Dokumen tersebut membahas tentang aturan rantai untuk menentukan turunan fungsi komposisi. Aturan ini menyatakan bahwa turunan fungsi komposisi y = f(g(x)) sama dengan turunan f terhadap u dikalikan turunan g terhadap x. Rumus lengkapnya adalah (f ο g)'(x) = f'(g(x)) · g'(x). Aturan ini dibuktikan menggunakan definisi umum turunan komposisi. Contoh p

2. 24/05/18 MATEMATIKA II TEKNIK INDUSTRI
• Misalkan 𝑦 = 𝑓 𝑢 , dimana 𝑢 = 𝑦 𝑥 ,
menentukan fungsi bersusun 𝑦 =
𝑓𝜊𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 ) dan apabila 𝑔
mempunyai turunan di 𝑥, dan 𝑓 mempunyai
turunan di 𝑢 = 𝑔 𝑥 , maka turunan fungsi
komposisi (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) ditentukan dengan
rumus :
𝑓𝑜𝑔 ′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑔 𝑥 = f′ g x . g′(x)
Atau dikenal dengan notasi leibniz
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
• Rumus ini dikenal dengan
nama aturan rantai . Cara
yang mudah untuk
mengingat aturan rantai
adalah :
𝑦 = 𝑓 𝑢 𝑑𝑎𝑛 𝑢 = 𝑔(𝑥)
Variabel kiri Variabel antara Variabel kanan

3. 24/05/18 MATEMATIKA II TEKNIK INDUSTRI
𝑦 = 𝑓 𝑢 𝑑𝑎𝑛 𝑢 = 𝑔(𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Turunan
Variabel kiri
terhadap
variabel kanan
=
Turunan
Variabel kiri
terhadap
variabel antara
=
Turunan
Variabel antara
terhadap
variabel kanan
• Aturan rantai tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut :
Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑢) dan 𝑢 = 𝑔 𝑥 , 𝑔 mempunyai turunan di 𝑥
dan 𝑓 mempunyai turunan di 𝑢 = 𝑔 𝑥 . Apabila variabel 𝑥
bertambah dengan Δ𝑥 yang berubah menjadi 𝑥 + Δ𝑥 , maka
𝑢 = 𝑔(𝑥) bertambah menjadi 𝑔(𝑥 + Δ𝑥) dan 𝑦 = 𝑓(𝑔 𝑥 )
bertambah menjadi 𝑓 𝑔 𝑥 + Δ𝑥 , sebagaimana diagram di slide
berikutnya

4. 24/05/18 MATEMATIKA II TEKNIK INDUSTRI
• 𝑥
• 𝑔(𝑥 + Δ𝑥)
• 𝑔(𝑥)
• (𝑔 𝑥 + Δ𝑥 )
• 𝑓(𝑔 𝑥 )
• 𝑥 + Δ𝑥
𝑔 𝑓
Pertambahan untuk 𝑢 = 𝑔(𝑥) adalah 𝑔 𝑥 + Δ𝑥 = 𝑔 𝑥 + Δ𝑔 𝑥 ,
dari hubungan ini diperoleh Δ𝑔(𝑥) → 0 apabila Δ𝑥 → 0
Δ𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 + Δ𝑥 − 𝑓(𝑔 𝑥 )

5. 24/05/18 MATEMATIKA II TEKNIK INDUSTRI
Berdasarkan definisi umum turunan komposisi
𝑓𝑜𝑔 𝑥 = lim
Δ𝑥→0
𝑓𝑜𝑔 𝑥+∆𝑥 −(𝑓𝑜𝑔)(𝑥)
∆𝑥
= lim
Δ𝑥→0
𝑓 𝑔 𝑥 −∆𝑔 𝑥 −𝑓(𝑔 𝑥 )
∆𝑥
= lim
Δ𝑥→0
𝑓 𝑔 𝑥 +∆𝑔 𝑥 −𝑓(𝑔 𝑥 )
∆𝑔(𝑥)
.
∆𝑔(𝑥)
∆𝑥
= lim
Δ𝑥→0
𝑓 𝑔 𝑥 +∆𝑔 𝑥 −𝑓(𝑔 𝑥 )
∆𝑔(𝑥)
.
∆𝑔(𝑥)
∆𝑥
= lim
Δ𝑥→0
𝑓 𝑔 𝑥 +∆𝑔 𝑥
∆𝑔(𝑥)
. lim
Δ𝑥→0
𝑔 𝑥+∆𝑥 −𝑔(𝑥)
∆𝑥
= 𝑓 𝑔 𝑥 . 𝑔(𝑥) (Terbukti)

6. 24/05/18 MATEMATIKA II TEKNIK INDUSTRI
Dan apabila aturan rantai dia atas kita tullis dengan
notasi leibniz akan diperoleh
Jika 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑢 = 𝑔 𝑥 maka,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Contoh : Tentukan fungsi 𝑓 𝑥 = (2𝑥2 − 4)7
Jawab :
Misal, 𝑢 = 2𝑥3
− 4  𝑢′
= 6𝑥2
𝑓 𝑥 = 𝑢7 → 𝑓′ 𝑥 = 7𝑢6. 𝑢′
Jadi, 𝑓 𝑥 = (2𝑥3
− 4)7
→ 𝑓′
𝑥 = 7(2𝑥3
− 4)6
. 6𝑥2
= 42𝑥2
(2𝑥2
− 4)6