Math Vectors (RUS)

2. Векторы на плоскости
Д.З. выучить теорию
2000 год
• Учебник стр. 48 - 50
12 класс
• Учебник стр. 107 - 109

3. Длиной или модулем
вектора называется длина
отрезка АВ
ВА
Вектор
Отрезок, для которого указано, какая из его граничных
точек считается началом, а какая – концом, называется
направленным отрезком или вектором
А
В
a
АВ = АВ
Начало
вектора
Конец
вектора
АВ
Вектор
a
Вектор

4. Любая точка плоскости также является вектором.
В этом случае вектор называется нулевым
M
MM = 0
Длина нулевого считается равной нулю
MM
Вектор
0
Вектор
Начало нулевого вектора совпадает с его концом, поэтому
нулевой вектор не имеет какого-либо определенного
направления. Иначе говоря, любое направление можно
считать направлением нулевого вектора.

5. Назовите векторы, изображенные на рисунке.
Укажите начало и конец векторов.
N
E
F
A
В
C
D
ЕF
Вектор
AB
Вектор
CD
Вектор
NN
Вектор 0
или

6. Многие физические величины, например
сила, перемещение материальной точки, скорость,
характеризуются не только своим числовым значением,
но и направлением в пространстве. Такие физические
величины называются векторными величинами (или
коротко векторами)
В
A
1Н
8 Н

7. Пункт 2
•Коллинеарные векторы

8. Два ненулевых вектора называются коллинеарными,
если они лежат на одной прямой или на параллельных
прямых.
a
b
c a b
c a
c b
Коллинеарные, сонаправленные векторы
o a o c o b
Нулевой вектор считается коллинеарным,
сонаправленным с любым вектором.

9. Два ненулевых вектора называются коллинеарными,
если они лежат на одной прямой или на параллельных
прямых.
a
b
c
b
a
Коллинеарные,
противоположно направленные векторы
b
c

10. Укажите пары коллинеарных
(сонаправленных) векторов, которые определяются
сторонами параллелограмма MNPQ.
M
N P
Q
MN QP NM PQ QM PN MQ NP

11. Пункт 3
•Равные векторы

12. АВСD – параллелограмм.
А
В С
D
b
a
Векторы называются равными,
если они сонаправлены и их длины равны.
a b
=
1
2
ВA = CD; AВ = DC; CВ = DA; AD = BC.
О
Найдите еще пары равных векторов.
О – точка пересечения диагоналей.

13. Пункт 4
• Сумма векторов

14. а

в

а

в

с

А
В
С
?

в
а
с
в
а 


15. а

в

а

в

с

А
В
Д
С
с
в
а 


16. а

в

с

а

в

с


17. Найдите вектор ,
используя правило треугольника
b
a 
1 2 3
4 5

18. Найдите вектор, ,
используя правило параллелограмма
b
a 
4
3
1
5
2

19. Пункт 5
• Противоположные векторы

20. АВСD – параллелограмм.
А
В С
D
b
a
Векторы называются противоположными,
если они протитивоположно направлены и их
длины равны.
a b
=
1
2
О

21. Укажите пары коллинеарных
(противоположно направленных) векторов, которые
определяются сторонами параллелограмма MNPQ.
M
N P
Q
MN PQ NM QP MQ PN QM NP

22. Пункт 7
• Вычитание векторов

24. Учебник
2000 г
• № 113
12 класс
• № 444

25. Пункт 6,8,15
• Единичные векторы
• Координаты вектора
• Радиус - вектор

26. О
p
и
координатные
векторы
i j
p=(x; y)
координаты
вектора
p =(4; 3) F
i =1; j =1
p = xi + yj
разложение вектора по координатным
векторам
F(4; 3)
j
p =4i +3j
Вектор, начало которого совпадает с началом
координат – радиус-вектор.
Координаты радиус-вектора совпадают с
координатами конца вектора.
x
y
B
A
1
i i i i
j
j

27. О
p
p =(3;-5)
P
1
P (3;-5)
i
p =3i –5j
m
j
M
m=(0; 4)
M (0;4)
m=0i +4j
x
y
m = 4j

28. О
p
p =(3;-5)
P
1
P (3;-5)
i
p =3i –5j
m
j
M
m=(0; 4)
M (0;4)
m=0i +4j
x
y
m = 4j

29. О
n
N=(-4;-5)
N
1
N(-4;-5)
i
n = –4i –5j
c j
C
c =(-3,5;0)
C (-3,5;0)
c =-3,5i+0j
x
y
c = -3,5i

30. О
0 {0;0}
1
O (0; 0)
i
0 =0i +0j
j x
y
i =(1;0)
j =(0;1)
e
r
e =(0;-1)
r =(-1;0)

31. О
0 {0;0}
1
O (0; 0)
i
0 =0i +0j
j x
y
i =(1;0)
j =(0;1)
e
r
e =(0;-1)
r =(-1;0)

32. О
0 {0;0}
1
O (0; 0)
i
0 =0i +0j
j x
y
i =(1;0)
j =(0;1)
e
r
e =(0;-1)
r =(-1;0)

33. Пункт 8
• Произведение вектора на
число

34. Умножение вектора a на число k
k·a = b,
|a| ≠ 0, k – произвольное число
|b| = |k|·|a|,
если k>0, то a ↑↑ b
если k<0, то a ↑↓ b
a
2a -2a
Для любых чисел k, l и любых векторов a, b справедливы
равенства:
1º. (kl)a= k(la) (сочетательный закон),
2º. (k+l)a= ka+la (первый распределительный закон),
3º. k(a+b) = ka+kb (второй распределительный закон).

35. Пункт 9, 17
Признак коллинеарности
векторов
1) Векторы коллинеарны, если их координаты
пропорциональны
2) Нулевой вектор коллинеарен любому вектору

36. Пункт 10
• Скалярное произведение
векторов

37. a b
Угол между
векторами
a
b
a b a
=
a
Градусную меру этого угла
обозначим буквой a
Лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ.
Угол между векторами и
равен a
a b
О
А В

38. a
d
Найти углы между
векторами.
b
300
a b=
c
f
300
a c=
b c=
d f =
d c=
1200
900
1800
00
a
b
d
f
Два вектора называются
перпендикулярными,
если угол между ними равен 900.
b c
^ b d
^ b f
^

39. Пункт 12
• Признак
перпендикулярности
векторов

40. a b =
 a b
 cos 900
a
b
= 0
0
Если векторы и перпендикулярны, то
скалярное произведение векторов равно нулю.
a b
Обратно: если , то векторы и
перпендикулярны.
a b = 0
 a b
a b = 0
 a b
^

Скалярное произведение ненулевых векторов равно
нулю тогда и только тогда, когда эти векторы
перпендикулярны.
a b = 900

41. a b =
 a b
 cos
a
b
Скалярное произведение ненулевых векторов
положительно тогда и только тогда , когда угол
между векторами острый.
a b > 0
 
a
> 0
> 0
a b < 900
a b < 900

42. a b =
 a b
 cos
a
b
Скалярное произведение ненулевых векторов
отрицательно тогда и только тогда , когда угол
между векторами тупой.
a b < 0
 
a
< 0
< 0
a b > 900
a b > 900

43. a b
= 
a b =
 a b
 cos 00
a
b 1
a b = 00
Если a b
a b =
 a b
 cos1800
a
b
-1
a b= 1800
Если a b
= – a b


44. a a =
 a a
 cos
a
00
1
a a = 00
a a
=  = a 2
Скалярное произведение называется
скалярным квадратом вектора и обозначается
a a
a a2
Таким образом,
скалярный квадрат вектора равен квадрату его
длины.
a2
= a 2

45. Пункт 11
• Длина вектора

46. Пункт 14
• Координаты вектора

47. Выразим координаты вектора АВ через
координаты его начала А и конца В.
AO + OВ
ОАВ
из  AB = = – OA + OВ
Каждая координата вектора равна разности
соответствующих координат его конца и начала.
x
y
O
B
A(x1;y1)
(x2;y2)
{x2 - x1; y2 - y1}
OB{ x2; y2}
(-1)
OA{x1;y1}
+
– OA + OВ
AB {x2 - x1; y2 - y1}
–OA{-x1;-y1}

48. AB{2;-1}
О
1
x
y
B
A(3;5)
(5;4)
P
C
(2;-1)
(4;-4)
D(-3;-4)
R
T
(-4;0)
(0;5)
N(3;2)
B(5;4)
A(3;5)
–
ON{3;2}
Радиус-вектор
PC{2;-3}
C(4;-4)
P(2;-1)
–
TR{-4;-5}
T(0; 5)
R(-4;0)
–
OD{-3;-4}
Радиус-вектор

49. Найдите координаты
векторов
RM{-4; 0}
R(2; 7)
M(-2;7)
–
R(2;7); M(-2;7); RM
P(-5;1); D(-5;7); PD
PD{ 0; 6}
P(-5; 1)
D(-5;7)
–
R(-3;0); N(0;5); RN
A(0;3); B(-4;0); BA
R(-7;7); T(-2;-7); RT
A(-2;7); B(-2;0); AB
RN{3; 5}
R(-3;0)
N(0; 5)
–
BA{4; 3}
B(-4;0)
A(0; 3)
–
AB{0;-7}
A(-2;7)
B(-2;0)
–
RT{5;-14}
R(-7; 7)
T(-2;-7)
–

50. Учебник
2000 год
• № 122, 123
12 класс
• № 453, 454

51. Пункт 16
• Действия с векторами в
координатах

52. Каждая координата суммы двух или более векторов равна
сумме соответствующих координат этих векторов.
10
a = x1i +y1 j b = x2i +y2 j
a+b = =
= (x1+ x2)i + (y1 + y2 ) j
a +b {x1+x2; y1+y2}
a {x1; y1} b {x2; y2}
Рассмотрим векторы и
x1i +y1 j + x2i +y2 j

53. a +b { 5; 7}
a +b { 4; 1}
a +b { 1; 1}
a +b {-1; 0}
a {3; 2}; b {2; 5}
a {3;-4}; b {1; 5}
a {-4;-2}; b {5; 3}
a {2; 7}; b {-3;-7}
a {-6; 9}
n {-8; 0}
+
a +n {-14;9}
s {-6; -4}
p { 2; 1}
+
s +p {-4;-3}
Найдите координаты вектора

54. Каждая координата разности двух векторов равна
разности соответствующих координат этих векторов.
20
a = x1i +y1 j b = x2i +y2 j
a–b = =
= (x1– x2)i + (y1 – y2) j
a–b {x1–x2; y1–y2}
a {x1; y1} b {x2; y2}
Рассмотрим векторы и
x1i +y1 j – x2i +y2 j
( )

55. Каждая координата произведения вектора на число равна
произведению соответствующей координаты вектора на
это число.
30
a = xi +yj
ka {kx; ky}
a {x; y}
Рассмотрим вектор
k
ka = kxi +ky j 
3
3a {-6; 3}
a {-2; 1}
(-2)
-2a {4; 0}
a {-2; 0}
(-1)
-a {2; -5}
a {-2; 5}

56. Учебник
2000 год
• № 124,118, 119, 120,
127
12 класс
• № 455, 449, 450,
451,458

57. Длина отрезка, расстояние
между двумя точками
• 12 класс стр.105 - 106 ( стр.71)

58. x
y
O
Расстояние между двумя
точками
M1(x1;y1)
M2(x2;y2) M2(x2;y2)
M1(x1;y1)
M1M2 = (x2–x1; y2–y1)
–
x2 + y2
=
a
M1M2 = (x2–x1)2+(y2–y1)2
d = (x2–x1)2+(y2–y1)2
d

59. Длина отрезка, расстояние
между двумя точками
• 12 класс стр.105 - 106 ( стр.71)
• № 434

60. Координаты середины
отрезка

61. Учебник
2000 год
• № 125, 126,
128, 129
12 класс
• № 456, 457,
459, 460