4. Метою науково-дослідницької роботиМетою науково-дослідницької роботи єє
формування апарату розв’язуванняформування апарату розв’язування
рівнянь з модулями, симетричних,рівнянь з модулями, симетричних,
ірраціональних рівнянь тощо, що надастьірраціональних рівнянь тощо, що надасть
змогу учням на випускних випробуваннях,змогу учням на випускних випробуваннях,
зовнішньому незалежному тестуваннізовнішньому незалежному тестуванні
справитися з нетрадиційними завданнямисправитися з нетрадиційними завданнями
творчого характеру, з рівняннями вищихтворчого характеру, з рівняннями вищих
степенів, які потрібно не простостепенів, які потрібно не просто
розв’язати, а ще й дослідити в нихрозв’язати, а ще й дослідити в них
функціональні залежності.функціональні залежності.
5. Завданням науково-дослідницькоїЗавданням науково-дослідницької
роботироботи є розширення теоретичнихє розширення теоретичних
відомостей про рівносильнівідомостей про рівносильні
перетворення і про застосуванняперетворення і про застосування
того чи іншого методу розв’язуваннятого чи іншого методу розв’язування
рівнянь; виявлення труднощів, якірівнянь; виявлення труднощів, які
виникають у учнів при вивченні даноївиникають у учнів при вивченні даної
теми; в опрацюванні теоретичнихтеми; в опрацюванні теоретичних
основ матеріалу.основ матеріалу.
6. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ
ДОСЛІДЖЕННЯДОСЛІДЖЕННЯ
Означення.Означення. Рівнянням з однією змінноюРівнянням з однією змінною xx (невідомою(невідомою xx))
називається рівність виразів та , щоназивається рівність виразів та , що
визначені на множинах та і для якої поставлено задачувизначені на множинах та і для якої поставлено задачу
відшукати таку множину значень змінної, що вирази івідшукати таку множину значень змінної, що вирази і
мали б однакові значення .мали б однакові значення .
Означення. Рівняння ,
лівою частиною якого є многочлен степеня n від x,
називається алгебраїчним рівнянням n-го степеня з одним
невідомим.
Означення. Відповідно до загального означення розв’язку
рівняння кожне значення невідомого х, при якому ліва частина
рівняння дорівнює нулю, називається розв’язком, або коренем,
цього рівняння
)()( 21 xfxf = )(1 xf )(2 xf
1М 2М
)(1 xf )(2 xf
0... 1110 =++++ −− nnnn axaxaxa
7. Методи розв’язуванняМетоди розв’язування
алгебраїчних рівняньалгебраїчних рівнянь::
1. Метод розкладання на1. Метод розкладання на
множники.множники.
2. Метод введення допоміжного2. Метод введення допоміжного
невідомогоневідомого..
3. Графічний метод.3. Графічний метод.
4. Штучні методи.4. Штучні методи.
8. Метод розкладання наМетод розкладання на
множникимножники
Цей метод ґрунтується на одній зЦей метод ґрунтується на одній з
теорем:теорем:
Теорема 3.Теорема 3. Якщо ліва частина рівнянняЯкщо ліва частина рівняння
в області допустимихв області допустимих
систем значень невідомихсистем значень невідомих
розкладається на множникирозкладається на множники
,,
то в області визначення рівняннято в області визначення рівняння
рівносильне сукупності рівнянь.рівносильне сукупності рівнянь.
0),...,,( 21 =nxxxF
),...,,(...),...,,(),...,,(),...,,( 2121221121 nsnnn xxxFxxxFxxxFxxxF ⋅⋅⋅=
11. ЕФЕКТИВНІ ШЛЯХИЕФЕКТИВНІ ШЛЯХИ
РОЗВ’ЯЗАННЯ АЛГЕБРАЇЧНИХРОЗВ’ЯЗАННЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ
РІВНЯНЬ У БАЗОВІЙ ШКОЛІРІВНЯНЬ У БАЗОВІЙ ШКОЛІ
Метою вивчення даної теми єМетою вивчення даної теми є
сформувати апаратсформувати апарат
розв’язування рівнянь зрозв’язування рівнянь з
модулями, параметрами,модулями, параметрами,
ірраціональних рівнянь тощо.ірраціональних рівнянь тощо.
12. Рівносильні перетворення таРівносильні перетворення та
такі, при яких можливатакі, при яких можлива
поява сторонніх коренівпоява сторонніх коренів
До появи сторонніх коренів можуть,До появи сторонніх коренів можуть,
наприклад, привести (але не обов’язковонаприклад, привести (але не обов’язково
приводять) такі перетворення: піднесення доприводять) такі перетворення: піднесення до
квадрата (або іншого парного степеня) обохквадрата (або іншого парного степеня) обох
частин рівняння, множення обох частинчастин рівняння, множення обох частин
рівняння на алгебраїчний вираз, що міститьрівняння на алгебраїчний вираз, що містить
змінну тощо.змінну тощо.
Щоб вияснити, чи існують серед коренівЩоб вияснити, чи існують серед коренів
рівняння-наслідку сторонні корені початковогорівняння-наслідку сторонні корені початкового
рівняння, необхідно перевірити кожний ізрівняння, необхідно перевірити кожний із
знайдених коренів підстановкою його узнайдених коренів підстановкою його у
початкове рівняння.початкове рівняння.
13. Симетричні рівнянняСиметричні рівняння
023632 23456
=+−+−+− xxxxxxПриклад. Розв’язати рівняння
Розв’язання
0≠xОскільки ,
0
231
632 32
23
=+−+−+−
xxx
xxx
ділимо обидві частини рівняння на :
3
x
06
11
3
1
2 2
2
3
3
=−
−+
+−
+
x
x
x
x
x
x . Вводимо заміну .
1
t
x
x =+
.3
1
2
1
,3
113
3,
11
2
3
3
322
3
3
3
33
2
2
22
tt
x
xіt
x
x
t
x
x
xx
xxt
x
x
x
xt
−=+−=+
⇒++=+++=
+=++=
( ) ( ) 062332 23
=−+−−− ttt 0532, 23
=−+ ttt
.1,
2
5
,0 321 −=== ttt
.1
1
,
2
51
,0
1
−=+=+=+
x
x
x
x
x
x
Відповідь: .
2
31
,
2
1
,2, 6,5432,1
i
xxxix
±−
===±=
14. Ірраціональні рівнянняІрраціональні рівняння
.
1
11
11
xxx
xx
=
−−+
−++
Приклад. Розв’язати рівняння
Розв’язання
( )xxx −−+ 11Помножимо дане рівняння на вираз
( ) xxxxx −−+=−++ 1111
Перший спосіб.
( ) ( ) 01111 =−+−+− xxxx
( ) 01111 =−−++− xxxx
стороннійxxx −==−= 0,1,1 321
Другий спосіб.
xx −++ 11
Помножимо чисельник і знаменник дробу лівої частини
рівняння на
( )
( ) ( )
;
1
11
11211
,
1
11
11
22
2
xxx
xxxx
xxx
xx
=
+−+
−++−++
=
−−+
−++
;
1111
,
1
2
1122
xx
xx
xx
xx
=
−++
=
−++
Для 0≠x маємо: ,011,1111 =+−=+−+ xxxx звідки .1,1 21 −== xx
15. Рівняння, що містять невідоме підРівняння, що містять невідоме під
знаком (знаками) модуля (модулів)знаком (знаками) модуля (модулів)
31122 =−−xПриклад. Розв’язати рівняння
Розв’язування
31122 =−−x , або 31122 −=−−x
212 =−x
, чи
та 112 −=−x - не має розв’язків.
212 =−x
412 =−x
5,2=x
.5,22,1 ±=x
( ) axf =
−<0a розв’язків не має.
( )
( )
−=
=
axf
axf
0≥a
16. ВИСНОВКИВИСНОВКИ
У даній роботі розглянуто й осмислено теоріюУ даній роботі розглянуто й осмислено теорію
методів розкладання на множники, введенняметодів розкладання на множники, введення
допоміжного невідомого, графічного ідопоміжного невідомого, графічного і
штучного методів розв’язування рівнянь, заштучного методів розв’язування рівнянь, за
допомогою яких рівняння вищих степенівдопомогою яких рівняння вищих степенів
зводяться до простіших, підібрано йзводяться до простіших, підібрано й
розв’язано багато прикладів. Ми такожрозв’язано багато прикладів. Ми також
дізналися, які особливості, проблемні питаннядізналися, які особливості, проблемні питання
виникають при розв’язанні рівняньвиникають при розв’язанні рівнянь
нестандартними методами. Звернули увагунестандартними методами. Звернули увагу
на рівносильні перетворення та такі, при якихна рівносильні перетворення та такі, при яких
можлива поява сторонніх коренів. Розглянулиможлива поява сторонніх коренів. Розглянули
методи розв’язування симетричних,методи розв’язування симетричних,
ірраціональних рівнянь, рівнянь, що містятьірраціональних рівнянь, рівнянь, що містять
невідоме під знаком (знаками) модуляневідоме під знаком (знаками) модуля
(модулів).(модулів).
17. Виконала: учениця 11- Б класуВиконала: учениця 11- Б класу
Чернігівського ліцею № 32Чернігівського ліцею № 32
Лях ЮліяЛях Юлія
Вчитель математики вищої категоріїВчитель математики вищої категорії
Чернігівського ліцею №32Чернігівського ліцею №32
Троян Ніна МиколаївнаТроян Ніна Миколаївна
Науковий керівник: кандидат педагогічнихНауковий керівник: кандидат педагогічних
наук, доцент кафедри педагогіки,наук, доцент кафедри педагогіки,
психології та методик викладанняпсихології та методик викладання
фізики і математики Чернігівськогофізики і математики Чернігівського
педагогічного університету іменіпедагогічного університету імені
Т.Г.Шевченка Філон Лідія ГригорівнаТ.Г.Шевченка Філон Лідія Григорівна
