниці сукупності групуються за однією якоюсь ознакою.
Комбінаційні — в підметі одиниці групуються за двома і більше ознаками, пов’язаними між
собою.
Статистичні відомості про велику сукупність об’єктів (генеральну сукупність) отримують
внаслідок аналізу її незначної частини - вибірки. Щоб дізнатися, наприклад, про найпоширеніші
розміри чоловічого взуття, досить опитати кілька десятків чоловіків. Припустимо, що, опитавши
60 чоловіків, здобули результати, подані в таблиці.
Розмір взуття 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
Кількість чоловіків 1 2 3 7 10 9 8 8 6 4 1 1
Це - частотна таблиця, в якій числа другого рядка - частоти. Наприклад, частота взуття
розміру 32 дорівнює 6. Відносна частота цього розміру - 6 : 60 = 0,1 = 10 %.
Проаналізувавши таку вибірку, роблять загальний висновок: приблизно 10 % чоловічого взуття
треба виготовляти 32-го розміру і вдвічі менше - 26-го розміру. Це - наближені відношення, але на
практиці таких наближень достатньо.
Математичний аналіз різних вибірок - сфера математичної статистики. Її основне завдання –
розробляти ефективні методи вивчення великих сукупностей об’єктів на основі порівняно
невеликих вибірок. Кожен елемент вибірки називають її варіантою. Вибірка, отримана внаслідок

12. спостережень, буває невпорядкованою. Упорядкувавши її, дістають варіаційний ряд. Різниця між
крайніми членами варіаційного ряду - розмах вибірки. Нехай дано вибірку
4, 3, 7, 9, 6, 8, 2, 6, 1, 7, 7, 3, 2, 5.
Упорядкувавши її за зростанням варіант, маємо варіаційний ряд:
1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9.
Розмах даної вибірки r = 9 – 1 = 8.
Мода вибірки - її варіанта з найбільшою частотою.
Медіана вибірки - число, яке поділяє відповідний варіаційний ряд навпіл. Розглядувана
вибірка має моду 7, а медіану 5,5, бо
2
1
(5 + 6) = 5,5.
Середнім арифметичним п чисел називають n-ну частину їх суми. Якщо дано п чисел х1, х2,
..., хп, то їх середнє арифметичне
)...(
1
21 nxxx
n
х +++= .
Середнім значенням вибірки називають середнє арифметичне усіх її варіант.
Якщо варіанти вибірки повторюються, то суми рівних доданків можна замінити добутками.
У статистиці часто використовують також середнє квадратичне.
Якщо дано п чисел х1, х2, ..., хп, то їх середнє квадратичне σ визначається за формулою
σ = )...(
1 22
2
2
1 nxxx
n
+++ .
За допомогою середнього квадратичного найчастіше оцінюють сукупності похибок або
відхилень від норми.
Якщо різниці між варіантами вибірки і її середнім значенням дорівнюють α1, α2, ... , αп, то
середнє арифметичне їх квадратів називається дисперсією вибірки (лат. dispersio — розсіяння).
Дисперсія дорівнює квадрату середнього квадратичного усіх
відхилень і обчислюється за формулою
)...(
1 22
2
2
1 n
n
D ααα +++= .
Наочно зображати статистичні відомості зручно за
допомогою діаграм (секторних, лінійних, стовпчастих),
гістограм, полігонів і графіків. Стовпчасту діаграму із
з’єднаних прямокутників називають гістограмою. На
малюнку зображено гістограму, яка відповідає наведеній
нижче таблиці розподілу робітників цеху за тарифними розрядами:
Тарифний
розряд
1 2 3 4 5 6 Всього
Кількість
робітників
2 3 5 14 20 6 50
Іноді замість гістограми будують полігон розподілу,
з’єднуючи відрізками середини верхніх основ послідовних
прямокутників гістограми (див. мал.). Бувають також інші
діаграми.