semoga bermafaat :)

1. MAKALAH
METODE TRANSFORMASI
Disusun oleh :
KELOMPOK 3
1. (5150711122) Muhammad Ade Irawan
2. (5150711096) Fariz Saputra
3. (5150711127) Ervandi Putra AS
4. (5150711108) Marlon Setio Nugroho
5. (5150711119) Irfan Widanarko
6. (5150711129) Iqbal Fajar Syahbana
7. (5150711133) Duwi Sulistiyono
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS TEKNOLOGI YOGYAKARTA
2016

2. 1
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kami panjatkan ke-hadirat Tuhan, karena atas berkat
rahmat dan karuniaNyalah, sehingga makalah ini dapat terselesaikan. Adapun
tujuan makalah ini adalah untuk menjelaskan deret fourier jangkauan setengah
dan deret fourier fungsi eksponensial.
Dengan membuat makalah ini, di harapkan mampu untuk memberikan
masukan mengenai deret fourier, sehingga dapat menghasilkan proses
pembelajaran yang lebih baik .
Dalam menyelesaikan makalah ini, terdapat beberapa kesulitan yang
dialami, namun berkat bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak, akhirnya karya
tulis ini dapat terselesaikan dengan cukup baik. Untuk itu kami banyak
mengucapkan banyak terima kasih.
Disadari bahwa makalah ini masih banyak kekurangannya, sehingga
diharapkan adanya kritik yang membangun dan saran yang bersifat positif, guna
terciptanya makalah yang lebih baik lagi ke depannya.
Adapun harapan kami, semoga makalah yang sederhana ini, dapat
memberi masukan yang baik bagi kampus kita yang tercinta.

3. 2
DAFTAR ISI
SAMPUL
KATA PENGANTAR............................................................................ 1
DAFTAR ISI ........................................................................................ 2
BAB I PENDAHULUAN..................................................................... 3
A. Latar Belakang ............................................................ 3
BAB II PEMBAHASAN ................................................................... 6
A. Deret Fourier Jangkauan Setengah ............................. 6
B. Deret Fourier Eksponensial............................................ 10
BAB III PENUTUP ............................................................................ 14
A. Kesimpulan .................................................................... 14
B. Saran .............................................................................. 14

4. 3
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Deret Fourier ditemukan oleh ilmuan Perancis, Jean Baptiste Joseph
Fourier (1768-1830) yang menyatakan bahwa semua bentuk fungsi/sinyal
periodik dapat direpresentasikan ke dalam Deret Fourier yang merupakan
deret Sinusoidal (sinus & cosinus). Perhatikan gambar sinyal berikut :
Gelombang = Getaran = Sinyal = Fungsi (model matematiknya)
mengakibatkan tekanan molekul udara di suatu daerah menjadi tinggi &
daerah lain rendah. Jika tekanan diukur sebagai fungsi dari t, maka akan
diperoleh fungsi periodik f(t).
Catatan :
1. Jika suatu bentuk sinyal/fungsi tertentu akan berulang dengan
bentuk yang sama dalam setiap periode, maka sinyal tersebut
dikatakan sebagai sinyal periodik.
2. Gelombang suara merupakan gelombang sinus murni dengan
frekuensi tertentu.
3. Frekwensi resultan gelombang suara merupakan sejumlah nada
dengan frekuensi 2, 3, 4, ... kali frekuensi dasar.
4. Frekuensi lebih tinggi berarti periode lebih pendek.
5. Jika 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝒕 dan 𝐜𝐨𝐬 𝛚𝒕 = ferkuensi dasar, maka
𝐬𝐢𝐧 𝒏𝛚𝒕 dan 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝛚𝒕 = nada harmonik yang lebih tinggi.
6. Kombinasi antara frekuensi dasar & harmoniknya membentuk
fungsi periodik dengan periode dasar.

5. 4
7. Setiap sinyal periodik dapat dinyatakan sebagai penjumlahan
dari sinyal-sinyal harmonik.
8. Penjumlahan sinyal-sinyal harmonik dari suatu sinyal periodik
dinyatakan dalam Deret Fourier.
Fungsi f(x) dikatakan punya periodik T atau f(x) periodik dengan periode T,
jika untuk setiap x berlaku :
𝒇 𝒙 + 𝐓 = 𝒇 𝒙
T = konstanta positif (T > 0), nilai terkecil T dinamakan periode terkecil
atau disingkat f(x). Grafik suatu sinyal/fungsi dengan periode T didapat
dengan menggambarkan grafik fungsi dasarnya secara berulang seperti
gambar berikut :
1. Periode dari 𝒇 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 adalah 2𝝅
2. Periode dari 𝒇 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 adalah 2𝝅
3. Periode dari 𝒇 𝒙 = 𝐭an 𝒙 adalah 𝝅

6. 5
Andaikan f(x) adalah sebuah fungsi periodik dengan periode T yang
terdefinisikan dalam selang dasar a < x < a + T, yakni f(x)= f(x + T), maka
fungsi f(x) dapat diuraikan dalam deret Fourier sebagai berikut :
Dengan koefisien-koefisien a0, an, dan bn yang disebut sebagai koefisien-
koefisien Fourier, ditentukan oleh fungsi f(x) melalui hubungan integral
sebagai berikut :

7. 6
BAB II
PEMBAHASAN
A. DERET FOURIER JANGKAUAN SETENGAH
Dalam suatu persoalan fisika, fungsi f(x) mungkin hanya terdefinisikan
dalam suatu selang positif; 0 < x < l. Oleh karena itu seringkali perlu untuk
memperluasnya ke seluruh sunbu x, baik ke arah sumbu x positif maupun ke
arah sumbu x negatif.
Dalam hal ini ada 3 pilihan yang dapat dilakukan sebagai berikut:
1. Fungsi f(x) diperluas menjadi fungsi periodik tidak ganjil – tidak genap
dengan periode T = l; dan selang dasarnya 0 < x < l, dengan l
sembarang positif.
2. Selang dasar 0 < x < l diperluas ke selang negatif secara simetris
terhadap sumbu x = 0 menjadi – l < x < l, dan fungsi f(x) diperluas
menjadi fungsi periodik dengan periode T = 2l.
Dalam hal ini kita mempunyai dua pilihan yakni memperluas fungsi f(x)
sebagai fungsi genap fc(x) atau fungsi ganjil fs(x).
Contoh:
Diketahui sebuah fungsi yang terdefinisi pada setengah daerah:
Nyatakan fungsi ini dalam:
a. Deret Fourier fungsi cosinus (fungsi genap)
b. Deret Fourier fungsi sinus (fungsi ganjil)
c. Deret Fourier fungsi cosinus-sinus (fungsi tidak genap-tidak ganjil)

8. 7
Pemecahan:
a. Pernyataan fungsi dalam deret Fourier kosinus (fungsi genap)
Untuk membentuk fungsi genap, maka selang dasar (0 < x < 2) di atas
diperluas ke selang negatif menjadi (-2 < x < 2), dan fungsi f(x) diperluas
menjadi fungsi periodik genap {f(-x) = f(x)} dengan periode T = 4 (L = 2)
seperti ditunjukkan pada gambar berikut:
Untuk fungsi genap ini bn = 0, a0 = dan an ditentukan sebagai berikut:
Maka diperolah uraian deret Fourier cosinus untuk f(x), sebagai berikut :

9. 8
b. Pernyataan fungsi dalam deret Fourier sinus (fungsi ganjil)
Untuk membentuk fungsi ganjil, maka selang dasar (0 < x < 2) di atas
diperluas ke selang negatif menjadi (-2 < x < 2), dan fungsi f(x) diperluas
menjadi fungsi periodik ganjil {f(-x) = -f(x)} dengan periode T = 4 ( L =
2) seperti ditunjukkan pada gambar berikut:
Untuk fungsi ganjil ini a0 = 0, an = 0, dan bn ditentukan sebagai berikut:
Maka diperoleh uraian deret Fourier sinus untuk f(x), sebagai berikut:
c. Pernyataan fungsi dalam deret Fourier sinus-cosinus (fungsi tidak ganjil-
tidak genap)

10. 9
Untuk membentuk fungsi periodik ini, tinggal memperluas f(x) ke kiri
dan ke kanan sumbu x dengan periode T=2 (L=1) seperti pada gambar
berikut :
Koefisien-Koefisien Fourrier a0, an dan bn dapat ditentukan sebagai
berikut :
Sehingga pernyataan deret Fouriernya adalah :

11. 10
B. DERET FOURIER EKSPONENSIAL
Pernyataan deret Fourier suatu fungsi periodik dapat pula dibangun dari
fungsi eksponensial, dengan menggunakan hubungan Euler sebagai berikut:
Dengan menyisipkan :
dan
ke dalam pernyataan deret Fourier dari suatu fungsi periodik, sebagai berikut:
Di dapat:

12. 11
Indeks jumlah n pada deret ke dua telah dinamakan ulang dengan –n. Jika
didefinisikan :
Maka di dapat pernyataan fungsi periodik dalam deret Fourier eksponensial
sebagai berikut :
Koefisien Cn dapat di cari dengan persamaan integral berikut :
Dan

13. 12
Tentukan pernyataan Fourier Eksponensial dari fungsi periodik sebagai
berikut:
Pemecahan :

14. 13
Koefisien-koefisien Fourier eksponensial ditentukan sebagai berikut :
Maka diperoleh uraian deret Fourier eksponensial sebagai berikut :

15. 14
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Dalam penggunaan deret fourier jangkauan setengah diperlukan
penyelesaian dengan menggunakan pemecahan fungsi genap(cos), fungsi
ganjil(sin) dan fungsi tidak genap-fungsi tidak ganjil(cos-sin). Sedangkan
dalam penggunaan deret fourier eksponensial diperlukan penyelesaian
dengan menggunakan pemecahan dari fungsi periodik dengan
menggunakan hubungan Euler.
B. Saran
Dalam pembuatan makalah ini masih banyak kekurangan dan
kendala yang kita hadapi diharapkan teman-teman dan juga dosen pembina
dapat memberikan masukan sehingga bisa menjadikan makalah ini
menjadi lebih baik.

16. 15