Metody resheniya kvadratnyh_uravnenij

1. Методы решения квадратных
уравнений

2. Определение
• Квадратные уравнения (КВУР) – уравнения
вида ax²+bx+c=0, где x – переменная,
a, b и c – любые числа, причем a≠0.
(В случае, когда а = 0, КВУР переходит в класс линейных
уравнений, т.к. исключается переменная во второй
степени)

3. Виды
КВУР
Полные
ax²+bx+c=0
Неполные
1) c=0
ax²+bx=0
2) b=0
ax²+c=0
3) b=c=0
ax²=0
Приведенные
x²+px+q=0

4. Методы решения.
Неполные КВУР.
I. ax²+bx=0
1) Вынести общий множитель за скобки и
разложить на множители:
x·(ax+b)=0
x=0 или ax+b=0

5. Методы решения.
Неполные КВУР.
1) 2x²+3x=0
x(2x+3)=0
x=0 или 2x+3=0
2x=-3
x=-1,5
Ответ: -1,5; 0
2) 5u²-4u=0
u(5u-4)=0
u=0, u=0, u=0,
5u-4=0; 5u=4; u=0,8.
Ответ: 0; 0,8.
Примеры:

6. Методы решения.
Неполные КВУР.
II. ax²+c=0
ax²=-c
x²=
˂0 =0 ˃0 2корня
нет решений x²=0 x=
x=0
a
с

a
с

a
с

a
с

а
с


7. Методы решения.
Неполные КВУР.
Примеры:
1) x²+19=0
x²=-19
-19˂0 нет корней
Ответ: нет корней.
Примеры:
2) x²-19=0
x²=19
19˂0 2 корня
x=
x=
Ответ: .
1
19

19
19

8. Методы решения.
Неполные КВУР.
III. ax²=0
x²=0 смотри здесь.
x=0

9. Методы решения.
Выделение полного квадрата.
1) b=четное
x²-4x+3=0
x²-2·x·2+4-4+3=0
(x-2)²-1=0
(x-2)²=1
x-2=±
x-2=
x=3 или x=1
Ответ:1, 3.
1
1) b=нечетное
2x²+x+2=0 | :2
x²+ x+1=0
x²+2·x· + - +1=0
(x+0,25)²+ =0
(x+0,25)²= -
˂0 =˃ нет корней
Ответ: нет корней.
1
2
1
4
1
16
1
16
1
16
15
16
15
16
15

10. Методы решения.
Полные КВУР ax²+bx+c=0
Формула полного квадрата:
1) x²+8x+16=0
(x+4)²=0
x+4=0
x=-4
Ответ: x=-4.
2) a²-2,6a+1,69=0
(a-1,3)²=0
a-1,3=0
a=1,3
Ответ: a=1,3.

11. Методы решения.
Полные КВУР. Частные случаи.
Теорема 1:
Если a+b+c=0, то
x =1, x =1 2
a
с
Примеры:
1) 5x²-8x+3=0
5-8+3=0 Теорема1
x =1; x = .
Ответ: x =1; x = .
2) 3x²-7x+4=0;
3-7+4=0 Теорема1
x =1; x = .
Ответ: 1; .
a b c
1 2 5
3
1 2
5
3
3
1
1
3
1
1
1 2

12. Методы решения.
Полные КВУР. Частные случаи.
Теорема 2:
Если a-b+c=0, то
x =-1, x =- .1 2
a
c
Примеры:
1) 5x²+9x+4=0
5-9+4=0 Теорема2
x =-1; x =- .
Ответ: x =-1; x =- .
2) y²-22y-23=0
1+22-23= 0 Теорема2
x =-1; x =-
x =23.
Ответ:-1; 23.
1 2
5
4
5
4
21
1
23
1
2
2

13. Методы решения.
Приведенные КВУР.
Теорема ВИЕТА:
x²+px+q=0 (a=1)
x1 +x2 =-p
x *x =q1 2
Примеры:
1) x²-6x+8=0
x =2; x =4 x +x =6
x +x =8
Ответ: 2, 4.
2) y²-10y-24=0
y =-4; y =6 y +y =10
y *y =24
Ответ: y =-4; y =6.
42 4*2
21
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
21

14. Методы решения.
«Переброска»
1) 2x²-5x-3=0
x²-5x-3*2=0
x²-5x-6=0 (решим по
Теореме 2)
Корни запишем в виде:
x =
x = =3
Ответ: x =-0,5; x =3.
2) 3x²+2x-5=0
x²+2x-15=0
Решим по Теореме ВИЕТА.
x =
x =
Ответ: ;
1
1
2
1 2
2
-1
2
2
6
3
-5
3
3
5
3
1

15. Решение КВУР по формуле:
Виды решения
acbD 42

Формула корней:
2
b D
x
a
 

Если второй
коэффициент(b)-четный,
то дискриминант :
Формула корней:
1
2
b
D
x
a



Если второй коэффициент(b)-
нечетный,
то дискриминант:
ac
b
D 






2
1
2
Формула 1 Формула 2

16. Решим примеры
0334 2
 xx1)
acbD 42

a=4;b=1;c=-33
Т.к. b-нечетное, то решаем это уравнение
по формуле 1:
Корни:
c
Db
x
2


8
231
3
8
24
8
231




4
3
2
8
22
8
231


Ответ:-3;
4
3
2
2,1x
1x
2x
=
=
=

17. 014133 2
 xx2)
a=3;b=-13;c=14
Т.к. b-нечетное, то решаем по формуле 1:
acbD 42

Корни:
3
1
2
6
14
6
113
2 

x
6
113
2
2,1




a
Db
x
2
6
113
1 

x
3
1
2,2:Ответ
c
Db
x
2



18. 031612 2
 xx
a=12;b=16;c=-3
Т.к. b-четное, то решаем по формуле 2:3)
ac
b
D 






2
1
2
6
1
12
108
5,1
12
108
12
108
2
1
2,1








x
x
x
Корни:
1
2
b
D
x
a



6
1
;5,1: Ответ

19. 8,0;6:
8,0
5
1713
6
5
1713
1
2
024265
2
1
2,1
2











Ответ
x
x
a
D
b
x
xx
4)
a=5;b=26;c=-24
Т.к. b-четное, то решаем по формуле 2:
ac
b
D 






2
1
2
Корни:
1
2
b
D
x
a




20. • Авторы:
Ученики 8 класса ФМЛ
№ 38 г.Ульяновска
• Криворотова Полина
• Шагаев Анатолий
• Руководитель:
• Учитель математики
Алейникова Т.В.