1. Методы вычислений
Решение ОДУ. Метод Эйлера. Вывод. Вариации метода Эйлера.
Кафедра теоретической механики
Исайкин В. О.
Самарский государственный аэрокосмический университет
им. академика С. П. Королёва
(национальный исследовательский университет)
6 января 2013 г.

2. Решение ОДУ
Решение ОДУ
Рассматривается задача нахождения решения уравнения
y = f (x, y) (1)
с начальным условием
y(x0 ) = y0 (2)
x ∈ [x0 , b]
где f (x, y) - в общем случае любая нелинейная функция.
Несмотря на внешнюю простоту уравнения (1) решить его
аналитически, т.е. найти y = y(x, C) удается лишь для некоторых
типов таких уравнений.
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 января 2013 г. 2 / 20

3. Решение ОДУ
Решение ОДУ
При решении уравнений используют численные методы, которые
можно разделить на три группы:
Приближенно-аналитические методы
Графические или машинно-графические методы
Численные методы
К численным методам относится метод Эйлера
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 января 2013 г. 3 / 20

4. Метод Эйлера.Вывод
Геометрический способ
Исходя из (1) и (2) нам известно значение функции в точке x0 :
y(x0 ) = y0
и значение ее производной
y (x0 ) = f (x0 , y0 )
можно записать уравнение касательной искомой функции y = y(x) в
точке (x0 , y0 )
y = y0 + f (x0 , y0 )(x − x0 ) (3)
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 января 2013 г. 4 / 20

5. Метод Эйлера.Вывод
Геометрический способ
Полагая шаг достаточно малым и постоянным h = b−x0 , где n -
n
количество расчетных точек, получим ординату этой касательной:
y1 = y0 + hf (x0 , y0 ) (4)
Она получена подстановкой в правую часть (3) значения x1 = x0 + h
Точка (x1 , y1 ) пересечения касательной (4) с прямой x1 может быть
приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку
снова проведем прямую:
y = y1 + f (x1 , y1 )(x − x1 )
Подставляя сюда x = x2 = x1 + h, получим
y2 = y1 + hf (x1 , y1 )
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 января 2013 г. 5 / 20

6. Метод Эйлера.Вывод
Геометрический способ
В итоге этого процесса получим формулу
yi+1 = yi + hf (xi , yi ) (5)
Изложенные выше метод носит название метод Эйлера
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 января 2013 г. 6 / 20

7. Метод Эйлера.Вывод
Геометрический способ
График решения y = y(x) приближенно представляется в виде
ломанной, поэтому данный метод имеет так же другое название метод
ломанных
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 января 2013 г. 7 / 20

8. Метод Эйлера.Вывод
Применение формулы Тейлора
Линеаризуя решение в окрестности начальной точки x0 по формуле
Тейлора, получаем
y (ξ)
y1 = y(x0 ) + y (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )2
2
отсюда при x = x1 получаем
y (ξ) 2
y1 = y0 + hf (x0 , y0 ) + h
2
отбрасывая все члены, содержащие производные второго и более
порядков малости, имеем
y1 = y0 + hf (x0 , y0 )
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 января 2013 г. 8 / 20

9. Метод Эйлера.Вывод
Применение формулы Тейлора
Далее в качестве начальной точки берем x1 и раскладываем в ряд
Тейлора
y2 = y1 + hf (x1 , y1 )
В итоге этого процесса получаем формулу Эйлера
yi+1 = yi + hf (xi , yi ) (6)
Отброшенный ранее остаточный член ri (h) = y 2 i ) h2 характеризует
(ξ
локальную или шаговую ошибку ошибку метода Эйлера.
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 января 2013 г. 9 / 20

10. Вариации метода Эйлера
Вариации метода Эйлера
Рассмотрим 4 вариаций метода Эйлера:
1 Неявный метод Эйлера
2 Метод Эйлера с пересчетом
3 Уточненный метод Эйлера
4 Исправленный метод Эйлера
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 января 2013 г. 10 / 20

11. Вариации метода Эйлера
Неявный метод Эйлера
Проинтегрируем левую и правую часть уравнения y = f (x, y) в
пределах от x0 до x
x x
y (x)dx = f (x, y)dx (7)
x0 x0
т.к. y(x) является одной из первообразных y (x), а y(x0 ) = y0
x
y(x) = y0 + f (x, y)dx (8)
x0
при x = x1
x1
y1 = y0 + f (x, y)dx (9)
x0
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 января 2013 г. 11 / 20

12. Вариации метода Эйлера
Неявный метод Эйлера
Применяя к интегралу в правой части (9) формулу правых
прямоугольников
b n
f (x, y)dx = h f (xi ) (10)
a i=1
получим
y1 ≈ y0 + f (x1 , y1 )(x1 − x0 ) (11)
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 января 2013 г. 12 / 20

13. Вариации метода Эйлера
Неявный метод Эйлера
В предположении, что на каждом i-м шаге в роли начальной точки
(x0 , y0 ) выступает точка (xi , yi ) имеем формулу, определяющую
неявный(обратный) метод Эйлера
yi+1 = yi + hf (xi+1 , yi+1 ) (12)
При использовании этого метода для вычисления неизвестного
значения yi+1 ≈ y(xi+1 ) по известному значению yi ≈ y(xi ) требуется
решать уравнение, в общем случае нелинейное.
Недостатки - малая точность и систематическое накопление ошибок.
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 января 2013 г. 13 / 20

14. Вариации метода Эйлера
Метод Эйлера с пересчетом
Более точным является Метод Эйлера с пересчетом.
Сначала по формуле (5) находят так называемое "грубое приближение"
0
yi+1 = yi + hf (xi , yi ) (13)
0
затем пересчетом fi+1 = f (xi+1 , yi+1 ) получают приближенное, но
более точное значение
fi + fi+1
yi+1 = yi + h (14)
2
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 января 2013 г. 14 / 20

15. Вариации метода Эйлера
Метод Эйлера с пересчетом
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 января 2013 г. 15 / 20

16. Вариации метода Эйлера
Уточненный метод Эйлера
Идея уточненного метода Эйлера состоит в том, что производную
вычисляют не в i-ой точке, а между двумя соседними точками: i и
i + 1.
В точке (xi , yi ) вычисляем производную f (xi , yi ), делаем пол-шага и
вычисляем значение функции на середине отрезка
yi+ 1 = yi + f (xi , yi )(xi+ 1 − xi ) (15)
2 2
находим
f (xi , yi+ 1 ) (16)
2
далее делаем полный шаг h = xi+1 − xi и получаем формулу для
уточненного метода Эйлера.
yi+1 = yi + hf (xi , yi+ 1 ) (17)
2
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 января 2013 г. 16 / 20

17. Вариации метода Эйлера
Уточненный метод Эйлера
y
A
y = y ( x)
e1
e2
B
C
xi xi + 1 xi +1
x
2
e1 , e2 -
погрешности методов Эйлера и уточненного соответственно
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 января 2013 г. 17 / 20

18. Вариации метода Эйлера
Исправленный метод Эйлера
Для задачи Коши (условия (1) и (2)) разложим решение в окрестности
точки xi в ряд Тейлора
1 2 1
y(xi+1 ) = y(xi )+hy (xi )+ h y (xi )+...+ hp y (p) (xi )+O(hp+1 ) (18)
2! p!
если не ограничиться двумя слагаемыми в правой части разложения,
то, при p = 2
1 2
y(xi+1 ) = y(xi ) + hy (xi ) + h y (xi ) + O(h3 ) (19)
2!
дифференцируя (1) по формуле полной производной, получим
y (xi ) = fx (xi , yi ) + fy (xi , yi )f (xi , yi ) (20)
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 января 2013 г. 18 / 20

19. Вариации метода Эйлера
Исправленный метод Эйлера
Подставляя выражения для y(xi ), y (xi ) и y (xi ) в (19) имеем формулу
1 2
yi+1 = yi +hf (xi , yi )+ h fx (xi , yi ) + fy (xi , yi )f (xi , yi ) +O(h3 ) (21)
2!
Метод, определяемый формулой (21) называют исправленным
методом Эйлера.
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 января 2013 г. 19 / 20

20. Вариации метода Эйлера
Список использованных источников
1 Вержбицкий В.М. Численные методы М.: Высшая школа, 2001
2 Турчак Л.И. Основы численных методов М.: Наука, 1987
3 Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы, под. ред.
Кибзуна А. И. М.: Физматлит, 2004.
Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 6 января 2013 г. 20 / 20