1. 1
คณิตศาสตร์ คือ อะไร
บุคคลต่างๆ ทั้งในและนอกวงการคณิตศาสตร์ ได้พยายามนิยามคาว่า
“คณิตศาสตร์” ไว้ต่างๆกัน แต่ก็ไม่เคยมีผู้ใดประสบความสาเร็จจนเป็นที่ยอมรับกันทั่วไป
อาจเนื่องมาจากการที่คณิตศาสตร์มีขอบเขตของเนื้อหาที่กว้างมาก จึงเป็นการยากที่จะนิยาม
ความหมายให้ครอบคลุมขอบข่ายเนื้อหาของคณิตศาสตร์ทั้งหมดได้ ดังนั้น คาถามที่ว่า
“คณิตศาสตร์ คือ อะไร” จึงไม่ใช่เรื่องง่ายที่ผู้ตอบจะให้คาตอบที่ได้อย่างสมบูรณ์
อนึ่ง เมื่อกล่าวถึงคาว่า คณิตศาสตร์ ในคนต่างกลุ่ม ย่อมมีความเข้าใจเกี่ยวกับ
คณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันออกไป นั่นคือ การที่มีผู้ที่ให้นิยามคาว่าคณิตศาสตร์แตกต่างกัน
เป็นผลมาจากการที่บุคคลเหล่านั้นมองคณิตศาสตร์ในมุมมองที่ต่างกัน จึงทาให้ความหมาย
ของคณิตศาสตร์มีความหลากหลาย
1. ความหมายของคณิตศาสตร์
คาว่า "คณิตศาสตร์" (คาอ่าน : คะ-นิด-สาด) มาจากคาว่า คณิต (การนับ หรือ
คานวณ) และ ศาสตร์ (ความรู้ หรือ การศึกษา) ซึ่งรวมกันมีความหมายโดยทั่วไปว่า
การศึกษาเกี่ยวกับการคานวณ หรือ วิชาที่เกี่ยวกับการคานวณ
ตามพจนานุกรม ฉบับราชบัณฑิตยสถาน พ.ศ. 2493 หน้า 222 มีข้อความ
เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ ดังนี้คือ คณิต (คะนิด) น. การนับ การคานวณ วิชาคานวณ มักใช้เป็นคา
หลังของวิชาบางประเภท เช่น พีชคณิต เรขาคณิต คณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์ตรงกับคาภาษาอังกฤษว่า mathematics มาจากคาภาษากรีก μάθημα
(máthema) แปลว่า "วิทยาศาสตร์ ความรู้ และการเรียน" และคาว่า μαθηματικός
(mathematikós) แปลว่า "รักที่จะเรียนรู้" ในอเมริกาเหนือนิยมย่อ mathematics ว่า math
ส่วนประเทศอื่นๆ ที่ใช้ภาษาอังกฤษนิยมย่อว่า maths
คณิตศาสตร์ มีโครงสร้างประกอบด้วย อนิยาม บทนิยาม สัจพจน์ ที่เป็นข้อตกลง
เบื้องต้น จากนั้นจึงใช้การให้เหตุผลที่สมเหตุสมผล พร้อมทั้งสร้างทฤษฎีบทต่างๆขึ้น และ
นาไปใช้อย่างเป็นระบบ คณิตศาสตร์ มีความถูกต้องเที่ยงตรง คงเส้นคงวา มีระเบียบแบบแผน
เป็นเหตุเป็นผล และมีความสมบูรณ์ ในตัวเอง
คณิตศาสตร์ เป็นทั้งศาสตร์และศิลป์ ที่ศึกษาเกี่ยวกับ แบบ รูป และความสัมพันธ์
เพื่อให้ได้ข้อสรุปและนาไปใช้ประโยชน์ คณิตศาสตร์มีลักษณะเป็นภาษาสากลที่ทุกคนเข้าใจ
ตรงกัน ในการสื่อสาร สื่อความหมาย และถ่ายทอดความรู้ระหว่างคณิตศาสตร์แขนงต่างๆ

2. 2
คณิตศาสตร์ มีลักษณะเป็นนามธรรม เป็นศาสตร์ที่มุ่งค้นคว้าเกี่ยวกับโครงสร้าง
นามธรรมที่ถูกกาหนดขึ้นผ่านทางกลุ่มของสัจพจน์ซึ่งมีการให้เหตุผลที่แน่นอนโดยใช้
ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ และสัญกรณ์คณิตศาสตร์ เรามักนิยามโดยทั่วไปว่าคณิตศาสตร์เป็น
สาขาวิชาที่ศึกษาเกี่ยวกับรูปแบบและโครงสร้าง การเปลี่ยนแปลง และปริภูมิ กล่าวคร่าวๆ
ได้ว่าคณิตศาสตร์นั้นสนใจ "รูปร่างและจานวน" เนื่องจากคณิตศาสตร์มิได้สร้างความรู้ผ่าน
กระบวนการทดลอง บางคนจึงไม่จัดว่าคณิตศาสตร์เป็นสาขาของวิทยาศาสตร์
ความรู้ทางด้านคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นอย่างสม่าเสมอ ผ่านทางการวิจัยและการ
ประยุกต์ใช้ คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมืออันหนึ่งของวิทยาศาสตร์ อย่างไรก็ตาม การคิดค้นทาง
คณิตศาสตร์ไม่จาเป็นต้องมีเป้าหมายอยู่ที่การนาไปใช้ทางวิทยาศาสตร์
โครงสร้างต่างๆ ที่นักคณิตศาสตร์สนใจและพิจารณานั้น มักจะมีต้นกาเนิดจาก
วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ และสังคมศาสตร์ โดยเฉพาะฟิสิกส์ และเศรษฐศาสตร์ ปัญหาทาง
คณิตศาสตร์ในปัจจุบัน ยังเกี่ยวข้องกับการประยุกต์ใช้ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์ และ
ทฤษฎีการสื่อสาร อีกด้วย
เนื่องจากคณิตศาสตร์นั้นใช้ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์และสัญกรณ์คณิตศาสตร์ ซึ่งทา
ให้กิจกรรมทุกอย่างกระทาผ่านทางขั้นตอนที่ชัดเจน เราจึงสามารถพิจารณาคณิตศาสตร์ว่า
เป็นระบบภาษาที่เพิ่มความแม่นยาและชัดเจนให้กับภาษาธรรมชาติ ผ่านทางศัพท์และ
ไวยากรณ์บางอย่าง สาหรับการอธิบายและศึกษาความสัมพันธ์ทั้งทางกายภาพและนามธรรม.
ความหมายของคณิตศาสตร์นั้นยังมีอีกหลายมุมมอง ซึ่งหลายอันถูกกล่าวถึงในบทความ
เกี่ยวกับปรัชญาของคณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์ยังถูกจัดว่าเป็นศาสตร์สัมบูรณ์ โดยจาไม่เป็นต้องมีการอ้างถึงใดๆ
จากโลกภายนอก นักคณิตศาสตร์กาหนดและพิจารณาโครงสร้างบางประเภท สาหรับใช้
ในคณิตศาสตร์เองโดยเฉพาะ เนื่องจากโครงสร้างเหล่านี้ อาจทาให้สามารถอธิบายสาขา
ย่อยๆ หลายๆ สาขาได้ในภาพรวม หรือเป็นประโยชน์ในการคานวณพื้นฐาน
นอกจากนี้ นักคณิตศาสตร์หลายคนก็ทางานเพื่อเป้าหมายเชิงสุนทรียภาพเท่านั้น
โดยมองว่าคณิตศาสตร์เป็นศาสตร์เชิงศิลปะ มากกว่าที่จะเป็นศาสตร์เพื่อการนาไป
ประยุกต์ใช้ (ดังเช่น จี. เอช. ฮาร์ดี ที่ได้กล่าวไว้ในหนังสือ A Mathematician's Apology) ;
แรงผลักดันในการทางานเช่นนี้ มีลักษณะไม่ต่างไปจากที่กวีและนักปรัชญาได้ประสบ และ
เป็นสิ่งที่ไม่สามารถอธิบายได้ นอกจากนี้ อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ กล่าวว่า คณิตศาสตร์เป็น
ราชินีของวิทยาศาสตร์ ในหนังสือ Ideas and Opinions ของเขา

3. 3
องค์ความรู้ในคณิตศาสตร์รวมกันเป็นสาขาวิชา หลักการเบื้องต้นที่เริ่มจากเลขคณิต
ไปยังการประยุกต์ใช้งานพื้นฐานของสาขาคณิตศาสตร์ ที่รวมพีชคณิต เรขาคณิต ตรีโกณมิติ
สถิติศาสตร์ และแคลคูลัส เป็นหลักสูตรแกนในการศึกษาขั้นพื้นฐาน แม้ว่าจะได้มีการพัฒนา
และขยายขอบเขตไปอย่างมากมายในช่วงเวลาหลายร้อยปี สาขาวิชาคณิตศาสตร์ยังคงถูกจัดว่า
เป็นสาขาวิชาเดี่ยว ที่มีลักษณะแตกต่างจากสาขาอื่นๆ
ความหมายตามลักษณะการเรี ยนรู้ ในปั จจุบัน
- คณิตศาสตร์ เป็นวิชาเกี่ยวกับความคิด
- คณิตศาสตร์ เป็นภาษาอย่างหนึ่ง
- คณิตศาสตร์ มีลักษณะเป็นวิทยาศาสตร์
- คณิตศาสตร์ มีลักษณะเป็นตรรกวิทยา
- คณิตศาสตร์ เป็นศิลปะอย่างหนึ่ง
คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์แขนงหนึ่งของวิทยาศาสตร์ ที่ได้มีบทบาทต่อชีวิตประจาวัน
ของมนุษย์ ช่วยให้มนุษย์เป็นคนที่มีเหตุผล รู้จักใช้สติปัญญาในการริเริ่มสร้างสรรค์มี
ความสามารถและมั่นใจในกาแก้ปัญหา ตลอดจนคิดคานวณได้อย่างถูกต้อง
วิชาคณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เกี่ยวข้องกับความคิด กระบวนการและเหตุผล คณิตศาสตร์
ฝึกให้คนคิดอย่างมีระเบียบและเป็นรากฐานของวิทยาการหลายๆสาขา ความเจริญก้าวหน้า
ทางเทคโนโลยี วิทยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ เป็นต้น ก็ล้วนแต่อาศัยคณิตศาสตร์ทั้งสิ้น
คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เป็นนามธรรม เนื้อหาบางเรื่องก็ยากจะอธิบายให้เข้าใจได้ ซึ่ง
โดยธรรมชาติแล้วเป็นวิชาที่มีความแน่นอนมากที่สุดในบรรดาวิชาการทั้งหลายกล่าวคือ
ระบบคณิตศาสตร์หนึ่งๆนั้น สิ่งที่ได้หรือผลที่ได้นั้นมีความแน่นอนภายในระบบ ซึ่งตรงกัน
ข้ามกับวิชาอื่นๆที่มีความแปรปรวนของผลอยู่เสมอ ตัวอย่างเช่นวิชาสังคมศึกษาเป็นวิชาที่มี
การเปลี่ยนแปลงของข้อมูลอยู่เสมอแปรเปลี่ยนไปตามสภาพสังคมในปัจจุบัน เป็นต้น
นอกจากนี้ นักคณิตศาสตร์หลายท่านได้ให้คาจากัดความและความหมายของ
คณิตศาสตร์ ดังนี้
1. Bertran Russell ; คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เราไม่เคยรู้ว่าเรากาลังพูดถึงอะไรอยู่หรือ
แม้กระทั่งไม่รู้ว่า สิ่งที่เรากาลังกล่าวอยู่นั้นเป็นจริงหรือไม่ (Mathematics is the
subject in which we don’t know what we are talking about , nor whether what
we are saying is true.)
2. Gibbs , JosiahWillard ; คณิตศาสตร์ คือ ภาษา

4. 4
3. Max Black ; คณิตศาสตร์เป็นการศึกษาโครงสร้างทั้งหลายที่แสดงได้ด้วย
สัญลักษณ์และมีกฎเกณฑ์ที่เกี่ยวข้องกับระบบสัญลักษณ์
4. Marshall Stone ; คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่ว่าด้วยการศึกษาถึงระบบนามธรรม
ทั่วไป โดยแต่ละนามธรรมนั้นจะถูกสร้างขึ้นโดยเฉพาะและมีโครงสร้างที่
แน่นอนซึ่งจะมีความสัมพันธ์กันตลอด
5. ดร. พนัส หั นคานินทร์ และ ดร.พิทักษ์ รั กษพลเดช ; คณิตศาสตร์ เป็นเครื่องมือ
สาหรับแสดงออกซึ่งความคิดอันเป็นระเบียบ คณิตศาสตร์มีวิธีการคิดและมี
กฎเกณฑ์ที่แน่นอน หลักของคณิตศาสตร์ใช้หลักของตรรกศาสตร์
โดยสรุ ปแล้ ว นักคณิ ตศาสตร์ ได้ ให้ ความหมายของคณิ ตศาสตร์ ไว้ 3 ลักษณะ คือ
1) คณิตศาสตร์ คือ วิทยาศาสตร์ (Mathematics is a Science) หมายความว่าข้อสรุป
ทางคณิตศาสตร์หรือผลสรุป (Conclusion) เป็นสิ่งที่สมเหตุสมผล (Valid) ตามหลักทาง
ตรรกวิทยา (Logic) และมีความเที่ยงตรงเชื่อถือได้ และข้อสรุปขึ้นอยู่กับสมมติฐานหรือ
ข้อกาหนด (Assumption or Postulates) ส่วนข้อสรุปทางวิทยาศาสตร์จะจริงหรือน่าจะเป็นจริง
ตามธรรมชาติ
2) คณิตศาสตร์ คือ ภาษา (Mathematics is a Language) คณิตศาสตร์ คือ ภาษา ภาษา
หนึ่งที่รู้จักกันเฉพาะผู้ที่ศึกษาคณิตศาสตร์เท่านั้น และเป็นภาษาที่รัดกุม โดยใช้สัญลักษณ์น้อย
แทนความหมายกว้างขวางมากมาย นอกจากนี้คณิตศาสตร์ในฐานะของภาษายังช่วยให้ผู้อื่น
เข้าใจความคิดเห็น และเกิดความคิดอันแจ่มกระจ่างได้ด้วย

5. 5
3) คณิตศาสตร์ คือ เครื่องมือ (Mathematics is a Tool) หมายความว่า เราใช้
คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือในการศึกษาวิชาอื่นๆ เช่น วิทยาศาสตร์ทุกสาขาต้องใช้คณิตศาสตร์
แพทย์ศาสตร์ การบริหารธุรกิจ การประกันภัย การศึกษา และวิทยาการอื่นๆอีก อาจกล่าวได้
ว่าคณิตศาสตร์เป็นเครื่องช่วยในการดารงชีวิตประจาวันอีกด้วย
2. ความเป็ นมาของคณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์เป็นวิชาการที่มีวิวัฒนาการมาเป็นเวลานานแล้ว และในปัจจุบันได้แตก
แขนงออกไปเป็นจานวนมากมาย ยิ่งไปกว่านั้น แต่ละแขนงยังแตกกิ่งก้านออกไปอีกเป็น
จานวนมาก ด้วยเหตุนี้ จึงเป็นไปไม่ได้ที่เราจะศึกษาเรียนรู้ทุกสิ่งทุกอย่างที่เกี่ยวกับ
คณิตศาสตร์ สิ่งที่เราพยายามจะทาเป็นเพียงการพยายามที่จะเข้าใจในธรรมชาติทั่วๆไปของ
คณิตศาสตร์ เข้าใจส่วนที่เป็นโครงสร้างและองค์ประกอบที่สาคัญของคณิตศาสตร์ นั่นคือ เรา
พยายามจะศึกษาเฉพาะส่วนที่เป็น “ หลักพื้นฐานทางคณิตศาสตร์” เท่านั้น
ดังนั้น เพื่อเป็นส่วนช่วยให้เรารู้อะไรในเชิงกว้างไว้บ้างเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ เราจะ
ศึกษาประวัติความเป็นมาของคณิตศาสตร์ตั้งแต่สมัยเริ่มต้นจนกระทั่งถึงสมัยปัจจุบัน
การศึกษานี้จะทาให้เห็นถึงวิวัฒนาการทางความคิดที่เกี่ยวกันคณิตศาสตร์ และรู้ว่าความคิด
นั้นๆ เกิดขึ้นได้อย่างไรและเมื่อใด
จุดเริ่มต้นของคณิตศาสตร์มาจากการนับ ราวประมาณ 2000 ก่อนคริสต์ศักราช ชาวบา
ลิโลเนียได้เริ่มพัฒนาความคิดทางคณิตศาสตร์ มีการนับตัวเลข การแบ่งหน่วย มีลักษณะเป็น
เลขจานวนเต็ม และแบ่งส่วนย่อยมีฐาน 60 ดังที่ใช้มาในเรื่องเวลาจนถึงปัจจุบัน
การคิดคานวณเกียวกับตัวเลขทีรจกกันดีคอ ทฤษฎีบทพีธากอรัส ทีรจกและรวบรวม
่ ่ ู้ ั ื ่ ู้ ั
พิสูจน์โดยพีธากอรัส ก็มีการคิดคานวณกันมาประมาณ 1700 ก่อนคริสตกาล แล้ว ในช่วงเวลา
นั้นชาวบาบิโลเนียก็รู้จักวิธีการแก้สมการเชิงเส้น และสมการกาลังสอง ซึ่งเป็นต้นแบบ
สาหรับวิชาพีชคณิตในเวลาต่อมา
ชาวกรีกมีการศึกษาทางด้านคณิตศาสตร์อย่างต่อเนื่อง โดยเฉพาะปัญหาทางด้าน
เรขาคณิต โดยเฉพาะการหาขนาดพื้นที่และปริมาตรของรูปทรงเรขาคณิต และผลที่น่าสนใจ
คือ การคานวณหาค่าของ ชาวกรีกยังรับเอาวิทยาการต่าง ๆ ของยุคบาบิโลเนีย จนถึงยุคกรีก
ในช่วงเวลาประมาณ 450 ก่อนคริสตกาล
ชาวกรีกโบราณได้ศกษาค้นคว้าเกียวกับรูปตัดกรวย เป็นผลของการศึกษาทีเ่ กียวโยง
ึ ่ ่
เพื่อการค้นคว้าทางดาราศาสตร์ และทาให้เกิดวิชาตรีโกณมิติ ขณะที่วิทยาการทางคณิตศาสตร์

6. 6
ที่กรีก กาลังรุ่งเรือง ประเทศในกลุ่มอิสลามซึ่งได้แก่ อิหร่าน ซีเรีย และอินเดีย ก็มีการพัฒนา
และศึกษาวิชาการทางด้านคณิตศาสตร์ ต่อจากนั้นวิทยาการทางด้านคณิตศาสตร์ก็แพร่
กลับไปยังยุโรป ทาให้มีการพัฒนาการต่อเนื่องไปศตวรรษที่สิบแปด
วิทยาการทางคณิตศาสตร์ในยุโรป เริ่มขึ้นในราวศตวรรษที่ 16 ซึ่งในช่วงนั้นมีนัก
คณิตศาสตร์หลายคนที่ทาการศึกษาค้นคว้าทางพีชคณิต และต่อเนื่องมากในหลักการทาง
แคลคูลัส
ระหว่างศตวรรษที่ 17 ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ไปในทางที่ก้าวหน้าอย่าง
รวดเร็ว โดยเน้นไปในทางเรขาคณิตและแคลคูลัส เพื่อให้เห็นแนวคิดที่สาคัญของการพัฒนาที่
สาคัญเกี่ยวข้องกับนักคณิตศาสตร์ผู้ซึ่งมีบทบาทที่สาคัญต่อแนวคิด
3. ธรรมชาติของคณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือในการศึกษาหาข้อเท็จจริงของวิทยาการต่างๆ นั้นก็
เพราะว่า คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีลักษณะเฉพาะของตนเองที่จะทาให้เกิดผลที่จะนาไปอ้างอิง
หรือสรุปผลในสาขาวิทยาการต่างๆ ได้เป็นอย่างดี ลักษณะตัวดังกล่าวของคณิตศาสตร์ที่
สาคัญมีดังนี้
1. คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เกี่ยวกับความคิดรวบยอด
ลักษณะของคณิตศาสตร์เป็นการศึกษารวบรวมสิ่งต่างๆ ที่มีลักษณะเหมือนๆกัน ซึ่ง
อาจจะได้จากประสบการณ์หรือปรากฏการณ์ต่างๆ ที่เกิดขึ้น มาสรุปเพื่อให้เห็นว่าสิ่งต่างๆ
นั้นจะส่งผลหรือให้ผลเช่นไรจึงเหมาะสม และถูกต้องตามกระบวนการแห่งความคิดเห็นนั้นๆ
2. คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีโครงสร้าง
โครงสร้างของคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์นั้นมีกาเนิดมาจากธรรมชาติ โดยมนุษย์ได้เฝ้า
สังเกตความเป็นไปในธรรมชาติ แล้วจึงสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์ขึ้นมา เพื่อแก้ไข
ปัญหาของธรรมชาติ แบบจาลองทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วย เทอมอนิยาม เทอมนิยาม และ
ข้อความจริงเบื้องต้น จากนั้นสรุปออกมาเป็นกฎและทฤษฎี แล้วนากฎนั้นหรือทฤษฎีนั้นมา
ประยุกต์ใช้กับธรรมชาติ ทาให้เราเข้าใจความเป็นไปของธรรมชาติมากขึ้น
3. คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่แสดงความเป็นเหตุเป็นผลต่อกัน
จากคากล่าวว่า คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เกี่ยวข้องกับความคิดรวบยอดและมีโครงสร้าง
ดังนั้น ในการศึกษาสิ่งใหม่ๆ จึงต้องอาศัยสิ่งที่รู้แล้วหรือสิ่งที่แน่ใจว่าถูกต้องว่าสิ่งนั้น จะ
ให้ผลที่เกิดขึ้นตามมาอย่างเป็นขั้นตอน จะเกิดสิ่งใดบ้าง หรือจะสรุปได้ว่า จะเกิดความรู้

7. 7
ใหม่ๆ ใดบ้าง โดยการพิจารณาหรือวิเคราะห์แต่ละขั้นตอนนั้นว่าอยู่บนรากฐานของความ
ถูกต้องหรือกล่าวได้ว่ามีความเป็นเหตุเป็นผลซึ่งกันและกัน
4. คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่ใช้สัญลักษณ์
คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีการกาหนดสัญลักษณ์แทนสิ่งต่างๆ ที่เป็นนามธรรมเพื่อสื่อ
ความหมายเช่นเดียวกับภาษา ทาให้สามารถเขียนข้อความทางคณิตศาสตร์ได้ กะทัดรัด
ชัดเจน รวดเร็วและง่ายต่อความเข้าใจ นับได้ว่าคณิตศาสตร์เป็นภาษาหนึ่งที่ถูกกาหนดขึ้นด้วย
สัญลักษณ์ที่รัดกุมและมีความหมายเฉพาะตัวที่จะทาให้สื่อความหมายได้ถูกต้อง เป็นภาษาที่มี
ตัวเลข ตัวอักษรและสัญลักษณ์แทนความคิด
4. โครงสร้างของคณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับงานด้านการสร้างโครงสร้างทางตรรกวิทยาและนิยมเรียกว่า
แบบจาลองทางคณิตศาสตร์ ซึ่งมีโครงสร้างดังต่อไปนี้
1. สิ่งอนิยามและมโนภาพอนิยาม คือสิ่งและมโนภาพที่ไม่นิยามความหมาย
2. สิ่งที่นิยามความหมาย คือ สิ่งหรือมโนภาพที่ให้คาจากัดความ หรือนิยาม
ความหมายโดยใช้สิ่งนิยามหรืออมโนภาพนิยาม
3. สมมติเกี่ยวกับสิ่งอนิยามและสิ่งที่นิยาม สร้างขึ้นเพื่อเป็นสิ่งที่แสดงข้อเท็จจริง
เบื้องต้นของธรรมชาติที่กาลังจะสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์นั้นเรียกว่ากติกา
4. ทฤษฎีบทเป็นข้อความที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง
5. ลักษณะสาคัญของคณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่สาคัญวิชาหนึ่ง คณิตศาสตร์มิใช่มีความหมายเพียงตัวเลขและ
สัญลักษณ์เท่านั้น คณิตศาสตร์มีลักษณะทีกว้างมาก ซึ่งจะสามารถสรุปได้ดังนี้
่
1. คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เกี่ยวกับความคิด ใช้คณิตศาสตร์พิสูจน์อย่างมีเหตุผลว่าสิ่งที่
คิดนั้น เป็นจริงหรือไม่ด้วยวิธีคิด เราก็จะสามารถนาคณิตศาสตร์ไปแก้ไขปัญหาทาง
วิทยาศาสตร์ได้ คณิตศาสตร์ช่วยให้คนมีเหตุผล เป็นคนใฝ่รู้ ตลอดจนพยายามคิดสิ่งที่แปลก
และใหม่ คณิตศาสตร์จึงเป็นรากฐานของความเจริญของเทคโนโลยีด้านต่างๆ
2. คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เกี่ยวข้องกับชีวิตมนุษย์ มนุษย์สร้างสัญลักษณ์แทนความคิด
นั้นๆ และสร้างกฎในการนาเอาสัญลักษณ์มาใช้ เพื่อสื่อความหมายให้เข้าใจตรงกัน
คณิตศาสตร์จึงมีภาษาเฉพาะของตัวมันเอง เป็นภาษาที่ถูกกาหนดขึ้นด้วยสัญลักษณ์ที่รัดกุม
และสื่อความหมายได้ถูกต้องเป็นภาษาที่มีตังอักษร ตัวเลข และสัญลักษณ์แทนความคิด เป็น

8. 8
ภาษาสากลที่ทุกชาติทุกภาษาเรียนคณิตศาสตร์เข้าใจตรงกัน เช่น x+5=28 ทุกคนที่เข้าใจ
คณิตศาสตร์จะอ่านประโยคสัญลักษณ์นีได้ และเข้าใจความหมายตรงกัน
3. คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีรูปแบบ (pattern) เราจะเห็นว่าการคิดทางคณิตศาสตร์นั้น
จะต้องมีรูปแบบ ไม่ว่าจะคิดเรื่องใดก็ตามทุกขั้นตอนจะตอบได้และจาแนกออกมาให้เห็นจริง
4. คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีโครงสร้างและมีเหตุผล คณิตศาสตร์จะเริ่มต้นด้วยเรื่อง
ง่ายๆก่อน เช่น เริ่มต้นด้วย อนิยาม ได้แก่ จุด เส้นตรง ระนาบ เรื่องง่ายๆนี้จะเป็นพื้นฐาน
นาไปสู่เรื่องอื่นๆ ต่อไป เช่น บทนิยาม สัจพจน์ ทฤษฏีบท การพิสูจน์
5. คณิตศาสตร์เป็นศิลปะอย่างหนึ่ง เช่นเดียวกับศิลปะอย่างอื่นความงามของ
คณิตศาสตร์ก็คือความมีระเบียบและความกลมกลืน นักคณิตศาสตร์ได้พยายามแสดงความคิด
ม มีความคิดสร้างสรรค์ มีจินตนาการ มีความคิดริเริ่ม ที่จะแสดงความคิดใหม่ๆ และแสดง
โครงสร้างใหม่ๆทางคณิตศาสตร์ออกมา
6. การสร้างรูปแบบจาลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาหรือเรื่องที่สนใจในธรรมชาติ
เรื่องหนึ่งนั้นต้องอาศัยความฉลาดเฉลียวอย่างลึกซึ้งและต้องมีความเข้าใจอย่างแท้จริงใน
ปัญหานั้นๆด้วย
6. การแบ่ งสาขาคณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์ได้แบ่งเป็นแขนงต่าง ๆ ดังนี้
1. เลขคณิต วิชานี้จะกล่าวถึงจานวนและสัญลักษณ์ที่เขียนแทนจานวน ซึ่งเรียกว่า
ตัวเลข รวมทั้งการดาเนินการต่างๆ เกี่ยวกับจานวน ได้แก่ บวก ลบ คูณ หาร
2. พีชคณิต วิชานี้จะกล่าวถึงจานวนในลักษณะต่างไปจากเลขคณิต พีชคณิตให้
ตัวอักษร เช่น x และ y แทนจานวนที่ยังไม่รู้ค่า เพื่อให้แก้โจทย์เลขคณิตที่ยุ่งยากได้โดยง่าย
3. เรขาคณิต เป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวกับรูปร่างต่างๆ และขนาดของ
สิ่งของรอบๆ ตัวเรา เป็นวิชาที่ว่าด้วยความสัมพันธ์ระหว่างเส้น มุม การวัดพื้นที่ และปริมาตร

9. 9
ประกอบด้วยเรขาคณิต ระนาบ กล่าวถึงรูปแบบบนพื้นราบ ส่วนเรขาคณิตสามมิติจะกล่าวถึง
รูปทรงต่าง ๆ
4. ตรีโกณมิติ เป็นคณิตศาสตร์ที่ว่าด้วยการวัดรูปสามเหลี่ยมต่างๆ โดยหา
ความสัมพันธ์ระหว่างด้าน มุม และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมีความสาคัญต่อวิชาดารา
ศาสตร์ การเดินเรือและงานสารวจ ถ้าศึกษารูปสามเหลี่ยมบนพื้นราบเรียกว่า ตรีโกณมิติ
ระนาบ ถ้าศึกษารูปสามเหลี่ยมบนพื้นผิวทรงกลมเรียกว่า ตรีโกณมิติทรงกลม
7. ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์
การศึกษาแนวใหม่ได้จาแนกทฤษฎีการสอนคณิตศาสตร์ออกเป็น 3 ทฤษฎี คือ
1. ทฤษฎีแห่งการฝึกฝน ( Drill Theory ) ทฤษฎีนี้เชื่อว่าเด็กจะเรียนรู้คณิตศาสตร์ได้
โดยการฝึกทาสิ่งนั้นซ้าๆ หลายๆ ครั้ง การสอนเริ่มโดยครูบอกสูตรหรือกฎเกณฑ์ให้แล้วให้
เด็กทาแบบฝึกหัดมากๆ จนกระทั่งเด็กมีความชานาญ
2. ทฤษฎีแห่งการเรียนรู้โดยบังเอิญ ( Incedental learning Theory ) ทฤษฎีนี้เชื่อว่าเด็ก
จะเรียนรู้คณิตศาสตร์ได้ดีเมื่อเด็กเกิดความพร้อมหรืออยากเรียนรู้มนสิ่งนั้นๆ การสอนจะ
พยายามให้นักเรียนเรียนคณิตศาสตร์ในบรรยากาศที่ไม่เคร่งเครียดและไม่น่าเบื่อ สอนโดยมี
กิจกรรมที่หลากหลายและยึดนักเรียนเป็นสาคัญ
3. ทฤษฎีแห่งความหมาย ( Meaning Theory ) ทฤษฎีนี้เชื่อว่าเด็กจะเรียนรู้และเข้าใจ
ในสิ่งที่เรียนได้ดีเมื่อเด็กได้เรียนในสิ่งที่มีความหมายต่อตัวเอง เรียนให้มีความหมาย
โครงสร้าง Concept และให้นักเรียนเห็นโครงสร้างของคณิตศาสตร์
ในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์นั้นจาเป็นอย่างยิ่งที่ต้องใช้ทฤษฎีทั้ง 3 ทฤษฎีผสม
กัน โดยขึ้นอยู่กับดุลยพินิจของครูผู้สอนว่าในแต่ละเนื้อหาวิชา ลักษณะของเด็ก
สภาพแวดล้อมขณะนั้น ตลอดจนตัวผู้สอนเอง ควรจะยึดหลักทฤษฎีไหน มากน้อยเพียงไร
8. ความสาคัญของคณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์ที่มีความสาคัญยิ่งอย่างหนึ่ง มีความจาเป็นต่อการดารง
ชีวิตประจาวันเป็นเครื่องมือในการใช้วิเคราะห์ปัญหา ปรากฎการณ์ธรรมชาติด้านต่างๆเป็น
เครื่องมือสาหรับการแสดงออก การแสดงออกทางความคิดที่เป็นระเบียบและมีหลักเกณฑ์ที่
แน่นอน อีกทั้งใช้ในการเรียนรู้วิชาต่างๆเพื่อการดารงชีวิตอยู่ในสังคมได้อย่างมีความสุข เป็น
มรดกทางวัฒนธรรมที่สืบทอดกันมาจนถึงคนรุ่นหลัง ดังสรุปความสาคัญของคณิตศาสตร์ได้
ดังนี้

10. 10
1) คณิตศาสตร์มีความสาคัญต่อการนาไปใช้ในชีวิตประจาวัน และงานอาชีพต่างๆ
เช่น การซื้อขาย การดูเวลา การกะระยะทาง การคาดคะเน การวัดส่วนสูง หรือแม้กระทั่งการ
กาหนดรายรับ รายจ่ายของครอบครัว เป็นต้น
2) คณิตศาสตร์สาคัญในแง่เป็นเครื่องมือปลูกฝัง อบรมให้ผู้เรียนมีคุณสมบัติ นิสัย
และความสามารถทางสมองบางประการ อาทิ การเป็นคนช่างสังเกต รู้จักคิดอย่างมีเหตุผล
แสดงความคิดเห็นอย่างมีระเบียบ ง่าย สั้น และสามารถวิเคราะห์ปัญหาได้
3) คณิตศาสตร์มีความสาคัญในด้านวัฒนธรรม เพราะคณิตศาสตร์เป็นมรดกทาง
วัฒนธรรมที่คนรุ่นก่อนๆได้คิดค้นสร้างสรรค์ไว้ แล้วถ่ายทอดมาสู่คนรุ่นหลัง
4) เราใช้คณิตศาสตร์พิสูจน์อย่างมีเหตุผลว่าสิ่งที่เราคิดขึ้นนั้น เป็นจริงหรือไม่ ด้วยวิธี
คิด เราก็จะสามารถ นาคณิตศาสตร์ไปแก้ไขปัญหาทางวิทยาศาสตร์ได้ คณิตศาสตร์ช่วยให้
คนเป็นคนที่มีเหตุผล เป็นคนใฝ่รู้ ตลอดจนพยามยามคิดสิ่งที่แปลกและใหม่ คณิตศาสตร์จึง
เป็นรากฐานแห่งความเจริญของเทคโนโลยีด้านต่างๆ
คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่จาเป็นอย่างยิ่ง เนื่องจากมนุษย์จะต้องตอบคาถามประเภทนี้
เช่นคนในครอบครัวมีเท่าไหร่ มีสัตว์เลี้ยงกี่ตัว จึงเกิดจานวนนับ เกิดวิชาคณิตศาสตร์ขึ้น เช่น
ถ้าเพิ่มขึ้น 1 คน ใช้วิธีบวก ถ้าหายไป 1 คน ใช้วิธีลบ
คณิตศาสตร์นั้นตอบสนองคาถามของมนุษย์ แต่เมื่อมนุษย์คิดกว้างขวางขึ้น
คณิตศาสตร์ก็ขยายตัวออกไปตามความต้องการของมนุษย์ จึงเกิดคณิตศาสตร์สาขาต่างๆอีก
มากมาย
5) คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เกี่ยวกับความคิดของมนุษย์ มนุษย์สร้างสัญลักษณ์แทน
ความคิดนั้นๆ และสร้างกฎในการนาสัญลักษณ์มาใช้ เพื่อสื่อความหมายให้เข้าใจตรงกัน
คณิตศาสตร์จึงมีความหมายเฉพาะในตัวมันเอง เป็นภาษาที่กาหนดขึ้นโดย
สัญลักษณ์ที่รัดกุม และสื่อความหมายได้ถูกต้อง เป็นภาษาที่มีตัวอักษร ตัวเลข และสัญลักษณ์
แทนความคิด เป็นภาษาสากลที่ทุกชาติ ทุกภาษาที่เรียนคณิตศาสตร์จะเข้าใจตรงกัน
6) ใช้คณิตศาสตร์ในการศึกษาวิชาแขนงต่าง ๆ เช่น การศึกษาวิศวกรรมศาสตร์
สถาปัตยกรรมศาสตร์ การพาณิชย์ ฯลฯ
ดังที่นักปราชญ์ได้กล่าวไว้ว่า “สรรพวิชาทั้งหลายเปรียบเสมือนส่วนต่างๆของต้นไม้
เช่น กิ่ง ก้าน ลาต้น รากแขนง ส่วน คณิ ตศาสตร์ เปรี ยบเสมือน รากแก้ ว เมื่อต้นไม้ขาดราก
แก้วก็จะเฉา และ อาจถึงตายได้ คนที่ขาดความรู้ทางคณิตศาสตร์ย่อมจะศึกษาวิชาอื่นให้ได้ดี
ยาก”