Makalah ini membahas metode transformasi integral Fourier untuk merepresentasikan fungsi melalui integral trigonometri. Teorema integral Fourier menyatakan bahwa fungsi yang kontinu sepotong-sepotong dapat direpresentasikan oleh integral Fourier. Integral Fourier dapat digunakan untuk memecahkan persamaan diferensial dan mengintegralkan fungsi. Representasi integral Fourier lebih sederhana untuk fungsi genap atau ganjil melalui integral kosinus dan sinus Fourier. Metode ini diilustrasikan dengan contoh

1. 1
MAKALAH
METODE TRANSFORMASI
Disusun Oleh:
Nama Kelompok 3 :
 Panji Setyo Utomo 5150711097  Evan J.P 5150711123
 Muhammad Faiz 5150711105  Mario Sumantri 5150711136
 M. Iqbal Khoirudin 5150711109  Mochammad Azizurrohman 5150711139
 Dhimas Amrie Sujono 5150711116
Teknik Elektro C
PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS TEKNOLOGI YOGYAKARTA
2015/2016

2. 2
Kata Pengantar
Puji syukur kami haturkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan kesehatan dan
rahmat-Nya sehingga kami dapat menyusun makalah ini tanpa suatu halangan apapun, terima
kasih kepada dosen wali yang telah membimbing kami dalam proses perkuliahan ini.
Makalah ini kami buat supaya dapat menjadi acuan belajar metode transformasi atau kalkulus
lanjutan bagi para mahasiswa yang sedang menempuh mata kuliah yang bersangkutan.
Apabila terdapat kesalahan penulisan atau penjelasan kami minta maaf, kritik dan saran anda
sangat membantu kami.

3. 3
Daftar Isi
KATA PENGANTAR v
DAFTAR ISI vii
BAB I INTEGRAL FOURIER 1
1.1 Teorema 1 (Integral Fourier) 3
1.2 Integral Cosinus dan Integral Sinus 4
1.3 Perhitungan Integral 5
vii

4. 4
INTEGRAL FOURIER
Kita akan melihat apa yang akan terjadi jika L → ∞ .
seperti telah dikemukakan di atas, kita akan memperoleh suatu integral (alih-alih suatu
deret) yang melibatkan
cos wx dan sin wx dengan w mengambil semua nilai (alih-alih dibatasi pada
kelipatan bulat)
Kita sisipkan menurut rumus Euler (2) pasal 10.3,
dengan melambangkan v
sebagai peubah integrasi. Maka deret Fourier bagi
Sekarang kita definisikan :
Dengan demikian, sehingga kita dapat menuliskan deret Fourier itu dalam
bentuk :
1

5. 5
Presentasi ini berlaku untuk sembarang L tertentu,betapapun besarnya asalkan sehingga.
Sekarang kita buat L → ∞ dan kita asumsikan bahwa fungsi nonperiodik yang dihasilkan,
yakni :
Mengintegralkan secara absolute (absolutely integrable) pada sumbu –x, artinya integral
berikut ini ada:
Karena ∞ → L , maka 0 /1 → L dan nilai suku pertama di ruas kanan mendekati nol. Selain
itu,
dan tanpak jelas bahwa deret tak hingga di dalam menjadi suatu integral dari 0 sampai
∞, yang merepresentasikan
Kalau kita perkenalkan notasi :
Maka dapat kita tuliskan dalam bentuk
2
vii

6. 6
1.1 Teorema 1 (Integral Fourier)
Jika f(x) kontinu sepotong-sepotong pada setiap selang terhingga dan jika integral (2)
ada, maka f(x) dapat di representasikan oleh suatu integral Fourier. Pada titik dimana
f(x) tidak kontinu,nilai integral Fourier itu sama dengan rata-rata limit kiri dan limit
kanan .
Kegunaan utama integral fourier adalah untuk memecahkan persamaan differensial, kita
juga dapat menggunakan integral fourier didalam pengintegralan dan pembahasan fungsi
yang didefinisikan dengan
integral, sebagai di ilustrasikan sebagai berikut;
Tentukan representasi integral Fourier bagi fungsi.
Jawab : - Maka kita peroleh
Sehingga menghasilkan jawaban :
Rata-rata limit kiri dan limit kanan f(x) di x = 1 adalah (1+0)/2 = ½.
Lebih jauh, dari dan teorema 1 kita memperoleh :
Integral ini dinamai faktor ketidak kontinuan diriklet. Apabila x = 0, maka :
integral ini merupakan limit dari apa yang dinamakan integral sinus :
3

7. 7
Jika z → ∞ (z bilangan nyata).
Pada deret Fourier, grafik jumlah parsial merupakan kurva hampiran bagi kurva fungsi
periodik yang direpresentasikan oleh deret tersebut.
Begitu pula, pada Integral Fourier,
hampiran diperoleh melalui penggantian ∞ dengan bilangan a.
jadi integral :
Menghampiri integral di dalam (6) , yang berarti juga menghampiri f(x) :
Jika pada integral pertama di ruas kanan kita mengambil w + wx = t, maka dw/w = dt/t,
dan 0 ≤ w≤a menjadi 0 ≤ t ≤ (x+1)a.
Jika pada integral terakhir kita mengambil ,w-wx = −t
maka ,dw/w=dt/w dan selang 0≤w ≤a menjadi 0 ≤ t ≤ (x-1)a. Karena sin (-t) = - sin (t),
maka kita memperoleh :
Berdasarkan ini dan (8), kita lihat bahwa integral ini sama dengan :
1.2 Integral Cosinus Fourier dan Integral Sinus Fourier
Jika suatu fungsi bersifat genap atau ganjil ϖ dan
dapat direpresentasikan dengan suatu integral fourier, maka representasi ini lebih
sederhana
dibandingkan pada kasus fungsi yang bersembarang. Ini merupakan akibat langsung dari
rumus-rumus sebelum ini,
Jika f(x) suatu fungsi genap, maka di dalam (4) kita memperoleh B(w) = 0 dan
4

8. 8
Sehingga integral fourier (5) tereduksi menjadi apa yang dinamakan integral kosinus fourier
Begitu pula, jika f(x) ganjil, maka di dalam (4) kita memperoleh A(w) = 0 dan
Sehingga integral fourier (5) tereduksi menjadi apa yang dinamakan integral sinus fourier.
Penyederhanaan ini sangat mirip dengan penyederhanaan pada deret fourier.
1.3 Perhitungan Integral
Representasi Integral fourier dapat juga digunakan untuk menghitung integral.
Kita ilustrasikan ini dengan sebuah Integral Laplace.
Contoh :
Tentukan integral kosinus fourier dan integral sinus fourier bagi
Jawab:
(a) dari (10) kita memperoleh :
Mulailah pengintegralan bagian demi bagian :
Bila v = 0 maka ekspresi di ruas kanan sama dengan
bila v mendekati tak hingga, maka itu mendekati nol karena ada faktor eksponensial. Jadi,
Dengan mensubtitusikan ini kedalam (11) maka kita memperoleh represtasi integral
kosinus fourier :
5

9. 9
Dari representasi ini kita lihat bahwa :
Begitu pula, dari (12) kita memperoleh :
Melalui pengintegralan bagian demi begian :
Ini sama dengan bila, mendekati 0 bila v → ∞ .
Jadi :
Dengan demikian dari (13) kta memperoleh representasi integral sinus Fourier :
Dari sini kita melihat bahwa :
Integral-integral (15) dan (17) dinamakan integral laplace.
Kita melihat bahwa rumus-rumus (10)-(13) dapat digunakan
untuk mendefinisikan dua transformasi integral yang dikenal sebagai transformasi
kosinus fourier dan tranformasi sinus fourier.
6