векторная алгебра

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Высшая математика»

С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский

Векторная алгебра
Электронное учебное издание

Методические указания к решению задач
по курсу "Аналитическая геометрия"

Москва
(С)2010 МГТУ им. Н.Э. Баумана

С.К. Соболев, В.Я. Томашпольский. Векторная алгебра.

УДК: 512+514.12

Рецензент: Приказчиков Данила Александрович

Соболев С.К., Томашпольский В.Я. Векторная алгебра. Методические
указания к решению задач по курсу "Аналитическая геометрия" – М., МГТУ
им. Н.Э. Баумана, илл. 24.

Изложены основы теории по векторной алгебре: линейные операции над
векторами, базис и координаты, скалярное, векторное и смешанное произве-
дения, определитель Грама, приложения к геометрии и механике. Разобрано
большое количество примеров как стандартных, так и повышенной сложно-
сти. Содержит задачи для самостоятельного решения, снабженные ответами
и указаниями.

Для студентов, изучающих и применяющих векторную алгебру.

Рекомендовано Учебно-методической комиссией факультета "Фундамен-
тальные науки" МГТУ им. Н.Э. Баумана.

2


Оглавление
Введение ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 3
Глава 1. Линейные операции над векторами. Базис и координаты ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 3
Задачи для самостоятельного решения к главе 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅22
Глава 2. Скалярное произведение векторов⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 28
Задачи для самостоятельного решения к главе 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 36
Глава 3. Векторное и смешанное произведения векторов⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 42
Задачи для самостоятельного решения к главе 3 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 53
Литература ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 59
Ответы и указания ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 60

Введение⋅
Векторы имеют широкое применение в различных разделах математи-
ки, например, в элементарной, аналитической и дифференциальной геомет-
рии, в теории поля. Векторная алгебра широко используется во многих раз-
делах физики и механики, в кристаллографии, геодезии. Без векторов немыс-
лима и не только классическая математика, но и многие другие науки.
В данном пособии особый акцент делается на применении векторной ал-
гебры, на решении задач как стандартных, так и повышенной сложности. В
каждой главе приводится краткие, но исчерпывющие теоретические сведения
и разбираются разнообразные примеры (всего более 30). Конец решения ка-
ждого примера обозначен черным квадратиком . В пособии рассматрива-
ются и ряд дополнительных тем, например, барицентрические координаты,
центр масс, определитель Грама и его связь с векторным и смешанным про-
изведениями. В конце каждой главы дано большое количество задач для са-
мостоятельного решения, к которым имеются ответы и указания. Пособие
будет полезно всем студентам, которые хотят углубить свои познания и на-
выки в векторной алгебре, но в первую очередь – студентам факультета ФН.

1. Линейные операции над векторами. Базис и координаты.
Краткие теоретические сведения. Напомним основные понятия век-
торной алгебры. Геометрический вектор (или просто вектор) – это отрезок
АВ, на котором задано направление, например, от А к В, и обозначаемый AB .
Точки А и В называются соответственно началом и концом вектора AB .
Длиной вектора AB называется расстояние между его началом и концом,
она обозначается AB . Два вектора называются равными, если они одинако-
во направлены и имеют одинаковые длины.

3


1.1. Лемма о равенстве двух векторов. Для любых четырех точек про-
странства A, B, C и D AB = CD тогда и только тогда, когда AC = BD .
1.2. Свойство равенства векторов. Отношение равенства векторов
обладает свойствами:
(а) если AB = CD , то и CD = AB (симметричность);
(б) если AB = CD , CD = EF , то AB = EF (транзитивность).
Вектор, положение начала которого не имеет значения, обозначается
маленькой латинской буквой полужирным курсивом: a, b, c1 , d2 и т.д. Опре-
деление суммы векторов a и b : от произвольной точки А пространства от-
ложить первый вектор a = AB , от полученной точки В отложить второй век-
тор b = BC , тогда, по определению, a + b = AC . Это правило называется
def
правилом треугольника сложения векторов и выражается формулой:
AB + BC = AC .
1.3 Замечание. Вышеприведенное определение правила сложения век-
торов корректно, т.е. оно не зависит от выбора точки А. Это значит, что
если вместо точки А взять другую точку A1 , то результат будет тот же:
Если AB = A1B1 и BC = B1C1 , то и AC = A1C1 .
(докажите это самостоятельно с помощью леммы 1.1 и свойства 1.2).
1.4. Нулевым вектором называ-
ется вектор, начало и конец которого C
совпадают: 0 = AA = BB = CC = ... . B
Для произвольного вектора a = AB a−b
вектор BA называется противопо-
ложным, он обозначается −a . Раз- b a+b
ностью векторов а и b называется D
вектор a + ( −b) . Можно доказать, что
a Рис.1
c = a − b ⇔ b + c = a . Правило па- A
раллелограмма сложения и вычита-
ния векторов: векторы а и b отложить от одного начала: a = AD , b = AB и
достроить до параллелограмма: ABCD (см. рис. 1), тогда a + b = AC ,
a − b = BD .
1.5. Произведение числа (скаляра) λ ∈ на вектор a есть вектор
b = λ a , длина которого b = λ ⋅ a , а направление определяется так: если
λ = 0 или a = 0 , то и b = 0 , а если a ≠ 0 , то вектор b одинаково направлен с
вектором а (символически b ↑↑ a ) при λ > 0 , и противоположно направлен
(символически b ↓↑ a ) при λ < 0 .

1.6. Свойства операций сложения векторов и умножения их на
числа.
Для любых векторов a, b, c и чисел λ , µ ∈ :
(а) a + b = b + a (коммутативность);
4


(б) ( a + b) + c = a + ( b + c ) (ассоциативность);
( в) a + 0 = a ; (г) a + ( −a) = 0 ;
( д) λ ( a + b ) = λ a + λ b ; (е) (λ + µ )a = λ a + µ a (дистрибутивность);
(ж) (λµ )a = λ ( µ a) ; (з) 1a = a .
1.7. Благодаря свойствам (а) и (б) можно складывать любое количество
векторов в произвольном порядке. Правило многоугольника сложения не-
скольких векторов a1 , a2 , ..., an : от произвольной точки A0 отложим первый
вектор a1 = A0 A1 , от его конца A1 отложим второй вектор a2 = A1 A2 , и.т.д., и
от конца An −1 предпоследнего вектора отложим последний вектор
an = An −1 An . Тогда a1 + a2 + ... + an = A0 An (см. Рис.2). Таким образом, на-
пример, не глядя на чертеж, легко найти сумму:
CM + AC + DE + MD = AC + CM + MD + DE = AE.

a1 A4
A1 a2
A2
a4 a1
a2 a3 a4
a5
A0
a5
a3 A3
a1 + a2 + a3 + a4 + a5
A5
Рис.2
1.8. Условимся считать нулевой вектор параллельным любой прямой и
любой плоскости. Совокупность векторов называется коллинеарной (ком-
планарной), если все они параллельны некоторой прямой (соответственно
плоскости). Это определение равносильно следующему: совокупность век-
торов является коллинеарной (компланарной) тогда и только тогда, когда
все эти векторы, будучи отложенными от общего начала, лежат на одной
прямой (соответственно в одной плоскости). Поэтому два вектора всегда
компланарны.
1.9. Линейной комбинацией векторов a1 , a2 , ..., an называется сумма
произведений этих векторов на произвольные числа λ1 , λ2 , ...λn ∈ ; её ре-
зультат – тоже некоторый вектор: λ1a1 + λ2 a2 + ... + λn an = b . Например
3a + 2 b − 7c – одна из линейных комбинаций векторов а, b и с. Линейная
5
комбинация называется тривиальной, если все её коэффициенты нулевые.
Понятно, что тривиальная комбинация любых векторов дает нулевой вектор.
Совокупность векторов a1 , a2 , ..., an называется линейно зависимой (или
просто зависимой), если существует их нетривиальная линейная комбина-
ция, дающая нулевой вектор, т.е. когда найдутся числа λ1 , λ2 , ...λn ∈ , не
равные одновременно нулю и такие, что λ1a1 + λ2 a2 + ... + λn an = 0 . Совокуп-

5


ность векторов a1 , a2 , ..., an называется линейно независимой (или просто
независимой), если она не является зависимой, т.е. если только тривиальная
линейная комбинация этих векторов (и больше никакая!) дает нулевой век-
тор, иными словами, когда равенство λ1a1 + λ2 a2 + ... + λn an = 0 обязательно
влечет λ1 = λ2 = ... = λn = 0 .
Например, для любых трех точек А, В и С векторы AB, AC , BC линейно
зависимы, т.к. их линейная комбинация с коэффициентами 1, − 1 и 1 равна
нулевому вектору: AB − AC + BC = AB + BC + CA = AA = 0 .
1.10. Общий критерий1 линейной зависимости нескольких векторов:
совокупность векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один
из них есть линейная комбинация остальных. Следовательно, совокупность
векторов линейно независима тогда и только тогда, когда ни один из них не
является линейной комбинацией остальных.
Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов: Два
вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланар-
ны. Четыре или более геометрических вектора всегда линейно зависимы.
1.11. Упорядоченная совокупность векторов плоскости (или пространст-
ва) называется базисом, если эти векторы, во-первых, линейно независимы,
а, во-вторых, через них можно выразить всякий вектор плоскости (простран-
ства). Коэффициенты разложение вектора по базису определены однознач-
но, они называются координатами вектора в данном базисе. На плоскости
базис образуют любые два неколлинеарных вектора, а в пространстве – лю-
бые три некомпланарных вектора. Базис, состоящий из трех единичных по-
парно перпендикулярных векторов i, j и k, называется ортонормированным.
Координаты вектора в заданном базисе мы будем указывать в круглых или
фигурных скобках, а именно, запись a{x; y; z} означает, что a = x i + y j + z k .
При сложении векторов и умножении их на числа с их координатами выпол-
няются те же самые операции.
1.12. Пусть некоторая точка О принята за начало отсчета. Радиусом-
вектором точки А называется вектор OA . Если точка С делит отрезок АВ в
β
заданном отношении: AC : CB = α : β , то OC = α + β OA + α α β OB . В частно-
+

сти, радиус-вектор середины отрезка АВ есть 1
2 ( OA + OB ) .
1.13. Декартова система координат на плоскости (в пространстве) со-
стоит из точки О (начала отсчета) и базиса в этой плоскости (пространства)
т.е. двух неколлинеарных векторов этой плоскости (соответственно трех не-
компланарных векторов). Напомним, что числовой осью (или координатной
прямой) называется прямая, на которой заданы начало отсчета, направление
и масштаб. Каждой точке Р координатной прямой однозначно соответствует
некоторое вещественное число xP ∈ и наоборот. Координатные прямые с

1
Критерий – это синоним для словосочетания «необходимое и достаточное условие».
6


началом отсчета в точке О, сонаправленные соответствующим базисным век-
торам a; b; c и с единицей масштаба, равной длине этих векторов, называют-
ся координатными осями ОХ, OY и OZ, а также осями абсцисс, ординат и
аппликат соответственно. Координатами точки М в декартовой системе
координат называются координаты её радиус вектора OM в базисе { a; b; c },
т.е. запись M ( x; y; z} означает, что OM = x a + y b + x c . Если базис ортонор-
мированный {i, j , k} , то соответствующая декартова система координат на-
зывается прямоугольной. В общем случае любая координата точки М есть
проекция точки М на соответствующую координатную ось параллельно
плоскости, содержащей две другие координатные оси (см. п. 1.16 далее).
В частности, в случае прямоугольной системы координат это прямоугольные
(ортогональные) проекции точки М на эти оси.
1.14. Если точки А и В имеют координаты A( x A ; y A ; z A ) и B( x B ; y B ; z B )
то вектор AB имеет координаты AB( x B − x A ; y B − y A ; z B − z A ) .
Координаты точки С, делящей отрезок АВ в заданном отношении:
AC : CB = α : β , выражаются через координаты точек А и В формулами:
β β β
xC = α + β x A + α α β x B , yC = α + β y A + α α β y B , zC = α + β z A + α α β z B .
+ + +
Расстояние между точками А и В в прямоугольной системе координат
выражается формулой: AB = ( x A − x B )2 + ( y A − y B ) 2 + ( z A − z B )2 . Далее, по
умолчанию, система координат всегда прямоугольная.
1.15. Пусть в простран-
стве даны прямая ℓ и не па-
раллельная ей плоскость π. ℓ1
π1
Проекцией произвольной A
точки А на плоскость π па- ℓ
А2
раллельно прямой ℓ называ- π
ется точка А1 пересечения A1
этой плоскости с прямой ℓ1,
проходящей через точку А Рис. 3
параллельно2 прямой ℓ. Про-
екцией точки А на прямую ℓ параллельно плоскости π называется точка А2
пересечения этой прямой с плоскостью π1, проходящей через точку А парал-
лельно плоскости π. (см. Рис. 3). Проекция фигуры Ф на плоскость (прямую)
состоит из проекций всех точек фигуры Ф на эту плоскость (прямую). На.
рис. 4 изображена линия L1 – проекция кривой L на плоскость π параллельно
прямой ℓ. Проекция точки или фигуры на плоскость параллельно прямой,
перпендикулярной этой плоскости, называется прямоугольной или ортого-
нальной. Параллельная (в частности, ортогональная) проекция на плоскость

2
В этом и в двух следующих пунктах две совпадающие прямые или плоскости тоже считаются
параллельными.
7


широко используется для изображения пространственных фигур на плоско-
сти. Отметим свойства параллельных (и, в частности, ортогональных) проек-
ций на плоскость, извест-
ные их курса школьной
геометрии: L
(а) проекция прямой
есть прямая (или точка); ℓ
(б) проекции парал-
лельных прямых тоже па- L1 4
раллельны (или совпада-
ют);
Рис. 4
(в) длины проекций
отрезков, расположенных на одной прямой пропорциональны длинам самих
отрезков.
1.16. Проекцией вектора AB на плоскость на плоскость π параллельно
прямой ℓ называется вектор A1B1 , где А1 и В1 – проекции точек А и В соот-
ветственно на плос-
кость π параллельно
прямой ℓ, она обозна-
чается
A1B1 = Prπ ( AB ) . Ана-
B
ℓ B2 ℓ1
логично определяется
проекция вектора AB A
на прямую ℓ парал- A2 B1
лельно плоскости π –
это вектор A2 B2 , где А2 A1
и В2 – проекции точек Рис. 5 π
А и В соответственно
на прямую ℓ параллельно плоскости π, она обозначается A1B1 = Prπ ( AB ) .
(см. Рис. 5).
Свойства параллельной проекции вектора на плоскость:
(а) Если A1B1 = A2 B2 , π 1 π 2 и 1 2 , то Prπ1 ( A1B1 ) = Prπ 2 ( A2 B2 ) ;
1 2

(б) свойство линейности: для любых векторов a1 , a2 и чисел λ1 , λ2 ∈ :
Prπ ( λ1a1 + λ2 a2 ) = λ1 ⋅ Prπ ( a1 ) + λ2 ⋅ Prπ ( a2 ) .
l l l

Аналогичные свойства верны и для проекции вектора на прямую.
(в) Если прямая ℓ и плоскость π не параллельны, то для любого вектора а
справедливо представление:
a = Prπ ( a) + Prπ ( a) .
Это представление называется разложением вектора а по прямой ℓ и
плоскости π.

8


Чтобы найти проекцию вектора b на плоскость π параллельно прямой ℓ,
или проекцию вектора b на прямую ℓ параллельно плоскости π надо выбрать
в плоскости π два неколлинеарных вектора a1 и a2 , выбрать на прямой ℓ не-
нулевой вектор а3 и разложить вектор b по базису {a1; a2 ; a3} :
b = λ1a1 + λ2 a2 + λ3a3 . Тогда Prπ ( b ) = λ1a1 + λ2 a2 , Prπ ( b ) = λ3a3 .
1.17. Пусть в пространстве задан ненулевой вектор а и непараллельная
ему плоскость π. Проекцией вектора b на направление вектора а (парал-
лельно плоскости π) называется число ± b1 , где вектор b1 = Prπ ( b ) – проек-
ция вектора b на прямую ℓ параллельно плоскости π (где ℓ – любая прямая,
параллельная вектору а), а знак + или – выбирается в зависимости от того,
совпадает или нет направление вектора b1 с направлением вектора а.
Проекция вектора b на направление вектора а (параллельно плоскости π)
π
обозначается Pra ( b) , она обладает свойствами:
(а) Если векторы a1 и a2 одинаково направлены: a1 ↑↑a2 , то
π π
Pra1 ( b ) = Pra2 ( b ) , а если векторы a1 и a2 противоположно направлены:
π π
a1 ↑↓a2 , то Pra1 ( b ) = − Pra2 ( b ) ;
(б) свойство линейности: для любых векторов b1 , b2 и чисел λ1 , λ2 ∈ :
π π π
Pra ( λ1b1 + λ2 b2 ) = λ1 ⋅ Pra ( b1 ) + λ2 ⋅ Pra ( b2 ) .
Чтобы найти проекцию вектора b на направление вектора а параллельно
плоскости π (не параллельной вектору а), надо в плоскости π выбрать два не-
коллинеарных вектора c1 и c2 , разложить вектор b по базису { a; c1 , c2 } :
b = λ a + µ1c1 + µ2 c2 , тогда проекция вектора b на направление вектора а (па-
раллельно плоскости π) равна:
π
Pra ( b) = λ ⋅ a .
Пример 1. Даны произвольные векторы p и q. Доказать, что векторы
a = 2 p + 5q , b = 3 p − q и c = − 4 p + q линейно зависимы.
Решение. Построим плоскость π на векторах p и q , отложенных от
общего начала. Тогда векторы а, b и с лежат в той же плоскости π и поэтому
компланарны, а значит, и линейно зависимы. Можно найти и конкретную
линейную комбинацию векторов а и b, дающую вектор с. Пусть
λ a + µ b = c ⇔ λ (2 p + 5q) + µ (3 p − q) = − 4 p + q ⇔
⇔ (2λ + 3µ ) p + (5λ − µ )q = − 4 p + q.
Для наших целей достаточно найти λ и µ, удовлетворяющих системе:

{2λ + 3µ = − 4,
5λ − µ = 1.
Решив её, находим:
1 22
λ = − , µ = − . Итак,
17 17
1 22
c = − a − b , это и значит, что векторы а, b и с линейно зависимы.
17 17

9


Пример 2. Векторы a, b, и с имеют в некотором исходном базисе коор-
динаты a( − 1; 2; 3), b(3;1; 4), c (5; 3; 2) . Доказать, что эти векторы тоже образу-
ют базис, и разложить по новому базису вектор d (11;16; 9) .
Решение. Докажем, что векторы a, b, и с линейно независимы. Допус-
тим, что какая-то линейная комбинация этих векторов даёт нулевой вектор:
α ⋅ a + β ⋅ b + γ ⋅ c = 0 . Записав координаты векторов по столбцам, получим:
 − 1  3  5   0   −α + 3β + 5γ = 0,
α  2  + β  1  + γ  3  =  0  ⇔  2α + β + 3γ = 0,

        
 3  4  2  0 3α + 4 β + 2γ = 0.
Для решения последней системы применим формулы Крамера. Главный
определитель равен
−1 3 5
∆ = 2 1 3 = − 2 + 27 + 40 − 15 − 12 + 12 = 50 ≠ 0,
3 4 2
а все вспомогательные определители, очевидно, равны нулю (у них один
столбец полностью нулевой). Поэтому решение системы α = β = γ = 0 . Это и
значит, что векторы a, b, и с линейно независимы, и поэтому образуют базис
в пространстве. Далее нам надо найти коэффициенты х, у и z разложения
x ⋅a + y ⋅b + z ⋅c = d :
 − 1  3   5   11   − x + 3 y + 5z = 11,

x  2  + y  1  + z  3  =  16  ⇔  2 x + y + 3z = 16,
        
 3  4   2   9   3x + 4 y + 2 z = 9.
Решив последнюю систему, например, методом Крамера, получим:
x = 3, y = − 2, z = 4 . Ответ: d = 3a − 2b + 4c .
Пример 3. Выразить радиус вектор точки М пересечения медиан тре-
угольника АВС через радиус-векторы его вершин.
Решение. Как известно, точка М лежит на медиане AD и делит её в от-
ношении AM : MD = 2 : 1 , и D – середина отрезка BC. Тогда, если О – начало
отсчета (не важно, где оно находится!), то OD = 1 (OB + OC ) , и
2
OM = 1 OA + 2 OD = 1 OA + 2 ( 1 OB + 1 OC ) =
3 3 3 3 2 2
1
3 ( OA + OB + OC ) .
Пример 4. Считая известными длины сторон треугольника АВС:
BC = a , AC = b, AB = c , выразить радиус-вектор центра Р его вписанной
окружности через радиус-векторы его вершин.
Решение. Как известно, во-первых, центр вписанной окружности лежит
на пересечении биссектрис, а во-вторых, биссектриса треугольника делит его
сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Пусть Р – точка
пересечения биссектрис AD и BE треугольника АВС (см. Рис. 6.; треугольник
может лежать в плоскости, не параллельной плоскости чертежа, и поэтому
вписанная окружность выглядит как эллипс). Тогда

10


BD : DC = AB : AC = c : b . Следовательно,
b c A
OD = OB + OB . Далее, положим: Рис.6
b+c b+c
BD CD
= = x , тогда BD = cx , DC = bx и
c b P E
cx + bx = BD + DC = BC = a , откуда
a ac B
x= ⇒ DB = cx = . Аналогично, в D C
b+c b+c
треугольнике ABD биссектриса ВР делит сторо-
ac b+c
ну AD на части AP : PD = AB : BD = c : = = (b + c ) : a . Поэтому
b+c a
OP = a OA + b + c OD =
a+b+c a+b+c
= a
a+b+c
OA + b + c
a+b+c b+c (
b OB + c OB =
b+c )
= a OA + b OB + c OC. à
a+b+c a+b+c a+b+c
Пример 5. В треугольнике АВС известны координаты его вершин:
A(2; 3; − 1), B (1; 5;1), C (4; 7; − 5) Найти координаты центра вписанной окруж-
ности и длину медианы BD.
Решение. Сначала найдем длины сторон треугольника:
a = BC = (1 − 4)2 + (5 − 7) 2 + (1 + 5)2 = 9 + 4 + 36 = 7,
b = AC = 4 + 16 + 16 = 6, c = AB = 1 + 4 + 4 = 3.
Следовательно, радиус вектор центра вписанной окружности выражает-
ся через радиус-векторы вершин треугольника так:
OP = a OA + b OB + c OC =
a+b+c a+b+c a+b+c
= 16 OA + 16 OB + 16 OC.
7 6 3

Аналогичная формула справедлива и для каждой из трёх координат
точки Р:
xP = 16 ( 7 x A + 6 xB + 3xC ) = 16 ( 7 ⋅ 2 + 6 ⋅ 1 + 3 ⋅ 4 ) = 16 ⋅ 32 = 2 ,
1 1 1

y P = 16 ( 7 y A + 6 y B + 3 yC ) = 16 ( 7 ⋅ 3 + 6 ⋅ 5 + 3 ⋅ 7 ) = 16 ⋅ 72 = 9 ,
1 1 1
2
z P = 16 ( 7 z A + 6 z B + 3zC ) = 16 ( 7 ⋅ ( − 1) + 6 ⋅ 1 + 3 ⋅ ( − 5 )) = − 1 .
1 1

Следовательно, P ( 2; 9 ; − 1 ) . Второй конец медианы BD – точка D– явля-
2
ется серединой отрезка АС, её координаты:
xD = 1 ( x A + xC ) = 1 ( 2 + 4 ) = 3, y D = 1 ( y A + yC ) = 1 ( 3 + 7 ) = 5,
2 2 2 2
z D = 1 ( z A + zC ) = 1 ( − 1 − 5 ) = − 3 ⇒ D(3; 5; − 3).
2 2
Длина медианы AD равна:
AD = (2 − 3)2 + (3 − 5) 2 + ( − 1 + 3)2 = 1 + 4 + 4 = 3.

11


Ответ: P(2; 9 ; − 1), AD = 3 . ■
2

Пример 6. Доказать, что отрезки, соединяющие середины противопо-
ложных рёбер произвольного тетраэдра3, пересекаются в одной точке и де-
лятся ею пополам (эта точка называется центроидом4 тетраэдра).
Решение. Пусть в тетраэдре ABCD середи-
ны рёбер АВ, АС, AD, BC, BD и CD – это точки D
K, L, M, N, P, и Q соответственно (см. Рис. 7). Рис. 7
Далее, пусть Е – середина отрезка KQ (соеди-
няющего середины рёбер АВ и CD), F – отрезка
LP (соединяющего середины рёбер АC и BD), и, M Q
P
наконец, G – середина отрезка MN (соединяю-
щего середины рёбер АD и BC). Нам надо дока- G
E F
зать, что точки Е, F и G совпадают. Для этого A
достаточно показать равенство их радиус- L
C
векторов OE , OF и OG , где О – произвольная K
B N
точка отсчета.
Обозначим через а, b, с и d радиус-векторы вершин А, В, С и D соответ-
ственно, и выразим через эти четыре вектора радиус-вектор точки Е:
OE = 1 ( OK + OQ ) = 1 ( 1 ( OA + OB ) + 1 ( OC + OD ) ) = 1 ( a + b + c + d ) .
2 2 2 2 4
Аналогично,
OF = 1 ( OL + OP ) =
2 ( 1 ( OA + OC ) + 1 ( OB + OD ) ) = 1 ( a + c + b + d ) и
2
1
2 2 4
OG = 1 ( OM + ON ) = 1 ( 1 ( OA + OD ) + 1 ( OB + OC ) ) = 1 ( a + d + b + c ) .
2 2 2 2 4
Итак, мы получили OE = OF = OG , следовательно, точки Е, F и G сов-
падают.
Замечание. Если в примерах 3 и 4 точка отсчета О лежит в плоскости
треугольника АВС, то найденные выражения радиус-векторов точки пересе-
чения медиан и точки пересечения биссектрис через радиусы векторы вер-
шин треугольника не являются единственными. Например, если точка О сов-
падает с точкой С, то OM = 1 ( OA + OB ) , что не противоречит полученному
3
результату, т.к. вектор OC в этом случае нулевой. Аналогично, четыре век-
тора а, b, с и d в примере 4 линейно зависимы (при любом положении точки
О), и поэтому выражение вектора OE через эти векторы не однозначно. Од-
нако, найденные в примерах 3, 4 и 6 выражения отличаются тем, что они не
зависят от положения точки отсчета О.
Теперь решим задачи на использовании единственности разложения
вектора по базису.

3
Тетраэдром называется многогранник, ограниченный четырьмя треугольными гранями, т.е. это
треугольная пирамида.
4
Точное определение центроида геометрической фигуры см. далее на стр. 18.
12


Пример 7. В паралле- B L
C
лограмме ABCD точки Е и L яв-
ляются серединами сторон АВ и b
ВС соответственно, точки K и F E M
расположены на сторонах AD
F
CD и делят их в отношении
AK : KD = 2 : 1, CF : FD = 3 : 1. А D Рис. 8
d K
Отрезки EF и KL пересекаются
в точке М. Найти отношения EM : MF и KM : ML .
Решение. Возьмем векторы b = AB и d = AD в качестве базиса на
плоскости, и сначала разложим по этому базису векторы EF и KL :
EF = EA + AD + DF = − 1 b + d + 1 b = − 1 b + d ;
2 4 4
KL = KA + AB + BL = − 2 d + b + 1 d = b − 1 d .
3 2 6

Обозначим x = EM , y = KM (см. Рис. 8). Понятно, что 0 < x < 1 , 0 < y < 1 и
EF KL
искомые отношения равны EM : MF = x : (1 − x ) , KM : ML = y : (1 − y ) .
Теперь разложим вектор AM по базису {b, d } двумя способами:
(1) AM = AE + EM = 1 b + xEF = 1 b + x ( − 1 b + d ) = ( 1 − 1 x ) b + x d ;
2 2 4 2 4
(2) AM = AK + KM = 2 d + yKL = 2 d + y ( b − 1 d ) = y b + ( 2 − 1 y ) d .
3 3 6 3 6
В силу единственности разложения вектора по базису, коэффициенты
при b и при d в обоих разложения должны быть равны:
1 − 1 x = y

2 4
x = 3 − 6 y
2 1
⇔ { x + 4 y = 2,
6 x + y = 4.
Решив эту систему (например, по формулам Крамера), находим
∆ = − 23, ∆ x = − 14, ∆ y = − 8 ⇒ x = 14 , y = 8 .
23 23
Отсюда, получаем искомые отношения:
EM : MF = x : (1 − x ) = 14 : 23 = 14 : 9;
23
9

KM : ML = y : (1 − y ) = 8
23
: 15 = 8 : 15.
23

Пример 8. В тетраэдре ABCD точка Е – середина ребра AD, точки F и K
делят ребро CD на три равные части: CF = FK = KD , а точка L делит ребро
АВ в отношении AL : LB = 1 : 3 . Отрезок KL пересекает плоскость BEF в
точке М. Найти отношение KM : ML .
Решение. Рассмотрим некомпланарные векторы a = DA, b = DB и
c = DC как базис в пространстве (см. Рис. 9). Разложим вектор KL по этому
базису:

13


KL = KD + DB + BL = − 1 c + b + 4 BA = − 1 c + b + 4 ( a − b ) = 4 a + 1 b − 1 c.
3
3
3
3 3
4 3

Обозначим, как и в предыдущем примере, x = KM . Сначала разложим век-
KL
тор DM по базису { a, b, c } :
1) DM = DK + KM = 1 c + x ⋅ KL = 1 c + x ⋅ ( 4 a + 1 b − 1 c ) =
3 3
3
4 3
= 4 x ⋅ a + 1 x ⋅ b + 1 (1 − x ) ⋅ c;
3
4 3
{Но если использовать тот же D
прием, что и в примере 7, то надо
будет приравнять коэффициенты
разложения вектора, например, K
DM , по данному базису (это три
уравнения). Для этого надо иметь c
еще одно разложение этого вектора E F
и еще две неизвестные. Заметим, a M
что векторы p = BE и q = BF об- b
q
разуют базис на плоскости BEF, и p
C
вектор BM лежит в этой плоскости. A
Пусть y и z – коэффициенты разло- L
жения вектора BM по векторам p и B Рис. 9
q: BM = y ⋅ p + z ⋅ q .
Теперь нам надо найти числа х, у и z. Для этого разложим по исходному
базису { a, b, c } векторы p и q:
p = BE = BD + DE = −b + 1 a , q = BF = BD + DF = −b + 2 c ,
2 3
а затем разложим вектор DM по базису { a, b, c } вторым способом:
2) DM = DB + BM = b + y p + z q = b + y ( −b + 1 a ) + z ( −b + 2 c ) =
2 3
= 1 y ⋅ a + (1 − y − z ) ⋅ b + 2 z ⋅ c.
2 3
В силу единственности разложения вектора по базису, коэффициенты
при векторах а, b и с должны быть равны в обоих разложениях. Получим
систему трех уравнений с тремя неизвестными, которую решим, выразив y и
z через х из первого и третьего уравнений и подставив их во второе уравне-
ние:
 4 x = 2 y,
3 1
 y = 2 x,
3
 x = 2,
5
1 1 1 − 1 x = 1, ⇒  y = 3 ,
 4 x = 1 − y − z, ⇔  4 x + 2 x + 2 2
3
 5
 1 (1 − x ) = 2 z;  z = 1 − 1 x; z = 3 .
3 3  2 2  10
Итак, BM = 5 p + 10 q и} KM : ML = x : (1 − x ) = 2 : 5 = 2 : 3 .
3 3
5
3

Пример 9. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точки K и M расположе-
ны на рёбрах АВ и B1C1 и делят их в отношении AK : KB = 1: 2 , B1M = MC1 .
Найти проекции вектора KM : (а) на плоскость A1BD параллельно прямой
14


AC1 ; (б) на прямую AC1 параллельно плоскости A1BD . Ответ представить в
виде разложения по векторам a = AB , b = AD , c = AA1 .
Решение. В плоскости
C1 D1
A1BD выберем неколлинеарные Рис. 10
векторы p = A1B , q = A1D , и M
найдем разложение вектора r A1
B1
KM по новому базису q
p, q, r = AC1 . (см. Рис. 10). Но- C D
вые базисные векторы выража- p c
ются через исходный базис b
{ a, b, c } следующим образом: B A
a K
p = A1B = A1 A + AB = a − c ,
q = A1D = A1 A + AD = b − c , r = AC1 = AB + BC + CC1 = a + b + c . Поэтому
a = p + c , b = q + c ⇒ r = ( p + c ) + ( q + c ) + c = p + q + 3c . Отсюда получим
выражения старых базисных векторов через новые:
c = 1 ( r − p − q) , a = p + c = p + 1 ( r − p − q) = 2 p − 1 q + 1 r ,
3 3 3 3 3
b = q + c = q + 1 ( r − p − q) = − 1 p + 2 q + 1 r . Теперь разложим вектор KM
3 3 3 3
сначала по исходному базису { a, b, c } , а потом и по новому базису { p, q, r } :
KM = KB + BB1 + B1M = 2 a + c + 1 b =
3 2

= 2 ⋅ ( 2 p − 1 q + 1 r ) + 1 ( r − p − q) + 1 ( − 1 p + 2 q + 1 r ) =
3 3 3 3 3 2 3 3 3

= − 18 p − 9 q + 18 r.
1 2 13

Следовательно, проекция вектора KM на плоскость A1BD параллельно
прямой AC1 равна:
PrA1BD ( KM ) = − 18 p − 9 q = − 18 ( a − c ) − 9 ( b − c ) = − 18 a − 9 b + 18 c ,
AC1 1 2 1 2 1 2 5

а проекция вектора KM на прямую AC1 параллельно плоскости A1BD есть
PrACBD ( KM ) = 18 r = 18 ⋅ ( a + b + c ) = 18 a + 18 b + 18 c. ■
A1
1
13 13 13 13 13

Пример 10. В пространстве даны пять точек A( − 1; 4; 3) , B(1; 3; 8) ,
C (5; 7; − 3) , D (3;10;1) и M ( − 1; − 6;14) . Найти: (а) координаты точки N – про-
екции точки M на плоскость АВС параллельно прямой AD; (б) координаты
точки K – проекции точки М на прямую AD параллельно плоскости АВС;
(в) вектор q – проекцию вектора p (10; 9; − 16) на плоскость ABD параллельно
прямой АС, (г) проекцию вектора p на направление вектора AC параллельно
плоскости AВD.

15


Решение. Рассмотрим базис b = AB{2; − 1; 5} , c = AC{6; 3; − 6} ,
d = AD{4; 6; − 2} и найдем разложение вектора AM {0; − 10;11} по этому ба-
зису:
 2   6   4   0 
x b + y c + z d = b = AM ⇔ x  − 1  + y  3  + z  6  =  − 10  .
 5   −6   − 2   11 
       
 2 x + 6 y + 4 z = 0,

Получится система линейных уравнений  − x + 3 y + 6 z = − 10, решение
 5 x − 6 y − 2 z = 11,

которой (например, методом Крамера): x = 2, y = 1 , z = − 2 . Следовательно,
3
3

AM = 2 ⋅ AB + 1 ⋅ AC − 2 ⋅ AD , значит, проекция вектора AM на плоскость
3
3

АВС параллельно прямой AD есть вектор AN = 2 ⋅ AB + 1 ⋅ AC =
3
= 2 ⋅{2; − 1; 5} + 1 ⋅{6; 3; − 6} = {6; − 1; 8} , поэтому точка N имеет координаты:
3
xN = x A + x AN = − 1 + 6 = 5, y N = y A + y AN = 4 − 1 = 3 ,
z N = z A + z AN = 3 + 8 = 11 . Следовательно, проекция точки М на плоскость
АВС параллельно прямой AD есть точка N с координатами
PrABC ( M ) = N (5; 3;11) .
AD

Аналогично, проекция вектора AM на прямую AD параллельно плоскости
АВС есть вектор AK = − 2 AD = − 2 {4; 6; − 2} = {− 6; − 9; 3} , поэтому точка K
3 3

имеет координаты: xK = x A + x AK = − 1 − 6 = − 7 , y K = y A + y AK = 4 − 9 = − 5 ,
z K = z A + z AK = 3 + 3 = 6 . Итак, PrAD ( M ) = K ( − 7; − 5; 6) .
ABC

Для нахождения проекций вектора p (10; 9; − 16) также разложим его по
тому же базису:
 2   6   4   10 
α b + β c + γ d = b = p ⇔ α  −1  + β  3  + γ  6  =  9  , получим
 5   −6   − 2   − 16 
       
систему уравнений
 2α + 6β + 4γ = 10,

 −α + 3β + 6γ = 9, , ее решение: α = − 1, β = 5 , γ = 1 , поэтому
3 2
 5α − 6β − 2γ = − 16,

проекция вектора р на плоскость ABD есть вектор q = PrABD ( p) = α b + γ d =
AC

= −{2; − 1; 5} + 1 {4; 6; − 2} = {0; 4; − 6} , а проекция вектора р на направление
2
вектора c = AC параллельно плоскости ABD равна PrAC ( p) =
ABD

= β ⋅ c = 5 ⋅ 36 + 9 + 36 = 15.
3
Ответы: ( а) PrABC ( M ) = N (5; 3;11) ;
AD
(б) PrAD ( M ) = K ( − 7; − 5; 6) ;
ABC

AC
(в) PrABD ( p) = q{0; 4; − 6} ; (г) PrAC ( p) = 15 .
ABD

16


1.19. Барицентрические координаты
Цвет{5:3:2}
на плоскости. Пусть заданы три точки А, В и Рис.11
С, не лежащие на одной прямой, еще точка
отсчета О. Тогда для любой точки М про-
странства найдутся три числа α , β и γ та- *
кие, что OM = α ⋅ OA + β ⋅ OB + γ ⋅ OC . При
этом, точка М принадлежит плоскости ABC
тогда и только тогда, когда α + β + γ = 1 , а
числа α , β и γ определены однозначно и не
зависят от положения точки О. Числа α , β и
γ , а также любая тройка чисел, им пропорциональная, называются барицен-
трическими координатами точки М относительно точек А, В и С. Барицен-
трические координаты указываются в фигурных скобках и разделяются двое-
точием: M {α : β : γ } . Это название связано с тем, что если в точках А, В и С
сосредоточены массы α , β и γ соответственно, то центр масс этих трех то-
чек имеет барицентрические координаты {α : β : γ } . Барицентрические коор-
динаты, сумма которых равна единице, называются приведёнными.
Если точка М имеет в плоскости АВС относительно точек А, В и С бари-
центрические координаты M { p : q : r} , то это значит, что для любой точки
отсчета О справедливо представление:
p q
OM = p + q + r OA + p + q + r OB + p +r + r OC .
q

Замечание. Если α + β + γ = 1 и OM = α ⋅ OA + β ⋅ OB + γ ⋅ OC , то числа
α и β определяются из разложения: CM = α ⋅ CA + β ⋅ CB , а γ = 1 − α − β .
Пример 11. В треугольнике АВС известны длины его сторон
BC = a, AC = b AB = c . Найти барицентрические координаты относи-
тельно его вершин: (а) точки пересечения медиан М; (б) центра Р вписанной
окружности Р.
Решение. (а) В примере 3 мы уже получили искомое разложение ради-
ус-вектора точки пересечения медиан: OM = 1 OA + 1 OB + 1 OC . В качестве
3 3 3
барицентрических координат можно взять любую тройку чисел, пропорцио-
нальных этим коэффициентам, например M {1 : 1 : 1} .
(б) Воспользуемся найденным в примере 4 разложением радиус-вектора точ-
ки Р: OP = a OA + b OB + c OC . В качестве барицентри-
a+b+c a+b+c a+b+c
ческих координат можно взять любую тройку чисел, пропорциональных этим
коэффициентам, например P{a : b : c} .
1.20. Барицентрические координаты на плоскости очень удобны для
графического представления смеси трех веществ. А именно, если смесь со-
держит вещества А, В и С в пропорции α : β : γ , то эта смесь изображается

17


точкой M треугольника АВС с барицентрическими координатами
M{ α : β : γ }. Как известно, на экранах мониторов и телевизоров каждый цвет
заданной яркости есть комбинация трех основных цветов: красного (цвет
№1), зелёного (цвет №2) и синего (цвет №3), взятых в определённой пропор-
ции. Следовательно, различные оттенки цветов одной яркости заполняют со-
бой внутренность треугольника, вершины которого соответствуют этим трём
основным цветам. Этот треугольник называется цветовым. (см. Рис. 11).
Цвет, состоящий, например на 50% из красного, на 30% из зеленого и 20%
синего цвета, находится в точке этого треугольника с барицентрическими
координатами {5:3:2}.
1.21. Положение точки М относительно сторон треугольника АВС мож-
но определить по знаку её приведенных барицентрических координат
{α : β : γ } . А именно:
точка М лежит внутри треугольника АВС ⇔ (α > 0, β > 0, γ > 0) ;
точка М лежит на прямой АС ⇔ β = 0;
точка М лежит вне треугольника АВС, но внутри угла АСВ
⇔ α > 0, β > 0, γ < 0 .
Теперь дадим другое решение Примера 8. А именно, ту часть решения
примера 8, которая расположена на стр. 13 и 14 внутри красных фигурных
скобок, следует заменить следующим текстом:
Возьмем в качестве точки отсчета точку D, и выразим через радиус-
векторы вершин Е, В и F радиус-вектор точки М: DE = 1 a ⇒ a = 2 ⋅ DE ,
2
DB = b, DF = 2 c ⇒ c = 2 DF , поэтому
3
3

DM = 4 x ⋅ a + 1 x ⋅ b + 1 (1 − x ) ⋅ c = 2 x ⋅ DE + 1 x ⋅ DB + 1 (1 − x ) ⋅ DF .
3
4 3
3
4 2
Но точка М принадлежит плоскости EBF тогда и только тогда, когда
сумма коэффициентов последнего разложения равна 1. Следовательно,
3
2
x + 1 x + 1 (1 − x ) = 1 ⇒ 6 x + x + 2 − 2 x = 4 ⇒ x = 2 .
4 2 5

Пример 12. Точка М имеет относительно точек А, В и С барицентриче-
ские координаты M {3; − 2; 4} . Зная декартовы координаты вершин A( − 2;1; 4) ,
B (3; 2; 5) и C (1; 3; 2) , найти декартовы координаты точки М.
Решение. Радиус вектор точки М выражается через радиус-векторы то-
чек А, В и С формулой:
OM = 3 OA + −2 OB + 4 OC =
3 + ( − 2) + 4 3 + ( − 2) + 4 3 + ( − 2) + 4
= 3 OA − 2 OB + 4 OC.
5 5 5
Поэтому для декартовых координат точки М справедливо аналогичное
представление:

18


xM = 1 ( 3x M − 2 x B + 4 xC ) = 1 (3 ⋅ ( − 2) − 2 ⋅ 3 + 4 ⋅ 1) = − 8 ;
5 5 5
y M = 1 ( 3 y M − 2 y B + 4 yC ) = 1 (3 − 4 + 12) = 11 ;
5 5 5
z M = 1 ( 3z M − 2 z B + 4 zC ) = 1 (12 − 10 + 8) = 2.
5 5
Итак, точка М имеет декартовы координаты M ( − 8 ; 11 ; 2 ) .
5 5
1.22. Барицентрические координаты в пространстве. Пусть даны
четыре точки А, В, С и D, не лежащие в одной плоскости, и произвольная
точка отсчета О. Тогда для любой точки М существуют четыре числа α, β,
γ и δ такие, что α + β + γ + δ = 1 и OM = α ⋅ OA + β ⋅ OB + γ ⋅ OC + δ ⋅ OD .
Числа α, β, γ и δ определены однозначно и не зависят от выбора точки О.
Числа α, β , γ и δ , а также любая другая четверка чисел, ей пропорциональ-
ная, называется барицентрическими координатами точки М относительно
точек А, В, С и D. Если вектор DM = α ⋅ DA + β ⋅ DB + γ ⋅ DC , точка М имеет
приведенные барицентрические координаты {α : β : γ : δ } , где
δ = 1 − α − β − γ . Обратное утверждение тоже справедливо.
Пример 13. В тетраэдре ABCD точки Е и M
F расположены на ребрах АВ и CD соответст- Рис. 12
венно и делят их в отношении AE : EB = 3:1 ,
CF : FD = 2 :1 . На прямой EF расположена
точка М так, что F – середина отрезка ЕМ (см. D
Рис. 12). Найти барицентрические координа-
ты точки М относительно точек A, B, C и D. F
Решение. Разложим по трем некомпла-
нарным векторам a = DA , b = DB и c = DC
сначала вектор EF :
EF = EA + AD + DF = 4 BA − a + 1 DC =
3 C
3
A
= 4 (a − b) − a + 1 c = − 1 a − 4 b + 1 c,
3
3 4
3
3
E
а затем вектор DM : B
DM = DA + AE + EM = a + 4 AB + 2 EF = a + 4 ( b − a ) + 2 ( − 1 a − 4 b + 1 c ) =
3 3
4
3
3

= − 1 a − 4 b + 2 c.
4
3
3
Следовательно, α = − 1 , β = − 4 , γ = 2 ⇒ δ = 1 − α − β − γ = 4 .
4
3
3 3
Искомые барицентрические координаты точки М – любая четверка чи-
сел, пропорциональная числам α, β, γ и δ, например (если коэффициент про-
порциональности взять равным 12), M {− 3: − 9 : 8 :16} .
1.23. Центр масс совокупности материальных точек.
Пусть даны п точек A1 , A2 , , ..., An , в которых сосредоточены массы
m1 , m2 , ..., mn соответственно. Векторным статическим моментом этой
системы точек относительно точки отсчета О называется вектор

19


MO = m1OA1 + m2 OA2 + ... + mn OAn . Точка С называется центром масс сис-
темы материальных точек, если относительно точки С векторный момент
этой совокупности равен нулю: MC = m1 CA1 + m2 CA2 + ... + mn CAn = 0 .
Центр масс определен не только для конечной совокупности точек, но и
для любой сплошной материальной линии, поверхности или тела.
Центроидом совокупности геометрических точек, называется центр
масс точек, в которых сосредоточены одинаковые (например, единичные)
массы. Центроид определяется и для любой геометрической фигуры – это
центр масс этой фигуры, наделенной некоторой (не важно, какой) постоян-
ной плотностью, например, равной единице. И тогда в роли массы линии, по-
верхности или тела выступает её длина, площадь или объем соответственно5.
Центр масс С совокупности точек определен однозначно, и его радиус
вектор относительно любой точки отсчета О вычисляется по формуле:
OC = 1
(
m OA + m2 OA2 + ... + mn OAn .
m1 + m2 + ... + mn 1 1 )
Радиус-вектор центроида С совокупности п точек A1 , A2 , , ..., An равен
OC = 1
n (OA1 + OA2 + ... + OAn ) .
Если совокупность точек (геометрическая фигура) имеет ось или плос-
кость симметрии, то и её центроид лежит на этой оси симметрии (соответст-
венно в плоскости симметрии). Если фигура имеет центр симметрии, то этот
центр симметрии и является её центроидом.
1.24. Если говорить о центроиде многоугольника, то надо иметь в виду,
что последний можно рассматривать как:
1) совокупность его вершин;
2) совокупность всех его сторон, т.е. контур этого многоугольника;
3) часть плоскости, ограниченной сторонами многоугольника, т.е.
сплошной многоугольник (как, например, вырезанный из листа картона).
Центры масс этих трёх фигур, вообще говоря, не совпадают.
Аналогично, многогранник можно рассматривать как:
1) совокупность всех его вершин;
2) как совокупность всех его рёбер, т.е. это каркас данного многогран-
ника;
3) как совокупность всех его граней, т.е. это поверхность многогранни-
ка;
4) как часть пространства, ограниченного гранями многогранника, т.е.
сплошной многогранник (как например, выпиленный из куска дерева).
Центры масс этих четырех фигур, вообще говоря, не совпадают.
1. 25. При нахождении центра масс полезен следующий принцип.

5
Для точных определений и вывода формул для центра масс или центроида линии, поверхности
или тела требуется понятие интеграла (определенного, двойного, тройного, криволинейного или
поверхностного).
20


Принцип группировки: если
первая совокупность материаль- B
ных точек суммарной массой m1 Рис. 13
имеет центр масс в точке C1 , b M3
вторая группа материальных то- A1 C1
чек суммарной массой m2 имеет
центр масс в точке C2 , то центр M4
M1 M2
масс объединённой совокупности C A
точек совпадает с центром масс a B1
точек C1 и C2 , в которых сосре-
доточены массы m1 и m2 соответственно.
Обобщенный принцип группировки: Если имеется k групп совокупно-
стей материальных точек, и первая совокупность суммарной массой m1
имеет центр масс в точке C1 , вторая группа суммарной массой m2 имеет
центр масс в точке C2 , и т.д., и последняя совокупность суммарной массой
mk имеет центр масс в точке Ck , то центр масс объединённой совокупно-
сти точек совпадает с центром масс точек C1 , C2 ,…, Ck , в которых сосре-
доточены массы m1 , m2 , …. mk соответственно.
Пример 14. Используя принцип группировки, найти положение цен-
троида контура6 произвольного треугольника.
Решение. Контур треугольника АВС состоит из линий (трех его сторон),
поэтому роль массы здесь выполняет длина. Заменим каждую сторону тре-
угольника её центром масс (т.е её серединой), в котором сосредоточена мас-
са, равная длине этой стороны. Получим точки: А1 (середина ВС), В1 (сере-
дина АС) и С1 (середина АВ), в которых сосредоточены массы а, b и с соот-
ветственно. Тогда искомый центроид Q контура треугольника – это центр
масс данных трех материальных точек, и его радиус-вектор равен
OQ = a OA1 + b OB1 + c OC1 . Заметим, что стороны тре-
a+b+c a+b+c a+b+c
угольника A1B1C1 вдвое меньше соответствующих сторон треугольника АВС,
поэтому эта формула выражает радиус-вектор центра вписанной окружности
треугольника А1В1С1.
Ответ: центроид контура треугольника находится в центре окружности,
вписанной в треугольник, образованного средними линями исходного тре-
угольника.
Пример 15. Доказать, что центроид сплошного треугольника располо-
жен в точке пересечения его медиан, т.е. совпадает с центроидом вершин
треугольника.

6
Контуром многоугольника называется совокупность всех его сторон. Сам (сплошной!) много-
угольник представляет собой часть плоскости, ограниченной своим контуром.
21


Решение. Рассмотрим треугольник АВС, пусть – М положение центрои-
да этого (сплошного!) треугольника. Разложим вектор CM по базису a = CA ,
b = CB : CM = λ a + µ b . Разобьем треугольник АВС средними линиями А1В1,
А1С1 и В1С1 на четыре подобных ему треугольника вдвое меньших размеров
А1В1С, АВ1С1, А1ВС1 и А1В1С1 (см. Рис. 13). Обозначим через М1, М2, М3 и М4
соответственно центроиды этих (сплошных!) треугольников. В силу их подо-
бия, радиус-векторы центроидов этих треугольников относительно соответ-
ствующих точек имеют то же представление. Выпишем радиус-векторы этих
центроидов относительно точки С:
CM 1 = λ CB1 + µ CA1 = λ ⋅ 1 a + µ ⋅ 1 b ;
2 2
CM 2 = CB1 + B1M 2 = 1 a + λ ⋅ 1 a + µ ⋅ 1 b = 1 ( a + λ a + µ b ) ;
2 2 2 2
CM 3 = CA1 + A1M 3 = 1 b + λ ⋅ 1 a + µ ⋅ 1 b = 1 ( b + λ a + µ b ) ;
2 2 2 2
CM 4 = CC1 + C1M 4 = 1 a + 1 b − λ ⋅ 1 a − µ ⋅ 1 b = 1 ( a + b − λ a − µ b ) .
2 2 2 2 2
Поскольку роль массы здесь выполняет площадь, и площадь каждого из
меньших треугольников равна 1/4 от площади исходного треугольника, то,
по принципу группировки,
(
CM = 1 CM 1 + CM 2 + CM 3 + CM 4 ⇔
4 )
λ a + µb =
= 1 ( 1 ( λ a + µ b ) + 1 ( a + λ a + µ b ) + 1 ( b + λ a + µ b ) + 1 ( a + b − λ a − µ b) ) =
4 2 2 2 2

= 1 ( a + b + λ a + µ b ) ⇒ λ a + µ b = 1 (a + b) ⇒ λ = µ = 1 .
4 3 3
Отсюда радиус-вектор центроида сплошного треугольника относи-
тельно произвольной точки отсчета О равен
( )
OM = OC + CM = OC + 1 CA + CB = OC + 1 OA − OC + +OB − OC =
3 3 ( )
(
= 1 OA + OB + OC
3 )
и совпадает с центроидом трех вершин треугольника АВС. ■

Задачи для самостоятельного решения к главе 1.
1. 1. В пространстве даны произвольные точки А, B, C, D, E и F. Найти:
AB − ED + EF + BC − DC ; (б) AC + BA − BF + ED − EC + DF .
1. 2. Дан треугольник АВС. Построить векторы: (а) AB + CB ;
(б) AB − BC ; (в) 2 ⋅ AB − 3⋅ AC ; (г) 1 ⋅ AC + 2 ⋅ BC ; (д) AB − AC + BC .
2
1. 3. Дан тетраэдр ABCD. Построить векторы: (а) AB + С D ;
(б) AB + CD − AD ; (б) 2 ⋅ AD − 2 ⋅ B С ; (г) AC − 2 BC + 1 BD .
3 2
1. 4. Пусть а, b и с – произвольные векторы. Доказать, что векторы
p = 2a − 3b − 2c , q = a + 2b − c и r = a + 9b − c компланарны.

22


1. 5. С помощью векторной алгебры доказать следующие теоремы пла-
ниметрии:
(а) свойство средней линии треугольника; (б) свойство средней
линии трапеции;
(в) теорему о пересечении медиан треугольника.
(г) если медианы одного треугольника параллельны сторонам другого
треугольника, то и медианы второго треугольника параллельны сторо-
нам первого.
1. 6. С помощью векторной алгебры доказать следующие теоремы сте-
реометрии:
(а) Все четыре медианы7 любого тетраэдра пересекаются в одной точке,
которая делит каждую медиану в отношении 3 : 1 , считая от вершины,
и эта точка совпадает с точкой пересечения отрезков, соединяющих се-
редины противоположных рёбер из Примера 5 (эта точка называется
центроидом вершин тетраэдра).
(б) Все четыре диагонали произвольного параллелепипеда пересекают-
ся в одной точке и делятся ею пополам.
1. 7. Пусть М – точка пересечения медиан треугольника ABC. Доказать,
что MA + MB + MC = 0 .
1. 8. В треугольнике АВС точки D, E и F делят стороны АВ, ВС и АС со-
ответственно в одинаковом отношении: AD : DB = BE : EC = CF : FA .
Доказать, что AE + BF + CD = 0 .
1. 9. Дан правильный шестиугольник ABCDEF , AB = p , BC = q . Выра-
зить через p и q векторы: (а) CD ; (б) CE ; (в) FD ; (г) AE ; (е) AD ;
(ж) BE .
1. 10. Дан правильный пятиугольник ABCDE, AB = p , AC = q . Выразить
через p и q векторы: (а) AD ; (б) CD ; (в) AE ; (г) BD .

(cos36° = ) .
1+ 5
4
1. 11. Точки M и N – середины рёбер (сторон) AD и BC тетраэдра (че-
тырехугольника) ABCD . Доказать, что MN = 1 AB + DC .
2 ( )
1. 12. Даны четыре вектора p , q , r и s . Найти их сумму, если
p + q + r = λ s , q + r + s = λ p и векторы p , q и r не компланарны.
1. 13. Даны три некомпланарных вектора p , q и r . Найти значение λ, при
котором векторы a = λ p + q + r , b = p + λ q + r и c = p + q + λ r ком-
планарны.
1. 14. Даны три некомпланарных вектора p , q и r . Найти значения α и
β , при которых векторы α p + β q + r и p + 2α q + 3β r коллинеарны.

7
Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения
медиан противоположной грани.
23


1. 15. В трапеции ABCD известно отношение длин оснований:
AB CD = λ . Найти координаты вектора CB в базисе из векторов AB и
AD .
1. 16. Две взаимно перпендикулярные хорды AB и CD окружности с
центром O пересекаются в точке E . Доказать, что
OE = 1 ( OA + OB + OC + OD )
2
1. 17. Пусть точки A1 , B1 и C1 – середины сторон BC , AC и AB соответ-
ственно треугольника ABC . Доказать, что для любой точки O выпол-
няется равенство OA1 + OB1 + OC1 = OA + OB + OC .
1. 18. Пусть М – точка пересечения медиан тетраэдра ABCD. Доказать,
что
MA + MB + MC + MD = 0 .
1. 19. В пространстве даны два параллелограмма (или два тетраэдра)
ABCD и A1B1C1D1 , у которых E и E1 – точки пересечения диагоналей
(соответственно, медиан). Доказать, что
EE1 = 1 ( AA1 + BB1 + CC1 + DD1 ) .
4
1. 20. На плоскости даны две точки А и В и точка отсчета О. Доказать, что
произвольная точка М лежит на прямой АВ тогда и только тогда, когда
OM = α ⋅ OA + β ⋅ OB для некоторых α и β таких, что α + β = 1 .
1. 21. Доказать с помощью векторной алгебры, что если M – произвольная
точка внутри треугольника АВС и прямые АM, ВM и СM пересекают
стороны этого треугольника в точках А1, В1 и С1 соответственно, то
AC1 BA1 CB1
( а) ⋅ ⋅ = 1 (теорема Чевы);
C1B A1C B1 A
AM BM C M
( б) 1 + 1 + 1 = 1 .
AA1 BB1 CC1
1. 22. Доказать с помощью векторной алгебры теорему Менелая: если
некоторая прямая пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в
точках С1 и В1 соответственно, а продолжение стороны ВС – в точ-
ке А1, то
AC1 BA1 CB1
⋅ ⋅ =1
C1B A1C B1 A
1. 23. Пусть точки М и K делят рёбра AD и ВС тетраэдра ABCD в одина-
ковом отношении AM : MD = BK : KC = α : β . Доказать, что векторы
AB, CD и MK компланарны, и разложить последний вектор по пер-
вым двум.
1. 24. Основанием призмы ABCDA1B1C1D1 является трапеция ABCD, в ко-
торой AD BC . Известно, что векторы BA1 , CB1 и DC1 компланарны.
Найти отношение длин ребер АD и BC.

24

векторная алгебра

векторная алгебра

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (7)

Similar to векторная алгебра

Similar to векторная алгебра (20)

векторная алгебра