Komplanarn vektor

2. Векторы называются ккооммппллааннааррнныыммии, если при
откладывании их от одной и той же точки они будут
лежать в одной плоскости.
Другими словами, векторы называются
ккооммппллааннааррнныыммии, если имеются равные им векторы,
лежащие в одной плоскости.
cc
aa
ЛЛююббыыее ддвваа ввееккттоорраа
ккооммппллааннааррнныы..

3. Три вектора, среди ккооттооррыыхх ииммееююттссяя ддвваа
ккооллллииннееааррнныыхх,, ттааккжжее ккооммппллааннааррнныы..
cc
aa
kk

4. Три произвольных вектора могут быть как
компланарными, так и не компланарными.
На рисунке изображен параллелепипед.
Е
D
О А
C
Являются ли векторы ВВ1,
ОD и ОЕ компланарными?
B1
В

5. Три произвольных вектора могут быть как
компланарными, так и не компланарными. На рисунке
изображен параллелепипед.
Е
D
ОВ и ОС компланарными?
О А
C
В
B1
Являются ли векторы ОА,
Векторы ОА, ОВ и ОС не
компланарны, так как вектор
ОС не лежит в плоскости ОАВ.

6. Являются ли векторы AD, А1С1 и D1B компланарными?
DD CC11 11
BB
CC
AA11 BB11
Векторы А1D1, A1C1 лежат в
плоскости А1D1C1.
Вектор D1В не лежит в этой
плоскости.
Векторы AD, А1С1 и D1B не компланарны.
AA
DD

7. Являются ли векторы AD и D1B компланарными?
Любые два ввееккттоорраа ккооммппллааннааррнныы..
CC11 DD11
AA BB
CC
AA11 BB11
DD

8. №335555 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Компланарны ли векторы?
АА1, СС1, ВВ1
В
А
В1 С1
D1
D
С
А1
ТТррии ввееккттоорраа,, ссррееддии ккооттооррыыхх ииммееююттссяя
ддвваа ккооллллииннееааррнныыхх,, ккооммппллааннааррнныы..

9. №335555 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Компланарны ли векторы?
АВ, АD, АА1 Векторы АВ, АD и АА1 не компланарны, так
В
А
В1 С1
D1
D
С
А1
как вектор АА1 не лежит в плоскости АВС.

10. №335555 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Компланарны ли векторы?
В1В, АС, DD1 ТТррии ввееккттоорраа,, ссррееддии ккооттооррыыхх ииммееююттссяя
В
А
В1 С1
D1
D
С
А1
ддвваа ккооллллииннееааррнныыхх,, ккооммппллааннааррнныы..

11. №335555 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Компланарны ли векторы?
АD, CC1, А1B1 Векторы АВ, АD и АА1 не компланарны, так
В
А
В1 С1
D1
D
С
А1
как вектор АА1 не лежит в плоскости АВС.
АD, CC1, А1B1 Векторы
не компланарны

12. Любые два ввееккттоорраа ккооммппллааннааррнныы..
ТТррии ввееккттоорраа,, ссррееддии ккооттооррыыхх ииммееююттссяя ддвваа
ккооллллииннееааррнныыхх,, ттааккжжее ккооммппллааннааррнныы..
ППррииззннаакк ккооммппллааннааррннооссттии
cc
ЕЕссллии ввееккттоорр ммоожжнноо ррааззллоожжииттьь ппоо ввееккттоорраамм
aa ии bb ,, тт..ее.. ппррееддссттааввииттьь вв ввииддее
cc == xxaa ++ yybb
aa bb cc
ггддее xx ии yy –– ннееккооттооррыыее ччииссллаа,, ттоо ввееккттооррыы ,, ии
ккооммппллааннааррнныы..

13. cc == xxaa ++ yybb
Докажем, что
векторы
компланарны.
bb
О
В
В1
А1
А
С
Векторы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ.
ОВ1 ОА = у ОВ 1 = х ОА
Векторы ОА1 и ОВ1 также лежат плоскости ОАВ.
А следовательно, и их сумма – вектор ОС = х ОА + у ОВ,
равный вектору .
cc
cc
aa

14. Справедливо и обратное утверждение.
ППррииззннаакк ккооммппллааннааррннооссттии
ЕЕссллии ввееккттооррыы cc
aa ,, bb ии cc
ккооммппллааннааррнныы,, аа ввееккттооррыы
ии ннее ккооллллииннееааррнныы,, ттоо ввееккттоорр ммоожжнноо
ррааззллоожжииттьь ппоо ввееккттоорраамм ии
Если вектор можно разложить ппоо ввееккттоорраамм
aa bb cc
aa ии bb ,, тт..ее.. ппррееддссттааввииттьь вв ввииддее
cc == xxaa ++ yybb
aa bb cc
aa bb
ггддее xx ии yy –– ннееккооттооррыыее ччииссллаа,, ттоо ввееккттооррыы ,, ии
ккооммппллааннааррнныы..
cc == xxaa ++ yybb
,, ппррииччеемм
ккооээффффииццииееннттыы ррааззллоожжеенниияя ооппррееддеелляяююттссяя
ееддииннссттввеенннныымм ооббррааззоомм..

15. ССллоожжееннииее ввееккттоорроовв..
ППррааввииллоо ттррееууггооллььннииккаа..
ПП ААВВ ++ ВВСС == ААСС
ООВ
aa
aa
aa ++ bb
bb
bb
ВТ
Т
ООР
Р
ИИ
ММ

16. Сложение векторов. Правило ппааррааллллееллооггррааммммаа..
aa
bb
aa
aa ++ bb
bb
aa ++ bb ААВВ ++ ААDD == ААСС
АА
ВВ
DD
CC
ПП
ООВ
ВТ
Т
ООР
Р
ИИ
ММ

17. ССллоожжееннииее ввееккттоорроовв..
ППррааввииллоо ммннооггооууггооллььннииккаа..
ААВВ ++ ВВСС ++ ССDD ++ DDOO == ААOO
aa
cc
mm nn
cc
mm
nn
a+c+m+n aa
ПП
ООВ
ВТ
Т
ООР
Р
ИИ
ММ

18. ППррааввииллоо ппааррааллллееллееппииппееддаа..
AA
OOAA ++ OOBB ++ OOCC == OODD
OOEE ++ EEDD== ((OOAA ++ AAEE)) ++ EEDD== OOAA ++ OOBB ++ OOCC ==
ВВ11 DD
ВВ
СС
ЕЕ
cc
aa bb
ОО
== aa ++ bb ++ cc
из D OED из D OAE
OODD ==

19. №335588 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов:
CC11 DD11
DD
AA ВВ
СС
BB11
АВ + АD + АА1
AA11
= AC1

20. №335588 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов:
CC11 DD11
AA ВВ
СС
DD
DА + DC + DD1
AA11
= DB1
BB11

21. №335588 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов:
CC11 DD11
AA ВВ
СС
DD
AA11
= DB1
BB11
A1B1 + C1B1 + BB1
DC + DD1 + DA

22. №335588 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов:
CC11 DD11
AA ВВ
СС
DD
AA11
= A1C
BB11
A1A + A1D1 + AB
+ A1B1 A1A + A1D1

23. №335588 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1. Назовите
вектор, начало и конец которого являются вершинами
параллелепипеда, равный сумме векторов:
CC11 DD11
AA ВВ
СС
DD
AA11
= BD1
BB11
B1A1 + BB1 + BC
BA + BB1 + BC

24. РРааззллоожжееннииее ввееккттоорраа ппоо ттрреемм ннееккооммппллааннааррнныымм
ввееккттоорраамм.. Если вектор представлен в виде
pp == xxaa ++ yybb ++ zzcc
xx yy zz pp
где , и - некоторые числа, то говорят, что вектор
разложен по векторам aa , bb и cc
. Числа xx , yy и
zz
называются коэффициентами разложения.
Теорема о разложении ввееккттоорраа ппоо ттрреемм
ннееккооммппллааннааррнныымм ввееккоорраамм..
ЛЛююббоойй ввееккттоорр ммоожжнноо ррааззллоожжииттьь ппоо ттрреемм ддаанннныымм
ннееккооммппллааннааррнныымм ввееккттоорраамм,, ппррииччеемм ккооээффффииццииееннттыы
ррааззллоожжеенниияя ооппррееддеелляяююттссяя ееддииннссттввеенннныымм ооббррааззоомм..

25. По правилу многоугольника ОР = ОР2 + Р2Р1 + Р1Р
ОР × 2 = x OA
Р × 2Р1= у OВ
Р × 1Р = z OC
Докажем, что любой вектор pp можно представить в виде
pp == xxaa ++ yybb ++ zzcc
bb
cc
aa
pp
C
B
P1
A
P
P2
aa
O
ОР = x × OA + y × OB + z× OC
pp == xxaa ++ yybb ++ zzcc

26. Докажем теперь, что коэффициенты разложения
определяются единственным образом. Допустим, что это
не так и существует другое разложение вектора
pp == xx11aa ++ yy11bb ++ zzxxaa ++ yybb ++ zzcc 11cc –
oo == ((xx –– xx11))aa ++ ((yy –– yy11))bb ++ ((zz –– zz11))cc
Это равенство
выполняется только тогда,
oo oo oo когда
Если предположить, например, что , то из этого
  
равенства можно найти
b
a - y -
y
z z
с x x
1
= - -
z z
1
1
1
-
-
0 1 z - z ¹
a b и c   ,
Тогда векторы компланарны. Это противоречит
условию теоремы. Значит, наше предположение не верно,
и
, , . 1 1 1 x = x y = y z = z Следовательно,
коэффициенты
p xa yb zc    = + +
разложения определяются
единственным образом.

27. №335599 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Разложите вектор BD1 по векторам BA, ВС и ВВ1.
ВD1 = BA + BC + BB1 По правилу параллелепипеда
CC11 DD11
AA11 BB11
AA ВВ
СС
DD

28. №335599 Дан параллелепипед АВСA1B1C1D1.
Разложите вектор B1D1 по векторам А1A, А1В и А1D1.
По правилу треугольника из А1В1D1D :
CC11 DD11
AA11 BB11
AA ВВ
СС
DD
В1D1 = B1A1+ А1D1
из А1В1D B
=
= (В1B + BA1)+ А1D1
= (A1A – A1B)+ А1D1
=
=
= A1A – A1B+ А1D1

29. Для выяснения компланарности трех векторов необходимо, чтобы любой
из этих векторов можно было разложить по двум оставшимся, т.е.
r r r r r r
R.
a,b,cÎa Û c = x·a + y·b, x, yÎ .
a r
b r
c r
Напомним как это выглядит геометрически:
A
B
C
D
uuur uuur uuur
uuur r
AC = c
По правилу параллелограмма: A C = A B + A D . Но ,
uuur r uuur r
P P
AB a, AD b.
uuur r uuur r
Значит, AB = x·a , AD = y·b Þ
r r r
R.
c = x·a + y·b, x, yÎ .

30. ККооммппллааннааррннооссттьь ввееккттоорроовв
Аналитически выяснить компланарность трех векторов, заданных координатами,
можно решая систему: ( )
m xm ym , a m ; n ;
k
n xn yn , ãäå b m ; n ;
k .
k xk yk , c m ; n ;
k
3 1 2 1 1 1
3 1 2 2 2 2
3 1 2 3 3 3
( )
( )
= + ìï
= + íï
î = +
r
r
r
r r r
Если система имеет единственное решение, то векторы a , b , c компланарны.
Любой вектор ur пространства r r r можно разложить r r r
по трем некомпланарным векторам,
т.е. d = x·a + y·b + z·c, ãäå a,b,cÏa ; x, y,zÎ .
R.
где
где

31. РРааззллоожжееннииее ввееккттоорраа ппоо ттрреемм ннееккооммппллааннааррнныымм
ввееккттоорраамм
ur
d ( m4 ;n4 ;k4 )
Аналитически r разложение любого r вектора r
по трем некомпланарным
векторам a ( m ;n ; k ) , b ( m ;n ; k ) è c ( m ;n ;k
) сводится к решению
системы:
1 1 1 2 2 2 3 3 3 m xm ym zm ,
n xn yn zn ,
k xk yk zk ,
= + + ìï
4 1 2 3
4 1 2 3
4 1 2 3
= + + íï
î = + +
d А решение ur
этой системы – числа r r x, y и z r
являются коэффициентами разложения
вектора по трем векторам a,b è c.
и

32. В прямоугольной системе координат в пространстве любой вектор пространства
можно разложить по ортам. При этом образуется прямоугольный параллелепипед,
а коэффициенты разложения – координаты данного вектора.
z
A1 B1
A
1
r
k
r
x y
B
C
D
C1
D1
1 0
i r
j
1 uuuur uuur uuur uuur r r r uuuur
( ) 1 1 1 AC = AD + AB + AA = x·i + y· j + z·k Þ AC x; y; z
uuuur
В данном случае x=–3; y=4; z=6, т.е. координаты вектора ( ) 1 AC -3;4;6 .

33. Сылки: