Dokumen tersebut membahas tentang deret Fourier, yang merupakan ekspansi matematis untuk merepresentasikan fungsi periodik menjadi jumlahan fungsi-fungsi sinus dan kosinus. Dokumen tersebut menjelaskan konsep dasar deret Fourier seperti fungsi periodik, kontinuitas, koefisien Fourier, serta kondisi agar deret Fourier konvergen.

1. DERET FOURIER:

2. Fungsi Periodik
Fungsi f(x) dikatakan periodik dengan
perioda T, jika untuk semua harga x
berlaku:
f(x+T) = f(x); T adalah konstanta positif
Harga terkecil dari T > 0 disebut
perioda terkecil atau disebut perioda
dari f(x).

3. Contoh:
• Fungsi sin x mempunyai periode 2, 4,
6,…karena sin (x+2) = sin (x+4)= sin
(x+6) =…=sin x
• Periode dari sin nx atau cos nx: dengan
n bilangan bulat positif adalah 2/n
• Periode dari tan x adalah 
• Fungsi konstan mempunyai periode
sembarang bilangan positif

4. Contoh gambar dari fungsi-fungsi
periodik
a.
b.
f(x)
periode
periode
f(x)
x
x

5. Kontinuitas
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada setiap
segmen (piecewise continuous function),
bila f(x) hanya kontinu pada interval-
interval tertentu dan diskontinu pada
titik-titik yang banyaknya berhingga.
Harga f(x) di titik-titik diskontinu
ditentukan dengan menghitung harga
limit fungsi f(x) untuk x mendekati titik
diskontinu (ujung masing-masing
interval)

6. Contoh gambar kontinuitas
f(x)
x1 x2 x3 x4
x

7. Definisi Deret Fourier
Jika fungsi f(x) terdefinisi pada interval
(-L,L) dan diluar interval tersebut f(x)
periodik dengan periode 2L, maka
Deret Fourier atau Ekspansi Fourier
dari fungsi f(x) tersebut didefinisikan
sebagai berikut:
)
1
(
...
sin
cos
2
)
(
1
0












n
n
n
L
x
n
b
L
x
n
a
a
x
f



8. dengan koefisien Fourier an, bn
ditentukan oleh:
)
3
(
...
.
...
,
3
,
2
,
1
,
0
;
sin
)
(
1
)
2
(
...
)
(
1
;
cos
)
(
1
0

 

 




L
L
n
L
L
L
L
n
n
dx
L
x
n
x
f
L
b
dx
x
f
L
a
dx
L
x
n
x
f
L
a



9. Jika interval (-L,L) sembarang dan f(x)
mempunyai periode 2L maka
dengan C sembarang bilangan real.
Jika C=-L maka rumus (4) dan (5) akan
sama dengan (2) dan (3).
)
5
(
...
2
...
,
3
,
2
,
1
,
0
;
sin
)
(
1
2 2
)
4
(
...
)
(
1
0
;
cos
)
(
1










L
C
C
n
dx
L
x
n
x
f
L
n
b
L
C
C
L
C
C
dx
x
f
L
a
dx
L
x
n
x
f
L
n
a



10. CONTOH :
0 -5<x<0
f(x)= periode = 10
3 0<x<5
a. Gambarkan f(x) diatas !
b. Tentukan koefisien Fourier an dan bn!
c. Tuliskan deret Fourier !
d. Uraikan deret Fourier !

11. Jawab :
x
f(x)
-5 5 10
-10
3
6
a.

12. b. Periode = 10
2L = 10
L = 5




























5
0
0
5
n
5
0
0
5
n
5
5
n
2L
c
c
n
dx
L
πx
n
(3)cos
dx
L
πx
n
(0)cos
5
1
a
L
πx
n
cos
f(x)
dx
L
πx
n
cos
f(x)
5
1
a
L
πx
n
cos
f(x)
5
1
a
L
πx
n
cos
f(x)
L
1
a

13. 0
a
0
nπ
sin
nπ
5
5
3
a
5
x
π
n
sin
nπ
5
5
3
a
dx
5
x
π
n
cos
5
3
a
n
n
5
0
n
5
0
n
















 

14. 













 







0
5
5
0
n
5
5
n
2L
c
c
n
5
0
5
0
0
dx
5
x
π
n
sin
(3)
dx
5
x
π
n
sin
(0)
5
1
b
dx
5
x
π
n
sin
f(x)
5
1
b
dx
L
x
π
n
sin
f(x)
L
1
b
3
dx
5
3
dx
0
cos
5
3
a
0
n

15.  
   
nπ
cos
1
nπ
3
1
nπ
cos
nπ
3
b
0
cos
nπ
cos
nπ
3
b
5
x
π
n
cos
nπ
3
b
dx
5
x
π
n
sin
5
3
b
dx
5
x
π
n
sin
(3)
5
1
b
n
n
5
0
n
5
0
n
5
0
n



























16. c. Deret Fourier
∑
∑
∞
∞
1
n=
1
n=
n
n
0
n
n
0
)
(
)
(
5
x
π
n
sin
nπ
)
π
n
cos
3(1-
+
2
3
L
x
π
n
sin
b
L
x
π
n
cos
a
+
2
a
nπ
)
π
n
cos
3(1-
=
b
dan
0,
=
a
3,
=
a
diperoleh
sebelumnya
hasil
Dari


17. d. Uraian Deret Fourier

18. Syarat / Kondisi Dirichlet
Deret Fourier konvergen bila memenuhi syarat/
kondisi Dirichlet
Teorema: Jika
1.f(x) terdefinisi dan bernilai tunggal,
kecuali pada beberapa titik yang
banyaknya berhingga pada interval
(-L,L)
2.f(x) periodik dengan periode 2L
3.f(x) dan f(x) merupakan fungsi-fungsi
yang kontinu pada setiap segmen
pada interval (-L,L).

19. maka deret Fourier (1) dengan koefisien (2)
dan (3) atau (4) dan (5) konvergen ke :
1. f(x) jika x merupakan titik kontinu pada
interval (-L,L)
2. jika x adalah titik diskontinu
2
)
(
)
( 

 x
f
x
f

20. Contoh:
Dari soal sebelumnya :
bagaimanakah f(x) harus ditentukan pada
x=-5; x=0 dan x=5 agar deret Fourier
tersebut konvergen ke f(x) pada interval
(-5,5)









 10
5
0
3
0
5
0
)
( periode
x
untuk
x
untuk
x
f

21. Jawab :
Berhubung pada titik-titik continue, deret adalah
konvergen ke f(x) maka pada titik-titik diskontinu
agar deret konvergen, haruslah diambil konvergen
ke :
Bila kita definisikan f(x) sebagai,
3/2 , x = -5
0 , -5 < x < 0
f(x) = 3/2 , x = 0
3 , 0 < x < 5
3/2 , x = 5
Maka deret konvergen ke f(x) untuk -5 ≤ x ≤ 5
.
2
3
2
0
3
2
)
(
)
( 0
0





 h
x
f
h
x
f

22. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Fungsi f(x) disebut fungsi genap jika f(-x) = f(x)
untuk setiap x.
Contoh : f(x) = cos x
f(x) = x4
Fungsi polinomial dalam x yang suku-
sukunya
berpangkat genap merupakan fungsi genap.
Jika f(x) fungsi genap maka :

 

a
a
a
dx
x
f
dx
x
f
0
)
(
2
)
(

23. Deret fourier dari fungsi genap:
Jadi jika f(x) fungsi genap maka bn=0
sehingga yang muncul hanya suku-
suku yang mengandung cosinus (suku-
suku dari an)

 






L
L
n
L
L
L
n
dx
L
x
n
x
f
L
b
dx
L
x
n
x
f
L
dx
L
x
n
x
f
L
a
0
sin
)
(
1
cos
)
(
2
cos
)
(
1
0




24. Fungsi f(x) disebut fungsi ganjil jika :
f(-x) = - f(x)
untuk setiap x.
Contoh : f(x) = sin x
f(x) = x3
Fungsi polinomial dalam x yang suku-
sukunya berpangkat ganjil merupakan fungsi
ganjil.
Jika f(x) fungsi ganjil maka :
0
)
( 


a
a
dx
x
f

25. Deret fourier dari fungsi ganjil:
Jadi, jika f(x) fungsi ganjil maka an = 0,
sehingga yang muncul hanya suku-
suku yang mengandung sinus (suku-
suku dari bn)









L
L
L
n
L
L
n
dx
L
x
n
x
f
L
dx
L
x
n
x
f
L
b
dx
L
x
n
x
f
L
a
0
sin
)
(
2
sin
)
(
1
0
cos
)
(
1




26. Deret Fourier Sinus atau Cosinus Separuh
Jangkauan
• Deret sinus dan cosinus setengah jangkauan
adalah suatu deret fourier yang hanya
mengandung suku sinus dan cosinus saja.
• Apabila diinginkan deret setengah jangkauan
yang sesuai dengan fungsi yang diberikan,
fungsi yang dimaksud biasanya hanya
diberikan dalam setengah interval dari (-L,L)
yaitu pada interval (0,L). Setengah lainnya
yaitu (-L,0) ditentukan berdasarkan
penjelasan fungsinya genap atau ganjil.

27. • Deret sinus setengah jangkauan adalah
deret Fourier dengan:
a. f(x) fungsi ganjil
b.
• Deret cosinus setengah jangkauan
adalah deret Fourier dengan:
a. f(x) fungsi genap
b.



L
n
n dx
L
x
n
x
f
L
b
a
0
sin
)
(
2
;
0

0
;
cos
)
(
2
0

  n
L
n b
dx
L
x
n
x
f
L
a


28. Contoh :
Ekspansikan f(x) = x; 0<x<2 ke dalam;
a. Deret sinus setengah jangkauan
b. Deret cosinus setengah jangkauan

29. Jawab :
a. Deret sinus setengah jangkauan.
f (x) = x ; 0 < x < 2 diperluas dalam bentuk
fungsi ganjil sepanjang interval -2 < x < 2
(dengan periode 4), sebagai berikut:

30. Sehingga an = 0
Jadi deret sinus setengah jangkauannya :

31. b. Deret cosinus setengah jangkauan.
f (x) = x ; 0 < x < 2 diperluas dalam bentuk
fungsi genap sepanjang interval -2 < x < 2
(dengan periode 4), sebagai berikut:

32. Sehingga bn = 0
Jadi deret cosinus setengah jangkauannya :