Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

20131013 h10 lecture4_matiyasevich

424 views

Published on

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

20131013 h10 lecture4_matiyasevich

  1. 1. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  2. 2. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  3. 3. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Часть 2. Десятая проблема Гильберта Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  4. 4. Что можно делать с вещественными числами и нельзя делать с целыми числами Часть 2. Десятая проблема Гильберта Четвёртая лекция Ю. В. Матиясевич Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat
  5. 5. Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема) Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое перечислимое множество является диофантовым.
  6. 6. Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема) Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое перечислимое множество является диофантовым. Теорема (Davis-Putnam-Robinson [1961]). Каждое перечислимое множество M имеет экспоненциально диофантово представление a1 , . . . , an ∈ M ⇐⇒ ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {EL (a1 , . . . , an , x1 , x2 , . . . , xm ) = = ER (a1 , . . . , an , x1 , x2 , . . . , xm )}
  7. 7. Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема) Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждое перечислимое множество является диофантовым. Теорема (Davis-Putnam-Robinson [1961]). Каждое перечислимое множество M имеет экспоненциально диофантово представление a1 , . . . , an ∈ M ⇐⇒ ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {EL (a1 , . . . , an , x1 , x2 , . . . , xm ) = = ER (a1 , . . . , an , x1 , x2 , . . . , xm )} a = b c ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {P(a, b, c, x1 , . . . , xm ) = 0}
  8. 8. Рекуррентные последовательности второго порядка αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n) b≥2
  9. 9. Рекуррентные последовательности второго порядка αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n) 0 < 1 < αb (2) < · · · < αb (n) < αb (n + 1) < . . . b≥2
  10. 10. Диофантовость последовательности αb (k) Основная лемма. Существует многочлен Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) такой что b ≥ 4 & x = αb (k) ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) = 0}
  11. 11. Диофантовость последовательности αb (k) Основная лемма. Существует многочлен Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) такой что b ≥ 4 & x = αb (k) ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) = 0}
  12. 12. Скорость роста αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n) (b − 1)αb (n + 1) ≤ αb (n + 2) ≤ bαb (n + 1) b≥2
  13. 13. Скорость роста αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n) (b − 1)αb (n + 1) ≤ αb (n + 2) ≤ bαb (n + 1) (b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n b≥2
  14. 14. Скорость роста αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n) b≥2 (b − 1)αb (n + 1) ≤ αb (n + 2) ≤ bαb (n + 1) (b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n bd − 1 d +1 n ≤ αbd+1 (n + 1) αbd (n + 1) ≤ bn ≤ ≤ αd+1 (n + 1) αd (n + 1) bd + 1 d −1 n
  15. 15. Скорость роста αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n+2) = bαb (n+1)−αb (n) b≥2 (b − 1)αb (n + 1) ≤ αb (n + 2) ≤ bαb (n + 1) (b − 1)n ≤ αb (n + 1) ≤ b n ≤ αb+1 (n + 1) ≤ (b + 1)n bd − 1 d +1 n ≤ αbd+1 (n + 1) αbd (n + 1) ≤ bn ≤ ≤ αd+1 (n + 1) αd (n + 1) bd + 1 d −1 n a = b n ⇐⇒ ⇐⇒ ∃d αbd (n + 1) αbd+1 (n + 1) αbd (n + 1) 1 ≤a≤ ≤ + αd+1 (n + 1) αd (n + 1) αd+1 (n + 1) 2
  16. 16. Матричное представление αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n)
  17. 17. Матричное представление αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n) Ab (n) = αb (n + 1) −αb (n) αb (n) −αb (n − 1)
  18. 18. Матричное представление αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n) Ab (n) = αb (n + 1) −αb (n) αb (n) −αb (n − 1) Ab (n + 1) = Ab (n)Ψb
  19. 19. Матричное представление αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n) Ab (n) = αb (n + 1) −αb (n) αb (n) −αb (n − 1) Ab (n + 1) = Ab (n)Ψb Ψb = b −1 1 0
  20. 20. Матричное представление αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n) Ab (n) = αb (n + 1) −αb (n) αb (n) −αb (n − 1) Ab (n + 1) = Ab (n)Ψb Ψb = b −1 1 0
  21. 21. Матричное представление αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = bαb (n + 1) − αb (n) Ab (n) = αb (n + 1) −αb (n) αb (n) −αb (n − 1) Ab (n + 1) = Ab (n)Ψb Ψb = b −1 1 0 Ab (n) = Ψn
  22. 22. Характеристическое уравнение 2 det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1) 2 2 = αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n) 2 2 = αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n) = det(Ψn ) b = (det Ψb )n = 1
  23. 23. Характеристическое уравнение 2 det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1) 2 2 = αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n) 2 2 = αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n) = det(Ψn ) b = (det Ψb )n = 1 x 2 − bxy + y 2 = 1
  24. 24. Характеристическое уравнение 2 det(Ab (n)) = αb (n) − αb (n + 1)αb (n − 1) 2 2 = αb (n + 1) − bαb (n + 1)αb (n) + αb (n) 2 2 = αb (n − 1) − bαb (n − 1)αb (n) + αb (n) = det(Ψn ) b = (det Ψb )n = 1 x 2 − bxy + y 2 = 1 x = αb (n + 1) y = αb (n) x = αb (n − 1) y = αb (n)
  25. 25. Характеристическое уравнение Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1) y = αb (n) или же x = αb (n) y = αb (n + 1)
  26. 26. Характеристическое уравнение Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1) y = αb (n) или же x = αb (n) y = αb (n + 1) Лемма. Если x 2 − bxy + y 2 = 1 и y ≤ x, то найдется число n такое, что x = αb (n + 1), y = αb (n).
  27. 27. Диофантово представление множества чисел αb Следствие леммы: x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb (n), . . . }
  28. 28. Диофантово представление множества чисел αb Следствие леммы: x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb (n), . . . } ⇐⇒ ∃y {x 2 − bxy + y 2 = 1}
  29. 29. Диофантово представление множества чисел αb Следствие леммы: x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb (n), . . . } ⇐⇒ ∃y {x 2 − bxy + y 2 = 1}
  30. 30. Диофантово представление множества чисел αb Следствие леммы: x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb (n), . . . } ⇐⇒ ∃y {x 2 − bxy + y 2 = 1} Требуется: x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb (k)
  31. 31. Диофантово представление множества чисел αb Следствие леммы: x ∈ Mb ⇐⇒ x ∈ {0, 1, b, . . . , αb (n), . . . } ⇐⇒ ∃y {x 2 − bxy + y 2 = 1} Требуется: x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb (k) ⇐⇒ ?
  32. 32. Новые свойства делимости Лемма (доказанная). 2 αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m
  33. 33. Новые свойства делимости Лемма (доказанная). 2 αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m Лемма (обратная). 2 kαb (k) | m ⇒ αb (k) | αb (m)
  34. 34. Новые свойства делимости Лемма (доказанная). 2 αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m Лемма (обратная). 2 kαb (k) | m ⇒ αb (k) | αb (m)
  35. 35. Новые свойства делимости kαb (k) | m
  36. 36. Новые свойства делимости kαb (k) | m m=k
  37. 37. Новые свойства делимости kαb (k) | m m=k αb (k) |
  38. 38. Новые свойства делимости kαb (k) | m Ab (m) = Ab (k) m=k αb (k) |
  39. 39. Новые свойства делимости kαb (k) | m m=k αb (k) | Ab (m) = Ab (k) = αb (k + 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1)
  40. 40. Новые свойства делимости kαb (k) | m m=k αb (k) | Ab (m) = Ab (k) = αb (k + 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1) = bαb (k) − αb (k − 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1)
  41. 41. Новые свойства делимости kαb (k) | m m=k αb (k) | Ab (m) = Ab (k) = αb (k + 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1) = bαb (k) − αb (k − 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1) = αb (k) b −1 1 0 − αb (k − 1) 1 0 0 1
  42. 42. Новые свойства делимости kαb (k) | m m=k αb (k) | Ab (m) = Ab (k) = αb (k + 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1) = bαb (k) − αb (k − 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1) = αb (k) b −1 1 0 − αb (k − 1) 1 0 0 1 = [αb (k)Ψb − αb (k − 1)E ]
  43. 43. Новые свойства делимости kαb (k) | m m=k αb (k) | Ab (m) = Ab (k) = αb (k + 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1) = bαb (k) − αb (k − 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1) = αb (k) b −1 1 0 − αb (k − 1) 1 0 0 1 = [αb (k)Ψb − αb (k − 1)E ] = (−1) i=0 −i i i αb (k)αb−i (k − 1)Ψib
  44. 44. Новые свойства делимости kαb (k) | m m=k αb (k) | Ab (m) = Ab (k) = αb (k + 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1) = bαb (k) − αb (k − 1) −αb (k) αb (k) −αb (k − 1) = αb (k) b −1 1 0 − αb (k − 1) 1 0 0 1 = [αb (k)Ψb − αb (k − 1)E ] = (−1) i=0 −i i i αb (k)αb−i (k − 1)Ψib
  45. 45. Новые свойства делимости αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) = (−1) i=0 −i i = Ab (m) i αb (k)αb−i (k − 1)Ψib
  46. 46. Новые свойства делимости αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) = (−1) i=0 −i i = Ab (m) i αb (k)αb−i (k − 1)Ψib ≡ (−1) αb (k − 1)E + (−1) −1 2 αb (k)αb−1 (k − 1)Ψb (mod αb (k))
  47. 47. Новые свойства делимости αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) = (−1) −i i=0 i = Ab (m) i αb (k)αb−i (k − 1)Ψib ≡ (−1) αb (k − 1)E + (−1) = (−1) αb (k − 1) +(−1) −1 1 0 0 1 −1 2 αb (k)αb−1 (k − 1)Ψb (mod αb (k)) + αb (k)αb−1 (k − 1) b −1 1 0 2 (mod αb (k))
  48. 48. Новые свойства делимости αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) = (−1) −i i=0 i = Ab (m) i αb (k)αb−i (k − 1)Ψib ≡ (−1) αb (k − 1)E + (−1) = (−1) αb (k − 1) +(−1) −1 1 0 0 1 −1 + b −1 1 0 2 (mod αb (k)) αb (k)αb−1 (k − 1) 2 (mod αb (k)) αb (k)αb−1 (k − 1) αb (m) ≡ (−1) −1 2 αb (k)αb−1 (k − 1)Ψb (mod αb (k))
  49. 49. Новые свойства делимости αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) = (−1) −i i=0 i = Ab (m) i αb (k)αb−i (k − 1)Ψib ≡ (−1) αb (k − 1)E + (−1) = (−1) αb (k − 1) +(−1) −1 1 0 0 1 −1 + b −1 1 0 2 (mod αb (k)) αb (k)αb−1 (k − 1) 2 (mod αb (k)) αb (k)αb−1 (k − 1) αb (m) ≡ (−1) −1 2 αb (k)αb−1 (k − 1)Ψb (mod αb (k)) αb (k) |
  50. 50. Новые свойства делимости αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) = (−1) −i i=0 i = Ab (m) i αb (k)αb−i (k − 1)Ψib −1 ≡ (−1) αb (k − 1)E + (−1) = (−1) αb (k − 1) +(−1) −1 1 0 0 1 + b −1 1 0 2 (mod αb (k)) αb (k)αb−1 (k − 1) 2 (mod αb (k)) αb (k)αb−1 (k − 1) αb (m) ≡ (−1) −1 2 αb (k)αb−1 (k − 1)Ψb (mod αb (k)) αb (k) | 2 αb (k) | αb (m)
  51. 51. Новые свойства делимости Лемма. 2 αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m
  52. 52. Новые свойства делимости Лемма. 2 αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m Лемма (обратная). 2 kαb (k) | m ⇒ αb (k) | αb (m)
  53. 53. Новые свойства делимости Лемма. 2 αb (k) | αb (m) ⇒ kαb (k) | m Лемма (обратная). 2 kαb (k) | m ⇒ αb (k) | αb (m) Следствие. 2 kαb (k) | m ⇔ αb (k) | αb (m)
  54. 54. Диофантовость последовательности αb (k) Основная лемма. Существует многочлен Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) такой что b ≥ 4 & x = αb (k) ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) = 0}
  55. 55. Диофантовость последовательности αb (k) Основная лемма. Существует многочлен Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) такой что b ≥ 4 & x = αb (k) ⇐⇒ ∃x1 . . . xm {Q(x, b, k, x1 , . . . , xm ) = 0}
  56. 56. Основная лемма. Для любого числа b, такого что b ≥ 4, и любых чисел x и k, равенство x = αb (k) имеет место тогда и только тогда, когда существуют числа B, r , s, t, u, v , X , Y такие, что u 2 − but + t 2 = 1, s 2 − bsr + r 2 = 1, r < s, u 2 | s, v = bs − 2r , v | B − b, u | B − 2, B ≥ 4, 2 X − BXY + Y 2 = 1, 2x < u, x = arem(X , v ), k = arem(X , u).
  57. 57. Первый шаг x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb (k) ⇐⇒ ?
  58. 58. Первый шаг x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb (k) ⇐⇒ ? α2 (n) =
  59. 59. Первый шаг x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb (k) ⇐⇒ ? α2 (n) = n
  60. 60. Первый шаг x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb (k) ⇐⇒ ? α2 (n) = n
  61. 61. Первый шаг x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb (k) ⇐⇒ ? α2 (n) = n N2 = { k, k : k ∈ N}
  62. 62. Первый шаг x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb (k) ⇐⇒ ? α2 (n) = n N2 = { k, k : k ∈ N} = { α2 (k), α2 (k) : k ∈ N}
  63. 63. Первый шаг x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb (k) ⇐⇒ ? α2 (n) = n N2 = { k, k : k ∈ N} = { α2 (k), α2 (k) : k ∈ N} = { x, x : x ∈ M2 }
  64. 64. Первый шаг x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb (k) ⇐⇒ ? α2 (n) = n N2 = { k, k : k ∈ N} = { α2 (k), α2 (k) : k ∈ N} = { x, x : x ∈ M2 } N∗ = { αb (k), αb (k) : k ∈ N} b
  65. 65. Первый шаг x, k ∈ Nb ⇐⇒ x = αb (k) ⇐⇒ ? α2 (n) = n N2 = { k, k : k ∈ N} = { α2 (k), α2 (k) : k ∈ N} = { x, x : x ∈ M2 } N∗ = { αb (k), αb (k) : k ∈ N} b = { x, x : x ∈ Mb }
  66. 66. Второй шаг N∗ = { αb (k), αb (k) : k ∈ N} b = { x, x : x ∈ Mb }
  67. 67. Второй шаг N∗ = { αb (k), αb (k) : k ∈ N} b = { x, x : x ∈ Mb } Nb = { αb (k), α2 (k) : k ∈ N}
  68. 68. Сравнение последовательностей αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = b αb (n + 1) − αb (n) αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = b αb (n + 1) − αb (n)
  69. 69. Сравнение последовательностей αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = b αb (n + 1) − αb (n) αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = b αb (n + 1) − αb (n) b ≡ b (mod b − b )
  70. 70. Сравнение последовательностей αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = b αb (n + 1) − αb (n) αb (0) = 0 αb (1) = 1 αb (n + 2) = b αb (n + 1) − αb (n) b ≡ b (mod b − b ) αb (n) ≡ αb (n) (mod b − b )
  71. 71. Функции rem и arem z = rem(y , x) ⇐⇒ y ≡ z (mod x)&z ≤ x − 1
  72. 72. Функции rem и arem z = rem(y , x) ⇐⇒ y ≡ z (mod x)&z ≤ x − 1 z = arem(y , x) ⇐⇒ y ≡ z (mod x) or y ≡ −z (mod x) &2z ≤ x
  73. 73. Сравнение последовательностей b ≡ b (mod b − b )
  74. 74. Сравнение последовательностей b ≡ b (mod b − b ) αb (n) ≡ αb (n) (mod b − b )
  75. 75. Сравнение последовательностей b ≡ b (mod b − b ) αb (n) ≡ αb (n) (mod b − b )
  76. 76. Сравнение последовательностей b ≡ b (mod b − b ) αb (n) ≡ αb (n) (mod b − b ) rem(αb (n), b − b ) = rem(αb (n), b − b )
  77. 77. Сравнение последовательностей b ≡ b (mod b − b ) αb (n) ≡ αb (n) (mod b − b ) rem(αb (n), b − b ) = rem(αb (n), b − b )
  78. 78. Сравнение последовательностей b ≡ b (mod b − b ) αb (n) ≡ αb (n) (mod b − b ) rem(αb (n), b − b ) = rem(αb (n), b − b ) αb (n) = rem(αb (n), b − b ) provided αb (n) < b − b
  79. 79. Второй шаг N∗ = { αb (k), αb (k) : k ∈ N} b
  80. 80. Второй шаг N∗ = { αb (k), αb (k) : k ∈ N} b = { x, x : x ∈ Mb }
  81. 81. Второй шаг N∗ = { αb (k), αb (k) : k ∈ N} b = { x, x : x ∈ Mb } Nb = { αb (k), α2 (k) : k ∈ N}
  82. 82. Второй шаг N∗ = { αb (k), αb (k) : k ∈ N} b = { x, x : x ∈ Mb } Nb = { αb (k), α2 (k) : k ∈ N} N∗∗ = { x, rem(x, b − 2) : x ∈ Mb } b
  83. 83. Третий шаг N∗∗ = { x, rem(x, b − 2) : x ∈ Mb } b
  84. 84. Третий шаг N∗∗ = { x, rem(x, b − 2) : x ∈ Mb } b N∗∗∗ = { rem(x, B − b), rem(x, B − 2) : x ∈ MB } b
  85. 85. Периодичность αb (0), αb (1), . . . , αb (n), . . .
  86. 86. Периодичность αb (0), αb (1), . . . , αb (n), . . . αb (0) (mod v ), αb (1) (mod v ), . . . , αb (n) (mod v ), . . .
  87. 87. Периодичность αb (0), αb (1), . . . , αb (n), . . . αb (0) (mod v ), αb (1) (mod v ), . . . , αb (n) (mod v ), . . . αb (m) ≡ αb (m + p) (mod v )
  88. 88. Периодичность αb (0), αb (1), . . . , αb (n), . . . αb (0) (mod v ), αb (1) (mod v ), . . . , αb (n) (mod v ), . . . αb (m) ≡ αb (m + p) (mod v ) αb (m + 1) ≡ αb (m + 1 + p) (mod v )
  89. 89. Периодичность αb (0), αb (1), . . . , αb (n), . . . αb (0) (mod v ), αb (1) (mod v ), . . . , αb (n) (mod v ), . . . αb (m) ≡ αb (m + p) (mod v ) αb (m + 1) ≡ αb (m + 1 + p) (mod v ) αb (m + 2) ≡ αb (m + 2 + p) (mod v )
  90. 90. Периодичность αb (0), αb (1), . . . , αb (n), . . . αb (0) (mod v ), αb (1) (mod v ), . . . , αb (n) (mod v ), . . . αb (m) ≡ αb (m + p) (mod v ) αb (m + 1) ≡ αb (m + 1 + p) (mod v ) αb (m + 2) ≡ αb (m + 2 + p) (mod v ) αb (m + 3) ≡ αb (m + 3 + p) (mod v )
  91. 91. Периодичность αb (0), αb (1), . . . , αb (n), . . . αb (0) (mod v ), αb (1) (mod v ), . . . , αb (n) (mod v ), . . . αb (m − 1) ≡ αb (m − 1 + p) (mod v ) αb (m) ≡ αb (m + p) (mod v ) αb (m + 1) ≡ αb (m + 1 + p) (mod v ) αb (m + 2) ≡ αb (m + 2 + p) (mod v ) αb (m + 3) ≡ αb (m + 3 + p) (mod v )
  92. 92. Периодичность αb (0), αb (1), . . . , αb (n), . . . αb (0) (mod v ), αb (1) (mod v ), . . . , αb (n) (mod v ), . . . αb (m − 1) ≡ αb (m − 1 + p) (mod v ) αb (m) ≡ αb (m + p) (mod v ) αb (m + 1) ≡ αb (m + 1 + p) (mod v ) αb (m + 2) ≡ αb (m + 2 + p) (mod v ) αb (m + 3) ≡ αb (m + 3 + p) (mod v ) αb (n) ≡ αb (n + p) (mod v )
  93. 93. Специальный период v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
  94. 94. Специальный период v = αb (m + 1) − αb (m − 1) αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v )
  95. 95. Специальный период v = αb (m + 1) − αb (m − 1) αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v ) αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v )
  96. 96. Специальный период v = αb (m + 1) − αb (m − 1) αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v ) αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v ) . . ≡ . . . .
  97. 97. Специальный период v = αb (m + 1) − αb (m − 1) αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v ) αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v ) . . ≡ . . . . αb (m) ≡ αb (m) (mod v )
  98. 98. Специальный период v = αb (m + 1) − αb (m − 1) αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v ) αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v ) . . ≡ . . . . αb (m) ≡ αb (m) (mod v ) αb (m + 1) ≡ αb (m − 1) (mod v )
  99. 99. Специальный период v = αb (m + 1) − αb (m − 1) αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v ) αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v ) . . ≡ . . . . αb (m) ≡ αb (m) (mod v ) αb (m + 1) ≡ αb (m − 1) (mod v ) αb (m + 2) ≡ αb (m − 2) (mod v )
  100. 100. Специальный период v = αb (m + 1) − αb (m − 1) αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v ) αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v ) . . ≡ . . . . αb (m) ≡ αb (m) (mod v ) αb (m + 1) ≡ αb (m − 1) (mod v ) αb (m + 2) ≡ αb (m − 2) (mod v ) αb (m + 3) ≡ αb (m − 3) (mod v )
  101. 101. Специальный период v = αb (m + 1) − αb (m − 1) αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v ) αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v ) . . ≡ . . . . αb (m) ≡ αb (m) (mod v ) αb (m + 1) ≡ αb (m − 1) (mod v ) αb (m + 2) ≡ αb (m − 2) (mod v ) αb (m + 3) ≡ αb (m − 3) (mod v ) . . ≡ . . . .
  102. 102. Специальный период v = αb (m + 1) − αb (m − 1) αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v ) αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v ) . . ≡ . . . . αb (m) ≡ αb (m) (mod v ) αb (m + 1) ≡ αb (m − 1) (mod v ) αb (m + 2) ≡ αb (m − 2) (mod v ) αb (m + 3) ≡ αb (m − 3) (mod v ) . . ≡ . . . . αb (2m − 1) ≡ αb (1) (mod v )
  103. 103. Специальный период v = αb (m + 1) − αb (m − 1) αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v ) αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v ) . . ≡ . . . . αb (m) ≡ αb (m) (mod v ) αb (m + 1) ≡ αb (m − 1) (mod v ) αb (m + 2) ≡ αb (m − 2) (mod v ) αb (m + 3) ≡ αb (m − 3) (mod v ) . . ≡ . . . . αb (2m − 1) ≡ αb (1) (mod v ) αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v )
  104. 104. Специальный период v = αb (m + 1) − αb (m − 1) αb (0) ≡ αb (0) = 0 (mod v ) αb (1) ≡ αb (1) = 1 (mod v ) . . ≡ . . . . αb (m) ≡ αb (m) (mod v ) αb (m + 1) ≡ αb (m − 1) (mod v ) αb (m + 2) ≡ αb (m − 2) (mod v ) αb (m + 3) ≡ αb (m − 3) (mod v ) . . ≡ . . . . αb (2m − 1) ≡ αb (1) (mod v ) αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v ) αb (2m + 1) ≡ αb (−1) = −1 = −αb (1) (mod v )
  105. 105. Специальный период αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v )
  106. 106. Специальный период αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v ) αb (2m + 1) ≡ αb (−1) = −1 = −αb (1) (mod v )
  107. 107. Специальный период αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v ) αb (2m + 1) ≡ αb (−1) = −1 = −αb (1) (mod v ) αb (2m + 2) ≡ −αb (2) (mod v )
  108. 108. Специальный период αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v ) αb (2m + 1) ≡ αb (−1) = −1 = −αb (1) (mod v ) αb (2m + 2) ≡ −αb (2) (mod v ) . . ≡ . . . .
  109. 109. Специальный период αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v ) αb (2m + 1) ≡ αb (−1) = −1 = −αb (1) (mod v ) αb (2m + 2) ≡ −αb (2) (mod v ) . . ≡ . . . . αb (2m + n) ≡ −αb (n) (mod v )
  110. 110. Специальный период αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v ) αb (2m + 1) ≡ αb (−1) = −1 = −αb (1) (mod v ) αb (2m + 2) ≡ −αb (2) (mod v ) . . ≡ . . . . αb (2m + n) ≡ −αb (n) (mod v ) . . ≡ . . . .
  111. 111. Специальный период αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v ) αb (2m + 1) ≡ αb (−1) = −1 = −αb (1) (mod v ) αb (2m + 2) ≡ −αb (2) (mod v ) . . ≡ . . . . αb (2m + n) ≡ −αb (n) (mod v ) . . ≡ . . . . αb (4m + n) ≡ −αb (2m + n) ≡ αb (n) (mod v )
  112. 112. Специальный период αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v ) αb (2m + 1) ≡ αb (−1) = −1 = −αb (1) (mod v ) αb (2m + 2) ≡ −αb (2) (mod v ) . . ≡ . . . . αb (2m + n) ≡ −αb (n) (mod v ) . . ≡ . . . . αb (4m + n) ≡ −αb (2m + n) ≡ αb (n) (mod v ) При v = αb (m + 1) − αb (m − 1) последовательность αb (0) (mod v ), αb (1) имеет период длины 4m (mod v ), . . . , αb (1) (mod v ), . . .
  113. 113. Специальный период αb (2m) ≡ αb (0) = 0 = −αb (0) (mod v ) αb (2m + 1) ≡ αb (−1) = −1 = −αb (1) (mod v ) αb (2m + 2) ≡ −αb (2) (mod v ) . . ≡ . . . . αb (2m + n) ≡ −αb (n) (mod v ) . . ≡ . . . . αb (4m + n) ≡ −αb (2m + n) ≡ αb (n) (mod v ) При v = αb (m + 1) − αb (m − 1) последовательность αb (0) (mod v ), αb (1) (mod v ), . . . , αb (1) (mod v ), . . . имеет период длины 4m, а последовательность arem(αb (0), v ), arem(αb (1), v ), . . . , arem(αb (n), v ), . . . имеет период длины 2m.
  114. 114. Четвертый шаг N∗∗∗ = { rem(x, B − b), rem(x, B − 2) : x ∈ MB } b
  115. 115. Четвертый шаг N∗∗∗ = { rem(x, B − b), rem(x, B − 2) : x ∈ MB } b N∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, B − 2) : x ∈ MB } b
  116. 116. Четвертый шаг N∗∗∗ = { rem(x, B − b), rem(x, B − 2) : x ∈ MB } b N∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, B − 2) : x ∈ MB } b v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
  117. 117. Четвертый шаг N∗∗∗ = { rem(x, B − b), rem(x, B − 2) : x ∈ MB } b N∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, B − 2) : x ∈ MB } b v = αb (m + 1) − αb (m − 1) v |B − b
  118. 118. Четвертый шаг N∗∗∗ = { rem(x, B − b), rem(x, B − 2) : x ∈ MB } b N∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, B − 2) : x ∈ MB } b v = αb (m + 1) − αb (m − 1) v |B − b
  119. 119. Пятый шаг N∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, B − 2) : x ∈ MB } b
  120. 120. Пятый шаг N∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, B − 2) : x ∈ MB } b v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
  121. 121. Пятый шаг N∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, B − 2) : x ∈ MB } b v = αb (m + 1) − αb (m − 1) v |B − b
  122. 122. Пятый шаг N∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, B − 2) : x ∈ MB } b v = αb (m + 1) − αb (m − 1) v |B − b N∗∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, u) : x ∈ MB } b
  123. 123. Пятый шаг N∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, B − 2) : x ∈ MB } b v = αb (m + 1) − αb (m − 1) v |B − b N∗∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, u) : x ∈ MB } b u|B − 2
  124. 124. Ключевая идея
  125. 125. Ключевая идея N∗∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, u) : x ∈ MB } b v = αb (m + 1) − αb (m − 1) v |B − b u|B − 2
  126. 126. Ключевая идея N∗∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, u) : x ∈ MB } b v = αb (m + 1) − αb (m − 1) v |B − b u|B − 2 Последовательность arem(αB (0), v ), arem(αB (1), v ), . . . , arem(αB (n), v ), . . . имеет период длины 2m; последовательность arem(αB (0), u), arem(αB (1), u), . . . , arem(αB (n), u), . . . имеет период длины u;
  127. 127. Ключевая идея N∗∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, u) : x ∈ MB } b v = αb (m + 1) − αb (m − 1) v |B − b u|B − 2 Последовательность arem(αB (0), v ), arem(αB (1), v ), . . . , arem(αB (n), v ), . . . имеет период длины 2m; последовательность arem(αB (0), u), arem(αB (1), u), . . . , arem(αB (n), u), . . . имеет период длины u; мы хотим, чтобы u | m.
  128. 128. Ключевая идея N∗∗∗∗∗ = { arem(x, v ), arem(x, u) : x ∈ MB } b v = αb (m + 1) − αb (m − 1) v |B − b u|B − 2 Последовательность arem(αB (0), v ), arem(αB (1), v ), . . . , arem(αB (n), v ), . . . имеет период длины 2m; последовательность arem(αB (0), u), arem(αB (1), u), . . . , arem(αB (n), u), . . . имеет период длины u; мы хотим, чтобы u | m. u = αb ( ) u 2 |αb (m)
  129. 129. Основная лемма. Для любого числа b, такого что b ≥ 4, и любых чисел x и k, равенство x = αb (k) имеет место тогда и только тогда, когда существуют числа B, r , s, t, u, v , X , Y такие, что u 2 − but + t 2 = 1, s 2 − bsr + r 2 = 1, r < s, u 2 | s, v = bs − 2r , v | B − b, u | B − 2, B ≥ 4, 2 X − BXY + Y 2 = 1, 2x < u, x = arem(X , v ), k = arem(X , u).
  130. 130. Часть “тогда” Если b ≥ 4 и числа x, k, B, r , s, t, u, v , X , Y удовлетворяют условиям u 2 − but + t 2 = 1, s 2 − bsr + r 2 = 1, v = bs − 2r , r < s, 2 u | s, B ≥ 4, X 2 − BXY + Y 2 = 1, v | B − b, u | B − 2, 2a < u, x = arem(X , v ), k = arem(X , u). то x = αb (k).
  131. 131. Часть “тогда” u 2 − but + t 2 = 1
  132. 132. Часть “тогда” u 2 − but + t 2 = 1 ⇒ u = αb ( )
  133. 133. Часть “тогда” u 2 − but + t 2 = 1 s 2 − bsr + r 2 = 1, r <s ⇒ u = αb ( )
  134. 134. Часть “тогда” u 2 − but + t 2 = 1 s 2 − bsr + r 2 = 1, r <s ⇒ u = αb ( ) ⇒ s = αb (m), r = αb (m − 1)
  135. 135. Часть “тогда” u 2 − but + t 2 = 1 s 2 − bsr + r 2 = 1, v = bs − 2r r <s ⇒ u = αb ( ) ⇒ s = αb (m), r = αb (m − 1)
  136. 136. Часть “тогда” u 2 − but + t 2 = 1 s 2 − bsr + r 2 = 1, v = bs − 2r r <s ⇒ u = αb ( ) ⇒ s = αb (m), r = αb (m − 1) ⇒ v = bαb (m) − 2αb (m − 1)
  137. 137. Часть “тогда” u 2 − but + t 2 = 1 s 2 − bsr + r 2 = 1, v = bs − 2r r <s ⇒ u = αb ( ) ⇒ s = αb (m), r = αb (m − 1) ⇒ v = bαb (m) − 2αb (m − 1) ⇒ v = αb (m + 1) − αb (m − 1)
  138. 138. Часть “тогда” u 2 − but + t 2 = 1 s 2 − bsr + r 2 = 1, r <s v = bs − 2r ⇒ u = αb ( ) ⇒ s = αb (m), r = αb (m − 1) ⇒ v = bαb (m) − 2αb (m − 1) ⇒ v = αb (m + 1) − αb (m − 1) u2 | s
  139. 139. Часть “тогда” u 2 − but + t 2 = 1 s 2 − bsr + r 2 = 1, r <s v = bs − 2r ⇒ u = αb ( ) ⇒ s = αb (m), r = αb (m − 1) ⇒ v = bαb (m) − 2αb (m − 1) ⇒ v = αb (m + 1) − αb (m − 1) u2 | s ⇒ (αb ( ))2 | αb (m)
  140. 140. Часть “тогда” u 2 − but + t 2 = 1 s 2 − bsr + r 2 = 1, r <s v = bs − 2r ⇒ u = αb ( ) ⇒ s = αb (m), r = αb (m − 1) ⇒ v = bαb (m) − 2αb (m − 1) ⇒ v = αb (m + 1) − αb (m − 1) u2 | s ⇒ (αb ( ))2 | αb (m) ⇒ u|m
  141. 141. Часть “тогда” B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1
  142. 142. Часть “тогда” B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1 ⇒ X = αB (n)
  143. 143. Часть “тогда” B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1 ⇒ X = αB (n) ⇒ X ≡ αb (n) (mod B − b)
  144. 144. Часть “тогда” B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1 ⇒ X = αB (n) ⇒ X ≡ αb (n) (mod B − b) ⇒ X ≡ n (mod B − 2)
  145. 145. Часть “тогда” B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1 ⇒ X = αB (n) ⇒ X ≡ αb (n) (mod B − b) ⇒ X ≡ n (mod B − 2) v |B −b
  146. 146. Часть “тогда” B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1 ⇒ X = αB (n) ⇒ X ≡ αb (n) (mod B − b) ⇒ X ≡ n (mod B − 2) v |B −b ⇒ X ≡ αb (n) (mod v ),
  147. 147. Часть “тогда” B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1 ⇒ X = αB (n) ⇒ X ≡ αb (n) (mod B − b) ⇒ X ≡ n (mod B − 2) v |B −b u |B −2 ⇒ X ≡ αb (n) (mod v ),
  148. 148. Часть “тогда” B ≥ 4&X 2 − BXY + Y 2 = 1 ⇒ X = αB (n) ⇒ X ≡ αb (n) (mod B − b) ⇒ X ≡ n (mod B − 2) v |B −b u |B −2 ⇒ X ≡ αb (n) (mod v ), ⇒ X ≡ n (mod u)
  149. 149. Часть “тогда” Пусть j = arem(n, 2m), то есть, n = 2 m ± j, j ≤m
  150. 150. Часть “тогда” Пусть j = arem(n, 2m), то есть, n = 2 m ± j, Ab (n) = Ψn b j ≤m
  151. 151. Часть “тогда” Пусть j = arem(n, 2m), то есть, n = 2 m ± j, j ≤m Ab (n) = Ψn b = Ψ2 b m±j
  152. 152. Часть “тогда” Пусть j = arem(n, 2m), то есть, n = 2 m ± j, j ≤m Ab (n) = Ψn b = Ψ2 b = m±j [Ψm ]2 Ψ±j b b
  153. 153. Часть “тогда” Пусть j = arem(n, 2m), то есть, n = 2 m ± j, j ≤m Ab (n) = Ψn b = Ψ2 b m±j = [Ψm ]2 Ψ±j b b = [Ab (m)]2 [Ab (j)]±1
  154. 154. Часть “тогда” Ab (n) = [Ab (m)]2 [Ab (j)]±1
  155. 155. Часть “тогда” Ab (n) = Ab (m) = [Ab (m)]2 [Ab (j)]±1 αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1)
  156. 156. Часть “тогда” Ab (n) = Ab (m) = [Ab (m)]2 [Ab (j)]±1 αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) ≡ − −αb (m − 1) αb (m) −αb (m) αb (m + 1) (mod v )
  157. 157. Часть “тогда” Ab (n) = Ab (m) = [Ab (m)]2 [Ab (j)]±1 αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) ≡ − −αb (m − 1) αb (m) −αb (m) αb (m + 1) = −[Ab (m)]−1 [Ab (m)]2 ≡ −E (mod v ) Ab (n) ≡ ±[Ab (j)]±1 (mod v ) (mod v )
  158. 158. Часть “тогда” Ab (n) = Ab (m) = [Ab (m)]2 [Ab (j)]±1 αb (m + 1) −αb (m) αb (m) −αb (m − 1) ≡ − −αb (m − 1) αb (m) −αb (m) αb (m + 1) = −[Ab (m)]−1 [Ab (m)]2 ≡ −E (mod v ) Ab (n) ≡ ±[Ab (j)]±1 (mod v ) X ≡ αb (n) ≡ ±αb (j) (mod v ) (mod v )
  159. 159. Часть “тогда” x = arem(X , v ) = αb (j)
  160. 160. Часть “тогда” x = arem(X , v ) = αb (j) 2αb (j) ≤ 2αb (m) ≤ (b − 2)αb (m) < bαb (m) − 2αb (m − 1) = v
  161. 161. Часть “тогда” x = arem(X , v ) = αb (j) 2αb (j) ≤ 2αb (m) ≤ (b − 2)αb (m) < bαb (m) − 2αb (m − 1) = v k = arem(X , u) = arem(n, u) = j
  162. 162. Часть “тогда” x = arem(X , v ) = αb (j) 2αb (j) ≤ 2αb (m) ≤ (b − 2)αb (m) < bαb (m) − 2αb (m − 1) = v k = arem(X , u) = arem(n, u) = j 2j ≤ 2αb (j) = 2x < u
  163. 163. Часть “тогда” x = arem(X , v ) = αb (j) 2αb (j) ≤ 2αb (m) ≤ (b − 2)αb (m) < bαb (m) − 2αb (m − 1) = v k = arem(X , u) = arem(n, u) = j 2j ≤ 2αb (j) = 2x < u x = αb (k)
  164. 164. Часть “только тогда” Для любых b ≥ 4, xk, если x = αb (k) то найдутся числа B, r , s, t, u, v , X , Y такие, что u 2 − but + t 2 = 1, s 2 − bsr + r 2 = 1, r < s, v = bs − 2r , u 2 | s, B ≥ 4, X 2 − BXY + Y 2 = 1, v | B − b, u | B − 2, 2x < u, x = arem(X , v ), k = arem(X , u).
  165. 165. Часть “только тогда” u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1
  166. 166. Часть “только тогда” u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1 велико ⇒ 2x < u
  167. 167. Часть “только тогда” u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1 велико ⇒ 2x < u u ≡ 1 (mod 2)
  168. 168. Часть “только тогда” u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1 велико ⇒ 2x < u u ≡ 1 (mod 2) s = αb (m + 1), r = αb (m) ⇒ s 2 − bsr + r 2 = 1 ⇒ r <s
  169. 169. Часть “только тогда” u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1 велико ⇒ 2x < u u ≡ 1 (mod 2) s = αb (m + 1), r = αb (m) ⇒ s 2 − bsr + r 2 = 1 ⇒ r <s m = u ⇒ u2 | s
  170. 170. Часть “только тогда” u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1 велико ⇒ 2x < u u ≡ 1 (mod 2) s = αb (m + 1), r = αb (m) ⇒ s 2 − bsr + r 2 = 1 ⇒ r <s m = u ⇒ u2 | s v = bs − 2r
  171. 171. Часть “только тогда” u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1 велико ⇒ 2x < u u ≡ 1 (mod 2) s = αb (m + 1), r = αb (m) ⇒ s 2 − bsr + r 2 = 1 ⇒ r <s m = u ⇒ u2 | s v = bs − 2r ≥ 4αb (m) − 2αb (m − 1)
  172. 172. Часть “только тогда” u = αb ( ), t = αb ( + 1) ⇒ u 2 − but + t 2 = 1 велико ⇒ 2x < u u ≡ 1 (mod 2) s = αb (m + 1), r = αb (m) ⇒ s 2 − bsr + r 2 = 1 ⇒ r <s m = u ⇒ u2 | s v = bs − 2r ≥ 4αb (m) − 2αb (m − 1) > 2αb (m) ≥ 0
  173. 173. Часть “только тогда” B ≥ 4, v | B − b, B ≡ b (mod v ), u |B −2 B ≡ 2 (mod u)
  174. 174. Часть “только тогда” B ≥ 4, v | B − b, B ≡ b (mod v ), u |B −2 B ≡ 2 (mod u) d |u d |v
  175. 175. Часть “только тогда” B ≥ 4, v | B − b, B ≡ b (mod v ), u |B −2 B ≡ 2 (mod u) d |u d |v 2 u |s ⇒ d |s
  176. 176. Часть “только тогда” B ≥ 4, v | B − b, B ≡ b (mod v ), u |B −2 B ≡ 2 (mod u) d |u d |v 2 u |s ⇒ d |s v = bs − 2r ⇒ d | 2r
  177. 177. Часть “только тогда” B ≥ 4, v | B − b, B ≡ b (mod v ), u |B −2 B ≡ 2 (mod u) d |u d |v 2 u |s ⇒ d |s v = bs − 2r ⇒ d | 2r u ≡ 1 (mod 2) ⇒ d | r
  178. 178. Часть “только тогда” B ≥ 4, v | B − b, B ≡ b (mod v ), u |B −2 B ≡ 2 (mod u) d |u d |v 2 u |s ⇒ d |s v = bs − 2r ⇒ d | 2r u ≡ 1 (mod 2) ⇒ d | r 2 s − bsr + r 2 = 1 ⇒ d | 1
  179. 179. Часть “только тогда” B ≥ 4, v | B − b, B ≡ b (mod v ), u |B −2 B ≡ 2 (mod u) d |u d |v 2 u |s ⇒ d |s v = bs − 2r ⇒ d | 2r u ≡ 1 (mod 2) ⇒ d | r 2 s − bsr + r 2 = 1 ⇒ d | 1 ⇒ d =1
  180. 180. Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) ⇒ X 2 − BXY + Y 2 = 1
  181. 181. Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1)
  182. 182. Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) x = arem(X , v )
  183. 183. Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) x = arem(X , v ) αB (k) ≡ αb (k) (mod B − b)
  184. 184. Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) x = arem(X , v ) αB (k) ≡ αb (k) (mod B − b) X ≡ x (mod B − b)
  185. 185. Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) x = arem(X , v ) αB (k) ≡ αb (k) (mod B − b) X v |B −b ⇒X ≡ x (mod B − b) ≡ x (mod v )
  186. 186. Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) x = arem(X , v ) αB (k) ≡ αb (k) (mod B − b) X v |B −b ⇒X ≡ x (mod B − b) ≡ x (mod v )
  187. 187. Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) x = arem(X , v ) αB (k) ≡ αb (k) (mod B − b) X v |B −b ⇒X v = bs − 2r ≡ x (mod B − b) ≡ x (mod v ) ≥ 4αb (m) − 2αb (m − 1)
  188. 188. Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) x = arem(X , v ) αB (k) ≡ αb (k) (mod B − b) X v |B −b ⇒X v = bs − 2r ≡ x (mod B − b) ≡ x (mod v ) ≥ 4αb (m) − 2αb (m − 1) > αb (m) = αb ( u)
  189. 189. Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) x = arem(X , v ) αB (k) ≡ αb (k) (mod B − b) X v |B −b ⇒X v = bs − 2r ≡ x (mod B − b) ≡ x (mod v ) ≥ 4αb (m) − 2αb (m − 1) > αb (m) = αb ( u) ≥ αb ( ) = u > 2x
  190. 190. Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1)
  191. 191. Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) k = arem(X , u)
  192. 192. Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) k = arem(X , u) αB (k) ≡ α2 (k) (mod B − 2)
  193. 193. Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) k = arem(X , u) αB (k) ≡ α2 (k) (mod B − 2) X ≡ k (mod B − 2)
  194. 194. Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) k = arem(X , u) αB (k) ≡ α2 (k) (mod B − 2) X ≡ k (mod B − 2) u | B − 2 ⇒ X ≡ k (mod u)
  195. 195. Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) k = arem(X , u) αB (k) ≡ α2 (k) (mod B − 2) X ≡ k (mod B − 2) u | B − 2 ⇒ X ≡ k (mod u)
  196. 196. Часть “только тогда” X = αB (k), Y = αB (k + 1) k = arem(X , u) αB (k) ≡ α2 (k) (mod B − 2) X ≡ k (mod B − 2) u | B − 2 ⇒ X ≡ k (mod u) 2x < u

×