Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Підготовка до ЗНО (планіметрія)

6,109 views

Published on

Ізюмченко Л.В., Ткаченко Л.А. Інтенсифікація підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання з математики (планіметрія) / Л.В.Ізюмченко, Л.А.Ткаченко. – Кропивницький: КЗ «КОІППО імені Василя Сухомлинського», 2017

Published in: Education
  • Be the first to comment

Підготовка до ЗНО (планіметрія)

  1. 1. КОМУНАЛЬНИЙ ЗАКЛАД «КІРОВОГРАДСЬКИЙ ОБЛАСНИЙ ІНСТИТУТ ПІСЛЯДИПЛОМНОЇ ПЕДАГОГІЧНОЇ ОСВІТИ ІМЕНІ ВАСИЛЯ СУХОМЛИНСЬКОГО» Ізюмченко Л.В., Ткаченко Л.А. (З ДОСВІДУ РОБОТИ ВЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ КОМУНАЛЬНОГО ЗАКЛАДУ «ПЕДАГОГІЧНИЙ ЛІЦЕЙ КІРОВОГРАДСЬКОЇ МІСЬКОЇ РАДИ КІРОВОГРАДСЬКОЇ ОБЛАСТІ», КАНДИДАТА ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИХ НАУК ІЗЮМЧЕНКО ЛЮДМИЛИ ВОЛОДИМИРІВНИ) Кропивницький 2017 Інтенсифікація підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання з математики (планіметрія)
  2. 2. 2 УДК 37.09+372.851 И 57 Друкується за рішенням науково-методичної ради комунального закладу «Кіровоградський обласний інститут післядипломної педагогічної освіти імені Василя Сухомлинського» (від 13 червня 2017 року, протокол №3) Ізюмченко Л. В., Ткаченко Л. А. Інтенсифікація підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання з математики (планіметрія) / Л. В. Ізюмченко, Л. А. Ткаченко. – Кропивницький: КЗ «КОІППО імені Василя Сухомлинського», 2017. – 100 с. Рецензенти: О.П. Макарчук – старший викладач кафедри прикладної математики, статистики та економіки Центральноукраїнського державного педагогічного університету імені Володимира Винниченка, кандидат фізико-математичних наук; О.Л. Свириденко – вчитель математики Кіровоградського обласного навчально-виховного комплексу (гімназія-інтернат – школа мистецтв), заслужений вчитель України. Посібник містить необхідний ілюстрований матеріал до теоретичної частини та практичну частину (приклади розв’язання задач, задачі для самостійного опрацювання), а також тестові завдання шкільного курсу геометрії з теми «Планіметрія», що допоможе більш раціонально розподілити час при підготовці до зовнішнього незалежного оцінювання. Завдання різнорівневі і включають всі основні типи тестів, які використовуються при проведенні зовнішнього незалежного оцінювання. Видання стане реальним помічником учням загальноосвітніх навчальних закладів та вчителям математики – для всіх, хто бажає систематизувати і повторити шкільний курс геометрії з даної теми та досконало, поглиблено і всебічно підготуватись до участі в зовнішньому незалежному оцінюванні. Відповідальна за випуск – Корецька Л.В © КЗ «КОІППО імені Василя Сухомлинського», 2017
  3. 3. 3 Зміст Передмова 4 Розділ І. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості 6 Теоретичні відомості 6 Приклади розв’язання задач 11 Завдання для самостійної роботи у форматі ЗНО 14 Відповіді до завдань для самостійної роботи 23 Розділ ІІ. Коло та круг 24 Теоретичні відомості 24 Приклади розв’язання задач 31 Завдання для самостійної роботи у форматі ЗНО 36 Відповіді до завдань для самостійної роботи 47 Розділ ІІІ. Трикутники 48 Теоретичні відомості 48 Приклади розв’язання задач 57 Завдання для самостійної роботи у форматі ЗНО 64 Відповіді до завдань для самостійної роботи 81 Розділ ІV. Чотирикутники 82 Теоретичні відомості 82 Приклади розв’язання задач 90 Завдання для самостійної роботи у форматі ЗНО 92 Відповіді до завдань для самостійної роботи 96 Список використаних джерел 97
  4. 4. 4 Передмова Математика як шкільний предмет має достатній потенціал для формування та розвитку якостей, необхідних людині, щоб бути успішною у сучасному житті. Значимість та успішність кожного громадянина суспільства на ринку праці надзвичайно зростає завдяки його математичній підготовці та вмінню використовувати її у своїй трудовій діяльності, адже кожна галузь суспільного життя потребує своєї математики. У запропонованому посібнику висвітлюються деякі аспекти підготовки учнів до зовнішнього незалежного оцінювання з математики, зокрема, узагальнено й систематизовано матеріал шкільного курсу геометрії з розділу «Планіметрія». Тематика завдань відповідає чинній програмі з предмету за новим державним стандартом та програмі зовнішнього незалежного оцінювання: – найпростіші геометричні фігури на площині (розглядаються найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості: точка, пряма, промінь, відрізок, поняття «лежати між» (двома іншими точками), поняття ламаної, кута; аксіоми планіметрії; суміжні та вертикальні кути, їхні властивості; бісектриса кута та її властивості; паралельні та перпендикулярні прямі; поняття перпендикуляра та похилої, серединного перпендикуляра; відстань від точки до прямої; ознаки паралельності прямих; теорема Фалеса, узагальнена теорема Фалеса); – коло, круг (розглядаються питання кола, круга та їхніх елементів; центральних, вписаних кутів та їхні властивості; властивості двох хорд, що перетинаються; дотичні до кола та їхні властивості); – трикутники (види трикутників та їхні основні властивості; ознаки рівності трикутників; медіана, бісектриса, висота трикутника та їхні властивості; теорема про суму кутів трикутника; нерівність трикутника; середня лінія трикутника та її властивості; коло, описане навколо трикутника, і коло, вписане в трикутник; теорема Піфагора, пропорційні відрізки прямокутного трикутника; теореми синусів та косинусів);
  5. 5. 5 – чотирикутники та їхні елементи (досліджуються чотирикутники та їхні елементи: паралелограм та його властивості, ознаки паралелограма; прямокутник, ромб, квадрат, трапеція та їхні властивості, середня лінія трапеції; вписані та описані навколо кола чотирикутники); многокутники (розглянуто многокутники, їхні елементи, опуклі многокутники, периметр, сума кутів многокутника; правильний многокутник та його властивості; вписані в коло та описані навколо кола многокутники). Кожен розділ містить необхідний ілюстрований матеріал до теоретичної частини та практичну частину (приклади розв’язування задач, задачі для самостійного опрацювання), що дасть змогу більш раціонально розподілити час при підготовці до зовнішнього незалежного оцінювання. Вибрана форма оформлення змісту посібника дозволяє вчителеві використовувати подані матеріали для підготовки школярів до тестування з предмета, допоможе організувати планомірне вивчення і системне повторення основних понять геометрії та теоретичних відомостей із запропонованих розділів предмета та опанувати основні прийоми і методи розв’язування завдань. Посібник призначений для використання у процесі самостійної підготовки учнів загальноосвітніх шкіл до зовнішнього незалежного оцінювання. Видання стане у нагоді вчителям математики, учням основної та старшої школи та усім, хто займається підготовкою до зовнішнього незалежного оцінювання. Завдяки даному посібнику Ви досягнете бажаних результатів. Бажаємо успіхів!
  6. 6. 6 Розділ І Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості У цьому розділі повторюємо з учнями найпростіші геометричні фігури – точку, пряму, промінь, відрізок, поняття «лежати між» (двома іншими точками), поняття ламаної, кута; аксіом планіметрії; суміжні та вертикальні кути, їхні властивості; бісектрису кута та її властивості; паралельні та перпендикулярні прямі; поняття перпендикуляра та похилої, серединного перпендикуляра; відстань від точки до прямої; ознаки паралельності прямих; теорему Фалеса, узагальнену теорему Фалеса. Теоретичні відомості – Точка – неозначуване поняття. Уявлення про точку дає слід на аркуші паперу, зроблений добре загостреним олівцем. Позначають точки великими латинськими буквами А, В, С,.. – Пряма – неозначуване поняття. Уявлення про пряму дають: туго натягнута нитка; промінь світла, який проходить крізь вузький отвір. Позначають прямі латинськими буквами a, b, c,…або AC, BC… Пряма нескінченна. Пряма розбиває площину на дві півплощини. – Площина – неозначуване поняття. Уявлення про площину дають: поверхня стола, поверхня віконного скла, поверхня озера в тиху погоду, тощо. Площину мислять необмеженою, ідеально рівною і гладенькою. Позначають площини малими грецькими буквами Промінь AC (півпряма) – частина прямої a, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежить по один бік від даної на ній точки A (A – початок променя). – Доповняльними називають різні промені однієї і тієї самої прямої зі спільним початком. – Відрізком називається частина прямої, яка складається з усіх точок цієї
  7. 7. 7 прямої, що лежать між двома даними її точками. Ці точки називаються кінцями відрізка. Відрізок позначають, записуючи його кінці. Коли говорять або пишуть «відрізок АВ», то мають на увазі відрізок з кінцями в точках А і В. Кожний відрізок має певну довжину більшу від нуля. – Ламаною , ,… називається фігура, яка складається з точок , ,… і відрізків , … , що їх сполучають. Точки , ,… – називають вершинами ламаної, а відрізки , … – ланками ламаної. Ламана називається простою, якщо вона не має самоперетинів. – Довжиною ламаної називається сума довжин її ланок (довжина ламаної не менша за довжину відрізка, що сполучає її кінці). – Кутом називається фігура, яка складається з точки – вершини кута і двох різних півпрямих, що виходять з цієї точки, – сторін кута. Слово кут замінюють символом . Позначають кут трьома великими літерами або однією (або цифрою): точка О – вершина кута; – сторони кута. Кут можна розглядати як фігуру, утворену обертанням променя навколо своєї початкової точки О. Напрям обертання проти годинникової стрілки умовно називають додатнім, а за годинниковою стрілкою – від’ємним. – Бісектриса – промінь, який виходить з вершини кута й ділить його на дві рівні частини. ОА – бісектриса, . – Повним називається кут, отриманий від повного оберту променя навколо своєї початкової точки, =360о . – Розгорнутим називається кут, якщо його сторони є доповняльними півпрямими однієї прямої (сторони утворюють пряму) АОВ =
  8. 8. 8 – Прямим називається кут, який дорівнює половині розгорнутого кута (кут, градусна міра якого дорівнює ). АОВ = . – Тупим називається кут, який більший за прямий кут, але менший від розгорнутого. F – тупий; F – Гострим називається кут, який менший від прямого. F – гострий; F – Вертикальними називаються два кути, сторони одного з яких є доповняльними променями сторін другого. АОВ СОD – вертикальні, АОС і ВОD – вертикальні. ВЛАСТИВОСТІ ВЕРТИКАЛЬНИХ КУТІВ – Вертикальні кути рівні між собою АОВ СОD, АОС= ВОD – Бісектриси вертикальних кутів утворюють розгорнутий кут. КУТИ ПРИ ПЕРЕТИНІ ДВОХ ПРЯМИХ СІЧНОЮ – При перетині двох прямих третьою прямою ( січною) утворюються пари кутів: –внутрішні односторонні; –зовнішні різносторонні; – зовнішні односторонні.
  9. 9. 9 – Суміжними називаються кути, в яких одна сторона спільна, а дві інші сторони є доповняльними променями (півпрямими). АВС СВD – суміжні. ВЛАСТИВОСТІ СУМІЖНИХ КУТІВ – Сума суміжних кутів дорівнює ( АВ СВD = – Кут, суміжний з прямим кутом, є прямим; – кут, суміжний з гострим кутом, є тупим; – кут, суміжний з тупим кутом, є гострим. – Якщо два кути рівні, то суміжні з ними кути також рівні. – Чим більший кут, тим менший суміжний з ним, і навпаки. – Бісектриси суміжних кутів утворюють прямий кут. – Якщо суміжні кути рівні, то вони прямі. ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ Паралельними називаються дві прямі, які лежать в одній площині і не перетинаються, позначаються паралельні прямі так: . Аксіома паралельності: Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести тільки одну пряму, паралельну даній прямій. Ознаки паралельності: –Якщо дві різні прямі паралельні третій, то вони паралельні між собою. Якщо – Якщо при перетині двох прямих третьою: 1) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює , то такі прямі паралельні; 2) внутрішні різносторонні кути рівні: , то такі прямі паралельні; 3) відповідні кути рівні: , то такі прямі паралельні; 4) сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює :
  10. 10. 10 , то такі прямі паралельні; 5) зовнішні різносторонні кути рівні: , то такі прямі паралельні. Якщо дві паралельні прямі перетнуті січною (с), то їхні властивості формулюватимуться аналогічно до ознак (як обернені теореми). – Кути з відповідно паралельними сторонами або рівні, або в сумі складають . ТЕОРЕМА ФАЛЕСА – Якщо на одній із двох прямих відкладено декілька рівних (пропорційних) відрізків і через їх кінці проведені паралельні прямі, які перетинають другу пряму, то й на ній відкладуться рівні (пропорційні) відрізки: якщо і , то . ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ПРЯМІ. ВІДСТАНЬ ВІД ТОЧКИ ДО ПРЯМОЇ – Перпендикулярними називаються дві прямі, які перетинаються під прямим кутом ( ). – Перпендикуляром до даної прямої називають відрізок прямої, перпендикулярної до даної прямої, який має одним із своїх кінців точку їх перетину. Цей кінець відрізка називають основою перпендикуляра (АВ – перпендикуляр, В – основа). – Через кожну точку прямої можна провести перпендикулярну до неї пряму і до того ж тільки одну.
  11. 11. 11 – Через кожну точку поза даною прямою можна провести перпендикулярну до неї пряму і до того ж тільки одну. – Дві прямі (площини), які перпендикулярні до третьої, паралельні між собою. – Якщо пряма перпендикулярна до однієї із двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої прямої. – З будь-якої точки, що не лежить на даній прямій, можна провести перпендикуляр на цю пряму і до того ж тільки один. – Відстань від точки до прямої дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з даної точки на пряму (якщо точка лежить на прямій, то вважають, що відстань від цієї точки до прямої дорівнює нулю). – Відстань між паралельними прямими дорівнює відстані від будь-якої точки однієї прямої до другої прямої. – Кути з відповідно перпендикулярними сторонами або рівні або в сумі складають Приклади розв’язання задач Проілюструємо на прикладах основні теоретичні факти цього пункту. Зауважимо, що підбираючи приклади у цьому пункті, ми звернули свою увагу у першу чергу на задачі, які потребують додаткового дослідження взаємного розташування об’єктів, чи невизначені задачі. Приклад 1. На прямій а вибрано три точки А, В, С так, що АВ=3,8 см, АС=4,1 см. Обчисліть відстань між точками В і С. А Б В Г Д 0,3 см 3,95 см 7,9 см 0,3 см або 7,9 см 8 см Розв’язання. Для трьох різних точок на прямій тільки одна з них лежить між двома іншими. Зафіксуємо одну з точок на прямій а, наприклад, точку А, тоді точки В і С лежать на прямій а або по один бік від неї (враховуючи умову, отримаємо, що точка В лежить між А і С), або по різні боки (точка А лежить між точками В і С). У першому випадку ВС=4,1–3,8=0,3 см, у другому ВС=4,1+3,8=7,9 см.
  12. 12. 12 Відповідь: Г. Приклад 2. Від точки С відрізка АВ по різні боки від прямої АВ проведено два промені СD і СF так, що кути АСD і ВСD відносяться як 7:2, а промінь СF – бісектриса АСВ. Знайдіть FСD. А Б В Г Д 20о 40о 130о 140о 230о Розв’язання. За умовоюАСВ=180о , АСD:ВСD=7:2, АСD=7х, ВСD=2х, а тому 7х+2х=180о ,х=20о , ВСD=40о . СF – бісектриса АСВ, АСВ=180о , а тому FСВ=90о . FСD=FСВ+ВСD=130о . Відповідь: В. Приклад 3. При перетині двох прямих утворилися чотири кути, два з яких мають градусні міри   00 33;32  xx . Якого найбільшого значення може набувати найменший кут? А Б В Г Д 10о 36о 50о 69о 83о Розв’язання. При перетині двох прямих утворилися чотири кути, нехай один з них має градусну міру  0 32 x . Тоді один з трьох кутів, що лишилися, відповідно, дорівнює  0 33x . Маємо два принципово різних випадки: або пара кутів – вертикальні, або суміжні, а тому маємо дві можливості:          .8333;9732,50,1803332 ;111691801;693332,36,3332 000 00000 xxxxx xxxxx Тоді найменший кут між прямими може набувати значень 69о або 83о і найбільше значення найменшого кута 83о . Відповідь: Д.
  13. 13. 13 Приклад 4. При перетині двох паралельних прямих січною утворилися вісім кутів. Відомо, що сума трьох із восьми кутів дорівнює 306о . Укажіть градусну міру найменшого із восьми кутів. А Б В Г Д Лише 51о Лише 54о Лише 78о 54о або 78о Лише 102о Розв’язання. При перетині двох паралельних прямих січною утворилися вісім кутів, причому 1=3=5=7; 2=4=6=8 (маємо дві різні множини рівних між собою кутів). Тоді маємо два принципово різних випадки: або усі три кути з однієї множини: 3х=306о , х=102о ;кут, суміжний з цим, буде меншим: 180о –102о =78о ; або два – з різних множин (в сумі дають 180о ), а третій – з однієї із них, а тому х+180о =306о , х=126о , суміжний з цим кут буде меншим: 180о –126о =54о . Відповідь: Г. Приклад 5. Із точки А до прямої а проведено похилу АВ і перпендикуляр АС, точки В і С – основи похилої і перпендикуляра, відповідно. АВ=25 см, АС=24 см. Обчисліть: а) довжину проекції похилої АВ на пряму а; б) тригонометричні функції кута між перпендикуляром і похилою; в) відстань від точки С до прямої АВ; г) довжину проекції відрізка АС на пряму АВ; д) довжину відрізка АК, який відтинає серединний перпендикуляр до відрізка АВ на прямій АС. Розв’язання: а) АВ – похила, АС – перпендикуляр, ВС – проекція похилої АВ на пряму а. За теоремою Піфагора    749242524252425; 2222  BCACABBC ; б) кут між перпендикуляром АС і похилою АВ – це ВАС, позначимо його через ; тоді 25 24 cos  AB AC  ; 25 7 sin  AB BC  ; 24 7  AC BC tg ; 7 24  BC AC ctg ;
  14. 14. 14 в) для відшукання відстані від точки С до прямої АВ опустимо перпендикуляр СН з точки С на пряму АВ. Тоді АСН – прямокутний, Н=90о , А=; АС – гіпотенуза, СН – протилежний катет, а тому 72,6 25 168 25 7 24sin  ACCH ; г) проекцією відрізка АС на пряму АВ є відрізок АН, який у прямокутному АСН є прилеглим катетом, а тому 04,23 25 576 25 24 24cos  ACAH ; д) для відшукання довжини відрізка АК, який відтинає серединний перпендикуляр МК до відрізка АВ на прямій АС, розглянемо прямокутний АМК: М=90о , А=; М – середина АВ, довжина 2 25 2  AB AM ; АК – гіпо- тенуза, АМ – прилеглий катет, а тому 02,13 48 1 13 48 625 25 24 : 2 25 cos   AM AK . Відповідь: а) 7BC ; б) 25 24 cos  AB AC  ; 25 7 sin  AB BC  ; 24 7  AC BC tg ; 7 24  BC AC ctg ; в) 72,6CH ;г) 04,23AH ;д) 48 1 13AK . Завдання для самостійної роботи у форматі ЗНО 1. Знайдіть суміжні кути, якщо один з них утричі менший за інший. А Б В Г Д 22,5о ; 67,5о 30о ; 90о 40о ; 120о 45о ; 135о 60о ; 120о 2. Знайдіть суміжні кути, якщо один з них на 42° більший за інший. А Б В Г Д 24о ; 66о 64о ; 116о 69о ; 111о 74о ; 116о 79,5о ; 100,5о 3. Дві прямі перетинаються у точці О, градусні міри кутів задані на рисунку. Обчисліть х: А Б В Г Д 5о  o 29 183 9о 10о 51о
  15. 15. 15 4. Дві прямі перетинаються у точці О, градусні міри кутів задані на рисунку. Обчисліть х: А Б В Г Д 15о 17о 26о 56о 63о 5. Дві прямі перетинаються, градусні міри кутів задані на рисунку. Використовуючи рисунок, обчисліть різницю yx  : А Б В Г Д –8о –4о 2о 4о 8о 6. Знайдіть кут між прямими, що перетинаються, якщо відомо, що сума трьох з кутів, що утворилися при цьому, дорівнює 240°. А Б В Г Д 40о 60о 80о 100о 120о 7. Знайдіть кут між прямими, що перетинаються, якщо відомо, що сума двох з кутів, що утворилися при цьому, дорівнює 200°. А Б В Г Д 50о 60о 80о 100о 160о 8. Виберіть усі неправильні твердження, використовуючи рисунок: І. Точка В лежить між точками А і С. ІІ. Точка С лежить на відрізку АВ. ІІІ. Точка А лежить на промені СВ. ІV. Точка С лежить на промені АВ. А Б В Г Д лише І лише ІІ лише ІІІ лише ІV лише І, ІІІ та ІV 9. Відомо, що довжини відрізків АМ=2,3 см, АВ=3,1 см,МВ=0,8 см. Які з наведених тверджень є правильними для даних точок А, В, М?
  16. 16. 16 І. Точка В лежить на промені АМ. ІІ. Точка А лежить на промені МВ. ІІІ. Точка М лежить на промені АВ. ІV. Точки А, В і М не лежать на одній прямій. А Б В Г Д лише І лише ІІ лише ІІІ лише І та ІІІ лише ІV 10. Один з кутів, утворених при перетині двох прямих, удвічі більший за суму двох суміжних з ним кутів. Обчисліть більший із кутів. А Б В Г Д 36о 60о 72о 120о 144о 11. Точка А є внутрішньою точкою відрізка ВС. Які з наведених тверджень є правильними для даних точок А, В, С? І. АВ+АС=ВС; ІІ. АВ+ВС=АС; ІІІ. АВ+ВС>АС; ІV. на відрізку ВС існує єдина точка А, сума відстаней від якої до кінців відрізка ВС дорівнює довжині відрізка ВС. А Б В Г Д лише І лише ІІ лише І та ІІІ лише ІІІ лише І, ІІІ та ІV 12. Виберіть усі правильні твердження, використовуючи рисунок: І. Якщо АС=5,3 см і АВ=2,8 см, то ВС=2,5 см. ІІ. Якщо АС=5,3 см і ВС=2,8 см, то АВ=8,1 см. ІІІ. Виконується умова для векторів CAAB  . А Б В Г Д лише І лише ІІ лише ІІІ лише І та ІІІ лише ІІ та ІІІ 13. Відомо, що АВ=6,3 см, АС=4,2 см, ВС=2,1 см. Виберіть усі правильні твердження: І. Точки А, В, С на площині утворюють трикутник.
  17. 17. 17 ІІ. Має місце векторна рівність CBCA 2 . ІІІ. Точка С поділяє відрізок АВ у відношенні 1:2. А Б В Г Д лише І лише ІІ лише ІІІ лише І та ІІІ лише ІІ та ІІІ 14. На відрізку АВ завдовжки 5,1 м вибрано точку K так, що АK:KВ=9:8. Чому дорівнює довжина відрізка KВ? А Б В Г Д 0,3 м 2,4 м 2,7 м 3 м 3,3 м 15. На відрізку АВ завдовжки 4,9 см лежить точка С, причому довжина АС більша за довжину СВ на 2,5 см. Чому дорівнює довжина СВ? А Б В Г Д 1,2 см 2,4 см 2,25 см 2,5 см 3,7 см 16. Промінь ОС ділить АОВ = 114о на два кути так, що один з них утричі менший за інший. Знайдіть більший з кутів, які при цьому утворилися. А Б В Г Д 28,5о 38о 76о 82о 85,5о 17. Дано градусні міри двох кутівАОС=СОВ=125о . Обчисліть х, використовуючи дані рисунка. А Б В Г Д 55о 70о 110о 125о 235о 18.АОС – розгорнутий, проведено промінь ОВ так, що ВОС = 122о та промінь ОK так, що ОK– бісектриса ВОС. Обчисліть АОK. А Б В Г Д 58о 61о 116о 119о 122о 19. Промінь ОK проходить всередині кута АОВ, причому градусні міри АОВ=96о , АОK=48о . Виберіть усі неправильні твердження серед наведених: І. ОK – бісектриса АОВ;
  18. 18. 18 ІІ. Градусна міра кута, суміжного з ВОK, дорівнює 132о ; ІІІ. Градусні міри кутів пов’язані співвідношенням АОK=2ВОK; ІV. Точка, що лежить на промені ОK, рівновіддалена від прямих ОА і ОВ. А Б В Г Д лише І лише ІІ лише ІІІ лише ІV лише ІIІ та ІV 20. Градусна міра АВС=100о , ВK – його бісектриса. На продовженні променя KВ (за точку В) вибрали точку М. Чому дорівнює градусна міра АВМ? А Б В Г Д 50о 80о 110о 130о 150о 21. Від точки С відрізка АВ проведено в один бік від прямої АВ два промені СD і СF так, що СF – бісектриса АСD. Кути АСD і ВСD відносяться як 3:2. Знайдіть FСВ. А Б В Г Д 54о 72о 108о 120о 126о 22. На відрізку АВ вибрали точку О і через неї провели промінь ОС так, що ВОС=80о , та промінь ОМ, що є бісектрисою АОС (точки М і С лежать в одній півплощині від прямої АВ). Виберіть неправильне твердження: І. Градусна міра АОС=100о ; ІІ. Градусна міра МОВ=130о ; ІІІ. Градусна міра МОС=100о ; ІV. Бісектриса ВОС перпендикулярна до ОМ; V. Бісектриса МОС утворює з АО кут, градусна міра якого 75о . А Б В Г Д лише І лише ІІ лише ІІІ лише ІV лише V 23. На якому із рисунків прямі а і b паралельні?
  19. 19. 19 А Б В Г Д лише І лише ІІ лише ІІІ лише І та ІІ І, ІІ та ІІІ 24. На якому із рисунків прямі а і b не є паралельними? А Б В Г Д лише І лише ІІ лише ІІІ лише І та ІІ лише І та ІІІ 25. При перетині двох паралельних прямих січною утворилося вісім кутів. Відомо, що сума двох із восьми кутів дорівнює 220о . Укажіть градусну міру найменшого із восьми кутів. А Б В Г Д 40о 50о 70о 80о 110о 26. При перетині двох паралельних прямих січною утворилося вісім кутів. Відомо, що сума двох із восьми кутів дорівнює 80о . Укажіть градусну міру найбільшого із восьми кутів. А Б В Г Д 40о 80о 100о 120о 140о 27. При перетині двох паралельних прямих січною утворилося вісім кутів. Відомо, що сума трьох більших із восьми кутів дорівнює 330о . Укажіть градусну міру найменшого із восьми кутів. А Б В Г Д 70о 75о 80о 110о Встановити неможливо
  20. 20. 20 28. При перетині двох паралельних прямих січною утворилися вісім кутів. Відомо, що сума трьох із восьми кутів дорівнює 366о . Укажіть градусну міру найменшого із восьми кутів. А Б В Г Д Лише 6о Лише 58о Лише 61о 6о або 58о Лише 122о 29. Паралельні прямі перетинають сторони кута О, відтинаючи на них відрізки, довжини яких позначені на рисунку (у см). Обчисліть х (у см). А Б В Г Д 0,5 см 1 см 1,2 см 2,25 см 6⅔ см 30. Паралельні прямі АВ і СD перетинають сторони О (див. рисунок), причому ОА=8 см, АС=2 см, ОВ=6 см. Обчисліть довжину відрізка ВD. А Б В Г Д 0,5 см 1 см 1,5 см 2 см 2⅔ см 31. Паралельні прямі АВ і СD перетинають сторони О (див. рисунок), причому ОС=15 см, ОА=12 см, ВD=2 см. Обчисліть довжину відрізка ОВ. А Б В Г Д 1,5 см 1,6 см 2,5 см 8 см 10 см 32. Із точки А до прямої а проведено перпендикуляр і похилу, Н – основа перпендикуляра, В – основа похилої на прямій а. Виберіть усі неправильні твердження: І.Довжини відрізків пов’язані співвідношенням АН<AB; ІІ.АВ=АН+НВ;
  21. 21. 21 ІІІ. Градусна міра АНВ=90о ; ІV. Відстань від точки А до прямої а задає відрізок АВ. А Б В Г Д лише І лише ІІ лише ІІІ лише ІV лише ІІ та ІV 33. Із точки до прямої а проведено дві похилі завдовжки 34 см і 10 см. Менша похила утворює з прямою а кут 60о . Знайдіть довжину проекції більшої похилої до прямої а. А Б В Г Д 32 см 6 см 8 см 222 см 342 см 34. Промінь ОС проходить всередині кута АОВ, причому градусні міри АОВ=72о , АОС=36о . Установіть відповідність між питаннями (1–4) у лівому стовпці та відповідями (А–Д) у правому стовпці: 1) градусна міра ВОС, дорівнює 2) градусна міра кута, суміжного з ВОС, дорівнює 3) пряма, перпендикулярна до ОС, утворює з ОА кут 4) пряма, перпендикулярна до ОС, утворює з бісектрисою кута ВОС кут, градусна міра якого А 18о Б 36о В 54о Г 72о Д 144о 35. Використовуючи дані рисунка, установіть відповідність між питаннями (1–5) у лівому стовпці та відповідями (А–Е) у правому стовпці: 1) величина кута х 2) величина кута у 3) величина кута z 4) величина кута між прямими a і b 5) величина кута між прямими с і d А 0о Б 5о В 57о Г 118о Д 119о Е123о 36. Із точки А до прямої а проведено перпендикуляр АН і похилу АВ, причому Н і В – основи перпендикуляра і похилої на прямій а, відповідно. АВ=13, АН=5. Установіть відповідність між питаннями (1–4) у лівому стовпці та відповідями (А–Д) у правому стовпці: 1) відстань від точки Н до середини похилої АВ дорівнює А 2,4
  22. 22. 22 2) довжина проекції похилої АВ на пряму а дорівнює 3) серединний перпендикуляр до відрізка АН відтинає на АВ відрізок АК, довжина якого дорівнює 4) тангенс кута між перпендикуляром АН і похилою АВ дорівнює Б 2,5 В 6 Г 6,5 Д 12 37. При перетині двох прямих а і b січною прямою с утворилося вісім кутів (див. рисунок). Установіть відповідність між початком речення у лівому стовпці (1–4) та його закінченням у правому стовпці(А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження. 1) 1 і 5; 2) 4 і 6; 3) 2 і 7; 4) 1 і 3. А) внутрішні односторонні; Б) відповідні; В) суміжні; Г) зовнішні різносторонні; Д) внутрішні різносторонні. 38. При перетині двох прямих а і b січною прямою с утворилося вісім кутів (див. рисунок). Установіть відповідність між початком речення у лівому стовпці (1–4) та його закінченням у правому стовпці (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження. 1) 1 і 7; 2) 4 і 8; 3) 3 і 6; 4) 5 і 8. А) внутрішні різносторонні; Б) вертикальні; В)зовнішні односторонні; Г) суміжні; Д)відповідні. 39. Прямі а і b перетнуто січними прямими (див. рисунок). Установіть відповідність між початком речення у лівому стовпці (1–4) та його закінченням у правому стовпці (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
  23. 23. 23 1) яку назву мають кути, градусна міра яких позначена на рисунку у 83о та 97 о ; 2) яке взаємне положення прямих а і b; 3) яку назву мають кути, градусна міра яких позначена на рисунку у 87о та х о ; 4) обчисліть у градусах х. А) паралельні; Б) внутрішні односторонні; В) внутрішні різносторонні; Г) перетинаються; Д) 87о ; Е) 97о . 40. Із точки А до прямої а проведено перпендикуляр АН і похилу АВ так, що довжини АН=4 см, АВ=5 см. Доберіть правильну відповідь у правому стовпці на питання лівого стовпця: 1) відстань від точки А до прямої а дорівнює 2) довжина проекції відрізка АВ на пряму а дорівнює 3) відстань від точки Н до прямої АВ дорівнює 4) довжина проекції відрізка АН на пряму АВ дорівнює 5) серединний перпендикуляр до ВН відтинає від АВ відрізок АК завдовжки а) 2,4 см б) 2,5 см в) 3 см г) 3,2 см д) 4 см е) 5 см Відповіді до завдань для самостійної роботи (Розділ І) 1. Г; 2. В; 3. В; 4. Б; 5. Д; 6. Б; 7. В; 8. Б; 9. Г; 10. Д; 11. В; 12. А; 13. Б; 14. Б; 15. А; 16. Д; 17. В; 18. Г; 19. В; 20. Г; 21.Д; 22. В; 23.Г; 24. Б; 25.В; 26. Д; 27.А; 28.Б; 29.Б; 30.В; 31. Г; 32. Д; 33. В; 34. 1Б; 34. 2Д; 34. 3В; 34. 4Г; 35. 1Г; 35. 2Е; 35. 3В; 35. 4А; 35. 5Б; 36. 1Г; 36. 2Д; 36. 3В; 36. 4А; 37. 1Б; 37. 2А; 37. 3Г; 37. 4В; 38. 1В; 38. 2Д; 38. 3А; 38. 4Б; 39. 1Б; 39. 2А; 39. 3В; 39. 4Д; 40. 1Д; 40. 2В; 40. 3А; 40. 4Г; 40. 5Б.
  24. 24. 24 Розділ ІІ Коло та круг У цьому пункті повторюємо з учнями коло, круг та їхні елементи; центральні, вписані кути та їхні властивості; властивості двох хорд, що перетинаються; дотичну до кола та її властивості. Теоретичні відомості Коло - Колом називається фігура, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від даної точки. Ця точка називається центром кола. - Радіусом називається відрізок, що сполучає точку кола з його центром або відстань від точок кола до його центра. (Позначається радіус R або r). - Хордою називається відрізок, що сполучає дві точки кола. - Діаметром називається хорда, що проходить через центр кола. (Позначають діаметр D або d). - О – центр кола; ОА – радіус; ВС – хорда; MN – діаметр. - Кругом називають множину точок площини, відстань яких від даної точки (центра кола) не перевищує даної відстані (радіуса круга), або частина площини, яка обмежується колом. ВЛАСТИВОСТІ - Діаметр – найбільша хорда кола; - діаметр дорівнює подвоєному радіусу кола D=2R (d=2r); - діаметр, проведений перпендикулярно до хорди, ділить хорду на дві рівні частини. Якщо CD AB, то AM = MB = 1/2AB; - діаметр, який проходить через середину хорди, відмінної від діаметра, є перпендикулярним до
  25. 25. 25 хорди, якщо AM = MB = 1/2AB, то CD AB. - рівні хорди кола рівновіддалені від центра. Якщо AB = CD і OK CD, OM AB, то OK = OM. - якщо дві хорди кола рівновіддалені від центра, то вони рівні. Якщо OK AB, OM CD, OK = OM, то AB = CD. - відстань від центра кола до хорди визначається зі співвідношення: + = , де а – довжина хорди; – радіус; –відстань до хорди. - якщо AB – хорда, AC – діаметр і BD AC, то =AD AC; =AD DС. - для даної точки М всередині кола добуток відрізків хорди, на які ділить їх дана точка, є величина постійна: - AM · MB = (R+OM)  (R–OM) = – , де R – радіус кола
  26. 26. 26 - якщо хорди AB і CD кола перетинаються в точці S, то AS · BS = CS · DS. Дуги і хорди кола Дуга – частина кола, обмежена двома його точками (позначають АВ). ВЛАСТИВОСТІ - рівні дуги стягують рівні хорди. Якщо AB = CD, то AB = CD; - рівні хорди стягують рівні дуги. Якщо AB = CD, то AB = CD. - діаметр, перпендикулярний до хорди, ділить дугу, яка стягує хорду, на дві рівні частини. Якщо AB CD і CD – діаметр, то AD = DВ. - якщо діаметр проходить через середину хорди (відмінної від діаметра), то він ділить дугу, яку стягує хорда, на дві рівні частини. Якщо AM = MB і CD – діаметр, то AD = ВD.
  27. 27. 27 - паралельні хорди відтинають на колі рівні дуги. Якщо AB CD, то AС = ВD. - дві рівні хорди, які мають спільний кінець і утворюють кут , поділяють коло на три рівні дуги. Якщо AB = ВC, ABC = , то AB = ВC = АС = . - якщо хорда дорівнює радіусу кола, то хорда відтинає від кола дугу, що становить 1/6 частину кола. Якщо AB = АО = ВО, то AB =1/6АВА = . - якщо дві хорди мають спільний кінець і утворюють кут , то інші кінці хорд поділяють коло на дві рівні частини (спираються на діаметр). Якщо AB ВC, то АВС =АС= . - якщо дві хорди мають спільний кінець і утворюють кут , то інші кінці хорд відтинають від кола дугу, яка становить 1/6 частину кола. Якщо АВС= , то АС =1/6АВСА = .
  28. 28. 28 Дотичні та січні кола - Дотична до кола – пряма, яка має з колом одну спільну точку (точку дотику); d – дотична до кола; M – точка дотику. - Січна – пряма, яка має з колом дві спільні точки; b – січна. ВЛАСТИВОСТІ - дотична, перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику: ОМ d; - якщо пряма проходить через кінець діаметра і перпендикулярна до нього, то ця пряма дотична. - якщо з однієї точки до даного кола проведені дві дотичні, то відрізки дотичних рівні між собою: АВ = АС; - якщо коло дотикається сторін кута, то центр кола лежить на бісектрисі кута;АО – бісектриса. - якщо з точки поза колом проведені до нього дотична і січна, то квадрат довжини відрізка дотичної дорівнює добутку всього відрізка до січної на його зовнішню частину: = AB · AC.
  29. 29. 29 SA  SB =SC  SD BS AS = DS  CS = – , R – радіус кола. SASB = Взаємне розташування прямої і кола Якщо відстань ОМ від центра кола до прямої: більша радіуса (OM>R), то пряма не має спільних точок з колом; дорівнює радіусу ( , то пряма дотикається до кола;
  30. 30. 30 менша радіуса ( , то коло відтинає на прямій хорду довжиною Взаємне розташування двох кіл Якщо О1О2 >R+r, то спільні точки відсутні Якщо О1О2 = R+r, то одна спільна точка Якщо R–r <О1О2 <R+r, то дві спільні точки Якщо О1О2 <R–r, то спільні точки відсутні Якщо О1О2 = R–r, то одна спільна точка
  31. 31. 31 Спільні дотичні двох кіл Якщо кола перетинаються, тобто R – r<О1О2 <R + r, то є дві спільні дотичні Приклади розв’язання задач Проілюструємо на прикладах основні теоретичні факти цього пункту. Приклад 1. Точка О – центр кола, точки А, В, С лежать на колі і точка О лежить на відрізку ВС, градусна міра кута ВСА дорівнює 33 о (див. рисунок). Чому дорівнюють градусні міри кутів АОВ і АВС? Розв’язання. Кут ВОС – розгорнутий, його градусна міра 180 о . ВАС – вписаний, спирається на ту ж саму дугу, а тому його градусна міра 90 о (кут, що спирається на діаметр, прямий). Кут ВСА вписаний, спирається на дугу АВ, а кут ВОА – центральний, спирається на ту ж саму дугу, а тому його градусна міра дорівнює 233 о =66 о . Градусна міра дуги САВ дорівнює 180 о , а дуги АВ – 66 о , а тому градусна міра дуги АС є їхньою різницею, тобто 114 о ; кут СВА – вписаний, спирається на цю дугу, його градусна міра – половина, тобто 57 о . Перевірка: 1) сума кутів трикутника АВС (33 о , 90 о , 57 о ) дорівнює 180 о ; 2) трикутник ОСА рівнобедрений, а тому САО=ОСА мають градусну міру по 33 о ; кут СОА, відповідно, 180 о –233 о =180 о –66 о =114 о . Кут АОВ – суміжний з СОА, його градусна міра дорівнює 180 о –114 о =66 о (можна
  32. 32. 32 і інакше кут АОВ – зовнішній кут трикутника СОА, а тому кут АОВ дорівнює сумі двох кутівСАО+ОСА=233 о =66 о ); 3) трикутник ОАВ рівнобедрений, а тому ОАВ=ОВА і їхня сума дорівнює куту СОА=114 о , звідки ОАВ=ОВА=114 о :2=57 о . Інакше: кут АОВ=66 о , тоді із суми кутів трикутника отримаємо ОАВ=ОВА=(180 о – 66 о ):2=114 о :2=57 о . Відповідь: АОВ=66 о і АВС=57 о . Приклад 2. Точки А, В, С, D лежать на колі з центром у точці О діаметра АВ. Градусні міри кутів ВАD і АDС дорівнюють 20 о і 36 о відповідно (див. рисунок). Обчисліть градусні міри кутів: а) ACB, ADB; б) АОС, СОD, DOB, AOD, COB; в) CAD, CAB, CBA, DBA, DBC, DCB, DCA,CDВ. Упорядкуйте кути CВA, DOB, CAD за зростанням градусних мір. Розв’язання: а) Кути ACB, ADB спираються на діаметр AB, а тому є прямими, градусні міри по 90 о . б) За умовою нам дано два вписаних кутиВАD і АDС, які спираються на дуги ВD і АС (20 о і 36 о ), відповідно. А тому ми маємо градусні міри відповідних центральних кутів: ВОD=40 о і АОС=72 о . Тобто маємо наступні градусні міри дуг: AB=180 о ,DB=40 о ,AC=72 о , а тому CD=180 о – (40 о +72 о )=68 о . Тому центральні кути, відповідно, АОС=72 о (спирається на AC), СОD=68 о (спирається на CD), DOB=40 о (спирається на DВ), AOD=140 о (спирається на АD=AC+CD), COB=108 о (спирається на СВ=CD+DВ). в) Кути цього пункту є вписаними: кут CAD спирається на дугу CD=68 о , а тому CAD=34 о ; CBA – на дугу CА=72 о , а тому CВA=36 о ; CAB – на дугу CВ=68 о +40 о =108 о , а томуCAВ=54 о ; DBA – на дугу АD =72 о +68 о =140 о , а тому DBA =70 о ;
  33. 33. 33 DBC – на дугу СD =68 о , а тому DBC =34 о ; DCB – на дугу DВ =40 о , а тому DCB =20 о ; DСA – на дугу DВА =40 о +180 о =220 о , а тому DBA =110 о ; CDВ – на дугу ВАС =180 о +72 о =252 о , а тому CDВ =126 о . Щоб упорядкувати кути за зростанням градусних мір, випишемо їхні значення: CВA=36 о , DOB=40 о , CAD=34 о , а тому CAD <CВA <DOB. Зауважимо, що доцільним, на наш погляд, є завдання перевірити суми кутів трикутників, які при цьому виникають, у тому числі проаналізувати, які з трикутників є рівнобедреними, які прямокутними і чому. Доцільно обчислити повторно кути, скориставшись властивістю адитивності, наприклад, кут CDВ=CDА+АDВ, а тому CDВ=36 о +90 о =126 о . Приклад 3. Точки А, В, С лежать на колі радіуса R, причому довжина хорди АВ дорівнює R3 . Чому дорівнює градусна міра кута АCВ? А Б В Г Д 30 о 45 о 90 о 60 о або 120 о Інша відповідь Розв’язання. Зауважимо, що трикутник АОВ рівнобедрений і його медіана, проведена з точки О, є бісектрисою і висотою, а тому ½ АВ : АО = соsOAB. Враховуючи умову, отримаємо, що соsOAB= 2 3 , а тоді OAB=30 о , звідки AOB=120 о . А тоді, залежно від того, де лежить точка С по відношенню до хорди АВ, матимемо дві можливості: або вписаний кут спирається на дугу 120 о або на дугу 240 о . А оскільки він дорівнює половині градусної міри дуги, то маємо дві відповіді до задачі: або AС2B=60 о , або AС1B=120 о . Відповідь: 60 о або 120 о , відповідь - Г. Приклад 4. Продовження хорд АВ і СD кола перетинаються у точці S (див. рисунок). Обчисліть довжину відрізка SD, якщо довжини AВ = 2 см, BS = 6 см, CD = 8 см. Розв’язання. Кути DCB і DАB – вписані, спираються на одну дугу DВ, а тому рівні; трикутники SAD i SCB подібні за двома
  34. 34. 34 кутами (S спільний), а тому SB SC SD SA  або SA  SB = SC  SD. Обчислимо довжини відрізків, використовуючи дані з умови задачі, скористаємося адитивністю довжин відрізків: SA = SB+BA = 2+6 = 8; SC= SD+DC = x+8, а тому отримаємо рівняння x  (x + 8) = 6  8, звідки x2 + 8  x – 48 = 0, коренями рівняння є –12 і 4, умову задовольняє лише додатний корінь, а тому SD = 4 см. Відповідь: 4 см. Приклад 5. Хорди АВ і СD кола перетинаються у точці S (див. рисунок), причому довжини AS = 6 см, BS = 4 см, CS = 8 см. 1. Обчисліть довжину відрізка SD. 2. На скільки відсотків хорда СD більша за хорду АВ? Розв’язання. Кути DCB і DАB – вписані, спираються на одну дугу DВ, вони рівні; трикутники SAD i SCB подібні за двома кутами, а тому SB SC SD SA  , звідки SA  SB = SC  SD. Маємо рівняння 6  4 = 8  x, звідки x = 3, а тому SD = 3 см. Довжина хорди СD = 11 см, хорди АВ = 10 см. Обчислюємо, на скільки хорда СD більша за хорду АВ: 11–10=1 см; 1 см становить від хордиАВ = 10 см 10 відсотків, а тому відповідь на друге питання – 10 %. Відповідь: 3 см, 10 %. Доцільно акцентувати увагу учнів на ідентичній формулі у прикладах 3 і 4 (кожен раз «міряємо від S»), і на відмінностях (у прикладі 3, «міряючи SА», «пробігаємо» ще раз по SВ), уникаючи помилок у механічному множенні відрізків, які при цьому виникають. Наступні приклади можна вважати певним узагальненням попереднього. Приклад 6. Точка М віддалена на 10 см від центра кола, радіус якого дорівнює 12 см. Через цю точку проведено хорду завдовжки 15 см. Обчисліть довжини відрізків, на які ділить точка М хорду. Розв’язання. Нехай точка О – центр кола, з’єднаємо її з точкою М і продовжимо пряму ОМ до перетину з колом, матимемо хорду (діаметр), позначимо її АВ.
  35. 35. 35 Іншу хорду, що проходить через точку М, про яку йдеться в умові задачі, позначимо CD (див. рисунок). Нехай CМ = х, тоді МD =15 – х, оскільки АМ = АО + ОМ, то АМ = 22, аналогічно, ВМ = ВО – ОМ, звідки ВМ = 2. З подіб- ності СМВ і AMD маємо МA  МB = МC  МD, звідки 22  2 = х  (15 – х), отримали квадратне рівняння x2 –15  x + 48 = 0, коренями рівняння є 4 і 11. Два різні алгебраїчні розв’язки дають CМ = 4, МD =11, або навпаки, тобто принципово єдину геометричну можливість: довжини відрізків, на які ділить точка М хорду, є 4 і 11 см. Відповідь: 4 і 11 см. Зауважимо, що дану задачу можна розв’язати і інакше, проте у цьому пункті ми акцентуємо увагу на властивостях хорд. Інше розв’язання може виглядати, наприклад, так: CОD – рівнобедрений, ОС=ОD=12 см, CD=15 см, обчислюємо відстань від точки М до прямої CD (висоту трикутника), вона рівна 395,1 см, знаючи цю відстань і відрізок ОМ=10 см, знаходимо відстань d =3,5 см від середини CD до М, що фактично завершує розв’язання задачі, адже шукані в умові задачі відрізки будуть рівні 7,5d. Приклад 7. Обчисліть відстань від центра кола радіуса 14 см до точки K, якщо через неї проходить хорда, яка точкою K ділиться на відрізки 11 і 12 см. Розв’язання. Нехай точка О – центр кола, хорда АВ проходить через точку K. З’єднаємо точку K з центром О і продовжимо до перетину з колом, отримаємо хорду (діаметр) CD, позначимо шукану величину KО через х (див. рисунок), тоді KС=14–х, KD=14+х, KА=12, KВ=11. Маємо KA  KB = KC  KD, 12  11 = (14 – х)  (14 + х). Отримали квадратне рівняння 196–x2 =132, x2 =64, коренями рівняння є 8. Умову задачі задовольняє KО=8 см. Відповідь: 8 см. Приклад 8. Два кола, радіуси яких дорівнюють 1 і 9 см, мають зовнішній дотик. Обчисліть відстань (у см) від точки дотику даних кіл до їхньої спільної зовнішньої дотичної.
  36. 36. 36 Розв’язання. Виконаємо рисунок: точка K дотику двох кіл лежить на лінії центрів О1О2, пряма АС – спільна зовнішня дотична точки А і С – точки дотику кіл. Опустимо перпендикуляр KВ на пряму АС, тоді шуканий відрізок є KВ. Проведемо через центр О1 меншого кола пряму, паралельну до АС. Тоді (див. рисунок), АО1ЕС – прямокутник, BD=AО1=СЕ=1 см. Розглянемо трикутник О1ЕО2,у ньому KD||O2E, ЕО2=СО2–СЕ=9–1=8 см, О1О2=О1K+KО2=1+9=10 см. Трикутники О1ЕО2 і О1DK подібні, коефіцієнт подібності 10 1 21 1  OO KO k , а тому 8,08 10 1 2  EOkDK см. Врахуємо, що BK=BD+DK, звідки BK=1+0,8=1,8 см. Відповідь: 1,8 см. Завдання для самостійної роботи у форматі ЗНО 1. Знайдіть градусні міри двох дуг кола, на які його поділяють дві точки, якщо градусна міра однієї із дуг на 50 о більша за градусну міру іншої. А Б В Г Д 20о ; 70о 65о ; 115о 40о ; 140о 155о ; 205о 130о ; 230о 2. Знайдіть градусні міри двох дуг кола, на які його поділяють дві точки, якщо градусні міри цих дуг відносяться як 5:7. А Б В Г Д 50о ; 70о 75о ; 105о 135о ; 225о 140о ; 220о 150о ; 210о 3. Знайдіть градусну міру більшої із двох дуг кола, на які його поділяють кінці хорди, якщо градусні міри цих дуг відносяться як 3:7. А Б В Г Д 108о 120о 360о (3/7) 360о (7/3) 252о
  37. 37. 37 4. Знайдіть градусну міру меншої із двох дуг кола, на які його поділяють кінці хорди, якщо градусна міра однієї із цих дуг у 4 рази більша за градусну міру іншої. А Б В Г Д 45о 72о 90о 144о 288о 5. Знайдіть довжину дуги кола радіуса 5 см, яка становить ¾ кола. А Б В Г Д 3,75π см 7,5π см 20/3π см 10π см 40/3π см 6. Знайдіть довжину дуги кола, градусна міра якої дорівнює 80 о , якщо радіус кола 9 см. А Б В Г Д 4 см 2π см (80/9) см 4π см 18π см 7. Знайдіть радіус кола, якщо довжина дуги кола дорівнює 4,5π см, а її градусна міра дорівнює 135 о . А Б В Г Д 2,25 см 3 см 4,5 см 5 см 6 см 8. Знайдіть, яку частину площі круга становить площа сектора, градусна міра дуги якого дорівнює 126 о . А Б В Г Д 10 3 3 1 20 7 8 3 14 5 9. Знайдіть площу сектора з градусною мірою центрального кута 108 о , якщо радіус круга дорівнює 5 см. А Б В Г Д 5π см2 25π/108 см2 7,5 π см2 12,5 π см2 25π см2 10. Знайдіть радіус круга, якщо площа сектора дорівнює 1,2π см2 , а градусна міра дуги сектора складає 27 о . А Б В Г Д 2 см 4 см 5 см 6 см 7 см 11. Знайдіть градусну міру центрального кута сектора, якщо радіус круга 6 см і площа сектора дорівнює 1,5π см2 . А Б В Г Д 15о 20о 30о 45о 50о
  38. 38. 38 12. Знайдіть довжину кола, яке обмежує круг площею 49π см2 . А Б В Г Д 7π см 12π см 14π см 28π см 49π см 13. Знайдіть площу круга, якщо його діаметр 5 дм. А Б В Г Д 6,25π дм2 12,5π дм2 15π дм2 25π дм2 50π дм2 14. Знайдіть площу круга, якщо довжина кола, яке обмежує цей круг, 10π м. А Б В Г Д 5π м2 12,5π м2 20π м2 25π м2 50π м2 15. Обруч котиться по прямій і робить один повний оберт, пройшовши при цьому шлях 13π дм. Який діаметр обруча? А Б В Г Д 6,5 дм 13 дм 26 дм 13π дм 42,25 дм 16. Радіус кола збільшили на 20 %. На скільки відсотків при цьому збільшилася довжина кола? А Б В Г Д 1,2 % (20:2π) % 10 % 20 % 44 % 17. Радіус кола збільшили на 20 %. На скільки відсотків при цьому збільшилася площа круга? А Б В Г Д 1,2 % (20:π) % 10 % 20 % 44 % 18. Площа круга складає 25 % від площі іншого круга. Як відноситься радіус меншого кола до радіуса більшого кола? А Б В Г Д 1:4 1:3 1:2 3:4 4:5 19. Довжина кола, яке обмежує один круг, більша на 30% за довжину кола, яке обмежує другий кут. На скільки відсотків площа першого круга більша за площу другого? А Б В Г Д 69 % 60 % 45 % 30 % 15 %
  39. 39. 39 20. Площі двох кругів відносяться, як 9:16. Як відносяться діаметри кіл, які обмежують ці круги? А Б В Г Д 7:16 9:16 3:4 27:64 81:256 21. Довжини двох кіл відносяться, як 4:25. Як відносяться площі кругів, обмежених цими колами? А Б В Г Д 16:625 8:125 4:25 2:5 21:25 22. Площі двох кругів відносяться, як 4:9. Скільки відсотків складає довжина кола, яке обмежує більший круг, від довжини кола, яке обмежує інший круг? А Б В Г Д (13/9)·100 % 105 % 150 % 175 % 225 % 23. Знайдіть радіус круга, площа якого чисельно дорівнює площі сектора радіуса 3 м з градусною мірою центрального кута 250 о . А Б В Г Д 2 м 25/12 м 2,2 м 2,5 м 3,6 м 24. Знайдіть градусну міру центрального кута сектора радіуса 12 см, площа якого чисельно дорівнює площі круга радіуса 4 см. А Б В Г Д 120о 100о 80о 60о 40о 25. Квітник, що має вигляд сектора радіуса 8 м з градусною мірою центрального кута 135о , обнесли по периметру земляним валком. Яка довжина земляного валка? Укажіть відповідь, найближчу до точної. А Б В Г Д 24 м 35 м 40 м 50 м 19 м 26. Водноспортивний комплекс площею 628 м2 містить водойму у формі круга, насадження та луг, площі яких співвідносяться як 2:1:1, відповідно. Знайдіть діаметр водойми. Укажіть відповідь, найближчу до точної. А Б В Г Д 10 м 16 м 20 м 28 м 34 м
  40. 40. 40 27. Обчисліть площу кільця, утвореного двома концентричними колами (тобто колами, які мають спільний центр), радіуси яких, відповідно 2 і 3 дм. А Б В Г Д 4π дм2 25π дм2 13π дм2 9π дм2 5π дм2 28. Площа кільця, утвореного двома концентричними колами, радіуси яких відрізняються на 2 см, дорівнює 7π см2 . Обчисліть радіуси цих кіл, у відповідь запишіть радіус меншого кола. А Б В Г Д 0,75 см 1,25 см 1,5 см 1,75 см 2,75π см 29. Скільки відсотків складає площа кільця, утвореного двома концентричними колами, радіуси яких, відповідно, 3 і 5 см, від площі великого круга? А Б В Г Д 36 % 40 % 60 % 64 % 80 % 30. Точка О – центр кола, точки А, В, С лежать на колі і градусна міра кута АОС дорівнює 140 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута АВС? А Б В Г Д 40 о 70 о 80 о 90 о 140 о 31. Точка О – центр кола, точки А, В, С лежать на колі і градусна міра кута АСВ дорівнює 40 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута АОВ? А Б В Г Д 20 о 40 о 50 о 80 о 140 о 32. Точка О – центр кола, точки А, В, С лежать на колі і точка О лежить на відрізку АС(див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута АВС? А Б В Г Д 80 о 90 о 100 о 105 о Встановити неможливо
  41. 41. 41 33. Точка О – центр кола, точки А, В, С лежать на колі і точка О лежить на відрізку АС, градусна міра кута САВ дорівнює 35 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута АСВ? А Б В Г Д 55 о 45 о 35 о 145 о Встановити неможливо 34. (ЗНО, 2011 р.) На рисунку зображено коло з центром у точці О і рівносторонній трикутник АОВ, що перетинає коло в точках М і N. Точка D належить колу. Знайдіть градусну міру кута MDN. А Б В Г Д 15 о 30 о 45 о 60 о 120 о 35. Точка О – центр кола, точки А, В, С лежать на колі і градусна міра кута ВСА дорівнює 35 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута АOВ? А Б В Г Д 35 о 55 о 70 о 145 о Інша відповідь 36. Точки А, В, С лежать на колі, причому довжина хорди АВ дорівнює радіусу кола. Чому дорівнює градусна міра кута АCВ? А Б В Г Д 45 о 60 о 120 о 30 о або 150 о Інша відповідь 37. Точки А, В, С лежать на колі, причому довжини хорд АВ і ВС дорівнюють радіусу кола. Чому дорівнює градусна міра кута АВC? А Б В Г Д 30 о 60 о 120 о 150 о Інша відповідь
  42. 42. 42 38. Точка О – центр кола, точки А, В, С лежать на колі і градусна міра кута АВС дорівнює 100 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута АОС? А Б В Г Д 80 о 100 о 160 о 170 о 200 о 39. Точки А, В, С, D лежать на колі і градусна міра кута АВС дорівнює 80 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута АDC? А Б В Г Д 40 о 80 о 90 о 100 о 160 о 40. Точки А, В, С, D лежать на колі і градусна міра кута АВС дорівнює 80 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута АDC? А Б В Г Д 40 о 80 о 100 о 140 о 160 о 41. Точки А, В, С, D лежать на колі діаметра АВ. Градусна міра кута ВАС дорівнює 66 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута АDC? А Б В Г Д 114 о 66 о 33 о 24 о Встановити неможливо 42. Із точки А до кола з центром у точці О проведено дві дотичні, точки дотику до кола В і С. Градусна міра кута АОС дорівнює 50 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута ВАC? А Б В Г Д 25 о 40 о 50 о 60 о 80 о
  43. 43. 43 43. Із точки А до кола з центром у точці О проведено дві дотичні, точки дотику до кола В і С. Градусна міра кута ОСВ дорівнює 25 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута ВАC? А Б В Г Д 12,5 о 25 о 50 о 65 о 75 о 44. Точки А, В, С поділяють коло на три дуги, градусні міри яких відносяться як 2:3:4. Чому дорівнює середній за величиною кут трикутника? А Б В Г Д 20 о 30 о 40 о 60 о 80 о 45. Точки А, В, С поділяють коло радіуса 3 см на три дуги, градусні міри яких відносяться як 1:2:3. Чому дорівнює середня за величиною сторона трикутника? А Б В Г Д 1,5 см 3 см 3 см 32 см Інша відповідь 46. Два кола, відстань між центрами яких дорівнює 7 см, мають зовнішній дотик. Площа одного із кіл дорівнює 4π см2 . Знайдіть площу іншого кола. А Б В Г Д 3π см2 10π см2 11π см2 25π см2 49π см2 47. (ЗНО, 2010 р., ІІ сесія). Два кола, довжини яких дорівнюють 9π см і 36π см, мають внутрішній дотик. Знайдіть відстань між центрами цих кіл. А Б В Г Д 13,5 см 18 см 22,5 см 27 см 45 см 48. (ЗНО, 2010 р., І сесія). Два кола дотикаються, причому менше з кіл проходить через центр більшого кола (див. рисунок). Знайдіть площу зафарбованої фігури (у см2 ), якщо менше з кіл обмежує круг площею 64 см2 . А Б В Г Д 64 см2 128 см2 192 см2 256 см2 320 см2
  44. 44. 44 49. Знайдіть довжину кола, рівняння якого у прямокутній системі координат 03422  yxyx . А Б В Г Д 1,5π од. 2π од. 3π од. 4π од. 5π од. 50. Знайдіть площу круга, який дотикається до прямих 2x і 5x . А Б В Г Д 3,5π од2 . 7π од2 . 12,25π од2 . 24,5π од2 . 25π од2 . 51. Чому дорівнює площа круга, зображеного на рисунку (у од.2 )? А Б В Г Д 2π од.2 4π од.2 6π од.2 8π од.2 16π од.2 52. У колі проведено хорди AB i CD, які перетинаються у точці K. Обчисліть довжину відрізка KD, якщо довжини AK = 8 см, BK = 1 см, CK = 4 см. А Б В Г Д 2 см 3 см 11 см 12 см 32 см 53. У колі проведено хорди AB i CD, які перетинаються у точці K. Обчисліть довжину відрізка KD, якщо довжини AВ = 8 см, BK = 1 см, CK = 4 см. А Б В Г Д 1,75 см 2 см 3 см 28 см 32 см 54. У колі проведено хорди AB i CD, які перетинаються у точці K. Обчисліть довжину відрізка KD, якщо довжини AС=8 см, BD=1 см, CK=4 см. А Б В Г Д 32 см 5 см 3 см 2 см 0,5 см 55. У колі проведено хорди AB i CD, які перетинаються у точці K. Обчисліть довжину відрізка KD, якщо він на 2 см більший за відрізок КС, а довжини AК = 12 см, BК = 2 см. А Б В Г Д 4 см 6 см 8 см 10 см 24 см
  45. 45. 45 56. Продовження хорд АВ і СD кола перетинаються у точці S (див. рисунок). Обчисліть довжину хорди СD, якщо довжини AВ = 4 см, BS = 2 см, SD = 3 см. А Б В Г Д 1 см 1,5 см 8/3 см 3 см 6 см 57. Продовження хорд АВ і СD кола перети- наються у точці S (див. рисунок). Обчисліть довжину хорди SD, якщо довжини AВ = 2 см, BS = 4 см, CD = 10 см. А Б В Г Д 1,25 см 1,5 см 2 см 4 см 5 см 58. Обчисліть довжину дотичної SС до кола, використовуючи дані рисунка, якщо довжини AВ= 7 м, BS= 9 м. А Б В Г Д 73 м 8 м 12 м 16 м 21 м 59. Обчисліть довжину хорди AВ (див. рисунок), якщо довжина дотичної до кола SС = 6 см, а довжина BS = 4 см. А Б В Г Д 1,5 см 2 см 8/3 см 5 см 9 см 60. Обчисліть довжину відрізка BS (див. рисунок), якщо довжина дотичної до кола SС= 3 см, а довжина хорди AВ = 8 см. А Б В Г Д 3/8 см 1 см 9/8 см 2 см 8/3 см
  46. 46. 46 61. У колі на відстані 24 дм від центра кола проведено хорду завдовжки 14 дм. Знайдіть радіус кола. А Б В Г Д 192 дм 10 дм 25 дм 31 дм 38 дм 62. У колі радіуса 61 см на відстані 60 см від центра кола проведено хорду. Знайдіть довжину цієї хорди. А Б В Г Д 1 см 2 см 11 см 22 см 121 см 63. У колі радіуса 17 дм проведено хорду завдовжки 16 дм. Знайдіть відстань від центра кола до цієї хорди. А Б В Г Д 1 дм 9 дм 15 дм 25 дм 33 дм 64. У колі радіуса 14 см проведено хорду АВ, яка точкою С ділиться на відрізки 12 і 11 см. Знайдіть відстань від центра кола до точки С хорди АВ. А Б В Г Д 5 см 6 см 7 см 8 см 9 см 65. Точка С віддалена на 4 см від центра кола, радіус якого дорівнює 6 см. Через цю точку проведено хорду АВ завдовжки 9 см. Обчисліть довжини відрізків АС і СВ, на які ділить точка С хорду АВ. А Б В Г Д 1 і 8 см 2 і 7 см 3 і 6 см 3,5 і 5,5 см 4 і 5 см 66. Точки А, В, С, D лежать на колі діаметра АВ. Градусні міри кутів АВD і DВС дорівнюють 18 о і 32 о , відповідно (див. рисунок). Установіть відповідність між кутом (1–5) і його градусною мірою (А–Е): 1) кут САВ 2) кут САD 3) кут DСВ 4) кут АDС 5) кут АСD А 18о Б 32о В 40о Г 90о Д 108о Е 130о
  47. 47. 47 67. Точка М віддалена на 4 см від центра кола, радіус якого дорівнює 10 см. Через цю точку проведено хорду АВ так, що довжини відрізків АМ і МВ відрізняються на 5 см. Обчисліть довжини відрізків АМ і МВ. 68. Два кола, радіуси яких дорівнюють 1 і 25 см, мають зовнішній дотик. Обчисліть відстань (у см) між точками дотику даних кіл з їхньою спільною зовнішньою дотичною. Відповіді до завдань для самостійної роботи (Розділ ІІ) 1 Г; 2 Д; 3 Д; 4 Б; 5 Б; 6. Г; 7. Д; 8. В; 9. В; 10. Б; 11. А; 12. В; 13. А; 14. Г; 15. Б; 16. Г; 17. Д; 18. В; 19. А; 20. В; 21. А; 22. В; 23. Г; 24. Д; 25. Б; 26. В; 27. Д; 28. А; 29. Г; 30. Б; 31. Г; 32. Б; 33. А; 34. Б; 35. В; 36. Г; 37. В; 38. В; 39. Б; 40. В; 41. Г; 42. Д; 43. В; 44. Г; 45. В; 46. Г; 47. А; 48. В; 49. Д; 50. В; 51. Б; 52. А; 53. А; 54. Д; 55. Б; 56. А; 57. В; 58. В; 59. Г; 60. Б; 61. В; 62. Г; 63. В; 64. Г; 65. Д; 66.1В; 66. 2Б; 66. 3Д; 66. 4Е; 66. 5А; 67. 12 і 7 см; 68. 10 см
  48. 48. 48 Розділ ІІІ Трикутники У цьому розділі повторюємо з учнями трикутники: види трикутників та їхні основні властивості; ознаки рівності трикутників; медіану, бісектрису, висоту трикутника та їхні властивості; теорему про суму кутів трикутника; нерівність трикутника; середню лінію трикутника та її властивості; коло, описане навколо трикутника, і коло, вписане в трикутник; теорему Піфагора, пропорційні відрізки прямокутного трикутника; теорему синусів та теорему косинусів. Теоретичні відомості Трикутник. Медіана, бісектриса, висота трикутника, їх властивості. Види трикутників. Співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника Трикутником називають фігуру, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій і трьох відрізків, які попарно сполучають ці точки. Точки називаються вершинами, а відрізки – сторонами. РІВНІСТЬ ТРИКУТНИКІВ Рівними називаються трикутники, у яких відповідні сторони рівні та рівні відповідні кути. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ 1) Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі трикутники рівні.
  49. 49. 49 2) Якщо сторона і прилеглі до неї кути одного трикутника відповідно дорівнюють стороні й прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні. 3) Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні. ДОДАТКОВІ ОЗНАКИ РІВНОСТІ - Якщо дві сторони і медіана, проведена до третьої сторони трикутника, відповідно дорівнюють двом сторонам і медіані, проведеній до третьої сторони другого трикутника, то такі трикутники рівні. - Якщо два кути і висота, проведена до сторони, до якої прилягають ці кути, одного трикутника, відповідно дорівнюють двом кутам і висоті, проведеній до сторони, до якої прилягають ці кути, другого трикутника, то такі трикутники рівні. - Якщо сторона, висота і медіана, проведені до сторони одного трикутника, відповідно дорівнюють стороні, висоті і медіані, проведеним до цієї сторони другого трикутника, то такі трикутники рівні. - Якщо медіана і кути, на які вона ділить кут, одного трикутника, відповідно дорівнюють медіані й кутам, на які вона ділить кут другого трикутника, то ці трикутники рівні. ВЛАСТИВОСТІ РІВНИХ ТРИКУТНИКІВ 1. У рівних трикутників відповідні сторони рівні. 2. У рівних трикутників відповідні кути рівні. 3. Периметри рівних трикутників рівні. 4. Площі рівних трикутників рівні. ПОДІБНІСТЬ ТРИКУТНИКІВ Подібними називаються трикутники, у яких відповідні кути рівні, а відповідні сторони – пропорційні.
  50. 50. 50 означає: ; ; ; . ВЛАСТИВІСТЬ ПОДІБНИХ ТРИКУТНИКІВ 1. Відповідні лінійні елементи подібних трикутників пропорційні відповідним сторонам. 2. Периметри подібних трикутників відносяться як відповідні сторони: . 3. Площі подібних трикутників відносяться як квадрати відповідних лінійних розмірів: . ВЛАСТИВОСТІ СТОРІН ТРИКУТНИКА У будь-якому трикутнику кожна сторона менша суми двох інших його сторін, але більша їх різниці: . 1. Теорема Чеви. Відрізки , тоді і тільки тоді перетинаються в одній точці, коли . 2. Теорема Менелая. Точки лежать на одній прямій тоді і тільки тоді, коли .
  51. 51. 51 3. Теорема Стюарта. Якщо , то . ВЛАСТИВОСТІ КУТІВ ТРИКУТНИКІВ 1. Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180º: А + В + С = 180º. 2.Зовнішнім кутом трикутника називається кут, який суміжний з внутрішнім кутом. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів трикутника, не суміжних з ним: 1 = А + С. 3. У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, а проти більшого кута лежить більша сторона. МЕДІАНА ТРИКУТНИКА Медіаною трикутника назива- ється відрізок, що з’єднує вершину кута трикутника з серединою проти- лежної сторони. АМ – медіана, ВМ = МС = ВС. ВЛАСТИВОСТІ МЕДІАНИ 1) Медіана трикутника ділить його на два рівновеликих трикутника: = . 2) Медіана трикутника не менша від висоти й бісектриси трикутника, які проведені з однієї вершини. 3) Довжину медіани трикутника можна обчислити за формулою: ma 2 = .
  52. 52. 52 4) Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи: СМ = АВ = R, де R – радіус описаного кола. 5) Медіани трикутника перетинаються в одній точці (центрі мас трикутника) і діляться цією точкою у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини: . 6) Три медіани трикутника ділять трикутник на шість рівновеликих трикутників: = = = . 7)Довжини медіан трикутника ma; mb; mс пов’язані зі сторонами а, b,c трикутника співвідношенням: ma 2 + mb 2 + mс 2 = (а2 + b2 + с2 ). 8) Площу трикутника можна обчислити за формулою: = , де ma; mb; mс– медіани трикутника, проведені до сторін а, , с. Зауважимо, що при розв’язуванні задач, у яких фігурує медіана, часто буває зручним добудова трикутника до паралелограма, тобто продовження медіани за точку перетину зі стороною і відкладання на продовженні відрізка, рівного медіані. При цьому корисно пам’ятати, що сума квадратів усіх сторін паралелограма дорівнює сумі квадратів його діагоналей (наслідок із теореми

×