1. 9 класс, алгебра
Индивидуальные задания по теме «Неравенства»
Сравнение чисел
1. a>b, если разностьa-b – положительное число
а <b, если разностьa-b – отрицательное число
а) Какому выражению соответствует неравенство x<y:
1) x – y=-0,0005; 2) x – y=0,01; 3) y – x=0,03;
4) y – x=-7?
б) Какому выражению соответствует неравенство x>y:
1) x – y=-0,0005;2) x – y=0,01;3) y – x=0,03;4) y – x=-7?
2 . a>b, если разностьa-b – положительное число
а <b, если разностьa-b – отрицательное число
a=b, еслиa – b=0
сравни числа aub, если
1) a – b = 3,4; 3) a- b = 0; 5) b – a = - 7,1; 7) a – b = 6; 9) b – a = 0,8;
2) a– b = - 0,9;4) b – a = 7,1; 6) a – b = - 8; 8) a – b = 0; 10) b – a = - 0,8.
Доказательство неравенств
Образец 1.
(a+2)2>4а
рассмотримразность:
(a+2)2-4a=a2+4a+4-4a=a2+4
a2+4>0 для любого a, значит
(a+2)2>4а
Докажи самостоятельно:
1) (a+6)2>12a;
2) (a+2)(a-2)>11;
3) b(b-4)>-4.
Образец 2.
a(a-6)<(a-3)2 Докажи самостоятельно:
рассмотрим разность:
1) x(x+10)<(x+5)2;
a(a-6)-(a-3)2=a2-6a-a2+6a–9=-9<0, 2) 14x<(x+7)2;
значит
3) (x-5)(x+8)<(x+5)(x-2).
2
a(a-6)<(a-3)

2. Свойства числовых неравенств
1. К обеим частям верного числового неравенства можно прибавлять одно и то же
число.
а>b,
a+3>b+3;
a-4>b-4
Сравни:
1) а-8 иb-8;
2) a+1,2 ub+1,2;
3) b+9 ua+9;
4) b-0,5 uа-0,5.
5)Известно, что a>b. Расположите в порядке возрастания числа:
a+8;b-4;a+3;a;b-1; b.
2. Обе части верного числового неравенства можно умножать или делить на одно и то
же положительное число.а>b,
3a>3b;
a:7>b:7
сравни: 1) 6аи 6b;
2) a:0,1 u b:0,1;
3) 14b u 14a;
Сравни эти же выражения, при а<b.
4) b:5 u a:5.
3. Обе части верного числового неравенства можно умножать или делить на одно и то
же отрицательное число, поменяв при этом знак неравенства на противоположный.
а >b,
-5a<-5b;
a:(-9)<b:(-9);
-a<-b
сравни: 1) -2a u -2b; 2) a:(-4,8) u b:(-4,8);
Сравни эти же выражения, если a<b.
3) -6b u-6a; 4) b:(-7) u a:(-7).
4.Верные числовыенеравенства одного знака можно почленно складывать.
а >b
c>d 7<9
a+c>b+d
3<5
10 <14
1) верно ли, что если a>5 ub>7, то
a) a+b>12; б)a+b>10; в)a+b>15?
2) сложите почленно неравенства: а) 6>2 u16>10;
б)0<8 u– 1<6;
в) -1,5>-2,5 u 1,5>0,3

3. 5. Неравенства одного знака с положительными членами можно почленно
перемножать.
а >b
3<5
c>d7<9
a • c>b • d 21 <45
1)Перемножьте почленно неравенства: а)16>14 u 2>1;
б)101<103 u 10<20;
в)1,4<1,6 u 0,01<0,1.
2)Верно ли что если a>4 ub>6,то ab>24; ab>20;
ab>22;
Если a<7 ub<3,то ab<21?
6. Докажите, что если a>8 и b>2, то a)3a+b>26;
б) 5a+3b>46.
7. Пустьaub -
положительные числа.
Верно ли, что: а) если a>b, тоa2>b2; б) если a2>b2, тоa>b?
Oценка суммы, разности, произведения и частного
а ≤x ≤b
a≤ x≤b
а ≤ x≤ b
c≤ y ≤ d
a+c≤ x+y≤ b+d
c≤ y≤d
a-d ≤ x-y ≤ b-c
c≤y≤d
ac ≤xy ≤ bd
a≤x≤b
c≤y≤d
a:d ≤ x:y ≤ b:c
(a, b, c, d > 0)
(a,b,c,d >0)
Образец: оценить значение выражения, зная, что 8 ≤ х ≤ 15
3≤у≤4
8+3≤х+у ≤15+4
8-4 ≤ х – у ≤ 15-3
8∙3 ≤ ху≤ 15 ∙ 4
8:4 ≤ х:у ≤15:3
11 ≤ х+у ≤ 19
4 ≤ х-у ≤ 12
24 ≤ху ≤ 60
2 ≤ х:у ≤ 5
Оцени значение выражения, зная, что:
9 <x<24; 1 <y< 8
а) х+ у;
б) х-у;
в) ху;
г) х:у;
д) 1/3 х+у;
е) х-2у.

4. Числовые промежутки
Геометрическое изображение
Обозначения
ₒ
////////////////ₒ
(а; в)
Запись с помощью
неравенств
а <x<b
[а; в]
a≤x≤b
(а; в]
a<x≤b
[а; в)
a≤x<b
[а;+∞)
x≥a
(-∞;в]
x≤b
(а;+∞)
x>a
(-∞;в)
x<b
[4;6)
4<x<6
а
в
.///////////////////.
а
в
ₒ////////////////////.
а
в
. /////////////////////ₒ
а
в
ₒ/////////////////////////////
а
///////////////////////////..
в
ₒ
//////////////////////////////
а
//////////////////////////ₒ
в
Заполни таблицу правильно!
. ////////////////.
4
6
(-3;+∞)
x≤ -3
. /////////////////////////
-3
[4;6]
4<x≤6
. /////////////ₒ
4
6
(-∞;-3]
x≥ -3
///////////////////ₒ
-3
[-3;+∞)
x>-3
ₒ///////////////////////
-3
(4;6)
4≤x<6
ₒ///////////////////.
4
6
(4;6]
4≤x≤6
ₒ///////////ₒ
(-∞;-3)
x<3
4
6
//////////////////////.
-3
1.Отметь на числовой прямой и запиши в виде неравенств промежутки: (-9;1), [-9;1], [-9;1), (9;1], (-∞;2], (-∞;7), (0;+∞), [0;+∞)
2. Отметь на числовой прямой и запиши в обозначениях решения неравенств: x>0; x<0; x≥8;
x≤6; -2<x<0; -2≤x<0; -2<x≤0; -2≤ x≤0.
3. Запиши в виде неравенств и с помощью обозначений промежутки, изображенные на рисунках:
. /////////////////////ₒₒ
///////////////////.
-4
2
-4
2
ₒ //////////////////////ₒ ////////////////////.
.
5
9
5
9
///////////////////////////ₒ
////////////////////////////.
8
4
ₒ///////////////////////////
.////////////////////////////
-2
-2

5. Решение линейных неравенств
Свойство неравенства
образец
Реши!
1. слагаемое можно
переносить
из одной части
неравенства в
другую, поменяв при
этом его знак
x+3>8
x>8-3
x>5
2. обе части
неравенства можно
умножать или делить
на одно и то же
положительное число
3. обе части
неравенства можно
умножать или делить
на одно и
то же отрицательное
число,
поменяв при этом
знак неравенства
на противоположный
-8x>24
x<-3
4.
образец
7x<3x-16
7x-3x<-16
4x<-16
x<-16:4
x<-4
1) -9+x<4
Из данных
ответов
выбери
правильный
x<-5; x<13
2) x-1>-4
x>-3; x>-5
2) x-1>-9
x>-8; x>-10
3)12+x<2
3x<12
x<4;
x/3>1
x>3
Реши!
1) -5+x<4
Из данных
ответов
выбери
правильный
x<-1; x<9
x<10; x<-10;
x<14
3)18+x<2
x<16; x<20;
x<-16
1) 3x>9
2) 4x<-8
3) 7x<21
4) x/8<1
5) x/5>2
1)-3x<9
x<3;x>-3;
x<-3
2)-x>-8
x>8;x<8
3)-3x>6
x>-2;x<-2;
x<2
4) –x/5<1 x>5;x>-5;
x<-5
5)-0,5x>-2 x>4;x<4;x<-4
выполни самостоятельно!
1) 5x<2x-18
2)8x>3x-20
3)4-12x>7-13x
4)x-9<2(3-x)
3-2x>11
-2x>11-3
-2x>8
x<8:(-2) деление на
x<-4 отрицательное число!
1) 6-4x>22
2)6x<8x-2
3)4x+19>5x-1
4)3(2-x)>4-x
1) 3x>12
2) 4x<-4
3) 7x<28
4) x/9>1
5) x/2<5
1)-3x<6
2)-x>-4
3)-2x>6
4)-x/4>1
5)-0,1x<2
x<2;x>-2;
x<-2
x>4;x<4
x>-3;x<-3;
x<3
x>4; x<4
x>20;x<-20
x>-20
выбери ответ
x>-6; x>6;
x<-6; x<6
x<-4; x>-4;
x<4; x>4
x>3; x>-3;
x>11;x>-11
x<5; x<-5;x>1; x<-1
x>4; x<4;
x>-4; x<-4
x>1; x<1;
x>-1; x<-1
x<20; x<-20;
x>2; x<-2
x>-1;x<-1; x>1;x<1