2. Adaptif
RELASI DAN FUNGSI
Kompetensi Dasar :
Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi
Indikator :
1.Konsep relasi dan fungsi dibedakan dengan
jelas
2.Jenis-jenis fungsi diuraikan dan ditunjukkan
contohnya
Hal.: ‹#› Relasi dan Fungsi
4. Adaptif
RELASI DAN FUNGSI
Ada 3 cara dalam menyatakan suatu relasi :
1.Diagram panah
2.Himpunan pasangan berurutan
3.Diagram Cartesius
Contoh:
Diketahui himpunan A = {1,2,3,4,5} dan himpunan B = {becak, mobil,
sepeda, motor,bemo}. Relasi yang menghubungkan himpunan A ke
himpunan B adalah “banyak roda dari”. Tunjukkan relasi tersebut
dengan:
a.Diagram panah
b.Himpunan pasangan berurutan
c.Diagram Cartesius
Hal.: 6 Relasi dan Fungsi
5. Adaptif
RELASI DAN FUNGSI
Jawab:
a. Diagram panah
“banyak roda dari”
1.
2.
3.
4.
5.
. becak
. mobil
. sepeda
. motor
. bemo
A B
c. Diagram Cartesius
b. Himpunan pasangan berurutan = {(2, sepeda), (2, motor), (3, becak)
(3, bemo), (4, mobil )}
X
Y
O 1 2 3
bemo
motor
sepeda
mobil
becak
4
•
•
•
•
•
Hal.: 7 Relasi dan Fungsi
6. Adaptif
Pengertian Fungsi :
Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi
yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal , dengan
elemen pada B
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Bf
A
RELASI DAN FUNGSI
Hal.: 8 Relasi dan Fungsi
7. Adaptif
Beberapa cara penyajian fungsi :
Dengan diagram panahDengan diagram panah
f : Df : D →→ K. Lambang fungsi tidak harus f.K. Lambang fungsi tidak harus f. Misalnya,Misalnya,
uunn = n= n22
+ 2n atau u(n) = n+ 2n atau u(n) = n22
+ 2n+ 2n
Dengan diagram KartesiusDengan diagram Kartesius
Himpunan pasangan berurutanHimpunan pasangan berurutan
Dalam bentuk tabelDalam bentuk tabel
RELASI DAN FUNGSI
Hal.: 9 Relasi dan Fungsi
8. Adaptif
Contoh :Contoh : grafik fungsigrafik fungsi
4 disebut bayangan (peta) dari 2 dan4 disebut bayangan (peta) dari 2 dan
juga dari –2.juga dari –2.
–– 2 dan 2 disebut prapeta dari 4, dan2 dan 2 disebut prapeta dari 4, dan
dilambangkan fdilambangkan f–1–1
(4) = 2 atau – 2.(4) = 2 atau – 2.
Grafik Kartesius merupakan grafikGrafik Kartesius merupakan grafik
fungsi y=f(x) hanya apabila setiap garisfungsi y=f(x) hanya apabila setiap garis
sejajar sumbu- Y yang memotongsejajar sumbu- Y yang memotong
grafik hanya memotong di tepat satugrafik hanya memotong di tepat satu
titik saja.titik saja.
Gambarlah grafikGambarlah grafik sebuah fungsisebuah fungsi : f: x: f: x →→ f(x) = xf(x) = x22
dengan Ddengan Dff = {–2, –1, 0, 1, 2}, R= {–2, –1, 0, 1, 2}, Rff = {0, 1, 4}.= {0, 1, 4}.
(2,4)(–2,4)
XO
(1,1)(–1,1)
(0,0)
Y
RELASI DAN FUNGSI
Hal.: 10 Relasi dan Fungsi
9. Adaptif
Beberapa Fungsi KhususBeberapa Fungsi Khusus
1). Fungsi Konstan1). Fungsi Konstan
2). Fungsi Identitas2). Fungsi Identitas
3). Fungsi Modulus3). Fungsi Modulus
4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Fungsi genap jika f(Fungsi genap jika f(−−x) = f(x), danx) = f(x), dan
Fungsi ganjil jika f(Fungsi ganjil jika f(−−x) =x) = −−f(x)f(x)
5).5). Fungsi Tangga dan Fungsi Nilai Bulat TerbesarFungsi Tangga dan Fungsi Nilai Bulat Terbesar
[[ x ] = {b | b[[ x ] = {b | b ≤≤ x < b + 1, b bilangan bulat, xx < b + 1, b bilangan bulat, x∈∈R}R}
Misal, jikaMisal, jika −−22 ≤≤ x <x < −−1 maka [[x] =1 maka [[x] = −−22
6).6). Fungsi LinearFungsi Linear
7). Fungsi Kuadrat7). Fungsi Kuadrat
8). Fungsi Turunan8). Fungsi Turunan
RELASI DAN FUNGSI
Hal.: 11 Relasi dan Fungsi
10. Adaptif
Jenis FungsiJenis Fungsi
1.1. Injektif ( Satu-satu)Injektif ( Satu-satu)
Fungsi f:AFungsi f:A→→B adalah fungsi injektif apabila setiap dua elemenB adalah fungsi injektif apabila setiap dua elemen
yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yangyang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang
berbeda di B. Misalnya Fungsi f(x) = 2xberbeda di B. Misalnya Fungsi f(x) = 2x adalah fungsi satu-satuadalah fungsi satu-satu
dan f(x) = xdan f(x) = x22
bukan suatu fungsi satu-satu sebab f(-2) = f(2).bukan suatu fungsi satu-satu sebab f(-2) = f(2).
2. Surjektif (Onto)2. Surjektif (Onto)
Fungsi f: AFungsi f: A→→B maka apabila f(A)B maka apabila f(A) ⊂⊂ B dikenal fungsi intoB dikenal fungsi into..
Jika f(A) = B maka f adalah suatu fungsi surjektifJika f(A) = B maka f adalah suatu fungsi surjektif..
Fungsi f(x) = xFungsi f(x) = x22
bukan fungsi yang ontobukan fungsi yang onto
3. Bijektif (Korespondensi Satu-satu)3. Bijektif (Korespondensi Satu-satu)
Apabila f: AApabila f: A→→ B merupakan fungsi injektif dan surjektif makaB merupakan fungsi injektif dan surjektif maka
““f adalah fungsi yang bijektif”f adalah fungsi yang bijektif”
RELASI DAN FUNGSI
Hal.: 12 Relasi dan Fungsi
11. Adaptif
FUNGSI LINEAR
1.Bentuk Umum Fungsi Linear
Fungsi ini memetakan setiap x R kesuatu bentuk ax + b dengan
a ≠ 0, a dan b konstanta.
∈
Grafiknya berbentuk garis lurus yang disebut grafik fungsi linear dengan
Persamaan y = mx + c, m disebut gradien dan c konstanta
2. Grafik Fungsi Linear
Cara menggambar grafik fungsi linear ada 2 :
1. Dengan tabel
2. Dengan menentukan titik- titik potong dengan sumbu x dan sumbu y
Hal.: 13 Relasi dan Fungsi
12. Adaptif
FUNGSI LINEAR
Contoh :
Suatu fungsi linear ditentukan oleh y = 4x – 2 dengan daerah asal
a. Buat tabel titik-titik yangmemenuhi persamaan diatas .
b. Gambarlah titik-titik tersebut dalam diagram Cartesius.
c. Tentukan titik potong grafik dengan sumbu X dan sumbu Y.
≤≤ ∈
Jawab
a. Ambil sembarang titik pada domain
Jadi, grafik fungsi melalui titik-titik (-1,-6), (0,-2), (1,2), (2,6)
{x -1 x 2, x R}.
-1 0 1 2X
2-6 -2Y = 4x-2 6
Hal.: 14 Relasi dan Fungsi
13. Adaptif
FUNGSI LINEAR
b.
⇔
X
-2 O
Y
-1
-6
-2
1
2
2
6
•
•
•
•
c. Titik potong dengan sumbu x ( y= 0 )
y = 4x – 2
0 = 4x - 2
2 = 4x
x =
2
1
⇔
⇔
Jadi titik potong dengan sumbu X adalah ( ½,0)
Titik potong dengan sumbu Y ( x = 0 )
y = 4x – 2
y = 4(0) – 2
y = -2
Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah (0,-2)
⇔
⇔
Hal.: 15 Relasi dan Fungsi
14. Adaptif
FUNGSI LINEAR
3. Gradien Persamaan Garis Lurus
Cara menentukan gradien :
(i). Persamaan bentuk y = mx+c, gradiennya adalah m.
(ii). Persamaan bentuk ax+by+c=0 atau ax+by=-c adalah m=
(iii). Persamaan garis lurus melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2), gradiennya adalah
m =
b
a−
12
12
xx
yy
−
−
Contoh :
1. Tentukan gradien persamaan garis berikut
a. y = 3x – 4
b. 2x – 5y = 7
2. Tentukan gradien garis yang melalui pasangan titik (-2,3) dan (1,6)
Hal.: 16 Relasi dan Fungsi
15. Adaptif
FUNGSI LINEAR
Jawab :
1a. Y = 3x – 4
gradien = m = 3
b. 2x - 5y = 7, a = 2 dan b = - 5
m = = -
b
a−
5
2
−
2. m =
=
=
= 1
12
12
xx
yy
−
−
)2(1
36
−−
−
21
36
+
−
Hal.: 17 Relasi dan Fungsi
16. Adaptif
FUNGSI LINEAR
4. Menentukan Persamaan Garis Lurus
Persamaan garis melalui sebuah titik (x1,y1) dan gradien m adalah
y – y1 = m ( x – x1 )
Persamaan garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) adalah
=
12
1
xx
xx
−
−
12
1
yy
yy
−
−
Contoh 1 :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik ( -2, 1 ) dan gradien -2
Jawab :
y – y1 = m ( x – x1 )
y – 1 = -2 ( x – (-2))
y - 1 = -2x – 4
y = -2x - 3
Hal.: 18 Relasi dan Fungsi
17. Adaptif
FUNGSI LINEAR
Contoh 2 :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(-2, 3) dan Q(1,4)
12
1
yy
yy
−
−
Jawab :
=
=
=
3(y – 3) = 1(x + 2)
3y – 9 = x + 2
3y - x – 11 = 0
12
1
xx
xx
−
−
34
3
−
−y
21
2
+
+x
1
3−y
3
2+x
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Hal.: 19 Relasi dan Fungsi
18. Adaptif
FUNGSI LINEAR
5. Kedudukan dua garis lurus
Dua garis saling berpotongan jika m1 ≠ m2
Dua garis saling sejajar jika m1 = m2
Dua garis saling tegak lurus jika m1. m2 = -1 atau m1 = - 2
1
m
Contoh :
1. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,-3) dan sejajar
dengan garis x – 2y + 3 = 0
2. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (-3,5) dan tegak lurus
pada 6x – 3y – 10 = 0
Hal.: 20 Relasi dan Fungsi
19. Adaptif
FUNGSI LINEAR
Jawab :
1. Diketahui persamaan garis x – 2y + 3 = 0
maka
Persamaan garis melalui titik (2,-3) dan gradien adalah
y – y1 = m ( x – x1)
y + 3 = ½ ( x – 2 )
y + 3 = ½ x – 1
2y + 6 = x – 2
x – 2y – 8 = 0
Jadi persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis x – 2y + 3 = 0 dan
melalui titik (2,-3) adalah x – 2y – 8 = 0
2
1
2
1
1 =
−
−=−=⇒
b
a
m
21 mm =⇒
2
1
2
1
1 =m
⇔
⇔
⇔
⇔
Hal.: 21 Relasi dan Fungsi
20. Adaptif
FUNGSI LINEAR
2. Diketahui persamaan garis 6x – 3y – 10 = 0.
Persamaan garis lurus yang dicari melalui titik (-3,5) dan bergradien -½,
maka persamaannya adalah
y – y1 = m(x – x1)
y – 5 = -½ (x + 3)
y – 5 = -½x -
2y – 10 = -x – 3
x + 2y – 10 + 3 = 0
x + 2y – 7 = 0
Jadi, persamaan garis lurus yang melalui titik (-3,5) dan tegak lurus garis
6x – 3y – 10 = 0 adalah x + 2y – 7 = 0.
2
3
6
1 =
−
−=−=⇒
b
a
m
2
1
2
11
1
1
221 −=
−
=
−
=⇒−=⋅
m
mmm
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
2
3
Hal.: 22 Relasi dan Fungsi
21. Adaptif
FUNGSI KUADRAT
1.Bentuk umum fungsi kuadrat
y = f(x) →ax2
+bx+c dengan a,b, c ∈ R dan a ≠ 0
Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola simetris
2. Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat
Berdasarkan nilai a
(i) Jika a > 0 (positif), maka grafik terbuka ke atas. Fungsi kuadrat memiliki nilai
ekstrim minimum, dinotasikan ymin atau titik balik minimum.
(ii) Jika a < 0 (negatif), maka grafik terbuka ke bawah. Fungsi kuadrat memiliki nilai
ekstrim maksimum, dinotasikan ymaks atau titik balik maksimum.
Hal.: 23 Relasi dan Fungsi
22. Adaptif
FUNGSI KUADRAT
Hubungan antara D dengan titik potong grafik dengan sumbu X
(i) Jika D > 0 maka grafik memotong sumbu X di dua titik yang
berbeda.
(ii) Jika D = 0 maka grafik menyinggung sumbu X di sebuah titik.
(iii) Jika D < 0 maka grafik tidak memotong dan tidak menyinggung
sumbu X.
Berdasarkan Nilai Diskriminan (D)
Nilai diskriminan suatu persamaan kuadrat adalah D = b2
– 4ac
Hal.: 24 Relasi dan Fungsi
23. Adaptif
Kedudukan Grafik Fungsi Kuadrat Terhadap Sumbu XKedudukan Grafik Fungsi Kuadrat Terhadap Sumbu X
X
(i) X
(ii)
X(iii)
a > 0
D > 0
a > 0
D = 0
a > 0
D < 0
X
(iv)
X
(v)
a < 0
D > 0
a < 0
D = 0
X
(vi)
a < 0
D < 0
FUNGSI KUADRAT
Hal.: 25 Relasi dan Fungsi
24. Adaptif
3. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat :
(i) Menentukan titik potong dengan sumbu X (y = 0)
(ii) Menentukan titik potong dengan sumbu Y (x = 0)
(iii) Menentukan sumbu simentri dan koordinat titik balik
• Persamaan sumbu simetri adalah x =
• Koordinat titik puncak / titik balik adalah
(iv) Menentukan beberapa titik bantu lainnya (jika di perlukan)
FUNGSI KUADRAT
a
b
2
−
−−
a
D
a
b
4
,
2
Hal.: 26 Relasi dan Fungsi
25. Adaptif
FUNGSI KUADRAT
Contoh :
⇔
Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x2
– 4x – 5.
Jawab
:(i) Titik potong dengan sumbu X (y = 0)
x2
– 4x – 5 = 0
(x + 1)(x – 5) = 0
x = -1 atau x = 5
Jadi, titik potong grafik dengan sumbu X adalah titik (-1, 0) dan (5, 0).
⇔
(ii) Titik potong dengan sumbu Y (x = 0)
y = 02
– 4(0) – 5
y = -5
Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah titik ( 0, -5 )
⇔
Hal.: 27 Relasi dan Fungsi
26. Adaptif
FUNGSI KUADRAT
(iii) Sumbu simetri dan koordinat titik balik
9
)1(4
))5)(1(4)4((
4
2
2
4
)1(2
)4(
4
2
−=
−−−−
=
−
=
==
−−
=
−
=
a
D
y
a
b
x
Jadi, sumbu simetrinya x = 2 dan koordinat titik baliknya (2, -9).
(iv) Menentukan beberapa titik bantu. Misal untuk x = 1, maka y = -8.
Jadi, titik bantunya (1, -8).
Hal.: 28 Relasi dan Fungsi
28. Adaptif
FUNGSI KUADRAT
Persamaan fungsi kuadrat f(x) =ax2
+ bx + c apabila diketahui grafik fungsi
melalui tiga titik
⇔
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik (1,-4), (0,-3) dan (4,5)
Jawab:
f(x) = ax2
+ bx + c
f(1) = a(1)2
+ b(1) + c = -4
a + b + c = -4 . . . 1)
f(0) = a(0)2
+ b(0) + c = -3
0 + 0 + c = -3
c = -3 . . . 2)
f(4) = a(4)2
+ b(4) + c = 5
16a + 4b + c = =5 . . . 3)
⇔
⇔
⇔
Hal.: 30 Relasi dan Fungsi
29. Adaptif
FUNGSI KUADRAT
Substitusi 2) ke 1)
a + b – 3 = -4
a + b = -1 . . . 4)
Substitusi 2) ke 3)
16a + 4b – 3 = 5
16a + 4b = 8 . . . 5)⇔
Dari 4) dan 5) diperoleh :
a + b = -1 x 4 4a + 4b = -4
16a + 4b = 8 x 1 16a + 4b = 8 _
-12a = -12
a = 1
Substitusi a = 1 ke 4)
1 + b = -1
b = -2
Jadi, fungsi kuadratnya adalah f(x) = x2
-2x -3
⇔
Hal.: 31 Relasi dan Fungsi
30. Adaptif
FUNGSI KUADRAT
Persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2
+ bx + c apabila
diketahui dua titik potong terhadap sumbu X dan satu
titik lainnya dapat ditentukan dengan rumus berikut .
)
2
)(
1
()( xxxxaxf −−=
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong
sumbu X di titik A (1,0), B(-3,0), dan memotong sumbu
Y di titik (0,3)
Contoh :
Hal.: 32 Relasi dan Fungsi
31. Adaptif
FUNGSI KUADRAT
Jawab :
Titik (1,0) dan (-3,0) disubstitusikan ke f(x) menjadi :
f(x) = a(x – 1)(x + 3) . . . 1)
Kemudian subsitusikan (0,3) ke persamaan 1) menjadi :
3 = a(0 - 1)(x + 3)
3 = -3a
a = -1
Persamaan fungsi kuadratnya menjadi :
Jadi fungsi kuadratnya adalah
32)( 2
+−−= xxxf
))(()( 21 xxxxaxf −−=
)3)(1(1)( +−−= xxxf
32)( 2
+−−= xxxf
)32(1 2
−+−= xx
Hal.: 33 Relasi dan Fungsi
32. Adaptif
FUNGSI KUADRAT
Persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2
+ bx + c
apabila diketahui titik puncak grafik (xp’ yp) dan
satu titik lainnya dapat ditentukan dengan rumus
berikut.
pp yyxaxf +−= 2
)()(
Hal.: 34 Relasi dan Fungsi
33. Adaptif
FUNGSI KUADRAT
f(x) = a(x – xp)2
+ yp (xp , yp) = (-1, 9)
f(x) = a(x + 1 )2
+ 9 . . . 1)
Subsitusikan titik (3,-7) ke persamaan 1) menjadi :
-7 = a(3 + 1)2
+ 9
-16 = 16 a
a = 1
Jawab :
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang titik puncaknya (-1, 9) dan
melalui (3, -7)
Contoh :
⇔
⇔
Hal.: 35 Relasi dan Fungsi
34. Adaptif
FUNGSI EKSPONENFUNGSI EKSPONEN
D = domain
f(x) =2X
X
•2– 3
•2–2
•2– 1
•20
•21
•22
•23
...
– 3 •
–2 •
– 1 •
0 •
1 •
2 •
3 •
...
n • •2n
K = kodomain
Hal.: 36 Relasi dan Fungsi
35. Adaptif
FUNGSI EKSPONEN
Grafik f: x → f(x) = 2x
untuk x bulat dalam [0, 5]
adalah:
x
2
X
O
Y
•(0,1)
•(1,2)
•(2,4)
•(3,8)
•(4,16)
•(5,32)
•(1,2)
•(2,4)
•(3,8)
•(4,16)
•(5,32)
x 0 1 2 3 4 5
F(x)=2x
161 2 4 8 32
Hal.: 37 Relasi dan Fungsi
37. Adaptif
FUNGSI EKSPONENFUNGSI EKSPONEN
Kedua grafik melalui titik (0, 1)
Kedua grafik simetris terhadap sumbu Y
Grafik f: x → 2x
merupakan grafik
naik/mendaki dan grafik g: x →
merupakan grafik yang menurun, dan
keduanya berada di atas sumbu X
(nilai fungsi senantiasa positif)
Dari kurva tersebut dapat dicari berbagai
nilai 2x
dan nilai
Sebaliknya dapat dicari pangkat dari 2 jika hasil perpangkatannya diketahui.
Atau: menentukan nilai logaritma suatu bilangan dengan pokok logaritma 2.
untuk berbagai nilai x real
SifatSifat
x
2
1
X
Y
O 1 2 3–3 –2 –1
1
2
3
4
5
6
7
g(x) =
x
2
1
) =
f(x)= 2
x x
2
1
x
2
1
Hal.: 39 Relasi dan Fungsi
38. Adaptif
FUNGSI LOGARITMA
Logaritma merupakan kebalikan dari eksponen.
Fungsi logaritma juga merupakan kebalikan dari fungsi
eksponen.
xxf a
log)( =
Secara umum fungsi logaritma didefinisikan sebagai berikut :
Untuk a > 1, a R∈
Hal.: 40 Relasi dan Fungsi
39. Adaptif
FUNGSI LOGARITMA
Secara visual grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritmaSecara visual grafik fungsi eksponen dan fungsi logaritma
adalah sebagai berikut :adalah sebagai berikut :
x
ay =
o
Y
X
xy a
log=
Hal.: 41 Relasi dan Fungsi
40. Adaptif
FUNGSI LOGARITMA
Contoh 1 :
⇒
Nyatakan persamaan berikut ke dalam bentuk logaritma yang ekivalen
a. 8 = 23
b. ¼ = 2-2
Jawab :
a. 8 = 23 2
log 8 = 3
b. ¼ = 2-2 2
log ¼ = -2⇒
Contoh 2 :
Nyatakan persamaan berikut ke dalam bentuk perpangkatan yang ekuivalen
a. 4 = 2
log 16
b. -6 = 2
log
Jawab :
a. 4 = 2
log 16 24
= 16
b. -6 = 2
log 2-6
=
64
1
64
1
64
1
⇒
⇒
Hal.: 42 Relasi dan Fungsi
41. Adaptif
FUNGSI LOGARITMA
Contoh 3 :
Jawab :
Sebelum menggambar grafik kita dapat menggunakan bantuan tabel berikut.
Gambarkan grafik fungsi f(x) = 2
log x+2
x
¼
½
1
2
4
8
f(x) = 2
log x+2
0
1
2
3
4
5
Hal.: 43 Relasi dan Fungsi
47. Adaptif
Grafik y = 2cos x
-900
1
-1
00
900
1800
2700
2
-2
Y=cos x
amplitudo
periode
FUNGSIFUNGSI TRIGONOMETRITRIGONOMETRI
Hal.: 49 Relasi dan Fungsi
