10 klass 3 kurs

1. СКАЛЯРНОЕСКАЛЯРНОЕ
ПРОЗВЕДЕНИЕПРОЗВЕДЕНИЕ
ВЕКТОРОВВЕКТОРОВ
10класс10класс

2. Вектор –Вектор –
направленныйнаправленный
отрезокотрезок
ba и

a
→
xa ya,( )
a

b
→
xb yb,( )
ya
O
Y
X
yb
xb
xa

3.  Координаты вектора с концами в точкахКоординаты вектора с концами в точках A(xA(xAA, y, yAA) и B(x) и B(xBB, y, yBB)) ::
 Длина вектораДлина вектора a(x, y):a(x, y):
 Координаты суммы векторовКоординаты суммы векторов aa(x(xAA, y, yAA) и) и bb(x(xBB, y, yBB)) ::
 Координаты произведения вектораКоординаты произведения вектора aa(x, y)(x, y) на числона число λ:λ:
a
→
b
→
+ xB xA+ yB yA+,( )
a
→
x2
y2
+
AB
→
xB xA− yB yA−,( )
λ a
→
⋅ λ x⋅ λ y⋅,( )

4. ДиктантДиктант
Даны точки A(2; -3), B(-1;Даны точки A(2; -3), B(-1;
2), С(0; -4)2), С(0; -4)
1.1. Найдите координаты вектора ABНайдите координаты вектора AB
2.2. Найдите координаты вектора ВСНайдите координаты вектора ВС
3.3. Найдите длину вектора ABНайдите длину вектора AB
4.4. Найдите длину вектора BCНайдите длину вектора BC
5.5. Произведение 5Произведение 5 ·· AB :AB :
AB
→
3− 5,( )
BC
→
1 6−,( )
AB
→
3−( )
2
5
2
+ 34
BC
→
1
2
6−( )
2
+ 37
5 AB
→
⋅ 15− 25,( )

5. Угол между векторамиУгол между векторами
ba и

ba

=ΟΒ=ΟΑΟ
→→
;;
α=∠AOB
α=
∧
ba

;
ba и
векторамимеждуУгол −α
00
0
1800
0
0,0;00;
≤≤
=
====↑↑
α
αто
babилиabaЕсли

b

a

α
α
1
O
.O
1
B
B
1
A
A b

a

α
a

b


6. ПримерПример
00
120;;30; ==
∧∧
caba

000
180;0;;90; === cdfdcb

0
90, =⊥ αеслиba

a

c
 b

d

f

0
30

7. СкалярнымСкалярным
произведением векторовпроизведением векторов
называется произведениеназывается произведение
их длин на косинус углаих длин на косинус угла
между нимимежду ними
векторовиепроизведенскалярноеba _−⋅

векторовдлиныbиa −

)cos(α⋅⋅=⋅ baba

a

b

α

8. Примеры:Примеры:
1.1. , ,, ,
2.2. , ,, ,
3.3. , ,, ,
4.4. , ,, ,
5.5. , ,, ,
a
→
2 b
→
3 α 60
0
a
→
5 b
→
1 α 30
0 a
→
b
→
⋅ 5 1⋅ cos 30
0( )⋅
5 3⋅
2
a
→
b
→
⋅ 2 3⋅ cos 60
0( )⋅ 3
a
→
7 b
→
4 a
→
b
→
⋅ 7 4⋅ cos 45
0( )⋅ 14 2⋅α 45
0
a
→
1 b
→
1 α 120
0
a
→
b
→
⋅ 1 1⋅ cos 120
0( )⋅
1−
2
a
→
7 b
→
5 α 90
0
a
→
b
→
⋅ 7 5⋅ cos 90
0( )⋅ 0

9. Свойства скалярногоСвойства скалярного
произведения:произведения:
baba

⊥⇔=⋅ 0
bababababa

⋅=⋅⇒⋅⋅=⋅↑↑
0
0cos a

b

a

b
a

b

a

b

a
→
b
→
,( ) 90
0
> a
→
b
→
⋅ 0<
a

b

a
→
b
→
,( ) 90
0
< a
→
b
→
⋅ 0>

10. babababa

⋅−=⋅⋅=⋅↑↓ 0
180cos
202
2
0cos aaaaaa
вектораквадратскалярныйaaa


=⋅⋅=⋅=
−=⋅
b

a

a

Свойства скалярногоСвойства скалярного
произведения:произведения:

11. СкалярнымСкалярным
произведением векторовпроизведением векторов
и называетсяи называется
числочисло
a
→
x1 y1,( ) b
→
x2 y2,( )
a
→
b
→
⋅ x1 x2⋅ y1 y2⋅+
y2
x2
y1
x1O
Y
);( 11 yxA
);( 22 yxB
a

b


12. Примеры: скалярноеПримеры: скалярное
произведение векторовпроизведение векторов
1.1. ии
2.2. ии
3.3. ии
a
→
5 4−,( ) b
→
2 1,( ) a
→
b
→
⋅ 5 2⋅ 4−( ) 1⋅+ 6
a
→
0 3,( ) b
→
7 1−,( ) a
→
b
→
⋅ 0 7⋅ 3 1−( )⋅+ 4
a
→
5 2,( ) b
→
4 1−,( ) a
→
b
→
⋅ 5 4⋅ 2 1−( )⋅+ 18

13. Вычислите скалярноеВычислите скалярное
произведение векторов:произведение векторов:
1.1. a(1,1); b(1,2)a(1,1); b(1,2)
2.2. a(-2,5); b(-9,-2)a(-2,5); b(-9,-2)
3.3. a(-3,4); b(4,5)a(-3,4); b(4,5)
4.4. a(5,2); b(-9,4)a(5,2); b(-9,4)
5.5. a(-1,1); b(1,1)a(-1,1); b(1,1)
a
→
b
→
⋅ 1 1⋅ 1 2⋅+ 3
a
→
b
→
⋅ 2− 9−( )⋅ 5 2−( )⋅+ 8
a
→
b
→
⋅ 3− 4⋅ 4 5⋅+ 8
a
→
b
→
⋅ 5 9−( )⋅ 2 4⋅+ 37−
a
→
b
→
⋅ 1− 1⋅ 1 1⋅+ 0

14. СледствияСледствия
0001 2121
=+⇔⊥≠≠ yyxxbaто,bиa:Следствие

2
2
2
2
2
1
2
1
2121
cos
yxyx
yyxx
+⋅+
+
=α
ba
ba
bСледствие 

⋅
⋅
=⇒⋅⋅=⋅ αα coscosaba:2

15. 1.1. Вычислите скалярноеВычислите скалярное
произведение векторов:произведение векторов:
2.2. Вычислите длинуВычислите длину
векторавектора a:a:
3.3. Вычислите длинуВычислите длину
векторавектора b:b:
4.4. Вычислите косинус углаВычислите косинус угла
между векторами:между векторами:
5.5. Сделайте вывод:Сделайте вывод: тупойтупой,,
прямойпрямой илиили острыйострый уголугол
мы получилимы получили
Пример. Даны 2 вектора:Пример. Даны 2 вектора:
a
→
1 3,( ) b
→
5 2,( )
a
→
b
→
⋅ 1 5⋅ 3 2⋅+ 11
a
→
1
2
3
2
+ 10
b
→
5
2
2
2
+ 29
cos a
→
b
→
,( ) 11
10 29⋅( )
11
290
cos a
→
b
→
,( ) 0> угол острый

16. Вычисление угла междуВычисление угла между
векторами свекторами с
координатами:координатами:
a (aa (a11, a, a22), b (b), b (b11, b, b22))
1.1. Вычислить скалярноеВычислить скалярное
произведение векторов:произведение векторов:
2.2. Вычислить длину вектораВычислить длину вектора a:a:
3.3. Вычислить длину вектораВычислить длину вектора b:b:
4.4. Найти произведениеНайти произведение длиндлин
векторов:векторов:
5.5. Разделить скалярноеРазделить скалярное
произведение векторов напроизведение векторов на
произведение их длин:произведение их длин:
a
→
b
→
⋅ a1 b1⋅ a2 b2⋅+
a
→
a1( )2
a2( )2
+
b
→
b1( )2
b2( )2
+
a
→
b
→
⋅
cos a
→
b
→
,( ) a
→
b
→
⋅( )
a
→
b
→
⋅( )