2. ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ В ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ: ПЕРЕСТАВЛЕННЯ,
РОЗМІЩЕННЯ ТА КОМБІНАЦІЇ
Переставлення. Переставленням із n елементів називають такі впорядковані
множини з n елементів, які різняться між собою порядком їх розміщення.
Кількість таких упорядкованих множин обчислюється за формулою
nnnPn 1...4321! , (3)
де n набуває лише цілих невід’ємних значень.
Оскільки !1! nnn , то при n = 1 маємо 1! = 0!
Отже, 0! = 1.
Розміщення. Розміщенням із n елементів по m (0 nm ) називаються такі
впорядковані множини, кожна із яких містить m елементів і які відрізняються
між собою порядком розташування цих елементів або хоча б одним елементом.
Кількість таких множин обчислюється за формулою
1...21 mnnnnAm
n . (4)
Наприклад, 5047893
9A .

3. Комбінації. Комбінаціями з n елементів по nmm 0 називаються такі
множини з m елементів, які різняться між собою хоча б одним елементом.
Кількість таких множин
mnm
n
P
A
C
m
m
nm
n
!
!
.

4. ГЕОМЕТРИЧНА ЙМОВІРНІСТЬ
Якщо множина Ώ є неперервною і квадровною, то для обчислення
ймовірності А (А Ώ) використовується геометрична ймовірність
)(
)(
m
Am
AP . (15)
Якщо множина Ώ вимірюється в лінійних одиницях, то Р (А)
дорівнюватиме відношенню довжини, якщо Ώ вимірюється у квадратних
одиницях, то Р (А) дорівнюватиме відношенню площ, і т. ін.
Приклад 1. По трубопроводу між пунктами А і В перекачують нафту.
Яка ймовірність того, що пошкодження через певний час роботи
трубопроводу станеться на ділянці довжиною 100 м.
Розв’язання. Простір елементарних подій Ώ = кмl 20 , тоді км1,00 lA
(А Ώ).
Згідно з (12) маємо:
20
1
2
1,0
)(
)( 1
l
l
m
Am
AP .

5. СТАТИСТИЧНА ЙМОВІРНІСТЬ
Насамперед уводиться поняття відносної частоти випадкової події W (A).
Відносною частотою випадкової події А W(A) називається відношення
кількості експериментів m, при яких подія А спостерігалася, до загальної
кількості n проведених експериментів:
n
m
AW . (16)
Як і для ймовірності випадкової події, для відносної частоти виконується
нерівність
1)(0 AW .

6. ОПЕРАЦІЇ НАД ПОДІЯМИ
Сумою двох подій А і В називається подія С, що перебуває в появі події А або
події В або обох разом:
С = А + В.
Сума подій - логічна сума, вона називається диз'юнкцією й позначається
спеціальним знаком:
С = А В.
Добутком двох подій А і В називається подія С, що перебуває в спільній появі
подій А і В:
З = А * В.
Добуток подій - логічний добуток, називається кон’юнкцією і також
позначається спеціальним знаком:
С = А В.

7. Протилежними називаються дві несумісних події А і А, якщо вони складають
повну групу.
Подія А називається незалежною від події В, якщо імовірність події А не
змінюється від того, відбулася подія В чи ні. Якщо ж імовірність події А
залежить від того, відбулася подія В чи ні, то такі події називаються
залежними.
Імовірність події А, обчислена за умови, що подія В мала місце, називається
умовною ймовірністю події А і позначається Р(А|В).

8. ЙМОВІРНОСТІ В ДИСКРЕТНИХ ПРОСТОРАХ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ПОДІЙ
Простір елементарних подій називається дискретним, якщо множина
скінченна або зліченна.
Нехай простір ={ ω1, ω2 , … , ωn, …}елементарних подій дискретний.
Припустимо, що кожній елементарній події ωк можна поставити у відповідність
невід’ємне число рк (ймовірність ω к ), причому pk
k
1
1
. Якщо А випадкова
подія ( А ), то p A pk
Ak
( ) , де р(А) називається ймовірністю події А.
Мають місце властивості:
a) P(A)≥0,
b) P (А В)=P(A)+ P(B), якщо А та В несумісні.
c) Р( )=1.

9. КЛАСИЧНА СХЕМА
Нехай простір складається з n елементарних рівноможливих подій, тобто
p
n
( )
1
для довільного . До складу А входить m з цих подій. В цьому
випадку ймовірність події А визначається формулою
n
mА
n
AP
Амножиниелементівчисло
)( .
Це так зване класичне означення ймовірності.

10. ОСНОВНИЙ ПРИНЦИП КОМБІНАТОРИКИ
Нехай треба послідовно виконати к дій. Якщо першу дію можна виконати
n1 способами, після чого другу n2 способами, потім третю
n3 способами і т.д. до к-ї дії, яку можна виконати
nк способами, то всі к-дій можуть бути виконані
n1 n2 n3 … nк
способами.

11. КОМБІНАЦІЇ З N ЕЛЕМЕНТІВ ПО К
Нехай є множина А, що містить n елементів. Тоді число підмножин
множини А, що містить к елементів, дорівнює
C
n
k n kn
k !
!( )!
, де n!= 1 2 3 n .
Комбінаціями з n елементів {а1, а2,…, аk} по к називають к-елементні
підмножини множини А ={а1, а2,…, ап}.
Упорядковані множини. Множина з n елементів називається впорядкованою, якщо кожному
елементу цієї множини поставлене у відповідність певне число (номер елементу) від 1 до n
так, що різним елементам відповідають різні числа. Упорядковані множини вважаються
різними, якщо вони відрізняються або своїми елементами, або їх порядком.

12. Перестановки даної множини. Різні впорядковані множини, які
відрізняються порядком елементів (тобто можуть бути утворені з тієї ж самої
множини), називаються перестановками цієї множини. Число перестановок
множини з n елементів дорівнює Рn=n!
Розміщення з n по к. Упорядковані к-елементні підмножини множини, що містять n
елементів, називаються розміщеннями з n по к. Число розміщень з
n по к дорівнює
A k C n n n n kn
k
n
k
! ( ) ( ) ( )1 2 1 .