Dokumen tersebut membahas tentang integral tak tentu dan integral tertentu. Integral tak tentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai konstantanya tidak tentu, sedangkan integral tertentu memiliki batas-batas nilai variabel bebasnya. Dokumen ini juga menjelaskan penerapan integral dalam ekonomi seperti fungsi biaya total, penerimaan total, dan produksi total yang dapat dihitung dengan mengintegralkan fungsi marjinalnya.
3. Integral tak tentu
Mengintegralkan suatu fungsi turunan
f(x) berarti adalah mencari integral atau
turunan antinya, yaitu F(x)
Bentuk umum integral dari f(x) adalah :
kxFdxxf )()(
Dimana k adalah sembarang konstanta yang nilainya
tidak tentu.
3
8. Penerapan Ekonomi
Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan
untuk mencari persamaan fungsi total dari
suatu variabel ekonomi apabila persamaan
fungsi marginalnya diketahui.
1. Fungsi Biaya
2. Fungsi Penerimaan
3. Fungsi Produksi
9. Fungsi Biaya
Biaya total 𝐶 = 𝑓(𝑄)
Biaya marjinal : 𝑀𝐶 = 𝐶′
=
𝑑𝐶
𝑑𝑄
= 𝑓′(𝑄)
Biaya total tak lain adalah integral
dari biaya biaya marjinal
𝐶 = 𝑀𝐶𝑑𝑄 = 𝑓′ 𝑄 𝑑𝑄
10. Contoh kasus
Biaya marjinal dari suatu perusahaan
ditunjukkan oleh 𝑀𝐶 = 3𝑄2
− 6𝑄 + 4.
Carilah persamaan biaya total dan biaya
rata-ratanya.
Biaya total : 𝐶 = 𝑀𝐶𝑑𝑄
= 3𝑄2
− 6𝑄 + 4 𝑑𝑄
Biaya rata-rata : 𝐴𝐶 =
𝐶
𝑄
= 𝑄2
− 3𝑄 + 4 + 𝑘
𝑄
11. Konstanta 𝑘 tak lain adalah biaya
tetap. Jika diketahui biaya tetap
tersebut sebesar 4, maka :
𝐶 = 𝑄3
− 3𝑄2
+ 4𝑄 + 4
𝐴𝐶 = 𝑄2
− 3𝑄 + 4 + 4
𝑄
12. Fungsi Penerimaan
Penerimaan total : 𝑅 = 𝑓(𝑄)
Penerimaan marjinal : 𝑀𝑅 = 𝑅′
=
𝑑𝑅
𝑑𝑄
= 𝑓′(𝑄)
Penerimaan total tak lain adalah integral
dan penerimaan marjinal
𝑅 = 𝑀𝑅 𝑑𝑄 = 𝑓′ 𝑄 𝑑𝑄
13. Contoh Kasus
Carilah persamaan penerimaan total dan
penerimaan rata-rata dari suatu perusahaan
jika penerimaan marjinalnya 𝑀𝑅 = 16 − 4𝑄.
Penerimaan total : 𝑅 = 𝑀𝑅 𝑑𝑄
= 16 − 4𝑄 𝑑𝑄
= 16𝑄 − 2𝑄2
Penerimaan rata-rata: 𝐴𝑅 =
𝑅
𝑄
= 16 − 2𝑄
Dalam persamaan penerimaan total kontanta
𝑘 = 0, sebab penerimaan tidak akan ada jika
tak ada barang yang dihasilkan atau terjual.
14. Fungsi Produksi
Produk total : 𝑃 = 𝑓(𝑋) di mana,
𝑃 = keluaran; 𝑋 = masukan
Produk marjinal : 𝑀𝑃 = 𝑃′
=
𝑑𝑃
𝑑𝑋
= 𝑓′(𝑋)
Produk total tak lain adalah integral
dari produk marjinal
𝑃 = 𝑀𝑃 𝑑𝑋 = 𝑓′
𝑋 𝑑𝑋
15. Contoh kasus
Produk marjinal sebuah perusahaan dicerminkan oleh
𝑀𝑃 = 18𝑋 − 3𝑋2. Carilah persamaan produk total dan
produk rata-ratanya.
Produk total : 𝑃 = 𝑀𝑃 𝑑𝑋
= (18𝑋 − 3𝑋2) 𝑑𝑋
= 9𝑋2 − 𝑋3
Produk rata-rata : 𝐴𝑃 =
𝑃
𝑋
= 9𝑋 − 𝑋2
Dalam persamaan produk total juga konstant 𝑘 = 0,
sebab tidak akan ada barang (P) yang dihasilkn jika
tidak ada bahan (X) yang diolah atau digunakan.
16. Integral Tertentu
Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang
nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas)
tertentu.
Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas
areal yang terletak di antara kurva y = f(x) dan sumbu
horizontal – x, dalam suatu rentangan wilayah yang
dibatasi oleh x = a dan x =b.
Bentuk umum :
)()()()( aFbFxFdxxf
b
a
b
a
16
18. Kaidah- kaidah Integrasi Tertentu
Untuk a < b < c, berlaku :
a
b
b
a
a
b
a
b
a
dxxfdxxf
dxxf
aFbFxFdxxf
)()(.3
0)(.2
)()()()(.1
18
20. Surplus Konsumen
Surplus konsumen atau CS (singkatan dari
Consumer Surplus)
Surplus konsumen mencerminkan suatu
keuntungan lebih atau surplus yang
dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaan
dengan tingkat harga pasar.
Fungsi permintaan (P) = f (Q) menunjukkan
jumlah suatu barang yang akan dibeli oleh
konsumen pada tingkat harga tertentu.
21. Surplus konsumen
Jika tingkat harga pasar adalah Pe, maka bagi
konsumen tertentu yang sebetulnya mampu
dan bersedia membayar dengan harga yang
lebih tinggi dari Pe.
Hal ini akan merupakan keuntungan baginya,
sebab ia cukup membayar barang tadi dengan
harga Pe. Secara geometri, besarnya surplus
konsumen ditunjukkan oleh luar daerah di
bawah kurva permintaaan tetapi di atas
tingkat harga pasar.
22. B (O1, 𝑃)
𝐶𝑠
Pe
E (Qe,Pe)
P=f(Q)
A( 𝑄,0)
Qe
Q
Surplus konsumen atau 𝐶𝑠
(singkatan dari Consumers’
surplus) tak lain adalah segitiga
𝑃𝑒 𝐷𝐸, dengn rentang wilayah yang
dibatasi oleh 𝑄 = 0 sebagai batas-
bawah dan 𝑄 = 𝑄 𝑒 sebagai batas-
atas.
23. Besarnya surplus konsumen adalah :
𝐶𝑠 =
0
𝑄𝑒
𝑓(𝑄) 𝑑𝑄 − 𝑄 𝑒 𝑃𝑒
Dalam hal fungsi permintaan berbentuk 𝑃 =
𝑓(𝑄) atau
𝐶𝑠 =
𝑃𝑒
𝑃
𝑓 𝑃 𝑑𝑃
Dalam hal fungsi permintaan berbentuk 𝑄 =
𝑓(𝑃); 𝑃 adalah nilai 𝑃 untuk 𝑄 = 0 atau
penggal kurva permintaan pada sumbu harga
25. Contoh Kasus
Fungsi permintan akan suatu barang
ditunjukkan oleh persamaan 𝑄 = 48 −
0,03𝑃2
. Hitunglah surplus konsumen
jika tingkat harga pasar adalah 30.
28. Surplus Produsen
Surplus Produsen atau Ps (singkatan dari
Producers’ Surplus)
Mencerminkan suatu keuntungan lebih
atau surplus yang dinikmati oleh
produsen tertentu berkenaan dngan
tingkat harga pasar dari barang yang
ditawarkan
Fungsi penawaran 𝑃 = 𝑓(𝑄) menunjukkan
jumlah suatu barang yang akn dijual oleh
produsen pada tingkat harga tertentu
29. Surplus Produsen
Jika tingkat harga pasar adalah 𝑃𝑒, maka
bagi produsen tertentu yang sebetulnya
bersedia menjual dengan harga yang
lebih rendah dari 𝑃𝑒
Hal ini merupakan keuntungan baginya,
sebab ia dapat menjual barangnya
dengan harga 𝑃𝑒. Secara geometri,
besarnya surplus produsen ditunjukkan
oleh luas area di atas kurva penawaran
tetapi di bawah tingkat harga pasar.
30. P
Pe
P=f(Q)
E(Qe,Pe)
D(0, 𝑃)
Qe
Q
Surplus produsen (Ps)
0
Surplus produsen atau Ps
(singkatan dari Producers’
surplus) tak lain adalah
segitiga 𝑃𝑒 𝐷𝐸, dengan
rentang wilayah yang
dibatasi oleh 𝑄 = 0 sebagai
batas bawah dan 𝑄 = 𝑄 𝑒
sebagai batas-atas.
31. Besarnya surplus produsen adalah :
𝑃𝑠 = 𝑄 𝑒 𝑃𝑒 −
0
𝑄𝑒
𝑓 𝑄 𝑑𝑄
Dalam hal fungsi penawaran berbentuk 𝑃 =
𝑓(𝑄)
𝑃𝑠 =
𝑃
𝑃𝑒
𝑓 𝑃 𝑑𝑃
Dalam hal fungsi penawaran berbentuk 𝑄 =
𝑓(𝑃); 𝑃 adalah nilai 𝑃 untuk 𝑄 = 0, atau
penggal kurva penawaran pada sumbu harga