Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Простейшие применения принципа сжатых отображений.
Пусть f – функция, определенная на [a,b], удовлетворяющая условию Липши...


n
j
ija
1
1


n
i
ii yxyx
1
),(
)",'(max"'max
"')"'("')",'(
xxaxxa
xxaxxayyyy
i
ij
j
jj
j
ij
i
j
jj
j
ij
ii j
...
(x) = dttutfy
x
x
))(,(
0
0 
В силу непрерывности f f(x)K в G (G’<G), где x0G.
Выберем так, чтобы
1. (x,y)G’,если ...
y0 = 1 2
0
1
2
1.0
1)11.0( xxdxxy
x
 
x
x
xdxy
x
  2
1.0
11.11
2
0
1
y   dxxxx
x
)
2
1.0
1(1.0 2
0
2
=1+ ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

простейшие применения принципа_сжатых_отображени1

264 views

Published on

простейшие применения принципа_сжатых_отображени1

Published in: Engineering
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

простейшие применения принципа_сжатых_отображени1

  1. 1. Простейшие применения принципа сжатых отображений. Пусть f – функция, определенная на [a,b], удовлетворяющая условию Липшица f(x2)-f(x1) Kx2-x1 с константой K<1 и отображающая сегмент [a,b] в себя. Тогда f - есть сжатое отображение и последовательность )(),(, 12010 xfxxfxx  - сходится к единственному корню уравнения x = f(x). В частности, условие сжатости выполнено, если функция имеет на [a,b] производную f’(x), причем f’(x)K<1 ` x3 x 2 x3 x f’(x)>0 y y=x y xx0 x 2 x3 x1 f’(x)<0 Пусть есть уравнение F(x) = 0 F(a) < 0; F(b) > 0 Введем f(x) = x -  F(x) и будем искать x = f(x) f’ = 1-F’(x) 1-K2 f’(x)  1 - F’(x) - необходимо подобрать  так, чтобы действовал метод. Рассмотрим отображение A n-мерного пространства в себя, задаваемое системой линейных уравнений nibxay ij n j iji ,...,2,1 1   Если A – сжатое отображение, то это можно использовать для решения x=Ax. ii i yxyy  max),( jj j ij i jj j ij i j jjij i ii i xxaxxa xxayyyy "'maxmax"'max )"'(max"'max)",'(    
  2. 2.   n j ija 1 1   n i ii yxyx 1 ),( )",'(max"'max "')"'("')",'( xxaxxa xxaxxayyyy i ij j jj j ij i j jj j ij ii j jjij i ii        1 0   n i ija       i i j ij j yjij n i ii xxaxxayy yxyx )",'()())"'(()",'( )(),( 2222 1 2     i j ija 1 Если выполнено хотя бы одно из условий, то существует одна и только одна точка x, такая, что ijij n j i bxax  1 Эти условия достаточные. Если h aij 1  - метод последовательных приближений не применим. Пусть дано уравнение ),( yxf dx dy  y(x 00 ) y f(x,y)- определена и непрерывна в некоторой области G содержащей (x0, y0) и удовлетворяет условию Липшица [точка(x0, y0)G] f(x1, y1) – f(x1, y2)My1 – y2 Докажем что тогда на некотором сегменте x – x0d существует, и притом только одно, решение y = (x). (Теория Пикара) Уравнение эквивалентно интегральному уравнению
  3. 3. (x) = dttutfy x x ))(,( 0 0  В силу непрерывности f f(x)K в G (G’<G), где x0G. Выберем так, чтобы 1. (x,y)G’,если x – x0d ; y – y0Kd 2. Md<1 Обозначим через C* пространство непрерывных функций y, определенных на сегменте x – x0d , и таких, что (x) – y0Kd с метрикой (1,y)= max y1(x) – y2(x) Пространство C* полно, т.к. оно является замкнутым подпространством полного пространства всех непрерывных функций на ],[ 00 dxdx  . Рассмотрим отображение =Ay, Определяемое формулой dtttfyx x ))(,()( 0 0   где x – x0d. Это отображение переводит полное пространство C* в себя и является в нем сжатым. Действительно суть C* , x – x0d . Тогда Kddtttfyx x x   ))(,()( 0 0  и следовательно, A(C*)C*. Кроме того )()(max)(,()(,()()( 21212 0 xxMddtttfttfxx x x    Т.к Md < 1, то отображение A сжатое. Пример решения задачи методом последовательных приближений       1)0( 11.0 y xy dx dy       1)0(y y df dy ),(11.0 yxfxy dx dy  122121 ))()(( yyMyxfyxf  M=0.1 10  xx dxxyy n x n )11.0(1 1 0  
  4. 4. y0 = 1 2 0 1 2 1.0 1)11.0( xxdxxy x   x x xdxy x   2 1.0 11.11 2 0 1 y   dxxxx x ) 2 1.0 1(1.0 2 0 2 =1+ x + 432 42 01.0 3 1.0 2 1.0 xxx   Принцип сжатых отображений для интегральных уравнений. Применим принцип сжатых отображений для доказательства существования и единственности решения неоднократно линейного интегрального уравнения Фредгольма 2 рода. f(x)= )()(),( xdyyfyxK b a  где K (ядро) и  - суть данные функции, f – искомая функция,  - произвольный параметр. Предположим, что K(x,y) и  (x) – непрерывны при x[a,b], y[a,b] и, следовательно, K(x,y)M. Рассмотрим отображение q=Af полного пространства C[a,b] в себя, задаваемое формулой )()(),()( xdyyfyxKxg b a    Имеем )()(max)()()(max),( 212121 xfxfabMxgxggg   Следовательно, при )( 1 abM   - отображение A сжатое. Из принципа сжатых отображений заключаем, что для всякого  с )( 1 abM   уравнения Фредгольма имеет единственное непрерывное решение. Последовательность приближения имеет вид f ),()(),()( 10 xdyyfyxKx n b a    где f0(x) - любая непрерывная функция.

×