1. Q = Z-MODUL :
MODUL YANG TIDAK MEMPUNYAI BASIS
Oleh
JEROL VIDEL LIOW
(12/340197/PPA/04060)
PROGRAM STUDI PASCASARJANA MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS GADJAH MADA
2013

2. A. PENDAHULUAN
Dalam Aljabar Linear, diketahui bahwa setiap ruang vektor pasti mempunyai basis. Hal ini
ternyata tidak berlaku pada R-Modul. Tidak semua R-Modul mempunyai basis. Salah satu yang
menjadi counter-example yaitu himpunan Bilangan Rasional Q ketika dipandang sebagai Z-Modul
(modul atas himpunan Bilangan Bulat Z). Q=Z-modul tidak mempunyai basis. Tulisan ini
akan membuktikan kebenaran hal tersebut.
B. PERMASALAHAN
Akan dibuktikan bahwa Himpunan Bilangan Rasional Q jika dipandang sebagai Z-modul,
maka Q tidak mempunyai basis.
C. BEBERAPA DEFINISI
Sebelum bukti bahwa Q=Z-Modul tidak mempunyai basis, akan diberikan beberapa definisi
sebagai berikut.
Definisi 1. Misalkan R ring dan M adalah R-modul. Himpunan S  M ,
1 2 { , ,..., } n S  x x x dikatakan bebas linear apabila berlaku: jika dibentuk persamaan:
1 1 2 2 ... 0 n n a x  a x   a x  , dengan 1 2 , ,..., n a a a R , maka 1 2 ... 0 n a  a   a  .
Definisi 2. Misalkan himpunan S  M = R-modul. S dikatakan membangun M jika dan
hanya jika setiap xM dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari anggota-anggota
di M, yaitu: 1 1 2 2 ... n n x  a x  a x   a x , dengan 1 2 , ,..., n a a a R . S membangun M
dinotasikan dengan S  M .
Definisi 3. Misalkan M=R-modul dan S  M . S adalah basis dari M jika dan hanya jika
S membangun M dan S bebas linear.
Sebagai catatan, Z dipandang sebagai himpunan bilangan bulat, yaitu
Z {0,1,2,3,...} serta Q sebagai himpunan bilangan rasional, yaitu { , , 0} p
q Q  p qZ q  .

3. D. PEMBAHASAN
Misalkan Q = Z-modul. Membuktikan Q tidak mempunyai basis sama halnya dengan
menunjukkan bahwa setiap himpunan bagian dari Q bukan merupakan basis dari Q. Jadi, Q=Z-modul
tidak mempunyai basis  (X  M) X tidak bebas linear atau X tidak membangun Q.
Misalkan X sebarang himpunan bagian dari Q. Akan ditunjukkan X bukan basis dari Q
dengan memperhatikan setiap kemungkinan kasus yang ada.
I. Misalkan X   , maka X   merupakan submodul terkecil yang memuat  .
karena  {0} Q , maka berarti X bukan basis dari Q.
II. Jika X yang merupakan singleton, maka perlu diperhatikan apakah X singleton nol
atau singleton bukan nol.
a) Misalkan X={0}. Karena terdapat 1Z dan 10  0 , maka jelas X={0} tidak
bebas linear di Q. Berarti singleton nol bukan basis dari Q.
b) Misalkan X singleton yang bukan nol, katakan { } p
q X  dengan p  0 .
Dibentuk persamaan 0
p
n
q
  , dengan nZ . Jadi, 0
p n p
n
q q

   berakibat
n p  0. Karena p  0 dan Z merupakan daerah integral, maka diperoleh
n  0 . Jadi, X bebas linear di Q.
Berarti harus ditunjukkan X tidak membangun Q, yaitu terdapat sQ
sedemikian hingga
p
s n
q
  , untuk setiap nZ .
Sebelum menunjukkannya, harus diperhatikan lagi untuk beberapa kasus,
yaitu jika p  q dan p  q .
i. Untuk kasus p  q sama halnya dengan mengatakan X {1}.
Karena terdapat
1
2
Q sehingga:
1
1
2
 n , untuk setiap nZ (
1 1 1
1,
2 2 2
  Z ) maka X {1} tidak membangun Q. Jadi, X {1}
bukan basis dari Q.

4. ii. Untuk kasus p  q , maka perlu ditunjukkan lagi untuk p  q , p  q
dan p  q .
Untuk p  q sama halnya dengan mengatakan X {1}.
Karena terdapat
1
2
Q sehingga:
1
1
2
 n , untuk setiap nZ (
1 1 1
( ) ( 1) ,
2 2 2
     Z ) maka X {1} tidak membangun Q. Jadi,
X {1} bukan basis dari Q.
Untuk p  q . Jika q 1, maka jelas X {p} tidak membangun Q.
Jika q 1, maka { } p
q X  juga tidak membangun Q sebab dapat
dipilih 2
p
s
q
 , sehingga 2 ,
p p
s n n Z
q q
     ( karena 2
p 1 p
s
q q q
  
dan q 1 maka
1
Q
q
 . Jadi, { } p
q X  bukan merupakan basis dari Q.
Untuk p  q (berarti q 1), maka { } p
q X  juga tidak membangun Q
sebab dapat dipilih 2
p
s
q
 , sehingga 2 ,
p p
s n n Z
q q
     ( karena
2
p 1 p
s
q q q
   dan q 1 maka
1
Q
q
 . Jadi, { } p
q X  bukan merupakan
basis dari Q.
III. Jika X merupakan himpunan dengan dua elemen, katakan 1 2
1 2
,
p p
X
q q
 
 
 
, maka
diperoleh hasil sebagai berikut.
a) Jika X {0,0} maka jelas X tidak bebas linear (lihat bagian II a.)
b) Jika 0,
p
X
q
 
 
 
, maka X tidak bebas linear karena terdapat 1Z yang
memenuhi 1 0 0 0
p
q
    .

5. c) Jika 1 2
1 2
,
p p
X
q q
 
 
 
, dengan p1, p2  0, maka akan ditunjukkan bahwa
terdapat 1 2 1 2 n ,n Z, n ,n  0 yang memenuhi 1 2
1 2
1 2
0
p p
n n
q q
   .
Berlaku: 1 2 1 2 1 2 1
1 2 1 2
1 2 1 2 2 1 1
( )
0
p p p p n p q
n n n n
q q q q n q p

         .
Dari sini diperoleh 1 2 1 n  ( p q ) dan 2 1 2 n  p q . Karena 1 2 p , p  0, maka
1 2 n  0,n  0 . Berarti X tidak bebas linear.
IV. Jika X merupakan himpunan dengan n elemen, katakan 1 2
1 2
, ,..., n
n
p p p
X
q q q
 
 
 
, maka
diperoleh hasil sebagai berikut.
a) Jika terdapat i{1,2,...,n} sedemikian sehingga 0 i p  , maka dengan alasan
seperti di bagian III a), dapat ditunjukkan bahwa X tidak bebas linear.
b) Jika 0 i p  untuk setiap i{1,2,...,n}, maka dapat dipilih 3 4 ... 0 n k  k   k 
dan 1 2 1 k  ( p q ) dan 2 1 2 k  p q yang memenuhi persamaan :
1 2
1 2
1 2
... 0 n
n
n
p p p
k k k
q q q
     (lihat bagian III c), sehingga X tidak bebas
linear.
Jadi, disimpulkan bahwa X bukan merupakan basis dari Q
V. Jika X merupakan himpunan dengan n elemen, katakan 1 2
1 2
, ,...
p p
X
q q
 
 
 
, maka
berdasarkan hasil dari bagian III, dapat disimpulkan X bukan merupakan basis dari Q.
Dari hasil yang ditunjukkan melalui I s.d. V, maka terbukti bahwa tidak ada himpunan bagian
dari Q yang merupakan basis, yaitu saat Q dipandang sebagai Q = Z-modul.

6. A. KESIMPULAN
Konsep dalam ruang vektor ada yang ternyata tidak berlaku pada modul. Kalau setiap ruang vektor mempunyai basis, tidak demikian halnya dengan modul. Tidak semua R-modul mempunyai basis. Salah satu contohnya yaitu himpunan bilangan rasional Q ketika dipandang sebagai Z-modul.