Pcd dikawasan frekuensi

BAB 6
Pengolahan
Citra di Kawasan
Frekuensi
Setelah bab ini berakhir, diharapkan pembaca
mendapatkan berbagai pengetahuan berikut dan mampu
mempraktikkannya.
 Pengolahan citra di kawasan spasial dan kawasan
frekuensi
 Alihragam Fourier
 Fourier 1-D
 Fourier 2-D
 Fast Fourier transform
 Visualisasi pemrosesan FFT
 Penapisan pada kawasan frekuensi
 Filter lolos-rendah
 Filter lolos-tinggi
 Penapisan dengan pendekatan high frequency
emphasis

168 Pengolahan Citra, Teori dan Aplikasi
6.1 Pengolahan Citra di Kawasan Spasial dan Kawasan Frekuensi
Citra dapat ditransformasikan di kawasan spasial maupun di kawasan
frekuensi. Dua cara untuk melakukan transformasi citra ditunjukkan pada Gambar
6.2. Sejumlah contoh transformasi di kawasan spasial atau keruangan telah dibahas
di Bab 5. Namun, sebagai alternatif citra perlu diproses di kawasan frekuensi agar
penentuan daerah frekuensinya dapat lebih ketat dan tepat. Untuk itu diperlukan
pasangan transformasi dan transformasi-balik sebelum dan sesudah penapisan.
Gambar 6.1 Transformasi citra dapat diproses
melalui kawasan spasial maupun frekuensi
 Dalam bahasa Indonesia, istilah lain yang identik dengan
transformasi adalah alihragam.
 Adanya pasangan alihragam dan alihragam-balik tentu saja
menambah beban komputasi.
Salah satu alihragam yang biasa dipakai di kawasan frekuensi adalah
alihragam Fourier. Sejak algoritma alihragam Fourier ditemukan, telah
bermunculan pula macam-macam alihragam yang lain, seperti transformasi
gelombang-singkat (wavelet), transformasi Radon, dan DCT (Discrete Cosine
Transform).

Pengolahan Citra di Kawasan Frekuensi 169
6.2 Alihragam Fourier
Alihragam Fourier (Fourier transform) merupakan salah satu jenis
alihragam ke kawasan frekuensi yang banyak dipakai pada pengolahan citra.
Alihragam ini dimanfaatkan untuk memetakan citra dari kawasan spasial ke dalam
kawasan frekuensi. Disamping untuk melihat karakteristik spektrum citra, juga
menjadi bagian pemrosesannya. Citra dapat diamati sebagai kumpulan gelombang
sinusoid dengan frekuensi, amplitudo, dan fase yang berbeda-beda. Meskipun pada
zaman sekarang terdapat berbagai alihragam sebagai alternatif alihragam Fourier,
konsep yang mendasari alihragam Fourier perlu dimengerti. Lagipula, beberapa
pemrosesan masih bertumpu pada alihragam Fourier.
Berdasarkan temuan ahli fisika dari Prancis bernama Baptiste Joseph
Fourier (1768-1830), semua fungsi yang bersifat periodis, betapapun kompleks
fungsi tersebut, dapat dinyatakan sebagai penjumlahan sinusoid. Kuncinya terletak
pada komposisi amplitude dan fase sinus setiap frekuensi. Begitu pula pada citra.
Sebagai gambaran, suatu isyarat berdimensi satu pada Gambar 6.1(a) dapat disusun
atas tiga gelombang sinusoid seperti terlihat pada Gambar 6.1(b).
Gambar 6.1 Contoh isyarat yang tersusun atas tiga sinusoid

6.3 Fourier 1-D
Penerapan Discrete Fourier Transform (DFT) atau alihragam Fourier
diskret pada citra berdimensi satu disajikan pada pembahasan berikut. Misalnya,
terdapat fungsi f(x) yang terdiri atas N data (f(0), f(1), f(2), f(3), f(4), …, f(N-1)).
Jika dikenakan DFT, akan diperoleh hasil alihragam berupa F(u) berupa
F(u) = (F(0), F(1), F(2), F(3), F(4), .., F(N-1))
Perhatikan bahwa jumlah data diskret N yang sama di kawasan frekuensi, yang
sejalan dengan hukum kelestarian informasi. F(u) diperoleh melalui persamaan:
𝐹( 𝑢) =
1
𝑁
∑ 𝑓(𝑥)(𝑐𝑜𝑠 [
2𝜋𝑢𝑥
𝑁
] − 𝑗 𝑠𝑖𝑛 [
2𝜋𝑢𝑥
𝑁
])𝑁−1
𝑥=0 (6.1)
atau
𝐹( 𝑢) =
1
𝑁
∑ 𝑓( 𝑥) 𝑒𝑥𝑝 [−𝑗
2𝜋𝑢𝑥
𝑁
] ,𝑁−1
𝑥=0 dengan u = 0,1,2,…,N-1 (6.2)
Pada rumus di depan, j menyatakan √−1. Dengan demikian, hasil transformasi
Fourier berupa bilangan kompleks.
Adapun alihragam-baliknya berupa:
𝑓( 𝑥) = ∑ 𝐹( 𝑢) 𝑒𝑥𝑝 [𝑗
2𝜋𝑢𝑥
𝑁
] ,𝑁−1
𝑥=0 dengan u = 0,1,2,…,N-1 (6.3)
Sebagai contoh, terdapat f(x) = (2, 4, 1, 5). Alihragam Fourier-nya seperti
berikut.
𝐹(0) =
1
4
2𝜋0𝑥
4
] − 𝑗 𝑠𝑖𝑛 [
2𝜋0𝑥
4
])3
𝑥=0
= (f(0)(cos(0)-j sin(0)) +
f(1)(cos(0)-j sin(0)) +
f(2)(cos(0)-j sin(0)) +
f(3)( (cos(0)-j sin(0))) / 4
= (f(0) + f(1) + f(2) + f(3)) / 4
= (2 + 4 + 1 + 5) / 4 = 12 / 4 = 3
𝐹(1) =
1
4
2𝜋1𝑥
4
] − 𝑗 𝑠𝑖𝑛 [
2𝜋1𝑥
4
])3
𝑥=0

= (f(0)(cos(0)-j sin(0)) +
f(1)(cos(𝜋/2)-j sin(𝜋/2)) +
f(2)(cos(𝜋)-j sin(𝜋)) +
f(3)( (cos(3𝜋/2)-j sin(3𝜋/2))) / 4
= (2 (1-0) + 4(0-j) + 1(-1-0) + 5(0+j)) / 4
= (1+j)/4 = 0,25 + j0,25
𝐹(2) =
1
4
2𝜋2𝑥
4
] − 𝑗 𝑠𝑖𝑛 [
2𝜋2𝑥
4
])3
𝑥=0
= (f(0)(cos(0)-j sin(0)) +
f(1)(cos(𝜋)-j sin(𝜋)) +
f(2)(cos(2𝜋)-j sin(2𝜋)) +
f(3)( (cos(3𝜋)-j sin(3𝜋))) / 4
= (2 (1-0) + 4(-1-0) + 1(1-0) + 5(-1-0) ) / 4
= -6 / 4 = -1,50
𝐹(3) =
1
4
2𝜋3𝑥
4
] − 𝑗 𝑠𝑖𝑛 [
2𝜋3𝑥
4
])3
𝑥=0
= (f(0)(cos(0)-j sin(0)) +
f(1)(cos(3𝜋/2)-j sin(3𝜋/2)) +
f(2)(cos(3𝜋)-j sin(3𝜋)) +
f(3)( (cos(9𝜋/2)-j sin(9𝜋/2))) / 4
= (2 (1-0) + 4(0+j) + 1(-1-0) + 5(0-j) ) / 4
= (1 - j)/4
= 0,25 - j0,25
Gambar 6.2 memperlihatkan citra asli dan hasil transformasi Fourier.

Gambar 6.2 Citra dimensi satu dan hasil transformasi Fourier
Pada Gambar 6.2, DFT-1
menyatakan transformasi balik dari kawasan frekuensi ke
kawasan spasial. Perhatikan bahwa data asli f(x) hanya 4, tetapi hasil alihragam ada
8, seolah ada tambahan informasi.
Sekarang akan ditunjukkan pelaksanaan alihragam-baliknya. Perhatikan
cara menghitungnya.
𝑓(0) = ∑ 𝐹(𝑥)(𝑐𝑜𝑠 [
2𝜋0𝑥
4
] + 𝑗 𝑠𝑖𝑛 [
2𝜋0𝑥
4
])3
𝑥=0
= F(0)(cos(0)+j sin(0)) +
F(1)(cos(0)+j sin(0)) +
F(2)(cos(0)+j sin(0)) +
F(3)( (cos(0)+j sin(0))) / 4
= F(0) + F(1) + F(2) + F(3)
= 3+ j0 + 0,25 + j0,25 - 1,5+j0 + 0,25-j0,25
= 2
𝑓(1) = ∑ 𝐹(𝑥)(𝑐𝑜𝑠 [
2𝜋1𝑥
4
] + 𝑗 𝑠𝑖𝑛 [
2𝜋1𝑥
4
])
3
𝑥=0
= F(0)(cos(0)+j sin(0)) +
F(1)(cos(𝜋/2)+j sin(𝜋/2)) +
F(2)(cos(𝜋)+j sin(𝜋)) +
F(3)( (cos(3𝜋/2)+j sin(3𝜋/2))
= 3 (1+0) + (0,25 + j0,25)(0+j) - 1,5 (-1+0) +
(0,25-j0,25)(0-j)

= 3 + j0,25 -0,25 + 1,5 - j0,25 -0,25
= 4
𝑓(2) = ∑ 𝐹(𝑥)(𝑐𝑜𝑠 [
2𝜋2𝑥
4
] + 𝑗 𝑠𝑖𝑛 [
2𝜋2𝑥
4
])
3
𝑥=0
= F(0)(cos(0)-j sin(0)) +
F(1)(cos(𝜋)-j sin(𝜋)) +
F(2)(cos(2𝜋)-j sin(2𝜋)) +
F(3)(cos(3𝜋)-j sin(3𝜋))
= 3 (1-0) + (0,25 + j0,25) (-1-0) - 1,5 (1-0) +
((0,25-j0,25))(-1-0)
= 3 – 0,25 –j0,25 -1,5 – 0,25 +j0,25
= 1
𝑓(3) = ∑ 𝐹(𝑥)(𝑐𝑜𝑠 [
2𝜋3𝑥
4
] + 𝑗 𝑠𝑖𝑛 [
2𝜋3𝑥
4
])
3
𝑥=0
= (F(0)(cos(0)+j sin(0)) +
F(1)(cos(3𝜋/2)+j sin(3𝜋/2)) +
F(2)(cos(3𝜋)+j sin(3𝜋)) +
F(3)( (cos(9𝜋/2)+j sin(9𝜋/2))) / 4
= 3 (1-0) + (0,25 + j0,25) (0-j) - 1,5 (-1-0) +
(0,25-j0,25)(0+j)
= 3 - j0,25 + 0,25 + 1,5 + j0,25 + 0,25
= 5
Tampak bahwa f(x) tidak mengandung komponen imajiner seperti aslinya.
Berikut adalah contoh fungsi yang digunakan untuk menghitung DFT
berdimensi satu.
Program : dft1d.m

function [Re, Im] = dft1d(Fx)
% DFT1D Digunakan untuk memperoleh DFT dimensi satu.
% Hasil: Re berisi bagian real dan
% Im berisi bagian imajiner
n = length(Fx); % Jumlah nilai dalam fungsi Fx
for u = 0 : n - 1
Re(u+1) = 0;
Im(u+1) = 0;
for x = 0 : n - 1
radian = 2 * pi * u * x / n;
cosr = cos(radian);
sinr = -sin(radian);
Re(u+1) = Re(u+1) + Fx(x+1) * cosr;
Im(u+1) = Im(u+1) + Fx(x+1) * sinr;
end
Re(u+1) = Re(u+1) / n;
Im(u+1) = Im(u+1) / n;
end
Akhir Program
Contoh penggunaan fungsi dft1d ditunjukkan di bawah ini. Perhatikan Fx perlu
ditranspos.
>> Fx = [2,4,1,5]'; 
>> [Re,Im] = dft1d(Fx) 
Re =
3.00000 0.25000 -1.50000 0.25000
Im =
0.00000 0.25000 -0.00000 -0.25000
>>
Hasil di atas sesuai dengan perhitungan manual di depan.
Alihragam-baliknya dapat diperoleh melalui fungsi idft1d seperti
berikut.
Program : idft1d.m

function Fx = idft1d(Fu)
% IDFT1D Digunakan untuk melaksanakan transformasi balik
% 1D DFT.
% Masukan: Fu berupa bilangan kompleks
n = length(Fu); % Jumlah nilai dalam fungsi Fu
for u = 0 : n - 1
Fx(u+1) = 0;
for x = 0 : n - 1
radian = 2 * pi * u * x / n;
cosr = cos(radian);
sinr = sin(radian);
Fx(u+1) = Fx(u+1) + Fu(x+1) * (cosr+ j*sinr);
end
end
Fx = real(Fx); % Peroleh bagian real
Akhir Program
Berikut adalah contoh penggunaan DCT dan alihragam-baliknya:
>> Fx = [2,4,1,5]'; 
>> [Re,Im] = dft1d(Fx); 
>> F = idft1d(Re+Im*j) 
F =
2.0000 4.0000 1.0000 5.0000
>>
Perhatikan, argumen pada fungsi idft1d berupa bilangan kompleks, tetapi tidak
ada komponen imjinernya atau nilai imajinernya nol. Pengalian dengan j pada Im*j
dipakai untuk membentuk bagian imajiner. Hasilnya terlihat sama dengan isi Fx.

6.4 Fourier 2-D
Suatu citra diskret berdimensi dua f(x, y) dapat dinyatakan sebagai deret
Fourier, yang dituliskan seperti berikut:
𝐹( 𝑢, 𝑣) = ∑ ∑ 𝑓(𝑥, 𝑦)(cos (2𝜋 (
𝑢𝑥
𝑁
+
𝑣𝑦
𝑀
)) − 𝑗 sin (2𝜋 (
𝑢𝑥
𝑁
+
𝑣𝑦
𝑀
)))𝑁−1
𝑥=0
𝑀−1
𝑦=0 (6.4)
Dalam hal ini, citra berukuran MxN (M baris dan N kolom). Komponen v bernilai
dari 0 sampai dengan M-1 dan u bernilai dari 0 sampai dengan N-1. Dalam hal ini,
u dan v menyatakan frekuensi, sedangkan nilai F(u, v) dinamakan koefisien Fourier
atau spektrum frekuensi diskret.
Adapun alihragam-baliknya berupa:
𝑓(𝑦, 𝑥) =
1
𝑀𝑁
∑ ∑ 𝐹(𝑣, 𝑢)(cos (2𝜋 (
𝑢𝑥
𝑁
+
𝑣𝑦
𝑀
)) + 𝑗 sin (2𝜋 (
𝑢𝑥
𝑁
+
𝑣𝑦
𝑀
)))𝑁−1
𝑥=0
𝑀−1
𝑦=0 (6.5)
Berdasarkan rumus di atas, setiap piksel akan ditransformasikan dengan
kompleksitas berupa O(MN) atau O(N2
) jika ukuran citra berupa NxN. Dengan
demikian, untuk citra berukuran NxN, kompleksitas berupa O(N4
). Tentu saja,
untuk ukuran yang besar akan diperlukan waktu yang sangat lama. Itulah sebabnya,
dalam praktik cara tersebut dihindari karena terdapat metode lain yang jauh lebih
cepat dalam melakukan transformasi.
Sekedar untuk kepentingan ilustrasi, alihragam Fourier yang menggunakan
Persamaan 6.4 dapat diimplementasikan seperti berikut.
Program : dft2d.m
function [Re, Im] = dft2d(berkas)
% DFT2D Digunakan untuk memperoleh DFT dimensi dua.
% Masukan: nama berkas berskala keabuan
% Hasil: Re berisi bagian real dan
% Im berisi bagian imajiner
Fx = double(imread(berkas));
[m, n] = size(Fx); % Ukuran citra
% m = jumlah baris
% n = jumlah kolom
for v = 0 : m -1
for u = 0 : n - 1

Re(v+1, u+1) = 0;
Im(v+1, u+1) = 0;
for y = 0 : m - 1
for x = 0 : n - 1
radian = 2 * pi * …
(u * x / n + v * y / m);
cosr = cos(radian);
sinr = -sin(radian);
Re(v+1, u+1) = Re(v+1, u+1) + ...
Fx(y+1, x+1) * cosr;
Im(v+1, u+1) = Im(v+1, u+1) + ...
Fx(y+1, x+1) * sinr;
end
end
end
end
Akhir Program
Fungsi dft2d digunakan untuk mentransformasikan citra berskala keabuan.
Contoh penggunaannya misalnya seperti berikut:
>> [Dr, Di] = dft2d(’C:Imagelena64.png’); 
Dengan cara seperti itu, Dr mencatat bagian real dan Di mencatat bagian imajiner.
Tabel berikut memberikan contoh waktu pengeksekusian yang dilakukan pada
tiga citra dengan ukuran yang berlainan dengan menggunakan fungsi dft2d.
Terlihat bahwa semakin besar ukuran citra yang diproses, terjadi peningkatan waktu
komputasi yang sangat signifikan.
Tabel 6.1 Waktu komputasi menggunakan dft2d
Citra Waktu
(detik)
lena64.png (ukuran 64 x 64) 3,51
lena128.png (ukuran 128 x 128) 54,42
lena256.png (ukuran 256 x 256) 870,09
Pendekatan lain memungkinkan penghitungan baris dan kolom tidak
dilakukan sekaligus. Pertama, transformasi berdimensi satu hanya dikenakan pada

baris-baris saja. Selanjutnya, hasilnya ditransformasi menurut kolom. Contoh
program dalam bahasa C terdapat di Vandevenne (2007).
6.5 Fast Fourier Transform
Suatu metode bernama FFT (Fast Fourier Transform) dibuat untuk
mempercepat komputasi alihragam Fourier. Jika kompleksitas DFT untuk
mentransformasikan sebuah piksel seperti yang tertuang dalam implementasi di
depan sebesar O(N2
), FFT memiliki kompleksitas sebesar O(N log2 N). Sebagai
pembanding, jika N sama dengan 256 maka N2
sama dengan 65.536, sedangkan N
log2 N menghasilkan 256 x 8 atau 2048. Jadi, FFT lebih cepat 32 kali dibandingkan
DFT untuk ukuran citra seperti itu. Pada alihragam berdimensi dua, penghematan
waktu akan lebih terasa.
Peluang adanya penghematan waktu komputasi dapat dilukiskan untuk citra
N=8. Nilai 𝑒𝑥𝑝 [𝑗
2𝜋𝑢𝑥
8
] untuk u dan x sama dengan 0,1,2,3,4,5,6,7 dengan nilai real
cos 𝑒𝑥𝑝 [𝑗
2𝜋𝑢𝑥
8
] + 𝑗𝑠𝑖𝑛 𝑒𝑥𝑝 [𝑗
2𝜋𝑢𝑥
8
] ditunjukkan pada Tabel 6.2.
Tabel 6.2 Nilai-nilai 𝑒𝑥𝑝 [𝑗
2𝜋𝑢𝑥
8
]
x
u
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1+j0 1+j0 1+j0 1+j0 1+j0 1+j0 1+j0 1+j0
1 1+j0 1
√2
+ 𝑗
1
√2
0+j −
1
√2
+ 𝑗
1
√2
-1+j0 −
1
√2
− 𝑗
1
√2
0-j −
1
√2
− 𝑗
1
√2
2 1+j0 0+j -1+j0 0-j 1+j0 0+j -1+j0 0-j
3 1+j0 −
1
√2
− 𝑗
1
√2
0+j +
1
√2
− 𝑗
1
√2
0-j +
1
√2
+ 𝑗
1
√2
0-j −
1
√2
+ 𝑗
1
√2
4 1+j0 1+j0 1+j0 1+j0 1+j0 1+j0 1+j0 1+j0
5 1+j0 1
√2
+ 𝑗
1
√2
0+j −
1
√2
+ 𝑗
1
√2
-1+j0 −
1
√2
− 𝑗
1
√2
0-j −
1
√2
− 𝑗
1
√2
6 1+j0 0 + j -1+j0 0-j 1+j0 0+j -1+j0 0-j
7 1+j0 −
1
√2
− 𝑗
1
√2
0+i 1
√2
− 𝑗
1
√2
0-j +
1
√2
+ 𝑗
1
√2
0-j −
1
√2
+ 𝑗
1
√2

Terlihat bahwa nilai-nilai 𝑒𝑥𝑝 [𝑗
2𝜋𝑢𝑥
8
] banyak yang sama, yaitu 0,
1
√2
, dan 1.
Oleh karena itu, algoritma cepat dibuat untuk tidak mengulang proses perkalian
dengan angka-angka yang sama. Bahkan, perkalian dengan angka 1 dapat diloncati
karena tidak perlu dilakukan. Demikian pula, perkalian dengan nol sama dengan
melompati datanya untuk tidak perlu disertakan dalam perhitungan.
Namun, perlu dictata bahwa penghematan proses komputasi ini hanya dapat
terjadi untuk jumlah pikel N = 2n
, yaitu 2, 4, 8, 16, dan seterusnya. Untuk citra
dengan besar N (dan M) kurang dari angka-angka tersebut dapat dilengkapi dengan
piksel-piksel kosong (bernilai intensitas nol).
Cara melakukan komputasi dengan FFT dijabarkan oleh Cooley, dkk.
(1969). Implementasi dengan Octave berupa fungsi fft dan fft2. Contoh
penggunaan fft2 seperti berikut:
>> Img = imread(’C:Imagelena256.png’); 
>> F = fft2(Img); 
Pada contoh di atas, citra bernama lena256.png ditransformasikan menggunakan
FFT.
6.6 Visualisasi Pemrosesan FFT
Sebagaimana telah dibahas di depan, alihragam Fourier menghasilkan
bilangan kompleks. Terkait dengan hal itu, terdapat definisi spektrum Fourier
seperti berikut:
| 𝐹( 𝑣, 𝑢)| = √𝑅2( 𝑣, 𝑢) + 𝐼2( 𝑣, 𝑢) (6.6)
dengan R(u,v) menyatakan bagian real dan I(u,v) menyatakan bagian imajiner.
Adapun sudut fase transformasi didefinisikan sebagai:
∅( 𝑣, 𝑢) = 𝑡𝑎𝑛−1 [
𝐼(𝑣,𝑢)
𝑅(𝑣,𝑢)
] (6.7)

Selain itu, terdapat pula istilah power spectrum atau spektrum daya, yang
didefinisikan sebagai kuadrat besaran:
𝑃( 𝑣, 𝑢) = | 𝐹(𝑣, 𝑢)|2
= 𝑅2
(𝑣, 𝑢) + 𝐼2
(𝑣, 𝑢) (6.8)
Untuk kepentingan analisis secara visual, spektrum dan sudut fase Fourier
dapat disajikan dalam bentuk gambar. Berikut adalah contoh untuk melakukan
transformasi citra lena256.png dan kemudian menyajikan spektrum.
>> Img = imread(’C:Imagelena256.png’); 
>> F = fft2(Img); 
>> imshow(abs(F),[]); 
Citra lena256.png dan spektrum Fourier-nya diperlihatkan pada Gambar 6.3(a) dan
Gambar 6.5(b).

(a) Citra lena256.png (b) Visualisasi hasil FFT. Hanya di
pojok kiri atas yang terlihat putih
(c) Visualisasi hasil FFT dengan
skala logaritmik intensitas
(d) Visualisasi hasil FFT. Dengan
frekuensi nol ditengahkan
Gambar 6.3 Transformasi Fourier pada citra dan visualisasi
Mengingat nilai dalam spektrum terlalu lebar, penerapan logaritma biasa
digunakan hanya untuk kepentingan visualisasi. Sebagai contoh, Gambar 6.3(c)
diperoleh melalui:
>> S2 = log(1 + abs(F)); 
>> imshow(S2, []); 
Penambahan angka 1 dimaksudkan untuk menghindari terjadinya log(0).

Hasil pada Gambar 6.3(c) menunjukkan keadaan yang seperti berulang yang
muncul pada setiap pojok dalam kotak frekuensi. Hal ini disebabkan adanya sifat
pengulangan pada transformasi Fourier. Dalam hal ini, nilai pada M/2 menuju ke
M-1 adalah pengulangan dari titik asal 0 hingga M/2 – 1. Hal ini juga berlaku pada
arah mendatar. Berdasarkan sifat ini, untuk kepentingan visualisasi, titik awal (0,0)
seringkali diubah agar terletak di tengah-tengah kotak frekuensi, sebagaimana
ditunjukkan pada Gambar 6.4.
Gambar 6.4 Frekuensi 0 diletakkan di tengah-tengah kotak frekuensi
Hal seperti itu dapat dikerjakan dengan menggunakan fungsi fftshift yang
disediakan oleh Octave. Kegunaan fungsi fftshift adalah untuk mengatur agar
komponen frekuensi nol diletakkan di tengah-tengah spektrum. Untuk memberikan
gambaran fungsi ini, perhatikan contoh berikut.
X =

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
Jika dikenakan perintah seperti berikut
fftshift(X)
diperoleh hasil berupa:
ans =
11 12 9 10
15 16 13 14
3 4 1 2
7 8 5 6
Gambar 6.5 menunjukkan model penukaran keempat kuadran yang bersebrangan
secara diagonal melalui fftshift.
Gambar 6.5 Penukaran kuadran melalui fftshift

Contoh berikut menunjukkan efek penukaran fftshift pada hasil transformasi
Fourier:
>> G = fftshift(F); 
>> imshow(log(1+abs(G)),[]) 
>>
Hasilnya dapat dilihat pada Gambar 6.3(d).
6.7 Penapisan pada Kawasan Frekuensi
Sebagaimana telah diutarakan pada Gambar 6.1, penapisan dapat dilakukan
pada kawasan frekuensi. Menurut teorema konvolusi, konvolusi pada kawasan
frekuensi dapat dilakukan dengan mengalikan F(v, u) dengan H(v,u) (Gonzalez,
dkk., 2004). Dalam hal ini, H(v,u) dinamakan sebagai fungsi transfer filter dan
diperoleh melalui pengenaan DFT terhadap h(y,x), yang merupakan kernel
konvolusi pada kawasan spasial.
Satu hal yang perlu diperhatikan pada kawasan frekuensi, penapisan dapat
menimbulkan problem akibat konvolusi. Problem yang dimaksud dikenal dengan
nama wraparound error atau spatial aliasing error (Bovik, 2009). Hal ini
disebabkan pada kawasan frekuensi terdapat fungsi periodis (yang berulang setelah
jarak tertentu) yang membuat gambar akan diulang (seperti efek pengubinan) dan
akibatnya membuat interferensi pada konvolusi. Gambar 6.6(a) menunjukkan dua
citra yaitu f dan h. Adapun Gambar 6.6(b) menunjukkan operasi konvolusi pada
koordinat (m, n). Berdasarkan Gambar 6.6(b), piksel (m, n) dihitung sebagai
penjumlahan atas perkalian antara piksel di f dan h. Hasilnya tentu saja
mengandung kesalahan yaitu ketika perkalian antara f dan h yang berulang ikut
dijumlahkan.

Gambar 6.6 Problem wraparound error
Untuk mengatasi wraparound error, fungsi f dan h dimodifikasi dengan cara
memperbesar ukurannya dan bagian yang diperluas diisi dengan nol. Cara perluasan
ukuran dan pemberian nilai nol seperti itu dinamakan sebagai zero padding.
Gambar 6.7(a) menunjukkan keadaan setelah zero padding dikenakan pada citra f
dan h. Adapun Gambar 6.7(b) menunjukkan bahwa konvolusi pada suatu koordinat
piksel tidak lagi mengandung wraparound error.

Gambar 6.7 Efek zero padding pada konvolusi pengulangan
Gonzales, dkk. (2004) menjelaskan cara menentukan ukuran baru untuk citra f
dan h. Misalkan, f berukuran a x b dan h berukuran c x d. Kedua fungsi tersebut
diperluas menjadi berukuran p x q. Maka, ukuran untuk p dan q harus memenuhi
p > a + c -1 (6.9)
dan

q > b + d -1 (6.10)
Apabila menggunakan FFT, nilai p dan q dipilih sehingga memenuhi
2r
dengan r adalah bilangan bulat. Dalam praktik, nilai p dan q acapkali dibuat sama,
yaitu sebesar r. Dengan kata lain, nilai r harus memenuhi persamaan berikut:
2r
> a + c -1 (6.11)
dan
2r
> b + d -1 (6.12)
Dengan asumsi bahwa ukuran citra f jauh lebih besar daripada citra h, satu
pendekatan yang biasa dilakukan untuk memperoleh nilai p dan q untuk
kepentingan zero padding menggunakan algoritma seperti berikut.
ALGORITMA 6.1 – Menentukan ukuran zero padding
Masukan:
 f dan h (masing-masing berupa citra berukuran a x b dan c x
d)
Keluaran:
 pxq (ukuran baru citra untuk f dan h)
1. m  max(a, b)
2. Cari nilai r sehingga memenuhi 2r
> 2m – 1
3. p 2q
4. q 2q

Di Octave dan MATLAB, nilai q berdasarkan Algoritma 6.1 dapat
diperoleh melalui:
nextpow2(2 * max(a, b))
Adapun contoh berikut menunjukkan pemakaian zero padding.
>> Fs = imread('C:Imagekotatua.png'); 
>> Hs = fspecial('sobel'); 
>> size(Fs) 
ans =
747 500
>> Ff = fft2(Fs, 512, 512); 
>> Hf = fft2(Hs, 512, 512); 
>> G = Hf .* Ff; 
>> F = real(ifft2(G)); 
>> Fx = F(1:250, 1:250); 
>> imshow(uint8(Fx)) 
Pada contoh di atas, pengaturan 512 didasarkan pada perhitungan untuk zero
padding seperti yang telah dibahas di depan, mengingat ukuran citra berupa
250x250. Pada perintah di atas,
Fx = F(1:250, 1:250);
digunakan untuk mengambil citra seperti ukuran citra semula. Gambar 6.8
menunjukkan contoh citra yang diproses dan hasil pemfilteran.

Gambar 6.8 Contoh pemfilteran dengan filter Sobel pada kawasan frekuensi
Pada perintah di depan
Hs = fspecial('sobel');
digunakan untuk memperoleh filter Sobel. Fungsi fspecial
disediakan oleh paket Image Processing. Implementasi fungsi
Sobel yang tidak menggunakan fspecial akan dibahas pada Bab
10.
Skrip berikut ditujukan untuk memudahkan dalam menangani penapisan pada
kawasan frekuensi melalui FFT.
Program : filterdft.m
function F = filterdft(berkas, H)
% FILTERDFT Digunakan untuk melaksanakan pemfilteran
% pada kawasan frekuensi menggunakan FFT.
% Masukan:
% berkas - nama citra
% H - kernel pada kawasan spasial
% Keluaran:
% F - citra yang telah difilter

Fs = double(imread(berkas));
[a, b] = size(Fs); %Peroleh ukuran citra
% Menentukan ukuran baru untuk perluasan citra
r = nextpow2(2 * max(a, b));
p = 2 ^ r;
q = p;
% Transformasi via FFT dengan zero padding
Ff = fft2(Fs, p, q);
Hf = fft2(H, p, q);
% Konvolusi
G = Hf .* Ff;
% Peroleh citra hasil pemfilteran
F = real(ifft2(G));
F = uint8(F(1:a, 1:b));
Akhir Program
Contoh penggunaan fungsi filterdft:
>> H = fspecial(’sobel’); 
>> F = filterdft('C:Imagekotatua.png', H); 
>> imshow(F) 
6.8 Filter Lolos-Rendah
Filter lolos-bawah (low-pass filter) adalah filter yang mempunyai sifat dapat
meloloskan yang berfrekuensi rendah dan menghilangkan yang berfrekuensi tinggi.
Efek filter ini membuat perubahan level keabuan menjadi lebih lembut. Filter ini
berguna untuk menghaluskan derau atau untuk kepentingan interpolasi tepi objek
dalam citra. Tiga jenis filter lolos-rendah dilihat pada Tabel 6.1.

Tabel 6.1 Filter lolos-rendah
Filter Citra terkait
Ideal
Butterworth
Gaussian

Jenis filter lolos-rendah pada kawasan frekuensi yang paling sederhana adalah
yang dinamakan ILPF (Ideal Low Pass Filter). Filter ini memiliki fungsi transfer
seperti berikut:
𝐻( 𝑣, 𝑢) = {
1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝐷( 𝑣, 𝑢) ≤ 𝐷0
0 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝐷( 𝑣, 𝑢) > 𝐷0
(6.13)
Dalam hal ini, D0 adalah bilangan non-negatif yang biasa disebut radius filter,
yang menentukan ambang frekuensi, dan D(v,u) adalah jarak antara (v,u) terhadap
pusat filter, yang dinyatakan dengan
𝐷( 𝑣, 𝑢) = √𝑣2 + 𝑢2 (6.14)
Skrip berikut menunjukkan suatu fungsi yang ditujukan untuk memfilter citra
menggunakan ILPF.
Program : ilpf.m
function F = ilpf(berkas, d0)
% ILPF Digunakan untuk melaksanakan pemfilteran
% pada kawasan frekuensi menggunakan ILPF.
% Masukan:
% d0 - menentukan frekuensi ambang
% Keluaran:
p = 2 ^ r;
q = p;
% Menentukan jangkauan frekuensi u dan v
u = 0:(p - 1);
v = 0:(q - 1);
% Hitung indeks untuk meshgrid
idx = find(u > q/2);
u(idx) = u(idx) - q;
idy = find(v > p/2);
v(idy) = v(idy) - p;

% Peroleh array meshgrid
[V, U] = meshgrid(v, u);
% Hitung jarak D(v,u)
D = sqrt(V.^2 + U.^2);
% Hitung frekuensi ambang sebesar d0 kalai lebar citra
ambang = d0 * q;
% Peroleh fungsi transfer
Hf = double(D <= ambang);
% Pemfilteran
G = Hf .* Ff;
% Transformasi balik
F = real(ifft2(G));
F = uint8(F(1:a, 1:b));
Akhir Program
Contoh pemakaian fungsi ilpf:
>> F = ilpf('C:Imagekotatua.png', 0.08); imshow(F) 
Gambar 6.9 merupakan contoh penerapan IDLF untuk berbagai nilai d0 yang
diterapkan pada kotatua.png.

Gambar 6.9 Hasil penerapan ILPF
BLPF (Butterworth low pass filter) merupakan jenis filter lolos-rendah yang
digunakan untuk memperbaiki efek bergelombang yang dikenal dengan sebutan
ringing, yang diakibatkan oleh ILPF. Berbeda dengan ILPF, BLPF tidak memiliki
titik diskontinu yang tajam. Fungsi transfernya berupa
𝐻( 𝑣, 𝑢) =
1
1+[𝐷(𝑣,𝑢)/𝐷0]2𝑛 (6.15)
Dalam hal ini, n dinamakan orde filter.
Skrip berikut menunjukkan suatu fungsi yang ditujukan untuk memfilter citra
menggunakan BLPF.
Program : blpf.m

function F = blpf(berkas, d0, n)
% BLPF Digunakan untuk melaksanakan pemfilteran
% pada kawasan frekuensi menggunakan BLPF.
% Masukan:
% n - menentukan faktor n
% Keluaran:
p = 2 ^ r;
q = p;
u = 0:(p - 1);
v = 0:(q - 1);
D = sqrt(V.^2 + U.^2);
% Menentukan n kalau n tidak disebutkan
if nargin == 2
n = 1;
end
ambang = d0 * p; % Hitung frekuensi ambang
Hf = 1 ./ (1 + D ./ ambang^(2 * n));
% Pemfilteran
G = Hf .* Ff;
F = real(ifft2(G));
F = uint8(F(1:a, 1:b));
Akhir Program

Contoh pemakaian fungsi blpf:
>> F = blpf('C:Imagekotatua.png', 0.02, 0.3 ); 
>> imshow(F) 
Gambar 6.10 dan 6.11 merupakan contoh penerapan IDLF untuk berbagai nilai d0
dan n yang berbeda yang diterapkan pada kotatua.png.
Gambar 6.10 Hasil penerapan BLPF dengan N =1

Gambar 6.11 Hasil penerapan BLPF untuk berbagai N
GLPF (Gaussian low pass filter) merupakan filter lolos-rendah dengan fungsi
transfer seperti berikut:
𝐻( 𝑣, 𝑢) = 𝑒
𝐷2(𝑣,𝑢)
2𝜎2
(6.16)
dengan 𝜎 merupakan deviasi standar. Sebagai contoh, dengan menggunakan 𝜎 sama
dengan Do maka
𝐻( 𝑣, 𝑢) = 𝑒
𝐷2(𝑣,𝑢)
2𝐷0
2
(6.17)
Saat D(v,u) = D0, filter turun menjadi 0.607 terhadap nilai maksimum 1.

Contoh berikut merupakan fungsi yang digunakan untuk melakukan
pemfilteran dengan GLPF.
Program : glpf.m
function F = glpf(berkas, d0)
% GLPF Digunakan untuk melaksanakan pemfilteran
% pada kawasan frekuensi menggunakan GLPF.
% Masukan:
% Keluaran:
p = 2 ^ r;
q = p;
u = 0:(p - 1);
v = 0:(q - 1);
D = sqrt(V.^2 + U.^2);
if nargin == 2
n = 1;
end
Hf = exp(-(D.^2) ./ (2 * ambang ^ 2));
% Pemfilteran
G = Hf .* Ff;

F = real(ifft2(G));
F = uint8(F(1:a, 1:b));
Akhir Program
Contoh pemakaian fungsi di glpf:
>> F = glpf('C:Imagekotatua.png', 0.05); 
>> imshow(F) 
Gambar 6.12 merupakan contoh penerapan GLPF untuk berbagai nilai d0 yang
diterapkan pada kotatua.png.
Gambar 6.12 Hasil penerapan filter GLPF

6.9 Filter Lolos-Tinggi
Filter lolos-tinggi adalah filter yang ditujukan untuk menekan frekuensi rendah
hingga frekuensi tertentu dan meloloskan frekuensi lainnya. Filter ini memiliki
hubungan dengan filter lolos-rendah seperti berikut:
𝐻𝑙𝑡( 𝑣, 𝑢) = 1 − 𝐻𝑙𝑟(𝑣, 𝑢) (6.18)
Dengan Hlt(v,u) adalah fungsi transfer filter lolos-tinggi dan Hlf(v,u) adalah fungsi
transfer filter lolos-rendah.
Tiga jenis filter lolos-tinggi dilihat di Tabel 6.3. Ketiga filter yang tercantum
dalam tersebut yaitu IHPF (Ideal high pass filter), BHPF (Butterworth high pass
filter), dan GHPF (Gaussian high pass filter).
Tabel 6.3 Filter lolos-tinggi
Ideal
Butterworth

Gaussian
Contoh berikut menunjukkan implementasi filter BHPF untuk memfilter citra.
Program : bhpf.m
function F = bhpf(berkas, d0, n)
% BHPF Digunakan untuk melaksanakan pemfilteran
% pada kawasan frekuensi menggunakan BHPF.
% Masukan:
% Keluaran:
p = 2 ^ r;
q = p;
u = 0:(p - 1);
v = 0:(q - 1);

D = sqrt(V.^2 + U.^2);
if nargin == 2
n = 1;
end
Hlr = 1 ./ (1 + (D ./ ambang) .^(2 * n)); % Lolos-rendah
Hlt = 1 - Hlr; % Lolos-tinggi
% Pemfilteran
G = Hlt .* Ff;
F = real(ifft2(G));
F = uint8(F(1:a, 1:b));
Akhir Program
Contoh pemakaian fungsi blpf:
>> F = bhpf('C:Imagegoldhill.png', 0.005, 1 ); 
>> imshow(F) 
Gambar 6.13 menunjukkan gambar asli dan hasil pemrosesan dengan perintah di
atas.

Gambar 6.13 Pemfilteran dengan BHPF
Hasil pada Gambar 6.13(b) menunjukkan bahwa penerapan BHPF pada citra
membuat latarbelakang menjadi hampir hilang, karena nilai intensitas reratanya
hilang (menjadi nol).
6.10 Pemfilteran dengan Pendekatan High Frequency Emphasis
Penerapan filter lolos-tinggi dengan cara yang telah dibahas menimbulkan efek
berupa hilangnya latarbelakang. Hal ini disebabkan pemfilteran dengan cara
tersebut menghilangkan komponen DC (F(0,0)).
Nah, untuk mengatasi hal itu, terdapat pendekatan yang dinamakan pemfilteran
high frequency emphasis (HFE). Dalam hal ini, penonjolan frekuensi tinggi diatur
melalui rumus:
𝐻ℎ𝑓𝑒( 𝑣, 𝑢) = 𝑎 + 𝑏𝐻𝑙𝑡(𝑣, 𝑢) (6.19)
Dalam hal ini,
 Hlt adalah fungsi transfer filter lolos-tinggi;
 a adalah nilai ofset, sebagai penambah nilai rerata intensitas;
 b adalah nilai pengali, untuk meningkatkan kontras.

Gonzales, dkk. (2004) menunjukkan bahwa penggunaan a sebesar 0,5 dan b sebesar
2 memberikan hasil yang memuaskan pada citra medis. Nilai a dan b itulah yang
dicoba digunakan pada program berikut.
Program : hfe.m
function F = hfe(berkas, d0, n)
% HFE Digunakan untuk melaksanakan pemfilteran
% pada kawasan frekuensi menggunakan BHPF
% dan menerapkan HFE (High frequency emphasis).
% Masukan:
% Keluaran:
p = 2 ^ r;
q = p;
u = 0:(p - 1);
v = 0:(q - 1);
D = sqrt(V.^2 + U.^2);
if nargin == 2
n = 1;
end
Hlr = 1 ./ (1 + (D ./ ambang) .^(2 * n)); % Lolos-rendah
Hlt = 1 - Hlr; % Lolos-tinggi
% Proses HFE
Hfe = 0.5 + 2 * Hlt;

% Pemfilteran
G = Hfe .* Ff;
F = real(ifft2(G));
F = uint8(F(1:a, 1:b));
Akhir Program
Contoh penggunaan fungsi hfe:
>> F = hfe('C:Imagegoldhill.png', 0.05, 1 ); 
>> imshow(F) 
Gambar 6.14 menunjukkan gambar asli goldhill.png dan hasil pemrosesan di atas.
Gambar 6.14 Hasil penerapan high frequency emphasis
Terlihat bahwa terjadi penonjolan citra tanpa menghilangkan latarbelakang.

Pcd dikawasan frekuensi

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Pcd dikawasan frekuensi

Similar to Pcd dikawasan frekuensi (20)

More from dedidarwis

More from dedidarwis (20)

Pcd dikawasan frekuensi