1. ax + bx + c = 0
a≠0
2
Підготувала вчитель математики
Макiївської загальноосвітньої
школи І-ІІступенів № 36
Солодовник Людмила Василiвна

2. • Квадратні рівняння – це фундамент, на якому зводиться
велична будівля алгебри. Квадратні рівняння знаходять
широке
застосування
при
розв’язуванні
тригонометричних, показникових, ірраціональних рівнянь
і нерівностей.
• В шкільному курсі математики вивчаються формули
коренів, за допомогою яких можна розв’язувати будь-яке
квадратне рівняння.
• Однак існують і інші прийоми розв’язування квадратних
рівнянь, які дозволяють дуже швидко і раціонально їх
розв’язувати.

3. b = 0,
c=0
ax = 0,
2
1 корінь
x=0

4. b = 0,
c≠0
ax + c = 0
2
1)
2корені,
1.1 c < 0,a > 0;
1.2 a < 0 ,c > 0;
c
x1,2 = ± −
a
2немає коренів,
2.1. с > 0 ,a > 0;
2.2. с < 0 ,a < 0 ,

5. b ≠ 0,
c=0
ax + bx = 0
2
2 корені
x(ax + b) = 0,
x1 = 0 ,
b
x2 = −
a

6. D = b − 4 ac
2
D>0
2 корені
D=0
1 корінь
D<0
немає коренів

7. x1 ,2
де
−b± D
=
,
2a
D = b − 4 ac
2

8. a=1
x + px + q = 0
2
b≠0
c≠0
x1 ,2
p
=− ±
2
2
p
−q
4

9. Теореми
Вієта
Обернена
Дано для чисел
Дано :
x1, x 2 - корені рівняння
x + px + q = 0
2
Довести :
x1 + x 2 = − p ,
x1 x 2 = q
x1 , x 2 , p , q
маємо :
x 1 +x 2 = −p ,
x1 x 2 = q
Довести :
x1 , x 2 − корені рівняння
x 2 + px + q = 0

10. Теорема Вієта
ФРАНСУА ВІЄТ
1540-1603
Знаменита теорема, що
встановлює зв’язок
коефіцієнтів квадратного
рівняння з його коренями,
була оприлюднена в 1591 г.
Тепер вона носить ім’я Вієта .

11. Теорема Вієта
Числа х₁ и х₂ є коренями
квадратного рівняння aх² +
bх + с =0
тоді і тільки тоді, коли
х₁ + х₂ =
b
−
à
х₁ ∙ х₂ =
c
à
По праву достойна в стихах
быть воспета
О свойствах корней теорема
Виета.
Что лучше, скажи, постоянства
такого:
Умножишь ты корни — и дробь
уж готова?
В числителе с, в знаменателе а
А сумма корней тоже дроби
равна.
Хоть с минусом дробь, что за
беда!
В числителе в, в знаменателе а.

12. b = 2m
− m ± m − ac
=
a
2
x1 ,2

13. ax + bx + c = 0 ,
2
a ) a + b + c = 0,
x1 = 1 ,
c
x2 =
a
b)
a≠0
a − b + c = 0,
x 1 = −1 ,
c
x2 = −
a

14. ax +bx +c = 0 ,
a ≠0
2
1 ) a = c = mn ,
2 ) a = − c = mn ,
−b = m +n ,
m
x1 = ,
n
n
x2 = ,
m
b=m −n ,
n
x1 = ,
m
m
x2 = − ,
n
2
2
2
2

15. ax + bx + c = 0 ,
2
a≠0
Розв’язання
Якщо представити дискримінант квадратного рівняння
так:
D = b 2 − 4 ⋅1⋅ (ac),
То дане квадратне рівняння можна переписати таким
чином:
x '2 +bx ' +ac = 0,
'
x 1,2 −
корені записаного рівняння.
Корені даного рівняння:
x 1,2 =
'
x 1,2
a

16. Квадратні рівняння в Давньому
Вавілоні
• Квадратні рівняння вміли розв’язувати близько 2000 років до нашої
ери вавілоняни.
• Правило розв'язку квадратних рівнянь, викладене в вавілонських
текстах, співпадає з сучасними, але невідомо, яким чином дійшли
вавілоняни до цього правила.
Незважаючи на високий рівень
розвитку алгебри в Вавілонії, в
клинописних текстах відсутні
понятття від’ємного числа і загальні
методи розв’язування квадратних
рівнянь.

17. Квадратні рівняння в Індії
1.Перші згадування про квадратні рівняння в Індії зустрічаються
вже в 499 році. В Давній Індії набули розповсюдження публічні
змагання з розв‘язку складних задач.
2.Задача знаменитого індійського математика Бхаскари:
Обезьянок резвая стая
Всласть поевши, развлекаясь.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А 12 по лианам…
Стали прыгать, повисая.
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?

18. Розв‘язування задачі Бхаскари:
Нехай було
x
мавп,
тоді на галявині забавлялось –
Складемо рівняння:
2
 x
 
8
2
x 
12 =x
  +
8 
D = b 2 − 4ac = 64 2 − 4 ⋅ 768 = 1024
x2
− x + 12 = 0
64
D = 32
x 2 − 64 x + 12 ⋅ 64 = 0
x − 64 x + 768 = 0
2
Відповідь: 16 , 48 мавп.
64 + 32
x1 =
= 48
2
64 − 32
x2 =
= 16
2

19. Квадратні рівняння в Європі
1.
2.
3.
Формули розв’язування квадратних рівняннь
в Європі вперше були викладені в 1202 роціу
італійським математиком Фібоначчі.
Правило розв’язування квадратних рівнянь
було сформульоване в Європі лише в 1544г.
Штифелем.
Завдяки працям Декарта, Ньютона ,Вієта та
інших вчених способу розв’язування рівнянь
надано сучасний вигляд.

20. Отже:
Коли рівняння розв'язуєш ти,
Корінь у нього повинен знайти.
Значення кореня слід перевірити.
В рівняння його обережно підстав.
Коли вірну рівність дістав,
То значення кореня ти відшукав.