Hakikat matematika untuk mata kuliah strategi pembelajaran matematika

1. HAKIKAT MATEMATIKA
A. Filsafat Matematika
Telah dikatakan cukup serius bahwa para matematikawan, orang yang
menemukan atau hanya menulis matematika, tidak tahu apakah objek
matematika mereka ada dan tidak tahu jika teorema yang mereka buktikan adalah
benar.Untuk memasukkan pernyataan pesimistis tentang sifat matematika dalam
buku tentang matematika dan pengajaran matematika agak berisiko. Guru
matematika atau calon guru tidak akan diminta untuk mempertimbangkan bidang
profesional lain, seperti sejarah, di mana keadaan urusan lebih tepat dan pasti.
Karena kebenaran historis dipandang berbeda oleh berbagai sejarawan dan tidak
diketahui pasti bahwa semua tokoh terkenal dan terkenal dalam sejarah benar-
benar ada, dakwaan yang mengecilkan ini dapat diterapkan pada sejarawan
maupun matematikawan.
Keabsahan pernyataan "matematikawan tidak tahu apakah kreasi mereka
ada" diilustrasikan dalam kenyataan bahwa sistem matematika didasarkan pada
definisi yang mengasumsikan keberadaan entitas matematika. Misalnya, bahkan
seperangkat yang secara intuitif menarik seperti himpunan bilangan-bilangan
alami (angka-angka penghitungan) didefinisikan sebagai himpunan yang
keberadaannya dinyatakan dalam dalil-dalil berikut (pernyataan-pernyataan yang
dianggap benar). Dalil-dalil ini pertama kali dirumuskan oleh ahli logika Italia,
Giuseppe peano (1858-1932).
a. 1 adalah angka nutaral
b. Penerus bilangan alami adalah bilangan alami
c. Tidak ada dua bilangan asli yang memiliki penerus yang sama
d. 1 bukan penerus nomor alami apa pun

2. e. etiap properti 1, dan juga penerus dari setiap bilangan alami yang memiliki
properti itu, adalah milik semua bilangan asli.
Asumsi terakhir ini disebut prinsip induksi matematika. Jika kata
penggantinya berarti menambahkan satu, maka lima dalil ini menentukan
bilangan 1, 2, 3,…. Namun, karena penggantinya adalah yang tidak terdefinisi,
jika kita memutuskan bahwa itu berarti membagi dengan tiga, maka dalil
menghasilkan himpunan angka.
1,
1
3
,
1
9
,
1
27
,
1
31
, …
Jadi setelah menentukan bilangan asli, tampaknya kita tidak tahu persis apa yang kita
bicarakan. Menggunakan dalil (e) dan mengasumsikan aturan penambahan dan
penggandaan untuk bilangan asli, teorema
1 + 2 + 3 + ⋯+ 𝑛 =
𝑛
2
(1 + 𝑛)
Benar, karena 1 =
1
2
(1 + 1).
Juga, jika diasumsikan demikian
1 + 2 + 3 + ⋯+ 𝑘 =
𝑘
2
(1 + 𝑘), maka mengikuti itu
(1 + 2 + 3 + ⋯+ 𝑘 + ( 𝑘 − 1)) =
𝑘
2
(1 + 𝑘) + ( 𝑘 + 1)
= 𝑘 (
𝑘 + 1
2
) + 2(
𝑘 + 1
2
)
=
𝑘 + 1
2
(1 + ( 𝑘 + 1)).

3. Ini mengikuti dari dalil (e) bahwa teorema itu benar. Artinya, teorinya
memang benar adalah dalil (e) yang benar. Karena dalil (e) diasumsikan benar tanpa
bukti, kita tidak benar-benar tahu bahwa teorema itu benar, apa yang bisa dikatakan
bahwa logika dan prosedur matematika menyiratkan kebenaran teorema, dengan
asumsi dalil (e) adalah benar.
Peano mendefinisikan bilangan asli, yang mungkin tidak ada, dan
membuktikan teorema, yang mungkin tidak benar, tentang angka ini. Sementara ini
semua mungkin tampak seperti argumen oleh Alice di Wonderland, itu diilustrasikan
isu-isu penting di dasar matematika yang dipelajari dan diperdebatkan oleh
matematikawan, ahli logika, dan filsuf. Lewis carrol, pada kenyataannya,
matematikawan Charles dongson (1832-1898) Yang juga seorang filsuf.
Baru-baru ini telah ditunjukkan, bahwa semua matematika tradisional dapat
berasal dari bilangan-bilangan asli. Matematikawan Yunani Pythagoras, yang hidup
di abad keenam SM, percaya bahwa tidak hanya matematika, tetapi segala sesuatu
yang lain dapat disimpulkan dari angka-angka. Para Pythagorean mungkin telah
menemukan hambatan yang paling serius mereka tentang matematika aritmatisasi.
Diperkirakan bahwa salah satu Pythagorean mungkin menemukan bilangan irasional,
yang disebut nomor yang tidak dapat dibandingkan, tidak ada yang dapat diukur
menggunakan unit rasional apa pun, tidak peduli seberapa kecil. Misalnya, nomor
1,414 yang dapat diukur dengan menggunakan satuan 0,001, Namun tidak ada unit
rasional yang dapat digunakan untuk mengukur √2, sebuah temuan yang sangat
membingungkan Pythagorean. Angka-angka yang dapat disandingkan, yang dapat
direpresentasikan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat, disebut rational dan angka
yang tidak dapat dibandingkan disebut irrationals. Akar kuadrat dari 2 dapat
ditunjukkan tidak masuk akal; yaitu, tidak dapat diekspresikan sebagai hasil bagi
bilangan bulat. Jika √2 rasional, maka
𝑘
𝑚
= √2 di mana k dan m adalah bilangan

4. bulat yang relatif prima; yaitu
𝑘
𝑚
adalah pecahan yang telah dikurangi menjadi
terendah. Kemudian
𝑘2
𝑚2 = 2 dan 𝑘2
= 2𝑚2
Karena 2𝑚2 di sebelah kanan tanda yang sama adalah bilangan genap, k2 juga harus
bilangan genap. Jika k2 adalah bilangan genap, maka k juga merupakan nomor ven.
Akibatnya, k2 bisa 4𝑝2
,dan
4𝑝2
= 2𝑚2
2𝑝2
= 𝑚2
Dengan alasan yang digunakan di atas, m2 dan m harus bilangan
genap.Karena keduanya k dan m adalah bilangan genap, k dan m tidak relatif prima.
Ini bertentangan dengan fakta bahwa k dan m dipilih menjadi relatif prima. Oleh
karena itu asumsi bahwa √2 rasional mengarah pada kontradiksi, yang menyiratkan
bahwa √2 tidak rasional.
Metode yang digunakan dalam argumen di atas disebut metode tidak langsung
pembuktian atau bukti dengan kontradiksi, yang dihindari di masa lalu oleh beberapa
matematikawan terkenal yang menganggapnya sebagai metode tidak logis. Sebagai
gambaran dari kemungkinan kesulitan logis dari metode tidak langsung pembuktian,
misalkan kita berasumsi bahwa √2 tidak rasional, yang mana dapat menggunakan
pernyataan matematika dan logika yang valid untuk sampai pada kontradiksi dari
asumsi ini. Haruskah kita berasumsi bahwa √2 rasional, padahal ada beberapa
proposisi (kemungkinan teorema yang mungkin atau mungkin tidak berlaku) dalam
matematika yang tidak dapat diputuskan. Sebuah proposisi tidak dapat diputuskan
jika tidak dapat dibuktikan atau dibantah. Ini bukan untuk mengatakan bahwa tidak
ada yang cukup pandai untuk membuktikan atau menyanggah proposalnya; tetapi ini

5. berarti bahwa seseorang telah membuktikan ketidakmungkinan untuk membuktikan
atau menolak proposisi tersebut.
Pada tahun 1921 mathermatician Polandia Jan Lukasiewicz menerbitkan
sebuah makalah penelitian tentang logika bernilai tiga, dan American Emil Post
menyiapkan artikel tentang sistem logis n-nilai umum. Dalam sistem logis dua-nilai,
yang digunakan sebagian besar siswa matematika sekolah, pernyataannya benar (T)
atau salah (F). Dengan menggunakan kalkulus proposisi, beberapa pernyataan dapat
digabungkan menjadi sebuah pernyataan baru yang kebenaran atau kepalsuannya
bergantung pada kebenaran atau kepalsuan pernyataan individu. Sebagai contoh, tabel
kebenaran bernilai dua untuk konjungsi, p dan q, dari dua pernyataan p dan q
ditunjukkan di bawah ini.Tabel ini memiliki semua nilai kebenaran yang mungkin
untuk p dan q dan nilai-nilai kebenaran yang dihasilkan untuk konjungsi p dan q.
P q p dan q
T T T
T F F
F T F
F F F
Jika p dan q keduanya merupakan pernyataan yang benar, maka pernyataan p dan q
adalah benar.Jika salah p atau q salah, maka pernyataan p dan q salah.Sementara
sistem logis dua-nilai seperti ini cukup untuk banyak sistem matematika formal, tidak
memuaskan untuk menggambarkan logika yang diperlukan untuk berfungsi di dunia
yang didominasi oleh keputusan praktis. Kebanyakan tindakan alternatif dalam
politik, urusan internasional, ekonomi, dan perubahan sosial tidak memiliki nilai yang
benar atau salah. Sayangnya jawaban untuk sebagian besar pernyataan dalam bentuk
p lebih baik daripada q tidak dapat diputuskan. Sebuah tabel kebenaran untuk semua

6. nilai kebenaran yang mungkin dari p dan q dan nilai-nilai kebenaran yang dihasilkan
untuk konjungsi p dan q diberikan di bawah ini. Dalam sistem logika tiga-nilai, nilai
ketiga tidak dapat diputuskan (U).
P q p dan q
T T T
T F F
F T F
F F F
T U U
U T U
F U F
U F F
U U U
Dengan cara penjelasan tentang situasi di mana p adalah pernyataan yang tidak
dapat ditentukan q adalah pernyataan salah, p dan q adalah pernyataan palsu; karena
pernyataan yang benar atau salah dalam hubungannya dengan pernyataan palsu akan
menghasilkan pernyataan yang salah. Sementara sistem logis dua-nilai harus
diajarkan di sekolah matematika untuk membantu siswa menghadapi aplikasi logika
non-kelas, Hal yang sama pentingnya untuk menggambarkan dan menggunakan
sistem logis bernilai tiga untuk alasan yang sama.

7. B. Struktur Sistem Matematika
Matematika dapat dibagi menjadi empat bidang utama aritmatika, aljabar,
geometri, dan analisis. Ratu matematika, aritmatika yang lebih tinggi (juga disebut
teori sumber) adalah studi tentang struktur, relasi, dan operasi dalam himpunan
bilangan bulat. Aritmatika yang lebih tinggi mungkin merupakan satu-satunya bidang
matematis yang masalah-masalahnya membentuk urutan studi yang tidak terputus
dari manusia paling awal hingga ahli matematika masa kini. Geometer Yunani
Euclid, yang hidup sekitar 300 SM, membuktikan bahwa jumlah bilangan prima tidak
terbatas. Pada abad ketiga SM, Alexandrian Eratosthenes mengembangkan
saringannya yang terkenal untuk menghilangkan bilangan komposit dari himpunan
bilangan alami, meninggalkan bilangan prima. Tidak termasuk 1 yang disebut unit,
bilangan prima adalah satu yang hanya faktor itu sendiri dan 1. Angka-angka yang
memiliki faktor tambahan adalah bilangan komposit. Membuktikan bahwa ada
bilangan prima tak terbatas setara dengan menunjukkan bahwa tidak ada bilangan
prima terbesar p. Bukti dari fakta ini adalah contoh lain dari bukti oleh kontradiksi.
Anggaplah bahwa ada p prima terbesar; bentuk nomor N, yang merupakan 1
ditambah produk dari semua bilangan prima.
𝑁 = 1 + (2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 11 ∙ 13 ∙ 17 ∙ 19 ∙∙∙ 𝑝)
N adalah prima atau komposit. Jika N adalah komposit, itu dapat difaktorkan ke
bilangan prima. Namun, bilangan prima ini tidak bisa menjadi 2, 3,5, ..., P karena
tidak satu pun dari angka-angka ini adalah faktor N. N dibagi oleh masing-masing
bilangan dari 2 hingga p menghasilkan sisa 1; oleh karena itu jika N adalah komposit,
salah satunya adalah faktor prima harus lebih besar dari p. jika N adalah prima, dan
karena N lebih besar dari p, harus ada N utama lebih besar dari p. Dalam kedua kasus
asumsi bahwa p adalah bilangan prima terbesar mengarah pada kontradiksi; jadi tidak
ada bilangan prima terbesar.

8. Matematika sekolah menengah menyediakan banyak contoh lain dari prosedur
dan teorema dalam aritmetika yang lebih tinggi dari bilangan bulat serta contoh dari
aljabar dan geometri. Salah satu contoh analisis awal dan paling penting, studi
tentang proses tak terbatas, adalah kalkulus dari orang Inggris Isaac Newton (1642-
1727) dan German Gottfried Leibniz (1646-1716). Meskipun matematika dapat
dipisahkan ke dalam empat bidang yang baru disebutkan, itu juga dapat dibagi ke
dalam studi tentang proses diskrit (proses yang terbatas) dan studi tentang proses
yang tak terbatas. Bahkan di aljabar sekolah tinggi proses tak terbatas digunakan.
Misalnya rumus untuk penjumlahan deret geometrik tak terbatas 𝑆 =
1
1−𝑟
, di mana a
adalah suku pertama dan r adalah rasio dalam perkembangan, yang melibatkan
penjumlahan (menemukan batas) deret tak hingga.
Untuk kembali ke sifat metode-metode non-konstruktif dimana Cantor
dikritik dengan sangat tidak menyenangkan, sebuah bukti yang tidak membangun
dapat menetapkan keberadaan solusi untuk kelas persamaan tertentu tetapi tidak akan
menentukan metode untuk menemukan solusi tersebut. Misalnya, bukti rumus
kuadrat itu.
𝑦 =
−𝑏±√𝑏2
−4𝑎𝑐
2𝑎
adalah solusi dari 𝑦 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 adalah bukti yang kontruktif
karena menghasilkan prosedur (algoritma) dimana solusi untuk setiap persamaan
kuadrat dapat diproduksi dalam jumlah langkah yang terbatas. Ada dan masih ada
(kronecker menjadi contoh utama) banyak ahli matematika yang merasa sulit untuk
menerima prosedur matematika untuk berurusan dengan proses yang tak terbatas dan
set yang tak terbatas.
Mendasari abstrak, sistem matematika deduktif atas istilah yang tidak jelas, yang
merupakan simbol kosong, dan aksioma yang tidak dapat dibuktikan memiliki
keuntungan menjadi umum dan efisien. Misalnya, konsep abstrak dari suatu
kelompok matematika cukup umum untuk berguna dalam menyatukan sejumlah

9. konsep lain di masing-masing teori bilangan, aljabar, geometri, dan analisis. Banyak
struktur matematika yang berbeda memiliki empat sifat kelompok yang sama:
1. Kelompok adalah seperangkat elemen yang tidak kosong yang memiliki operasi
biner pada elemen-elemennya. Operasi biner adalah aturan untuk
menggabungkan dua elemen dalam set untuk mendapatkan elemen dari set.
2. Ada elemen identitas di set yang dikombinasikan dengan elemen apa pun dari set
menghasilkan elemen itu.
3. Setiap elemen dari set invers yang menggabungkan dengan elemen tersebut
untuk memberikan elemen identitas.
4. Operasi biner adalah operasi asosiatif.
Suatu sistem matematika selesai jika memungkinkan untuk membuktikan atau
menyangkal setiap proposisi yang tidak dapat diputuskan, sistem matematika tidak
lengkap. Salah satu dilema yang paling membuat frustrasi dalam hasil matematika
membentuk kesulitan exteme (bahkan mungkin mustahil) membangun sistem
matematika yang tidak terbatas yang konsisten. Pada 1931 Kurt Godel membuktikan
bahwa setiap sistem harus tidak lengkap.Karena mampu membuktikan atau
menyangkal setiap proposisi tidak vital untuk validitas sistem matematika, penemuan
ini tidak menimbulkan bencana bagi yayasan matematika. Namun agak
membingungkan untuk menemukan bahwa salah satu proposisi tidak termodel model
dalam sistem apa pun adalah konsistensi sistem matematika itu.
Menghilangkan simbolisme kompleks dan teknis basis intuisi dari bukti serupa
dengan yang berikut.
1. Jika proposisi dan kontradiksinya keduanya dapat dibuktikan, maka proposisinya
tidak konsisten. Akibatnya, sistem matematika yang mengandung proposisi tidak
konsisten.
2. Jika proposisi dan kontradiksinya tidak dapat diputuskan maka
ketidakmungkinan untuk membuktikan atau menyanggah proposisi dan

10. kontradiksinya dapat ditetapkan. Akibatnya, konsistensi proposisi dan
kontradiksinya tidak dapat dipastikan, dan konsistensi sistem yang mengandung
proposisi juga tidak dapat diputuskan.
3. Untuk konsistensi sistem matematika yang tidak dapat diputuskan tidak sama
dengan sistem menjadi tidak konsisten. Untuk konsistensi sistem menjadi sarana
yang tidak dapat diputuskan yang tidak dapat ditentukan jika sistem konsisten.
Godel menunjukkan bahwa setiap sistem matematika memiliki proposisi yang
dapat dibuat.Menggunakan argumen dalam 1), 2), dan 3) di atas, ini menetapkan
bahwa konsistensi setiap sistem tidak dapat diputuskan. Karena sistem bilangan
natural yang didefinisikan oleh Peano dianggap sebagai sistem matematika paling
mendekati sempurna, ia akan digunakan untuk menggambarkan prosedur untuk
menghasilkan proposisi yang tidak dapat ditentukan. Setiap sifat dari bilangan-
bilangan alami dapat didefinisikan dalam sebuah kalimat yang mengandung sejumlah
huruf abjad yang terbatas. Definisi ini dapat dipesan dengan menetapkan masing-
masing nomor indeks yang berbeda, yang merupakan nomor alami, sebagai berikut.
Satu ditugaskan ke properti yang didefinisikan dalam jumlah huruf paling sedikit, dua
ke properti dengan jumlah huruf paling sedikit berikutnya, dan seterusnya. Jika
beberapa properti didefinisikan menggunakan jumlah huruf yang sama, mereka
diindeks dalam urutan abjad.
C. Pendekatan Matematika Modern
Sekitar tahun 1960 sejumlah proyek saparate sedang berlangsung untuk
menghasilkan buku-buku pelajaran matematika sekolah baru berisi beberapa
perkembangan terbaru dalam matematika dan pendekatan modern untuk pemecahan
masalah matematika. Banyak buku tek digunakan di sekolah pada tahun 1965, dan
pada tahun 1970 kritik terhadap apa yang disebut matematika sekolah modern sedang
didengar dari sebagian kecil guru matematika dan matematikawan. Pada tahun 1975
penelitian dan evaluasi studi menunjukkan bahwa siswa yang menggunakan buku

11. matematika baru melakukan hal yang sama pada tes konsep matematika seperti
orang-orang yang belajar matematika dari teks-teks lama yang mengandung
matematika klasik. Namun, program pengujian aritmatika berskala besar sebagai
siswa sebelumnya yang telah mempelajari matematika tradisional. Ditemukan bahwa
sebagian besar orang dewasa tidak dapat memecahkan masalah yang mengandung
pecahan dan desimal. Meskipun penurunan nyata dalam kemampuan matematika
tidak dapat secara langsung dikaitkan dengan perubahan dalam matematika sekolah
dan metode pengajaran matematika, itu menghasilkan gelombang kritik matematika
modern dan penekanan baru pada pengajaran keterampilan aritmatika dasar.
Meskipun metode modern dikembangkan bersamaan dalam empat bidang utama
matematika, masing-masing bidang yaitu aritmatika, aljabar, geometri, dan analisis-
secara terpisah. Karena pembagian matematika ini di sekolah menengah, pendekatan
ini akan lebih baik membantu Anda dalam memilih topik dari bab ini untuk diskusi di
kelas Anda sendiri. Menurut ET Bell dalam bukunya The Development of
Mathematics (1945), pembagian sejarah matematika konvensional mengandung tujuh
periode:
1. Sejak zaman dahulu hingga Babylonia kuno dan Mesir, inklusif.
2. Kontribusi Yunani, sekitar tahun 600 SM sekitar tahun 300, yang terbaik pada
abad keempat dan ketiga SM
3. Orang-orang Oriental dan Semitik-Hindu, Cina, Persia, Muslim, jw, dll.
Sebagian sebelum, sebagian setelah (2), dan memanjang ke (4)
4. Eropa selama Renaisans dan Reformasi, kira-kira abad ke lima belas dan keenam
belas
5. Abad ketujuh belas dan kedelapan belas
6. Abad kesembilan belas
7. Abad kedua puluh.
Beberapa ahli sejarah matematika menganggap waktu sebelum tahun 1800
menjadi periode klasifikasi sejarah matematis, sedangkan periode setelah 1800

12. disebut periode moderm; maka istilah matematika modern. Matematika
dikembangkan dari 1637, tanggal penerbitan geometri analitik Perancis René
Descartes, hingga 1800 juga dapat dianggap modern, karena memberikan dasar untuk
istirahat lengkap dengan metode klasik dan mengatur panggung untuk pendekatan
modern untuk pengembangan matematika, Meskipun Descartes (1596-1650) biasanya
dikreditkan dengan Penemuan geometri analitik, Piere Fermat kontemporer Perancis-
nya (1601-1665) secara mandiri, dan pada waktu yang sama, juga menemukan
subjek.
D. Aritmatika Modern
The German Carl Friedrich Gauss (1777-1855), yang merupakan matematikawan
murni terbesar dalam sejarah dunia, melakukan pekerjaan terbaiknya dalam teori
bilangan dan berkontribusi besar terhadap pengembangan cabang matematika ini.
Meskipun sekarang populer untuk memanggil aritmatika dengan teori nomor nama
yang lebih canggih, Gauss cukup puas untuk membuat kontribusi matematikanya
yang terbesar dalam subjek yang disebutnya aritmatika. Gauss dikreditkan dengan
mengatakan bahwa "matematika adalah ratu ilmu, dan arichmetic ratu
matematika."Sementara beberapa orang mungkin berpendapat bahwa Isaac Newton
adalah seorang matematikawan yang lebih besar daripada Gauss, itu biasanya
kebobolan oleh mereka yang mengukur kebesaran bahwa Newton adalah ilmuwan
terbesar dalam sejarah dan Gauss adalah ahli matematika terbesar.Gauss mengerjakan
matematika untuk kesenangannya sendiri dan sedikit tertarik untuk menerbitkan
hasilnya; akibatnya beberapa temuannya yang paling penting diajukan di antara
makalahnya hanya untuk diproduksi secara mandiri oleh para matematikawan yang
datang setelahnya.Dia kadang-kadang dikreditkan dengan kurang dari mendorong
untuk muda matematis pada masanya. Sementara kritik ini tidak sepenuhnya benar,
mungkin karena dia sudah memiliki sebelumnya ditemukan, dan diajukan di antara
makalahnya, beberapa kreasi matematika yang diajukan oleh matematikawan lain
untuk persetujuannya. Namun Gauss berteman, melalui korespondensi

13. matematikanya, seorang matematikawan Perancis tertentu mengenalnya sebagai
Monsieur Leblane, yang ternyata adalah wanita brilian sophie Germain (1776-1831).
Merefleksikan sudut pandang yang agak liberal untuk zamannya, Gauss senang ketika
Monsieur Leblance mengungkapkan identitas aslinya, yang dia telah disekresikan
darinya karena takut seorang matematikawan terkenal akan berpikir buruk tentang
matematika yang dihasilkan oleh seorang wanita. Kenyataan bahwa ada sangat sedikit
ahli matematika perempuan yang telah diinsafi ulang sampai abad ke-20 adalah
karena masyarakat peran intelektual yang rendah biasanya ditugaskan untuk
perempuan sepanjang sejarah.Pengecualian perempuan dari matematika ini tidak
diragukan menghasilkan retardasi perkembangan matematika.
Salah satu cabang aritmatika modern yang berasal dari diophantine adalah teori
kesesuaian yang dikembangkan oleh Gauss. Gauss mendefinisikan dua bilangan bulat
sebagai kongruen sehubungan dengan modulus jumlah alami n jika perbedaannya
benar-benar terbagi oleh n. Sebagai contoh, jika n = 3,1 dan 121 adalah modulo
kongruen 3 karena 121-1 = 120 adalah persis habis dibagi 3. Pernyataan ini ditulis,
1≡121 (mod 3). Bahkan, setiap bilangan bulat
{… , −1, −8,−5, −2, 1, 4,7, 10, … }setara dengan 1 modulo 3.
Masing-masing bilangan bulat
{… , −10,−7, −4, −1, 2, 5,8, 11, … }setara dengan 2 modulo 3.
Dan masing-masing integer
{… , −12,−9, −6, −3, 0, 3,6, 9, … }setara dengan 0 modulo 3
Tiga set integer tak terbatas ini dapat diwakili oleh simbol [0], [1], [2].
Equivalence modulo 3 telah mempartisi himpunan bilangan bulat menjadi tiga
himpunan yang disebut kelas ekivalen.Semua bilangan bulat dalam [0] dianggap
setara, bilangan bulat dalam [1] dianggap setara, dan bilangan bulat dalam [2] adalah

14. ekuivalen. Untuk mempartisi satu set adalah memisahkannya menjadi himpunan
bagian, sehingga setiap elemen dari himpunan muncul dalam satu dan hanya satu
bagian. Setiap bilangan alami n mempartisi bilangan bulat ke dalam kelas ekuivalen
n. Adalah mungkin untuk mendefinisikan operasi pada kelas ekivalen ini dan untuk
mempelajari sifat aljabar dari himpunan kelas ekivalen sehubungan dengan operasi
ini. Dengan demikian, satu dipimpin dari aritmatika modern ke aljabar modern, Gauss
dan persamaan belajar lainnya yang mengandung variabel dan ekuivalen modulo n.
Contohnya, 𝑥2
+ 𝑥 ≡ [2] (mod 3) memiliki solusi x = [1], karena
[12
] + [1] = [2] jika kita mendefinisikan
[1] × [1] = [1 × 1] = [1],dan
[1] + [1] = [1 + 1] = [2].
Kelas ekivalen integer modulo n, bersama dengan penambahan dan penerapan
kelas ekivalen, adalah penting dalam aljabar modern karena mereka menyediakan
cara untuk secara langsung mempelajari properti dari set integer yang tak terbatas dan
operasi pada bilangan bulat melalui set terbatas kelas kesetaraan.
E. Aljabar Modern
Perbedaan utama antara pendekatan klasik dan modem untuk aljabar ditemukan
dalam sifat unsur aljabar dan pendekatan untuk menyatakan dan memecahkan
masalah aljabar. Matematikawan klasik menganggap unsur aljabar sebagai angka atau
titik dalam bidang: dimana: aljabar modern menganggap aljabar sebagai sistem
postulasional abstrak dan dedue. Unsur-unsur aljabar modren tidak didefinisikan
sebagai angka atau poin; tetapi merupakan abstraksi yang dapat ditafsirkan dalam
berbagai cara yang konsisten dengan postułates sistem. Pertanyaan-pertanyaan yang
dirumuskan oleh Algebralst klasik dinyatakan dalam istilah-istilah konkret dan
dijawab dalam masalah atau serangkaian masalah tertentu. Namun metode-metode ini
sangat berguna untuk memecahkan masalah yang lebih umum.

15. Namun banyak struktur matematis dan spesifik lainnya juga merupakan
kelompok. Beberapa set transformasi dalam geometri dan spesifik memiliki empat
sifat dari suatu kelompok. Ahli matematika moden akan menyatakan dan
membuktikan teorema dari bentuk: Dalam sebuah kelompok, kebenaran pernyataan p
Menyiratkan kebenaran pernyataan q. Kemudian dia akan mempelajari sistem
matematika dan spesifik dengan mencari struktur kelompok. Sistem apa pun, di mana
pun itu ditemukan (baik dalam elektronik, kimia atau geometry). yang dapat
ditunjukkan memiliki sifat-sifat kelompok, juga akan memiliki semua karakteristik
yang telah dibuktikan dalam teorema tentang kelompok. Namun, ahli matematika
klasik yang menyatakan teorema dalam bentuk Dalam Integer, dari p statement
menyiratkan pernyataan q tidak akan dapat menggunakan teorema ini untuk setiap
struktur selain bilangan bulat
Matematikawan modern mendefinisikan tatanan matematika yang sangat umum.
Mereka membuktikan teorema tentang struktur gènteral ini, mencari sistem
matematika atau spesifik yang sangat spesifik memiliki struktur seperti itu, dan
menerapkan teorema untuk struktur umum ke struktur tertentu. Dalam terminologi
matematika. mathematicisns mencari isomorphisms (satu-ke-satu, operasi
melestarikan korelasi) antara sistem matematika dan fisik. Pendekatan modern ini
jauh lebih efisien untuk menyelesaiakan masalah dalam matematika dan sains.
Aljabar tadisinal kadang-kadang disebut aritmatika umum karena struktur dan
teorema didasarkan pada angka nyata Hypatia, yang diartikan sebagai wanita
matematikawan pertama dalam sejarah, dipengaruhi dalam karyanya dalam aljabar
oleh Diophantus yang merupakan ahli matematika matematika pertama gunakan
notasi singkat sebagai ganti argumen verbal aljabar yang panjang.
Rumus yang telah dikembangkan untuk memecahkan polinomial derajat kurang
dari lima menggunakan koefisien dari polinomial bersama dengan empat operasi
aritmatika dan tanda radikal. banyak ahli matematika telah bertanggung jawab untuk
meningkatkan dan menambah pekerjaan baik pelopor zlgebraic seperti Abel dan

16. Galols, salah satu yang paling menonjol adalah matematikawan wanita yang luar
biasa Emmy Noether (1882-1935). Lahir di Jerman, ia dibesarkan di kota universitas
Erlangen di mana dia, mengajar di Universitas sebagai pengganti ayahnya, Max
Noether, ketika dia sakit. Dia kemudian menjadi profesor di Universitas Göttingen, di
mana dia tinggal sampai kematiannya kecuali untuk periode singkat penelitian
matematika dan kuliah di Amerika Serikat. Beberapa pekerjaan utamanya adalah
dalam teori cincin dan kelas penting cincin, yang disebut cincin noeterian, dinamai
untuknya. Sementara kontribusinya sendiri untuk matematika adalah signifikan, dia
juga guru yang menginspirasi, akibatnya banyak dari ide-idenya terbentuk dalam
karya-karya popilsnya.
Singkatnya, aljabar tradisional (klasik) adalah aritmatika umum di mana spesifik
algoritme dikembangkan untuk memecahkan masalah tertentu. Aljabar modern
adalah sistem postulasional matematika yang memiliki aljabar tradisional sebagai
salah satu dari banyak model spesifik dari istilah, dalil, dan teorema yang tidak
terdefinisi.
F. Geometri Modern
Perbedaan antara pendekatan klasik dan modern untuk geometri diilustrasikan
oleh struktur umum geometri modern yang menyatu dibandingkan dengan uxloms
dan dalil yang lebih spesifik dari geometri waktu Euelid. The dis covery yang secara
logis konsisten geometri yang saling bertentangan dapat dipostulasikan dan
diterapkan dalam matematika dan sains menandai akhir periode geometri klasik.
Ide-ide geometris Menurut Cornelius Lanczos (1970) dalam bukunya Space
Through The Ages, perkiraan terbaik dari daftar Euclid dari aksioma atau gagasan
umum :
1. Hal-hal yang sama dengan hal yang sama, adalah sama dengan satu sama lain.
2. Jika setara ditambahkan ke yang sederajat, sisanya adalah sama.

17. 3. Jika sama dikurangi dari sama, sisanya adalah sama.
4. Hal-hal yang bertepatan dengan satu sama lain satu sama lain.
Keseluruhan lebih besar daripada bagian berperan:
1. Untuk menggambar garis lurus dari setiap poin ke poin
2. Menghasilkan garis lurus berhingga secara terus menerus dalam garis lurus
3. Untuk menghilangkan lingkaran dengan pusat dan jarak apa pun.
4. Itu sudut kanan akan sama dengan satu sama lain.
5. Bahwa, jika garis lurus jatuh pada dua garis lurus membuat sudut interior pada
sisi yang sama kurang dari dua sudut siku-siku, dua garis lurus jika diproduksi
tanpa batas, bertemu di sisi itu yang sudutnya kurang dari dua sudut siku-siku.
Jika "garis lurus” diganti dengan " geodesic” di Euclid's Pustulates 1 dan 2,
empat dalil pertama akan benar untuk geometri pada permukaan bola. Dalil 5,
postulaue paralel, salah pada permukaan bola. Dalam geometri bulat, dalil ini harus
diganti dengan dalil bahwa melalui titik tidak pada geodesik tertentu tidak ada
geodesi yang sejajar dengan geodesik yang diberikan. Ini sama dengan mengatakan
bahwa semua lingkaran besar berpotongan dengan yang lain, pada kenyataannya, dua
lingkaran berpotongan pada titik-titik W. Model bulat geometri non-Euclidean
Riemann cukup berguna dalam navigasi di lautan bumi, dan kita juga melihat bahwa
geometri bertentangan dengan geometri Euclid. Seperti pada ilustrasi berikut :
Gambar 1.1. Geometri di permukaan bola.

18. Lobachevski's non-Euclidean geometri dapat diperoleh dengan mengganti garis
lurus dengan geodesik di Dalil 1 dan 2, dan dengan merevisi dalil kelima sehingga
melalui dalil tidak pada geodesik yang diberikan ada sejumlah tak terbatas yang tidak
memotong pada geodesik. Geometri pada permukaan pseudosfer menyediakan model
yang tepat untuk set postu lates ini Sebuah preudouphere dibentuk oleh revolvinga
tractrix, ditunjukkan pada Gambar 1.2 di sekitar sumbu R. Traktor adalah kurva
cekung yang persamaannya melibatkan fungsi trigonometri hiperbolik. Sebuah
pseudosfer memiliki permukaan cekung yang membuatnya menjadi analog cekung
bola yang permukaannya cembung. Pseudosfer, yang memanjang tak terhingga.
Gambar 1.2 tractrix
Gambar 1.3 Geometri pada permukaan pseudosfer.
Dua arah yang berlawanan, adalah objek berbentuk terompet ganda yang
ditunjukkan pada Gambar. 1.3. Sebuah garis yang melewati pusat pseudosfer, dari
atas ke bawah, akan memotong permukaan di garis AB dan CD. Garis-garis ini garis

19. geodesi(traktor besar) yang analog dengan lingkaran besar pada bola. Meskipun
semua traktor besar adalah geodesik, ada kurva lain pada pseudosfer yang juga
merupakan zeodeik. Sebagai contoh, lingkaran yang melewati titik L dan F adalah
seodesik. Melalui titik P, dua PFG geodesik dan PLG (tidak ada yang traktat) tidak
memotong XHTY traktat. Dengan demikian kita memiliki contoh dua geodesle
melalui titik net pada suatu geodesi yang dianugerahi "sejajar dengan reodesik yang
terbahak-bahak. Jumlah sudut dari segitiga segitiga Pseudosfiks TFL kurang dari 180,
bertentangan dengan jumlah sudut segitiga aplane adalah 180.
G. Analisis
Analisis adalah studi matematis proses Infinite, dan sejak abad ke-5 SM. ahli
matematika telah tertarik dan terganggu oleh pemikiran infiniti. Zeno of Elea (490-
430 SM) bingung oleh gagasan-gagasan Ketidakbatasan dan tidak berhingga, dan
empat paradoksnya yang terkenal tentang may dan "bergerak" memberikan dasar bagi
penelitian metematika dari hingga saat ini. Dua paradoks pertamanya (Dichoromy
dan Achilles) berasal dari asumsi bahwa ruas garis # tak terhingga dapat dibagi, dan
terakhir (Panah dan Stadion) dari asumsi bahwa ruas garis tidak dapat dipisahkan
secara tak terhingga. Dalam paradoks Achiles, Zeno berpendapat bahwa Achilles
tidak pernah bisa memenangkan sakit baru ras di belakang! Mengulang-ulang
argumen ini selamanya gegabah bahwa Achilles akan selalu dengan orang yang
memiliki kepala mulai, karena untuk melakukannya ia harus terlebih dahulu
mencapai titik nir-nir yang tartle. Pada saat itu kura-kura berada pada titik baru titik
awal, jadi Achiles masih tertinggal. Maka Achilles harus sampai ke kura-kura berada
di beberapa titik di belakang turde, jadi dia tidak akan pernah memenangkan
perlombaan. posisi, tetapi ketika dia melakukannya, kura-kura akan berada di posisi
baru kedua. Achillers Masalahnya di sini adalah bahwa jika Achilles harus
menempati jumlah poin yang tak terbatas adalah periode waktu yang terbatas, dia
tidak akan pernah mengambil alih kura-kura. Untuk menyelesaikan paradoks ini
membutuhkan klarifikasi idenya tentang Infinity. Analisis moderm dari tak terbatas

20. paradoks. Jika kura-kura dan Achilles berjalan selamanya, urutan mereka dari total
tance tertutup, detik demi detik, boch akan menyimpang hingga tak terbatas. Tapi,
Achilles, menjadi pelari yang lebih cepat, akan memiliki urutan yang menyimpang
lebih cepat daripada ence kura-kura. Akibatnya, pada waktu tertentu dalam
perlombaan, syarat-syarat Achilles akan menjadi dan tetap lebih besar daripada istilah
urutan kura-kura, seq dan Achilles akan memimpin perlombaan sejak saat itu hingga
tak terbatas. Jika balapan berlangsung untuk waktu terbatas yang cukup lama untuk
sekuens Achilles untuk mengambil alih urutan penyu, Achilles akan menang. Urutan
bisa terlihat seperti ini, di mana kura-kura memiliki kepala mulai 100 kaki.
Waktu berlalu 0 1 2 3 4 5
Jarak tempuh-Turtle 100 100,5 101,0 101,5 102,0 12,5
Jarak yang ditempuh-Achilles 0 30 60 90 120 160
Setelah empat detik, Achilles dia akan tetap berada di depan untuk memenangkan
perlombaan.
Hal-Hal Yang Harus Dilakukan
1. Bangun bukti yang menunjukkan bahwa √5 adalah irasional yang mana siswa
aljabar SMA akan dapat paham. Pertimbangkan bagaimana Anda bias buktikan
bahwa √ 𝑛 untuk semua bilangan asli n yang bukan bilangan irasional
2. Buatlah tabel untuk disjungsi p atau q dari dua pernyataan p dan q adalah sistem
logis dua-nilai. Membangun tabel kebenaran p atau q untuk sistem logis tiga
pernyataan .
3. Temukan batas jumlah bilangan ini :
1
3
+
1
6
+
1
12
+
1
24
+ … Adalah batas bilangan rasional