Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Решение краевых задач методом конечных элементов

7,777 views

Published on

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Решение краевых задач методом конечных элементов

  1. 1. Методы вычисленийРешение краевых задач. Метод конечных элементов. Кафедра теоретической механики студент группы 1405, Кишов Ю. Ю. Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет) 30 декабря 2012 г.
  2. 2. Решение линейных краевых задач Постановка задачиДвухточечные линейные краевые задачи длядифференциальных уравнений второго порядкаРассмотрим линейную краевую задачу вида: L[y] := y + p(x)y + q(x)y = f (x), x ∈ [a, b] (1) la [y] := α0 y(a) + α1 y (a) = A (2) lb [y] := β0 y(b) + β1 y (b) = B (3)к коэффициентам краевых условий (2),(3) предъявляется требование: |α0 | + |α1 | = 0, |β0 | + |β1 | = 0 (4)а функции p = p(x),q = q(x) и f = f (x) в уравнении (1) должны бытьтакими чтобы задача имела единственное решение y = y(x).Будем рассматривать решение смешанной краевой задачи.Определяется из краевых условий (2),(3) и включает в себя первую(α1 = β1 = 0) и вторую (α0 = β0 = 0) краевые задачи. Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 2 / 19
  3. 3. Решение линейных краевых задач Классификация приближенных методовКлассификация приближенных методов решениякраевых задач Методы сведения к задаче Коши: метод пристрелки; метод дифференциальной прогонки; метод редукции; Метод конечных разностей; Метод балансов (интегро-интерполяционный метод); Метод коллокации; Проекционные методы: Метод моментов; Метод Галёркина; Вариационные методы: Метод наименьших квадратов; Метод Ритца; Проекционно-разностные методы (метод конечных элементов); Методы сведения к интегральным уравнениям Фредгольма и др. Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 3 / 19
  4. 4. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементовМетод конечных элементов (МКЭ)Достоинства и недостаткиДостоинства Универсальность (можно описать любую область) Регулирование точности на участках (за счет плотности сетки)Недостатки Сложность Большое время решения задач (проигрывает методу конечных разностей) Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 4 / 19
  5. 5. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементовОбщая схема алгоритма МКЭДискретизация рассматриваемой областиВ данной презентации будет рассматриваться случай МКЭ наравномерной сетке. При необходимости формулы расчета можнообобщить для случая неравномерной сетки.Первый этап алгоритма - разбиение заданной области на конечныеэлементы. Введем на отрезке [a, b] равномерную сетку с шагом b−ah = n+1 , состоящую из n внутренних точек (узлов) и двух крайних: xi = a + ih (i = 1, 2, ..., n) x0 = a, xn+1 = b Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 5 / 19
  6. 6. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементовОбщая схема алгоритма МКЭВыбор финитных функцийБудем искать приближенное решение yn (x) данной краевой задачи(2),(3) в виде линейной комбинации финитных функций: 1 − |t|, если |t| ≤ 1, φ(t) = (5) 0, если |t| > 1. x−xiПолагая t = h , из (5) получим: = x−xi−1 ,  x−xi 1 +  h h если x ∈ [xi−1 , xi ]; x−xi x−xi+1 φi = 1 − h = − h , если x ∈ [xi , xi+1 ]; (6)  0, если x ∈ [xi−1 , xi+1 ].  Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 6 / 19
  7. 7. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементовОбщая схема алгоритма МКЭСистема финитных функций и их производныхДля дальнейший конкретизации МКЭ нужно уточнить вид системылинейных алгебраических уравнений, относительно коэффициентов ci ,c этой целью продифференцируем (6):  1 h,  при x ∈ [xi−1 , xi ]; 1 φi = − h , при x ∈ [xi , xi+1 ]; (7)  0, при x ∈ [xi−1 , xi+1 ].  Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 7 / 19
  8. 8. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементовОбщая схема алгоритма МКЭГрафическое отображение системы финитных функций и их производныхСистема финитных функций φ1 , φ2 , . . . , φi : φ1 φ2 φi-1 φi φi+1 φn1 x0 x1 x2 xi-1 xi xi+1 xn xn+1Система производных финитных функций φ1 , φ2 , . . . , φi : φ1 φ2 φi φ i+1 1/h x0 x1 x2 xi-1 xi xi+1 xn xn+1 -1/h φ1 φ i-1 φi φn Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 8 / 19
  9. 9. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементовОбщая схема алгоритма МКЭСоставление СЛАУПусть ищется решение ДУ (1) с однородными краевыми условиями: y(a) = 0, y(b) = 0. (8)Для получение решения в виде: n yn (x) = ci φi (x) (9) i=1Необходимо составить линейную алгебраическую систему: n aij cj = di , i = 1, 2, . . . , n (10) j=1 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 9 / 19
  10. 10. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементовОбщая схема алгоритма МКЭСоставление СЛАУПравые части для (10) находятся по формуле: xi xi+1 1 di = f (x)(x − xi−1 ) dx − f (x)(x − xi+1 ) dx (11) h xi−1 xiИсходя из выбранных финитных функций матрица A = aij системы(10) является трехдиаганальной. Это означает что: aij = 0 при |i − j| > 1 (12)Формула для диагональных элементов: xi xi 2 1aii = − + 2 p(x)(x − xi−1 ) dx + q(x)(x − xi−1 )2 dx + h h xi−1 xi−1 xi+1 xi+1 + p(x)(x − xi+1 ) dx + q(x)(x − xi+1 )2 dx (13) xi xi Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 10 / 19
  11. 11. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементовОбщая схема алгоритма МКЭСоставление СЛАУВыражения элементов правой побочной диагонали матрицы A длясистемы (10) (j = i + 1): xi+1 xi+1 1 1ai,i+1 = − p(x)(x−xi+1 ) dx+ q(x)(x−xi )(x−xi+1 ) dx h h2 xi xi (14)При j = i − 1 - для левой: xi xi 1 1ai,i−1 = − 2 p(x)(x − xi−1 ) dx + q(x)(x − xi−1 )(x − xi ) dx h h xi−1 xi−1 (15)Таким образом формулы (11),(13)-(15) полностью задают систему(10), для получения коэффициентов c1 , . . . , cn приближенного решения(9) для краевой задачи (1),(8). Общая схема алгоритма МКЭ описана. Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 11 / 19
  12. 12. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементовПрименение МКЭПример решения задачРешить методом конечных элементов ДУ: 6 3 y + x2 y − xy = 4 − , x ∈ [1, 2] (16) x xпри краевых условиях первого рода: y(1) = 1, y(2) = 0.25 (17) 1Данная задача уже имеет точное решение y(x) = x2 с которым мы ибудет сравнивать полученное МКЭ приближенное решение. Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 12 / 19
  13. 13. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементовПрименение МКЭПример решения задач 1 Выполним преобразование данной задачи к задаче с однородными условиями: u + x2 u − xu = F (x), x ∈ [1, 2], u(1) = 0, u(2) = 0 (18) заменим y = u + v, где: 0.25 − 1 7 3 v =1+ (x − 1) = − x (19) 2−1 4 4 следовательно, получим: 6 3 6 3 7 F (x) = 4 − − x2 v + xv = 4 − + x (20) x x x x 4 2 Введем на отрезке [1,2] равномерную сетку с шагом h = 1 : 3 4 5 x0 = 1, x1 = , x2 = , x3 = 2 (21) 3 3 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 13 / 19
  14. 14. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементовПрименение МКЭПример решения задач 3 Запишем выражение приближенного решения задачи: u2 (x) = c1 φ1 (x) + c2 φ2 (x) (22) где φ1 и φ2 соответствующие сетке (21) финитные функции (6) 4 Составим СЛАУ: a11 c1 + a12 c2 = d1 , (23) a21 c1 + a22 c2 = d2 . 5 Найдем числовые данные этой системы: 4 4 3 3 2 a11 = −6 + 9 x (x − 1) dx + (−x)(x − 1)2 dx + 1 1 5 5 3 2 5 3 5 x (x − ) dx + (−x)(x − )2 dx ≈ −6.5926 (24) 4 3 4 3 3 3 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 14 / 19
  15. 15. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементовПрименение МКЭПример решения задачПродолжение нахождения числовых данных системы (23): 5 5 3 4 3 4 2 a22 = −6 + 9 x2 (x − ) dx + (−x)(x − ) dx + 4 3 4 3 3 3 2 2 x2 (x − 2) dx + (−x)(x − 2)2 dx ≈ −6.7407 (25) 5 5 3 3 5 5 3 5 3 4 5 a12 = 3 − 9 x2 (x − ) dx + (−x)(x − )(x − ) dx ≈ 3.9630 (26) 4 3 4 3 3 3 3 5 5 3 4 3 4 5 a21 = 3 − 9 x2 (x − ) dx + (−x)(x − )(x − ) dx ≈ 1.7037 (27) 4 3 4 3 3 3 3 4 5 3 6 3 7 3 6 3 7 5 d1 = 3 − + x (x − 1) dx + 3 − + x x− dx ≈ 0.7256 (28) 1 x4 x 4 4 x4 x 4 3 3 5 2 3 6 3 7 4 6 3 7 d2 = 3 − + x x− dx + 3 − + x (x − 2) dx ≈ 0.6446 (29) 4 x4 x 4 3 5 x4 x 4 3 3 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 15 / 19
  16. 16. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементовПрименение МКЭПример решения задач 6 Найдем коэффициенты c1 , c2 . Подставим числа (24)-(29) в систему (23): c1 ≈ −0.1976, c2 ≈ −0.1456 (30) 7 Конечный вид приближенного решения:  4 2.3428 − 1.3428x, если x ∈ [1, 3 ],  y2 (x) ≈ 1.3444 − 0.5940x, если x ∈ [ 4 , 5 ], 3 3 (31)  0.8764 − 0.3132x, если x ∈ [ 5 , 2].  3 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 16 / 19
  17. 17. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементовПрименение МКЭГрафики точного решения задачи (16)-(17) приближения к нему МКЭ (31) исоответствующих ему базисных функций y 1 y(x) y2(x) φ1 φ2 1/2 0 1 4/3 5/3 2 x Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 17 / 19
  18. 18. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементовРасчетные задания Дана краевая задача: √ (x + 3)2 y + (2x + 6)y + 0.25y = x + 3, x ∈ [0, 1] (32) y(0) = 0, y(1) = 0.5 (33) Примените метод конечных элементов на равномерной сетке. Сравните полученное приближенное значение и точное решение x y(x) = √x+3 . Обобщите расчетные формулы метода конечных элементов на случай неравномерной сетке. Примените метод конечных элементов на неравномерной сетке и сравните конечные результаты. Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 18 / 19
  19. 19. Решение линейных краевых задач Метод конечных элементовСписок использованных источников 1 Вержбицкий В.М. Численные методы, (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения) М.: Высшая школа, 2001.382 с. Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 30 декабря 2012 г. 19 / 19

×