Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Методы вычислений             Сплайн-интерполяция      Кафедра теоретической механики       студент группы 1405 Кисел¨в А....
Сплайн-интерполяцияГлобальная и локальная интерполяции     Пусть задана таблица значений (ее называют сеточнойфункцией)   ...
Сплайн-интерполяцияНедостаток локальной интерполяции     Однако локальная интерполяция обладает тем недостатком, чтоинтерп...
Сплайн-интерполяцияОпределение сплайна     Сплайном степени m дефекта r называется (m − r) разнепрерывно дифференцируемая ...
Сплайн-интерполяцияВывод интерполяционных кубических сплайнов     Сплайны, удовлетворяющие условию интерполяции называются...
Сплайн-интерполяцияДля определения 4 × n коэффициентов имеются следующие условия вузлах интерполяции: 1. Условие интерполя...
Сплайн-интерполяцияПусть S (x) = q(x).Рассмотрим поведение функции q(x) На отрезке [xi−1 , xi ].   Рисунок 1. Поведение фу...
Сплайн-интерполяция Найдем вторую производную с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа 1-й степени L1 (x) на каждом...
Сплайн-интерполяцияЭтапы нахождения сплайна 1. Проинтегрируем дважды выражение (1), получим                           (xi ...
Сплайн-интерполяция2. Решая эту СЛАУ относительно C1 , C2 и подставляя их в (2),   получим:                     (xi − x)3 ...
Сплайн-интерполяция4. Для нахождения производной S (xi + 0) запишем (3) для отрезка   [xi , xi+1 ]                     (xi...
Сплайн-интерполяция 6. Приравнивая эти выражения в соответствии с условиями    непрерывности первых производных в узлах ин...
Сплайн-интерполяцияПример      Для заданной таблицы с h = xi − xi−1 = 1 = const выписатьинтерполяционные кубические сплайн...
Сплайн-интерполяция      Решение. Для узлов x1 = 2; x2 = 3; x3 = 4 с учетом q0 = q4 = 0составляется СЛАУ (5) относительно ...
Сплайн-интерполяция      Вычисляются прогоночные коэффициенты по формулам                      −ci                    di −...
Сплайн-интерполяция    Для каждого из четырех интервалов выписываем сплайны (3):                       18                 ...
Сплайн-интерполяция                     102            276i = 4 : S4 (x) =         (5 − x)3 +     (5 − x) + 21(x − 4),    ...
Сплайн-интерполяция     Проверим правильность построения сплайнов для узла x∗ = 2.Кнему примыкают сплайны S1 (x) и S2 (x):...
Сплайн-интерполяцияСписок использованных источников   Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы, под. ред.   Кибзу...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Сплайн интерполяция

6,772 views

Published on

Published in: Education
  • Be the first to comment

Сплайн интерполяция

  1. 1. Методы вычислений Сплайн-интерполяция Кафедра теоретической механики студент группы 1405 Кисел¨в А.К. еСамарский государственный аэрокосмический университет им. академика С. П. Корол¨ва е (национальный исследовательский университет) 31 декабря 2012 г.
  2. 2. Сплайн-интерполяцияГлобальная и локальная интерполяции Пусть задана таблица значений (ее называют сеточнойфункцией) xi x0 x1 ... xn yi y0 y1 ... yn Интерполяция, использующая сразу все n узлов таблицы,называется глобальной интерполяцией. Начиная с n ≥ 7 глобальная многочленная интерполяциястановиться неустойчивой, поэтому обычную многочленнуюинтерполяцию осуществляют максимум по 3-4 узлам. Интерполяциюпо нескольким узлам сеточной функции называют локальной. Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 31 декабря 2012 г. 2 / 19
  3. 3. Сплайн-интерполяцияНедостаток локальной интерполяции Однако локальная интерполяция обладает тем недостатком, чтоинтерполирующая функция в узлах стыковки многочлена имеетнепрерывность только нулевого порядка. От этих недостатков свободна сплайн-интерполяция, котораятребует непрерывности в узлах стыковки локальных многочленов попроизводным порядка один, два и т.д. Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 31 декабря 2012 г. 3 / 19
  4. 4. Сплайн-интерполяцияОпределение сплайна Сплайном степени m дефекта r называется (m − r) разнепрерывно дифференцируемая функция, котораяна каждом отрезке [xi − 1, xi ], i = 1, 2 . . . n, представляет собоймногочлен степени m. Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 31 декабря 2012 г. 4 / 19
  5. 5. Сплайн-интерполяцияВывод интерполяционных кубических сплайнов Сплайны, удовлетворяющие условию интерполяции называютсяинтерполяционными. Выведем интерполяционные кубические сплайны Sk (x), k = 1, nдефекта один в соответствии с сеточной функцией. Кубическийсплайн S(x) на отрезке [xi − 1, xi ] имеет четыре неизвестныхкоэффициента. Количество отрезков [xi − 1, xi ] равно n. S(xi ) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 , i = 1, n Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 31 декабря 2012 г. 5 / 19
  6. 6. Сплайн-интерполяцияДля определения 4 × n коэффициентов имеются следующие условия вузлах интерполяции: 1. Условие интерполяции S(xi ) = yi , i = 0, n; 2. Непрерывность сплайнов S(xi − 0) = S(xi + 0), i = 1, n − 1; 3. Непрерывность производных 1-го порядка S (xi − 0) = S (xi + 0), i = 1, n − 1; 4. Непрерывность производных 2-го порядка S (xi − 0) = S (xi + 0), i = 1, n − 1; 5. S (x0 ) = 0; 6. S (xn ) = 0. Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 31 декабря 2012 г. 6 / 19
  7. 7. Сплайн-интерполяцияПусть S (x) = q(x).Рассмотрим поведение функции q(x) На отрезке [xi−1 , xi ]. Рисунок 1. Поведение функции S (x) на элементарных отрезках Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 31 декабря 2012 г. 7 / 19
  8. 8. Сплайн-интерполяция Найдем вторую производную с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа 1-й степени L1 (x) на каждом отрезке [xi−1 , xi ]: x − xi x − xi−1 q(x) = qi−1 + qi . (1) xi−1 − xi xi − xi−1 Выражение (1) уже удовлетворяет условиям непрерывности производных 2-го порядка. x = xi − 0 → (1) → q(xi − 0) = qi Выписывая выражение (1) для отрезка [xi , xi+1 ]: xi+1 − x x − xi q(x) = qi + qi+1 , i = 1, n − 1, hi+1 hi+1 и подставляя в него xi + 0 вместо x, получим q(xi + 0) = qi , что и требовалось показать.Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 31 декабря 2012 г. 8 / 19
  9. 9. Сплайн-интерполяцияЭтапы нахождения сплайна 1. Проинтегрируем дважды выражение (1), получим (xi − x)3 (x − xi−1 )3 S(x) = qi−1 + qi + C1 x + C2 , (2) 6hi 6hi где C1 и C2 найдем из удовлетворения значений сплайна (2) в узлах xi−1 , xi условиям интерполяции (xi − xi−1 )3 (xi−1 − xi−1 )3 S(xi−1 ) = yi−1 = qi−1 +qi +C1 xi−1 +C2 , 6hi 6hi (xi − xi )3 (xi − xi−1 )3 S(xi ) = yi = qi−1 + qi + C1 x i + C2 . 6hi 6hi Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 31 декабря 2012 г. 9 / 19
  10. 10. Сплайн-интерполяция2. Решая эту СЛАУ относительно C1 , C2 и подставляя их в (2), получим: (xi − x)3 (x − xi−1 )3 yi−1 hi S(x) = qi−1 + qi + − qi−1 × 6hi 6hi hi 6 yi hi ×(xi − x) + − qi (x − xi−1 ), x ∈ [xi−1 , xi ]. (3) hi 63. Узловые значения для вторых производных qi будем искать из условий непрерывности первых производных в узлах xi . Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 31 декабря 2012 г. 10 / 19
  11. 11. Сплайн-интерполяция4. Для нахождения производной S (xi + 0) запишем (3) для отрезка [xi , xi+1 ] (xi+1 − x)3 (x − xi )3 yi hi+1 S(x) = qi + qi+1 + − qi × 6hi+1 6hi+1 hi+1 6 yi+1 hi+1 ×(xi+1 − x) + − qi+1 (x − xi ), x ∈ [xi , xi+1 ]. (4) hi+1 65. Вычисляя производные первого порядка от (3) и (4) и подставляя в них значение x = xi , получим hi hi yi − yi−1 S (xi − 0) = qi−1 + qi + , 6 3 hi hi+1 hi+1 yi+1 − yi S (xi + 0) = −qi − qi+1 + . 3 6 hi+1 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 31 декабря 2012 г. 11 / 19
  12. 12. Сплайн-интерполяция 6. Приравнивая эти выражения в соответствии с условиями непрерывности первых производных в узлах интерполяции xi , получим hi hi + hi+1 hi+1 yi+1 − yi yi − yi−1 qi−1 + qi + qi+1 = − , (5) 6 3 6 hi+1 hi i = 1, n − 1; q0 = qn = 0. (6) 7. Подставляя найденные qi , i = 0, n в (3), получим кубические сплайны дефекта один на каждом отрезке x ∈ [xi−1 , xi ], i = 1, n. Таким образом, определяющими выражениями для нахождениякубических сплайнов дефекта один являються выражения (4), (5), (6). Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 31 декабря 2012 г. 12 / 19
  13. 13. Сплайн-интерполяцияПример Для заданной таблицы с h = xi − xi−1 = 1 = const выписатьинтерполяционные кубические сплайны дефекта один на каждомотрезке x ∈ [xi−1 , xi ], i = 1, 4. Проверить непрерывность сплайнов и ихпроизводных до второго порядка включительно в узле x∗ = 2. i 0 1 2 3 4 xi x0 = 1 x1 = 2 x2 = 3 x3 = 4 x4 = 5 yi y0 = 1 y1 = 3 y2 = 6 y3 = 9 y4 = 21 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 31 декабря 2012 г. 13 / 19
  14. 14. Сплайн-интерполяция Решение. Для узлов x1 = 2; x2 = 3; x3 = 4 с учетом q0 = q4 = 0составляется СЛАУ (5) относительно неизвестных q1 , q2 , q3 : 2 1 y2 − y1 y1 − y0 i=1: q1 + q2 = − = 1, 3 6 1 1 1 2 1 y3 − y2 y2 − y1 i=2: q1 + q2 + q3 = − = 0, 6 3 6 1 1 1 2 y4 − y3 y3 − y2 i=3: q2 + q3 = − = 9. 6 3 1 1 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 31 декабря 2012 г. 14 / 19
  15. 15. Сплайн-интерполяция Вычисляются прогоночные коэффициенты по формулам −ci di − ai Bi−1 Ai = ; Bi = , i = 1, 2, 3; bi + ai Ai−1 bi + ai Ai−1 1 3 4 2 a1 = c3 = 0, A1 = − ; B1 = ; A2 = − ; B2 = − ; 4 2 15 5 102 A3 = 0; B3 = 7и значения qi = Ai qi+1 + Bi , i = 3, 2, 1 : q3 = A3 q4 + B3 = B3 = 102/7; 4 102 2 30 q2 = A2 q3 + B 2 = − · − =− ; 15 7 5 7 1 30 3 18 q1 = A1 q2 + B 1 = − · − + = . 4 7 2 7 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 31 декабря 2012 г. 15 / 19
  16. 16. Сплайн-интерполяция Для каждого из четырех интервалов выписываем сплайны (3): 18 108i = 1 : S1 (x) = (x − 1)3 + (2 − x) + (x − 1), x ∈ [1; 2]; 42 42 18 30i = 2 : S2 (x) = (3 − x)3 + − (x − 2)3 + 42 42 108 282 + (3 − x) + (x − 2), x ∈ [2; 3]; 42 42 30 102i = 3 : S3 (x) = − (4 − x)3 + (x − 3)2 + 42 42 282 276 + 4−x+ (x − 3), x ∈ [3; 4]; 42 42 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 31 декабря 2012 г. 16 / 19
  17. 17. Сплайн-интерполяция 102 276i = 4 : S4 (x) = (5 − x)3 + (5 − x) + 21(x − 4), x ∈ [4; 5]. 42 42 Построим полученные сплайны: Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 31 декабря 2012 г. 17 / 19
  18. 18. Сплайн-интерполяция Проверим правильность построения сплайнов для узла x∗ = 2.Кнему примыкают сплайны S1 (x) и S2 (x): S1 (2 − 0) = 3; S2 (2 + 0) = 3; 120 120 S1 (2 − 0) = ; S2 (2 + 0) = ; 42 42 108 108 S1 (2 − 0) = ; S2 (2 + 0) = . 42 42 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 31 декабря 2012 г. 18 / 19
  19. 19. Сплайн-интерполяцияСписок использованных источников Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы, под. ред. Кибзуна А. И. М.: Физматлит, 2004. Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 31 декабря 2012 г. 19 / 19

×