Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Многочлены наилучших среднеквадратичных приближений

882 views

Published on

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Многочлены наилучших среднеквадратичных приближений

  1. 1. Методы вычислений Многочлены наилучших приближений Кафедра теоретической механики Пикалов Р. С.Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет) 23 ноября 2012 г.
  2. 2. Постановка задачиПостановка задачиЗадана таблица значений функции yi = f (xi ), (i = 0, ..., n), наинтервале [x0 , xn ]. n nТребуется построить аппроксимирующую функцию: Φ(x) = c0 ϕ0 (x) + c1 ϕ1 (x) + ... + cm ϕm (x) Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 2 / 22
  3. 3. Постановка задачиПрименение метода наименьших квадратов к аппроксимации функцииf (x) функцией ϕ(x) означает подбор такой функции ϕ(x), котораяминимизирует среднеквадратическую погрешность приблеженногоравенства ϕ(x) ≈ f (x). Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 3 / 22
  4. 4. Постановка задачиНаилучшее среднеквадратическое приближениеФункция ϕ(x) называется наилучшим среднеквадратическимприближением функцииf (x) на заданном семействе функции.Расмотрим случай когда аппроксимирующая функция ϕ(x)представляет собой линейную комбинацию нескольких других, вообщеговоря, более простых (базисных) функций. Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 4 / 22
  5. 5. Скалярное произведение функций Скалярное произведение для непрерывных функцийСкалярное произведение функцийСкалярное произведение для непрерывных на отрезке [a, b] функцийДля пространства CL [a, b] непрерывных на [a, b] функций: b 1 скалярное произведение: (f (x), g(x)) = b−a f (x)g(x)dx a b 1 метрика (растояние):ρ(f (x), g(x)) = b−a [f (x) − g(x)]2 dx a b 1 норма: f (x) = ρ(f (x), 0) = b−a f (x)2 dx a Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 5 / 22
  6. 6. Скалярное произведение функций Скалярное произведение для сеточных функцийСкалярное произведение функцийСкалярное произведение для сеточных функцийДля пространства Rn+1 [a, b] сеточных функций, определённых в точкахxi ∈ [a, b](i = 0, ..., n): n 1 скалярное произведение: (f (x), g(x)) = n+1 f (xi )g(xi ) i=0 n 1 метрика: ρ(f (x), g(x)) = n+1 [f (xi ) − g(xi )]2 i=0 n 1 норма: f (x) = ρ(f (x), 0) = n+1 f (xi )2 dx i=0 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 6 / 22
  7. 7. Обобщенный многочленСреднеквадратические ошибкиВведеные указанным способом метрики характерезуют близостьфункций f (x) и ϕ(x) по отношению к приближенному равенствуf (x) ≈ ϕ(x) при x ∈ [a, b] они представляют собой интегральную иточечную среднекадратические ошибки: n (f (xi ) − ϕ(xi ))2 = min ⇐⇒ ρ(f, ϕ)Rn+1 [a,b] = min i=0 n (f (x) − ϕ(x))2 = min ⇐⇒ ρ(f, ϕ)CL [a,b] = min i=0 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 7 / 22
  8. 8. Обобщенный многочленОбобщенный многочленПусть {ϕj (x)}m - некоторая заданная на [a, b] система линейно j=0независимых функций. Обобщенным многочленом называетсяфункция вида Φ(x) := c0 ϕ0 (x) + c1 ϕ1 (x) + ... + cm ϕm (x), (1)где c0 , c1 , ..., cm - произвольные вещественные числа (коэфициентыобобщенного многочлена).Построение обобщенного многочленна (1) , сводиться к нахождениюоптимального набора коэффициентов cj , т.е к решению задачиминимизации: n [co ϕ0 + c1 ϕ1 + ... + cm ϕm − f (xi )]2 → min i=0 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 8 / 22
  9. 9. Обобщенный многочленДля задачи минимизации n [co ϕ0 + c1 ϕ1 + ... + cm ϕm − f (xi )]2 → min i=0необходимые (и достаточные) условия выражаются системой:  n  i=0 ϕ0 (xi )(c0 ϕ0 (xi ) + c1 ϕ1 (xi ) + ... + cm ϕm (xi )) = 0,      n    ϕ (x )(c ϕ (x ) + c ϕ (x ) + ... + c ϕ (x )) = 0, 1 i 0 0 i 1 1 i m m i (2)  i=0  ...   n      ϕm (xi )(c0 ϕ0 (xi ) + c1 ϕ1 (xi ) + ... + cm ϕm (xi )) = 0 i=0 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 9 / 22
  10. 10. Обобщенный многочленПреобразуем и перепишем систему (2) в терминах скалярныхпроизведений:   (ϕ0 , ϕ0 )c0 + (ϕ0 , ϕ1 )c1 + ... + (ϕ0 , ϕm )cm = (ϕ0 , f ),  (ϕ1 , ϕ0 )c0 + (ϕ1 , ϕ1 )c1 + ... + (ϕ1 , ϕm )cm = (ϕ1 , f ),  (3)   ... (ϕm , ϕ0 )c0 + (ϕm , ϕ1 )c1 + ... + (ϕm , ϕm )cm = (ϕm , f ) Система (3) чрезвычайно упрощается в случае, когда базисныефункции ϕj (x) (j = 0..m) образуют на [a, b] ортогональную систему. Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 10 / 22
  11. 11. Обобщенный многочленОртогональная система базисных функцийВзаимная ортогональность функций ϕj (x) означает что (ϕk (x), ϕj (x)) = 0 при любых k = jСледовательно систему (3) можно переписать в виде   (ϕ0 , ϕ0 )c0 = (ϕ0 , f ) = ϕ0 (x) ,  (ϕ1 , ϕ1 )c1 = (ϕ1 , f ) = ϕ1 (x) ,  (4)  ...  (ϕm , ϕm )cm = (ϕm , f ) = ϕm (x) . Из (4) =⇒ (ϕj , f ) (ϕj , f ) cj = = , (j = 0, .., m) (ϕj , ϕj ) ϕj (x) Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 11 / 22
  12. 12. Обобщенный многочленОртонормированная система базисных функцийДля ортонормированной системы {ϕj (x)}m , норма: j=0 (ϕj (x)ϕj (x)) = ϕj (x) = 1,Следовательно коэффиценты cj определяются по формуле: (ϕj , f ) cj = = (ϕj , f ), (j = 0, .., m) 1т.е. аппроксимация функции f (x) обобщенным многочленом имеетвид: f (x) ≈ (ϕ0 , f )ϕ0 (x) + (ϕ1 , f )ϕ1 (x) + ... + (ϕm , f )ϕm (x). Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 12 / 22
  13. 13. Системы ортогональных многочленовСистемы ортогональных многочленовПриведем некоторые сведения справочного характера обортогональных многочленах: Лежандра: χ0 = 1, χ1 = x, χ2 = 1 (3x2 − 1), .... 2 Чебышева: T0 = 1, T1 = x, T2 = 2x2 − 1, .... Лагерра: L0 = 1, L1 = 1 − x, L2 = x2 − 4x + 2, .... Эрмита: H0 = 1, H1 = 2x, H2 = 4x2 − 2, .... Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 13 / 22
  14. 14. Системы ортогональных многочленов Многочлены ЛежандраМногочлены ЛежандраМногочлены Лежандра χn (x) - наиболее употребительные изклассических ортогональных многочленов. Единственные для которыхусловие ортогональности на отрезке [−1, 1] выполняется в "чистомвиде". 1 0, если k = j, χk (x)χj (x)dx = 2 2k+1 , если k = j. −1 1 1 dn 2 χ0 = 1, χ1 = x, χ2 = (3x2 − 1), χn = (x − 1)n 2 n!2n dxnМногочлены Лежандра связаны рекуррентным соотношением: (n + 1)χn+1 (x) − (2n + 1)xχn (x) + nχn−1 (x) = 0 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 14 / 22
  15. 15. Системы ортогональных многочленов Многочлены ЧебышеваМногочлены ЧебышеваМногочленом Чебышева называется функция Tn (x) = cos(n arccos x),где n ∈ N0 , x ∈ [−1, 1]. Многочлены Чебышева ортогональны, с весом 1p(x) = √1−x2 . А именно, условие ортогональности имеет вид:  1 0, если k = j, dx  Tk (x)Tj (x) √ = π , если k = j = 0, 1 − x2  2 π, если k = j.  −1 T0 = 1, T1 = x, T2 = 2x2 − 1.Многочлены Чебышева связаны рукурентным соотношением: Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x) Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 15 / 22
  16. 16. Системы ортогональных многочленов Многочлены Чебышева 1.0 0.51.0 0.5 0.5 1.0 0.5 1.0 Многочлены ЧебышеваКафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 16 / 22
  17. 17. Системы ортогональных многочленов Многочлены ЛагерраМногочлены ЛагерраМногочлены Лагерра ортогональны на промежутке [0, +∞), с весомp(x) = e−x . Условие ортогональности имеет вид: +∞ 0, если k = j, e−x Lk (x)Lj (x)dx = (k!)2 , если k = j. 0 L0 = 1, L1 = 1 − x, L2 = x2 − 4x + 2.Многочлены Лагерра связаны рекуррентным соотношением: Ln+1 (x) − (2n + 1 − x)Ln (x) + n2 Ln−1 (x) = 0 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 17 / 22
  18. 18. Системы ортогональных многочленов Многочлены ЭрмитаМногочлены ЭрмитаМногочлены Эрмита Hn (x) ортогональны на всей числовой оси с 2весом p(x) = e−x . Условие ортогональности имеет вид: +∞ 2 0, если k = j, e−x Hk (x)Hj (x)dx = k k!√π, если k = j. 2 −∞ H0 = 1, H1 = 2x, H2 = 4x2 − 2.Многочлены Эрмита связаны рекуррентным соотношением: Hn+1 (x) − 2xHn (x) + 2bHn−1 (x) = 0 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 18 / 22
  19. 19. Пример аппроксимации таблично-заданной функцииПримерНа интервале [−1, 1] задана табличная функция f (x): x -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 y -0.8 -0.7 -0.71 -0.6 0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -0.09 0 x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 y 0.09 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.71 0.7 0.8Необходимо построить аппроксимирующую функцию ϕ(x). Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 19 / 22
  20. 20. Пример аппроксимации таблично-заданной функцииВ качестве базисных функций используем многочлены Лежандра, 0,1 ивторого порядка: 1 ϕ(x) = c0 + xc1 + (3x2 − 1)c2 2Используя формулы скалярного произведения для сеточных функций, (χ ,f )определим коэффиценты cj = (χjj,χj ) , (j = 0, 1, 2) c0 = −0.0420735, c1 = 0.902449, c3 = −0.205244 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 20 / 22
  21. 21. Пример аппроксимации таблично-заданной функцииПодставляя найденные коэффиценты, получим аппроксимирующуюфункцию: 0.205244 ϕ(x) = −0.0420735 + 0.902449x − (3x2 − 1) 2 Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 21 / 22
  22. 22. Список использованных источниковСписок использованных источников 1 Вержбицкий В. М. Основы численных методов. М.:Высшая школа, 2002. 2 Вержбицкий В. М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уавнения. М.:Высшая школа, 2001. Кафедра ТМ (СГАУ) Методы вычислений 23 ноября 2012 г. 22 / 22

×