скалярное произведение векторов

2. Угол между векторами
А В
a b
a
b
a a b= a
О
Лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ.
Градусную меру этого угла
обозначим буквой a
a b
Угол между векторами и
равен a

3. Найти углы между векторами.
a
d
b
a b= 300
f
c
f
300
a c =
b c =
d c =
d f =
1200
900
1800
00
a
b
d
Два вектора называются
перпендикулярными,
если угол между ними равен 900.
b ^ c b ^d b ^ f

4. № 441 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Найдите угол между векторами.
450
BC,AС =
B1C,AD1 =
BB1,AC =
1350
600
450
900
900
00
C1 D1
C
В1В, В1С =
DА,B1D1 =
А1C1,A1B =
А1D1,BC =
AА1,C1C =
A1 B1
D
A B
1800

5. АВ СD j
№ 442 Угол между векторами и равен .
Найдите углы между векторами
ВА,DС =
ВА, СD =
АB,DC =
j
C
А
(A)
O (C)
j
B
D
j
1800––jj

6. Сумма векторов – вектор.
Разность векторов – вектор.
Произведение вектора на число – вектор.
Скалярным произведением двух векторов
называется произведение их длин на косинус
угла между ними.
a b = a  b cos( a b )
Скалярное произведение векторов – число (скаляр).
Скаляр – лат. scale – лестница, шкала.
Ввел в 1845г. У. Гамильтон, английский математик.

7. Формула для нахождения
скалярного произведения
через координаты векторов
a = x1 i + y1 j + z1 k
b = x2 i + y2 j + z2 k
a  b = ?
(x1 i + y1 j + z1 a  b= k) (x2 i + y2 j + z2 k) =
= x1x2 + y1y2 + z1z2
a  b = x1x2 + y1y2 + z1z2

8. Косинус угла между ненулевыми
векторами
a 
b
| a | | b |
соs

a 
  1 1 1 аx;y;z   2 2 2 bx;y;z
xxyyzz
 
2
2

12 12 12 cos
2
2
2
2
2
1
2
1
a
2
1
xyzxyz

9. Скалярное произведение в физике
Скалярное произведение векторов
встречается в физике. Например,
из курса механики известно, что
работа A постоянной силы F при
перемещении тела из точки Mв
точку N равна произведению силы F и перемещения
MN на косинус угла между ними.
A = F MN cos  j
F
j
M N
A = F MN

10. a b =  a b  cos 900
a b = 900
a
b
= 0
0
a b
Если векторы и перпендикулярны, то
скалярное произведение векторов равно нулю.
a b = 0  a b
Обратно: если , то векторы и
перпендикулярны.
Скалярное произведение ненулевых векторов равно
нулю тогда и только тогда, когда эти векторы
перпендикулярны.
a b = 0  a ^b

11. > 0
a b =  a b  cos
a
b
Скалярное произведение ненулевых векторов
положительно тогда и только тогда , когда угол между
векторами острый.
a b > 0 
a
> 0
a b < 900
a b < 900

12. < 0
a b =  a b  cos
a
b
Скалярное произведение ненулевых векторов
отрицательно тогда и только тогда , когда угол между
векторами тупой.
a b < 0 
a
< 0
a b > 900
a b > 900

13. b 1
Если a b
a b =  a b =  a b  cos 00
a
a b = 00
a
b
-1
Если a b
a b= 1800
a b = a  b cos1800
= – a  b

14. a a =  a a  cos
a
00
1
a a = 00
a a =  = a 2
a a
Скалярное произведение называется
скалярным квадратом вектора и обозначается
a a2
Таким образом,
скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
a2
= a 2

15. Пример №1
Найти скалярное произведение векторов:
a {-6; 9; 5} b {-1; 0; 7}
a b=  x1x2 + y1y2 + z1z2
a  b= -6 (-1) + 9 0 + 5 7 = 41

16. Пример №2
Найти скалярное произведение векторов:
a {0; 0; 4} b {22; 1; 8}
a b=  x1x2 + y1y2 + z1z2
a  b= 0 22 + 0 1 + 4 8 = 32

17. Пример №3
Найти скалярное произведение векторов:
a {1; 7; 9} b {-2; 4; 0}
a b=  x1x2 + y1y2 + z1z2
a  b= 1 (-2) + 7 4 + 9 0 = 26

18. Проверочная работа
1. Найти скалярное произведение векторов:
a {1; 10; 7} b {0; 7; 0}

19. Проверочная работа
2. Найти скалярное произведение векторов:
a {7; 25; 0} b {11; 0; 54}

20. Проверочная работа
3. Найти скалярное произведение векторов:
a {|-2|; 0; |3|} b {1; |-11|; 1}

21. Проверочная работа
4. Найти скалярное произведение векторов:
a {sin(900); 2; 3} b {3; 2; 1}

22. Проверочная работа
5. Найти скалярное произведение векторов:
a {-1; 2; 8} b {5; 5; 0}

23. № 443 АВСDA1B1C1D1 – куб. Найдите скалярное
произведение векторов
D1
C
D
A B
C1
A1 B1
a
a
AD B1C1 
AC C1A1 
D1B AC 
BA1 BC1 
A1O1 A1C1 
D1O1 B1O1 
BO1 C1 B
O1
300

24. Все ребра тетраэдра АВСD равны друг другу. Точки М и
N – середины ребер АD и ВС. Докажите, что MN AD = 0 
B
C
N
A
D
M

25. Маленький тест
На каком расстоянии от плоскости xOy находится точка
А(2; -3; 5)
5
3
2
ПОДУМАЙ
ВЕРНО!
1
3 ПОДУМАЙ
!
!
Проверка
I I I I
M
z
y
x
I I I I I I I
O
I I I I I I
Oxy
2

26. На каком расстоянии от начала координат находится точка
А(-3; 4; 0)
5;
4;
3.
1
ВЕРНО!
2
3
ПОДУМАЙ
ПОДУМАЙ
!
!
Проверка
А
z
I I I I I I I
O
Oxy
y
x
I I I I I I

27. Найти координаты середины отрезка, если концы его
имеют координаты A(-3; 2;-4) и B(1;-4; 2)
2
ПОДУМАЙ
!
ВЕРНО!
1
3 ПОДУМАЙ
!
C(-1;-1;-1)
C( -3 + 1
; 2+(-4)
; ) 2 2
-4+2
2
C(-2; 1;-1)
C(-2;-2;-2)
Проверка

28. 1
Дан квадрат АВСD.
Найдите угол между векторами и .
ВЕРНО!
2
3
ПОДУМАЙ
!
1350;
450;
900.
ПОДУМАЙ
Проверка
!
АС DA
В С
А
D

29. Скалярное произведение координатных векторов
k j
и :
равно нулю, т.к. угол между
1
2
векторами прямой
ПОДУМАЙ
!
ПОДУМАЙ
!
1
– 1
3 ВЕРНО!
0
Проверка
x
y
z
I I I I I I I I
I I I I I I I
j
k
i
O

30. 1
Скалярный квадрат вектора 7 i равен:
ВЕРНО!
2
ПОДУМАЙ
!
49
7
3 ПОДУМАЙ
!
1
Проверка
Скалярный квадрат вектора
равен квадрату его длины.
(7i)2 = 7i 2 = 72 = 49

31. Записать координаты вектора n = – 8j + i
2
ПОДУМАЙ
ВЕРНО!
1
3 ПОДУМАЙ
!
!
n {-8; 1; 0}
n {1;-8; 0}
n {1; 0;-8}

32. 1
3
Найдите угол между векторами m и n , если
m n = –15,  m = 5, n = 6.
ВЕРНО!
2
ПОДУМАЙ
!
ПОДУМАЙ
!
500
600
1200
Скалярное произведение ненулевых
векторов отрицательно тогда и только
тогда , когда угол между векторами тупой
Проверка

33. ABCDA1B1C1D1 – куб, ребро которого равно 1.
Найдите скалярное произведение векторов и .
2
1 1 BC BC  BC  BC cos45 1
ПОДУМАЙ
!
1
2
3
ПОДУМАЙ
!
Проверка (3)
4;
2;
1.
ВЕРНО!
АD1 BC
0
D1
C
1 2  
D
2
A B
C1
A1 B1

34. Сылки: